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1．11反函数
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．反函数的概念．
2．反函数的求法．
(二)能力训练点
1．培养学生利用数学概念进行判断、推理的能
力．2．初步掌握由原函数求其反函数的方法．
(三)德育渗透点
1．培养学生用辩证法的观点观察、分析问题的能力．
2．在教学中通过先数字后字母，先具体后抽象，先生
疏后熟悉，先简单后复杂等，加强学习方法的指导．
二、教学的重点、难点、疑点以及解决方法
1．教学的重点：反函数的定义以及反函数的求法．
2．教学的难点：反函数的定义．
3．教学的疑点：(1)符号f-1(x)的含义；(2)互为反
函数的两个函数定义域与值域的关系；(3)反函数存
在的条件．
4．解决办法：讲清反函数的定义并贯穿数形结合的
思想．
三、课时安排
本课题安排1课时．
四、教学过程设计
老师在黑板上板书并让学生观察以下两例：
师：从函数的观点出发说出它们各表示什么意义，有
什么相同与不同之处．
生：①中是把y表示成x的表达式，即y是x的函数，②
中是把x表示成r的表达式，这时可以看成x是y的函
数．这是从①②表达式上看它们的不同之处，同时①
②中，x、y所表示的量是相同的，只是地位不同，在
y=2x中，x是自变量，y是函数值，而在
师：①②除了上述特点外，我们还可以发现②的表达
式是由①的表达式变换而来的，即把①中的x反解出来
就得到②式．今天我们就来研究这一类问题，即今天
讨论的课题是反函数(在黑板左上方写出课题)．
今后为了研究问题的需要就把②叫做①的反函数，其
中①是原函数，②是反函数．
首先我们要明确一下反函数的精确定义是什么？(以下
用幻灯演示，或带领学生阅读课本．)
反函数的定义：式子y=f(x)表示y是自变量x的函数，设它的
定义域
对照①②，大家要注意几个问题：
(i)从定义看，只从y=f(x)中反解出x是不够的，还应要求c中
的一个y值只能对应A中的唯一确定的x值，这里“唯一”很
重要，它要求x、y必须是一一对应，请大家考虑一下，能否
举出一个反例，使得从函数y=f(x)解出x时，x、y不是一一
对应的．即一个y值会对应着两个或更多的x值．
函数．
师：这个例子既简明又能说明问题，我们也可以通过作图
(1－45)看出x、y不是一一对应的．同时也要注意f-1(y)
是一个函数的符号，它
另外，在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，
为此常常对调函数式x=f-1(y)中的字母x、y，把它改写为
y=f-1(x)(今后不特别说明，函数的反函数都是指这种经
过改写的反函数，这样y=2x的反函数
对换x、y得到y=f(x)的反函数y=f-1(x)．
下面大家根据上述所学，求以下两个函数的反函数
(1)y=3x-1(x∈R)，
师：上述解答简洁、完整．同时辅加说明几点：
(i)求反函数的过程书写格式按照上述要求，初学不可直
接写结果．
(ii)反函数是相对于原函数而言，同时它们也是相互的，
即y=3x-1的
回顾上述求反函数过程，主要是两个步骤：一是反解，
二是对换x、y，请大家思考一下对换x、y，使得原函
数、反函数的定义域、值域有何关系？
生：由于原函数中x的范围为定义域，y的范围为值域，
对换x、y就使得原函数的定义域、值域变为反函数的
值域、定义域．
师：很好，这实际上是反函数的一个重要性质．
y=f(x)的定义域、值域分别是y=f-1(x)的值域、定义
域．比如(2)中的定义域、值域分别是x≥0，y≥1，而它
的反函数y(x-1)2的定义域、值域就分别是x≥1，y≥0．
还应注意，求反函数的定义域、值域只能从原函数的值域、
定义域去求，而不能仅从反函数的表达式去求，如从
y=(x-1)2求定义域应是x∈R，而不是x≥1，显然这是错的．
下面再通过两个问题来加深对反函数问题的理解，求以下
两函数的反函数．
(两位学生上台板书，其余学生自行练习，老师巡视．)
生：y=x2+1的反函数应为
生：这时原函数没有反函数，因为y=5时，x=±2，不符合
反函数的定义．
师：大家要注意求y=x2+1的反函数，往往会犯这样的
错误，认为反
违背的．从上述我们可以看出求一个函数的反函数时，
一定要注意原函数的定义域．
师：请同学们观察这一题的结果，原函数与反函数的
表达式有什么特点？
生：原函数与反函数的表达式相同．
师：对，互为反函数的两个函数的解析式一般是不同
的，但是也有少数例外，本题就是一个例证，即原函
数与反函数的解析式一致．
小结：本节课主要学习了反函数的有关概念，大家要明确
反函数的定义，掌握反函数的求法，弄清f(x)与f(x)的定
义域、值域之间的关系，以及符号y=f(x)，x=f-1(y)，
y=f-1(x)的含义．
五、作业
代数(上)P．61中1、2、3；P．65中3；P．66中4、5．
六、板书设计
七、参考书目
《名师授课录》(中学数学)
《高中代数教学参考书》
《高中数学教案》