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§1．7
分数指数幂与根式
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．n次方根的概念．
2．n次方根的有关性质及其应用．
(二)能力训练点
1．培养学生运用概念分析问题的能力．
2．根据定义和性质进行逻辑推理和运算化简，提高学生
的数学应用能力．
(三)德育渗透点
1．培养学生观察、分析、探究问题的科学精神．
2．通过推理和运算等训练，培养学生严谨治学、一丝不
苟的习惯．
二、教学的重点、难点、疑点及解决方法
1．教学重点：n次方根的概念、性质、以及应用．
2．教学难点：n次方根的性质以及应用．
3．教学疑点：
4．解决方法：熟练掌握n次方根的性质．
三、课时安排
本课题安排1课时(或2课时)．
四、教学过程设计
首先回顾一下以前学过的平方根，立方根的概念，请一
位同学叙述平方根，立方根的概念．
生：如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x
叫做a的平方根，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那
么这个数x叫做a的立方根．
师：平方根、立方根有哪些性质？
生：一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，负数
没有平方根，0的平方根仍为0．一个数的立方根只有一个，
正数的立方根是一个正数，负数的立方根是一个负数，0
的立方根是零．
师：今天我们要研究指数为n(n为大于1的整数)的情况，
如果xn＝a，则仿照上面的叙述，得到x为a的几次方根．
生：如果一个数的n次方(n是大于1的整数)等于a，那么这
个数就叫做a的n次方根．
师：很好，一般地，如果xn＝a，则x是a的n次方根．
类比平方根，立方根的性质，我们不难得到n次方根的性
质(师生共同讨论，边议边写)．
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方
根是一
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，它们互为相反数，
这时，
负数没有偶次方根，零的任何次方根是零
．
师：根据上述分析，可以得到根式的性质．
师：下面通过一些练习，巩固上述所学的内容(用幻灯逐
题演示，师生共同讨论)
例1 求下列各式的值：
为了更进一步地研究根式，下面我们引入一个新的内
容：分数指数幂．
我们观察以下两例
这就是说，当根式的被开方数的指数能被根指数整除
时，根式可以写成分数指数幂形式．
当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式
也可以写成分数指数幂的形式． ．
应当注意：非零数的零次幂是1，即a°＝1(a≠0)，零的
正分数次
规定了分数指数幂的意义后，指数从整数推广到了有
理数．
请一位同学叙述一下以前学过的整数指数幂的运算性
质：
生：(1)am·an＝am+n；(m、n∈正)，即同底数的幂相
乘，底数不变，指数相加．
(2)(am)n＝amn(m、n∈正)，即幂的乘方，底数不变，
指数相乘．
(3)(ab)n=anbn(n∈正)，即积的乘方等于乘方的积．
师：上述的幂的运算性质，今后对于有理指数幂也同
样适例2 求下列各式的值用，以下可以运用幂的运
算性质进行化简求值．
师：在运用幂的运算性质化简求值时，要把负指数幂
化为正指数幂，并把底数写成质数积的形式或幂的形
式，如32＝25，8＝23．
以下练习巩固(部分同学上台板演)．
例3 求下列各式的值：
例4
计算下列各式：
(强调运算时要化除为乘，分类计算，即系数相乘
除，相同字母的乘除转化为同底数的幂的运算．)
(强调要正确运用幂的运算性质，同时运算结果用
正数指数幂表示为宜．)
最后我们探讨一下利用分数指数，进行有关的根
式化简运算，它体
即先将根式形式写成分数指数幂形式，最后进行
同底数幂的运算．
例6
计算下列各式：
(强调对复杂的式子可以采用“分而治之”的策略，先
处理局部的，由里往外去根式，这样不容易失误．)
总结：本节课学习了n次方根的概念和它的性质，还学
习了分数指
今后学习很有益处，课后还应通过适量的练习，巩固这
一节课所学的内容．
五、作业
代数(上)P.43中．2、3、4；P.44中4、5．
六、板书设计
七、参考书目
《高中数学教案》
《高中代数教学参考书》