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1．9函数的单调性
一、素质教育目标
(一)知识教学点
1．函数的单调性的概念．
2．判断一些简单函数在给定区间上的单调性．
(二)能力训练点
1．培养学生利用数学概念进行判断、推理的能力．
2．培养学生数形结合、辩证思维的能力．
(三)德育渗透点
1．渗透化归思想，提高学生的数学思维能力．
2．养成细心观察，认真分析，严谨论证的良好思维习惯．
二、教学的重点、难点、疑点及解决办法
1．教学的重点、难点：函数单调性的判定．
2．教学的疑点：容易忽视函数定义域对单调性的影响．
3．解决办法：
①熟悉弄透函数单调性的定义．
②利用差式f(x1)-f(x2)的符号判定函数的单调性．
三、课时安排
本课题1课时．
四、教学过程设计
复习幂函数的有关概念和性质，教师在黑板上画出函数
(1)y=x
函数y的变化情况．
生：(1)随着x的增大，y值增大．
(2)随着x的增大，y值减小．
师：我们把函数在某个区间上增大或减小的性质称为单调
性．
一般地，对于给定区间上的函数f(x)：
(1)如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，
当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
增函数．如图1－31．
(2)如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1，x2，
当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是
减函数，如图1－32．
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或减函数，就说f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调性，这一区间叫做f(x)的
单调区间．
还是减函数？说出它们各自的单调区间．
生：(1)是增函数，且单调区间为［0，+∞)，(2)是减函数，
且单调区间为(-∞，+∞)．
笼统地说某一函数是增函数或减函数，因为有些函数，在某
些区间上是增函数，而在另一些区间上却是减函数，如函数
y=x2在(-∞，0]内是减函数，在［0，+∞)内是增函数，如图1
－33从中可以看出定义中“区间”对于理解函数的单调性是
非常重要的．同时也请同学找出还有哪些字句，也是很重要
的．
生：任意两个自变量中的“任意”两个字．
师：你能否举一些例子说明一下．
(初学者要举出这样的例子可能颇费周折，应以铺垫引导)．
生：是减函数．
师：为什么？
生甲：因为图形的形状是下降的形状，所以它是减函数．
生乙：不对，它不是单调函数，因为x1=-1，x2=+1时，x1＜
x2，这时f(-1)＜f(1)，与减函数的意义不符，所以它不是减函
数，同样也不是增函数．
师：很好，上述分析说明一方面我们不能凭图形感觉
来说明单调性，另一方面说明要断定一个函数不是单
调函数，只要找某两个特殊数值，与定义的要求不符
即可，因此定义中“任意”两个字不可缺少．？虽然
对于x≠0时，有无穷多的x1＜x2，均有f(x1)＞f(x2)．如
x＞0时，就满足这个要求，但x≠0时，并不能保证对于
任意的x1＜x2均有f(x1)＞f(x2)．
下面我们从函数的单调性定义出发，说明如何探讨一
下函数是某一区间上的增函数或减函数的问题．
例1 如图1－35，f(x)是定义在闭区间[-5，5］上的
函数f(X)的图象，根据图象说出f(x)的单调区间，以
及在每一单调区间上，f(x)是增函数还是减函数．
生：函数f(x)的单调区间有[-5，-2]，[-2，1］，[1，
3]，[3，5]．其中，f(x)在区间[-5，-2〕，[1，3]上是
减函数，在区间[-2，1]，[3，5]上是增函数．
例2 证明函数f(x)=6x+2在(-∞，+∞)上是增函数．
(师生共同讨论，边议边写．)
证明：设x1、x2是任意两个实数，且x1＜x2，则
f(x1)=6x1+2，f(x2)=6x2+2，x2-x1＞0，∵f(x2)f(x1)=(6x2+2)-(6x1+2)=6(x2=x1)＞0，∴f(x2)＞f(x1)．
故f(x)=6x+2在(-∞，+∞)上是增函数．
师：对于这个证明要注意几点：
第一，证明函数的单调性应从定义出发，不可只通过图
形判断，或者选某两个特定的数值如1，2，来考察f(1)，
f(2)的大小关系进行证明，因为特定的数值缺乏任意性，
不能代表区间的一切值．第二，证明的书写格式要详尽
规范严谨．
否还是不是单调函数呢？
∞)为例．
(由两名学生到黑板各自证明，其他学生在练习本上证明．)
生：设0＜x1＜x2，则x1．x2＞0，x2-x1＞0．
∴f(x1)＜f(x1)．
师：强调几点：
第一，取任意两个正值的描述：0＜x1＜x2．
即表示任取两个正数，且x1＜x2，这样表达简明扼要．
已举过，要引起大家的注意．
第三，在判断两个函数值大小时，可以用差，如f(x2)-f(x1)＞0，
则
设x2＞x1＞0，则f(x1)＞0，
课堂练习：
(2)证明函数f(x)=x2+3在(0，+∞)上为增函数．
总结：今天我们初步研究了函数的单调性，学习中要
注意以下两点：
1．要正确深入地理解函数单调性的定义，函数的单调
性与区间有关，用定义证明函数单调性时，不能只选
取两个选定的数值x1，x2来考察f(x1)-f(x2)的符号．
2．判定函数f(x)在某区间上是否具有单调性，应在该
区间内任意选
f(x2)，f(x1)的大小关系．
五、作业
代数(上)P．53中练习1、2；P．54中3；P．58中5；
P．59中6、7．
六、板书设计
七、参考书目
《高中数学教案(代数)》
《代数(上)教学参考书》