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函数的极值
作者：江西广昌一中 廖刚霖
内容：北师大版选修2-2 3.1.2节
新课讲授
1、极值的定义
一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，
如果对x0附近的所有的点，都有f(x)﹤f(x0)
就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值 = f(x0) ；
如果对x0附近所有的点，都有f(x)﹥f(x0)
就说f(x0)是函数的一个极小值，记作y极小值 = f(x0) 。
极大值与极小值统称为极值。
对函数极值、极值点的理解:
(1)极值点不是点，而是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数.
(2)极值点是函数定义域内的点，但定义域端点绝不是极值点.
(3)极值是一个局部概念，是仅对某一点的左右两侧很小的范围而言
的.
(4)函数在某区间内有极值，那么它在该区间内不是单调函数，即在
区间上单调的函数无极值.
(5)在整个定义域内，可以有多个极大值和极小值.
(6)极大值和极小值之间没有确定的大小关系.
y
f(x4)
f(x1)
o
a
X1
X2
X3
X4
b
x
1、在函数取得极值处，如果曲线有切线，切线的斜率
相同吗？都是多少呢？
2、在函数极大（小）值点两侧，函数的单调性有什么
特点？
2、极值的判别方法
一般地，当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是
极大（小）值的方法是：
（1）如果在x0附近的左侧f΄(x) ﹥0 ，
右侧f΄(x) ﹤0 ，那么， f(x0)是极大值；
（2）如果在x0附近的左侧f΄(x) ﹤0 ，
右侧f΄(x) ﹥0 ，那么， f(x0)是极小值。
例题分析：
1 3
x
3
例1 求y =
– 4x + 4 的极值。
解：y′= x2 – 4 = (x + 2)(x - 2)
令 y′= 0 ,解得 x1 = -2, x2 = 2.
当 x 变化时，yˊ,y 的变化情况如下表：
x
(-∞,-2)
-2
(-2, 2)
2
(2,+∞)
y’
+
0
-
0
+
↗
28
极大值
3
↘
4
极小值3
↗
y
因此，
28
当x = -2时，y有极大值，y极大值 ＝ 3 ；
当x =
2时，y有极小值，y极小值 ＝-
4
3
。
求可导函数的极值的步骤：
（1） 求导数f΄(x) ；
（2） 求方程f΄(x) = 0的根；
（3） 检查f΄(x)在方程根左右的值的符号，
如果左正右负，那么f(x)在这个根处取的极大值；
如果左负右正，那么f(x)在这个根处取的极小值。
总结：点是极值点的充分条件和必要条件
对于可导函数
导数为0是点是极值点的必要条件；
点两侧的导数异号是点是极值点的充分条件.
练习：
1.设f(x)在x0附近有定义，f(x0)是f(x)的极大值，则(
(A)在x0附近的左侧，f(x)＜f(x0)；在x0附近的右侧，
f(x)>f(x0)
(B)在x0附近的左侧，f(x)>f(x0)；在x0附近的右侧，
f(x)<f(x0)
(C)在x0附近的左侧，f(x)<f(x0)；在x0附近的右侧，
f(x)<f(x0)
(D)在x0附近的左侧，f(x)>f(x0)；在x0附近的右侧，
f(x)>f(x0)
)
2.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)
内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极大值
点(
)
(A)1个
(B)2个
(C)3个
(D)4个
【解析】选B.极大值点的左边导数大于零，右边导数小于
零，只有两个.
3.函数y=(x+1)3,当x=-1时(
)
(A)有极大值
(B)有极小值
(C)既无极大值，也无极小值
(D)无法判断
【解析】选C.y′=3(x+1)2,当x<-1时，y′>0，当x>-1时，
y′>0,∴函数y=(x+1)3在x=-1处无极值.
4.函数f(x)=x3-3x2+7的极大值是______.
【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2)，
函数f(x)在(-∞,0)上是增加的，在(0,2)上是减少的，在
(2,+∞)上是增加的,
∴f(x)极大值=f(0)=7.
答案：7
5.已知实数a,b,c,d成等比数列，且曲线y=3x-x3的极大值
点为b，此时极大值为c，求ad的值.
【解析】由y′=3-3x2,
令y′=0,得x1=-1,x2=1,
根据x1,x2列表分析f′(x)的符号和f(x)的单调性和极值点
谢
谢，
再 见！