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复习 求函数f(x)的极值的步骤:
(1)求导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根(x为极值点.)
(3)用函数的导数为0的点，顺次将函
数的定义区间分成若干小开区间，并
列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的
值的符号，求出极大值和极小值.
8
练习：求函数 y  2 x  的极值
x
x=-2时，y有极大值-8，
当x=2时，y有极小值8
练习:
如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在
x=±1时有极值,极大值为4,极小值为0 ,
试求a,b,c的值 .
4
2
提示：y'  5ax  3bx .由y'  0得
.
x ( 5ax - 3b )  0
2
2
x  1是极值点，
 5a - 3b  0
又 x 0
2
 x=0，x=  1可能是极值点。
练习:
如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1
时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c
的值 .
若a>0, y'  5ax ( x 1 ).由x，y，y' 的变化得
2
2
x （  ，1）
-1 (-1,0) 0

f (x)
f (x)
+
0
极大
-
（0，1） 1
0
-
无极值
a  b  c  4 a  3


 a  b  c  0  b  5
5a  3b
c  2


0
极小
(1,+∞)
+
练习:
如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a≠0)在x=±1
时有极值,极大值为4,极小值为0 ,试求a,b,c
的值 .
若a<0, y'  5ax 2 ( x 2  1 ).由x，y，y' 的变化得
a  -3

b  -5
c  2

练习3：
求函数y  x - 3ax  2( a  0) 的极值, 并问方程
3
x - 3ax  2  0何时有三个不同的实根?
3
何时有连个根?有唯一的实根?
a>0, y'  3x  3a由x，y，y
.
' 的变化得
2
x
f (x)
f (x)
（， a）  a (  a, a )
+
0
-
a
0
( a, )
+
极大
极小
x
f (x)
（， a）  a (  a, a )
+
f (x)
-
0
( a, )
a
0
+
极大
极小
3
2
当f ( a） 2  2  0,
y
即a>1时，
方程有三个不同的根；
当a=1时，有两个根。
当0<a<1时，有唯一根
 a
a
x
作业：
1.已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx在点x=1处有
极小值-1，试确定a,b的值，并求出f(x)的
单调区间。
2.三次函数f(x)=x3+ax2+x在区间[-1,1]
上有极大值和极小值，求常数a的取值
范围.
3.3.3 最大值与最小值
新课讲授
一.最值的概念(最大值与最小值)
如果在函数定义域I内存在x0,使
得对任意的x∈I,总有f(x) ≤f(x0),
则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的
最大值.
最值是相对函数定义域整体而言的.
a, b
f (x)
注意:
1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一;
2.最大值一定比最小值大.
观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答:
(1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值?
极大: x = x1
x = x3
极小: x = x2
x = x4
x = x5
(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,
最大值和最小值分别是什么?
ymax  f ( x3 )
ymin  f ( x4 )
x1 x2 x3
x4
x5
观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上的图象, 回答:
(1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值?
极大: x = x2
极小: x = x1
x = x3
(2) 函数 y = f (x) 在[a,b]上有最大值和最小值吗?如果有,
最大值和最小值分别是什么?
y
y  f (x)
ymax  f (a)
ymin  f ( x1 )
x1
a O
x
x2
x3
b
二.如何求函数的最值?
(1)利用函数的单调性;
如:求y=2x+1在区间[1,3]上的最值.
(2)利用函数的图象;
如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上的最值.
(3)利用函数的导数;
求函数 y = f (x) 在[a,b]上的最大值与
最小值的步骤如下:
(1) 求函数 y = f (x) 在 ( a, b ) 内的极值;
(2) 将函数 y = f (x) 的各极值点与端
点处的函数值f (a), f (b) 比较, 其中最
大的一个是最大值, 最小的一个是最
小值.
例1、求函数f(x)=x2-4x+6在区间[1，
5]内的最大值和最小值
解:f ′(x)=2x- 4
令f′(x)=0，即2x–4=0，得x =2
x
1
f (x)
f (x)
（1，2）
2
（2，5）
-
0
+
3
2
5
11
故函数f (x) 在区间[1，5]内的最大值
为11，最小值为2
若函数f(x)在所给的区间I内有唯一的极值，则它是函数的
最值
1 3
例2 求函数 f ( x)  x  4 x  4在[0,3]上的最大值与最小值.
3
解:
令 f ( x)  x 2  4  0, x [0,3]
解得 x = 2 .
当0≤x<2时，f’(x)<0;当2<x≤3时，f’(x)>0
4
所以当 x = 2 时, 函数 f (x)有极小值 f (2)   .
3
又由于 f (0)  4, f (3)  1,
1 3
所以, 函数 f ( x)  x  4 x  4 在[0,3]上的最大值是4,
3
4
最小值是  .
3
练 习
1 4 1 3 1 2
函数 y  x  x  x ，在
4
3
2
［－1，1］上的最小值为(
A
A.0
D.13/12
B.－2
C.－1
)
4x
2、函数 y  2
x 1
（
C
）
A.有最大值2，无最小值
B.无最大值，有最小值-2
C.最大值为2，最小值-2
D.无最值
3、函数 f( x)  2x  cos x在（- , +) 上（ ）
A.是增函数
C.有最大值
B.是减函数
D.最小值
1
例3、求f ( x)  x  sin x在区间
2
[0，2π]上的最值.
解：
函数f(x)的最大值是π,
最小值是0.
已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是否存在实数a,b，使
f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出
a,b的值；若不存在，请说明理由。
已知三次函数f(x)=ax³-6ax²+b.问是否存在实数a,b，使
f(x)在[-1,2]上取得最大值3，最小值-29,若存在，求出
a,b的值；若不存在，请说明理由。