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第十二节 导数在研究函数中的应用与
生活中的优化问题举例
三年36考
高考指数:★★★★★
1.了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单
调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).
2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数
求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；
会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超
过三次).
3.会利用导数解决某些简单的实际问题.
1.利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间、求函数的
极值(最值)是考查重点；
2.含参数的函数单调区间与极值情况的讨论是高考的重点和难
点；
3.题型有选择题和填空题，难度较小；与方程、不等式等知识
点交汇则以解答题为主，难度较大.
1.导数与函数单调性的关系
(1)函数y=f(x)在某个区间内可导
单调递增
①若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内___________；
单调递减
②若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内___________.
常数函数
③如果在某个区间内恒有f′(x)=0，则f(x)为__________.
(2)单调性的应用
若函数y=f(x)在区间(a,b)上单调，则y=f′(x)在该区间上不
变号.
【即时应用】
(1)函数f(x)=1+x-sinx在(0,2π)上的单调情况是________.
(2)设f′(x)是函数f(x)的导函数，y=f′(x)的图象如图所示，
则y=f(x)的图象最有可能是__________.
(3)若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围
是_____________.
【解析】(1)在(0，2π)上有f′(x)=1-cosx>0，所以f(x)在
(0,2π)上单调递增.
(2)由导函数图象知，f′(x)在(-∞,0)上为正，在(0,2)上为
负，在(2,+∞)上为正，所以f(x)在(-∞,0)上是增函数，在
(0,2)上是减函数，在(2,+∞)上是增函数，比较①②③④，只
有③符合.
(3)函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0
恒成立，
1
3
即Δ=4-12m≤0，∴m≥ .
答案：(1)单调递增
(2)③
1
(3)m≥
3
2.函数极值的概念
(1)极值点与极值
相反
设函数f(x)在点x0及附近有定义，且在x0两侧的单调性______
(或导数值异号)，则x0为函数f(x)的极值点，f(x0)为函数的极
值.
(2)极大值点与极小值点
极大值
①若先增后减(导数值先正后负)，则x0为________点.
极小值
②若先减后增(导数值先负后正)，则x0为________点.
【即时应用】
(1)判断下列结论的正误.(请在括号中填“√”或“×”)
①导数为零的点一定是极值点
(
)
②函数f(x)在点x0及附近有定义，如果在x0附近的左侧f′(x)
＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值
(
)
③函数f(x)在点x0及附近有定义，如果在x0附近的左侧f′(x)
＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值
(
)
(2)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)
内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点
的个数为___________.
(3)函数f(x)=x3+3x2-9x的极值点为_______.
【解析】(1)①导数为零只是函数在该点取极值的必要条件，
②正确，③f(x0)为极小值，故错误.
(2)从f′(x)的图象可知f(x)在(a，b)内从左到右的单调性依
次为增→减→增→减，所以f(x)在(a，b)内只有一个极小值点；
(3)由f′(x)=3x2+6x-9=0得x=1或x=-3,
当x＜-3时，f′(x)＞0,
当-3＜x＜1时，f′(x)＜0,
当x＞1时，f′(x)＞0,
∴x=1和x=-3都是f(x)的极值点.
答案：(1)①×
②√
③×
(2)1
(3)x=1,x=-3
3.函数极值与最值的求法
(1)求可导函数极值的步骤：
①求导数f′(x)；
②求方程f′(x)=0的根；
③列表，检验f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧的符号(判
断y=f(x)在根左右两侧的单调性)，确定是否为极值，是极大
值还是极小值.
(2)求函数y=f(x)在闭区间［a,b］上的最值可分两步进行：
极值
①求y=f(x)在(a,b)内的______；
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较，
最大值
最小值
其中最大的一个为_______，最小的一个为________.
【即时应用】
(1)思考：最值是否一定是极值？
提示：不一定.如果最值在端点处取得就不是极值.
(2)函数f(x)=3x-4x3，x∈[0,1]的最大值是________.
【解析】由f′(x)=3-12x2=0得x=  1 ，
∵f(0)=0，f(
∴f(x)max=1.
答案：1
1
)=1，f(1)=-1，
2
2
(3)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取极值10，则f(2)=____.
【解析】f′(x)=3x2+2ax+b，由题意
1  a  b  a 2  10
即 
, 得a=4或a=-3.
3  2a  b  0
f (1)  10
,

f (1)  0
但当a=-3时，b=3,f′(x)=3x2-6x+3≥0，故不存在极值，
∴a=4，b=-11，f(2)=18.
答案：18
4.导数的实际应用
导数在实际生活中的应用主要体现在求利润最大、用料最省、
效率最高等问题中，解决这类问题的关键是建立恰当的数学模
型(函数关系)，再利用导数研究其单调性和最值.解题过程中
要时刻注意实际问题的意义.
【即时应用】
(1)已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：
万件)的函数关系式为y=  1 x 3 +81x-234，则使该生产厂家获得
3
最大年利润的年产量为________.
(2)将边长为1 m的正三角形薄片沿一条平行于某边的直线剪成
(梯形的周长) 2
两块，其中一块是梯形，记S=
, 则S的最小值是
梯形的面积
________.
【解析】(1)y′=-x2+81,令y′=0得
x=9或x=-9(舍去)，当x＜9时y′＞0；
当x＞9时y′＜0，故当x=9时函数有极大值，也是最大值；
即该生产厂家获得最大年利润的年产量为9万件.
(2)设剪成的小正三角形的边长为x，
2
2
(3

x)
4
(3

x)
则：S=

(0＜x＜1),
2
1
3
3 1 x
(x  1)
(1  x)
2
2
4 (3  x) 2
S x  
,
2
3 1 x
2
2
4
(2x

6)
(1

x
)

(3

x)
( 2x)
S′(x)=
(1  x 2 ) 2
3
 3)
= 4 2(3x  1)(x
,
2 2
(1  x )
3
令S′(x)=0(0＜x＜1),得x= 1 ,
3
当x∈(0, 1 )时，S′(x)＜0,S(x)递减；
3
当x∈( 1 ,1)时，S′(x)＞0,S(x)递增；
3
故当x= 1 时，S取得最小值 32 3 .
3
3
答案：(1)9万件
(2) 32 3
3
利用导数研究函数的单调性
【方法点睛】1.导数在函数单调性方面的应用
(1)利用导数判断函数的单调性；
(2)利用导数求函数的单调区间；
(3)已知函数单调性，求参数的范围.
2.导数法求函数单调区间的一般步骤
第一步：求定义域：求函数y=f(x)的定义域
第二步：求根：求方程f′(x)=0在定义域内的根
第三步：划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间
第四步：定号：确定f′(x)在各个区间内的符号
第五步：结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数
y=f(x)的单调区间.
【提醒】当f(x)不含参数时，也可通过解不等式f′(x)>0(或
f′(x)<0)直接得到单调递增(或递减)区间.
【例1】(1)(2011·山东高考)函数y= x -2sinx的图象大致是
2
(
)
(2)设函数f(x)=x(ex-1)-ax2:
①若a= 1 ，求f(x)的单调区间；
2
②若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围.
【解题指南】(1)排除法与求导相结合，根据导数与函数单调
性的关系判断.
(2)当a= 1 时，函数的解析式是具体的，只需解不等式f′(x)
2
＞0和f′(x)＜0即可得到单调区间；求a的范围时构造函数，
对a分类讨论求解.
【规范解答】(1)选C.当x=0时，y=0，排除A.
当x>2π时，y= x -2sinx>0，排除D.
2
∵由y′=
1
1
-2cosx>0得cosx< ，在满足上式的x的区间内，y
4
2
是增函数,
1
由y′= 1 -2cosx<0得cosx> ，在满足上式的x的区间内，y是减函
2
4
数.
∴由余弦函数的周期性知，函数的增减区间有无数多个,
∴B不正确，C正确.
(2)①a= 1 时，f(x)=x(ex-1)- 1 x2，
2
2
f′(x)=ex-1+xex-x=(ex-1)(x+1).
当x∈(-∞,-1)时,f′(x)＞0;
当x∈(-1,0)时，f′(x)＜0;
当x∈(0,+∞)时，f′(x)＞0.
所以f(x)在(-∞,-1)和(0,+∞)上单调递增，
在(-1，0)上单调递减.
故f(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(0,+∞),单调递减区间为
(-1,0).
②f(x)=x(ex-1-ax).
令g(x)=ex-1-ax，则g′(x)=ex-a.
若a≤1，则当x∈(0,+∞)时，
g′(x)＞0，g(x)为增函数，而g(0)=0，
从而当x≥0时,g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a＞1，则当x∈(0,lna)时，g′(x)＜0，
g(x)为减函数，而g(0)=0，
从而当x∈(0,lna)时,g(x)＜0，即f(x)＜0.
综合得a的取值范围为(-∞,1].
【反思·感悟】1.求函数的单调区间时，切记定义域优先的原
则，一定要注意先求定义域.
2.恒成立问题的处理，一般是采用“分离参数，最值转化”的
方法.
利用导数研究函数的极值(最值)
【方法点睛】1.应用函数极值应注意的问题
(1)注意极大值与极小值的判断.
(2)已知极值求参数的值:注意f′(x0)=0是可导函数y=f(x)在x0
处取得极值的必要不充分条件.
2.数形结合求参数的范围
利用导数研究了函数的单调性和极值后，可以画出草图，进行
观察分析，确定满足条件的参数范围.
【例2】(2011·重庆高考)设f(x)=2x3+ax2+bx+1的导数为f′(x),
若函数y=f′(x)的图象关于直线x=  1 对称，且f′(1)=0.
2
(1)求实数a,b的值;
(2)求函数f(x)的极值.
【解题指南】y=f′(x)的图象是抛物线，易确定对称轴，从而可
求a，b；然后按照求函数极值的步骤求极值即可.
a
【规范解答】(1)f′(x)=6x2+2ax+b=6(x+
6
y=f′(x)的图象关于直线x= 
a
6
a
对称，
6
)2+b-
a 2 函数
，
6
1
2
所以     a  3，
又f′(1)=0⇒6+2a+b=0⇒b=-12；
(2)由(1)知f(x)=2x3+3x2-12x+1,f′(x)=6x2+6x-12，
令f′(x)=0得x1=-2,x2=1；
所以函数f(x)在(-∞,-2)上递增，在(-2,1)上递减，在(1,+∞)
上递增，所以函数f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=21，在x=1
处取得极小值f(1)=-6.
【反思·感悟】1.求函数的极值时，极易弄混极大值、极小值.
2.利用导数研究了单调性和极值，就可以大体知道函数的图象，
为数形结合解题提供了方便.
导数在实际问题中的应用
【方法点睛】1.导数在实际问题中的应用
在求实际问题中的最值时，一般要先恰当的选择变量，建立函
数关系式，并确定其定义域，然后利用导数加以解决.注意检
验结果与实际是否相符.
2.实际问题中的最值
根据实际意义，函数存在最值，而函数只有一个极值，则函数
的极值就是最值.
【例3】(2011·山东高考)某企业拟
建造如图所示的容器(不计厚度，长
度单位：米)，其中容器的中间为圆
柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为 80
3
立方米，且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.
已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平
方米建造费用为c(c＞3)千元.设该容器的建造费用为y千元.
(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该容器的建造费用最小时的r.
【解题指南】本题为应用题，(1)先求出l和r的关系，再根据
问题情境列出函数解析式，注意函数的定义域.(2)利用导数求
函数的最值.先求导，再判断函数的单调性，然后根据单调性
求出极值，再由函数的定义域求出最值.
【规范解答】(1)因为容器的容积为
80
立方米，
3
4r 3
80
2
所以
 r l 
，
3
3
80 4r
解得l= 2  , 由于l≥2r,因此0＜r≤2.
3r
3
所以圆柱的侧面积为
80 4r 160 8r 2
2πrl= 2r( 2  ) 

,
3r
3
3r
3
两端两个半球的表面积之和为4πr2,
所以建造费用y= 160 -8πr2+4πcr2,定义域为(0,2].
r
8 (c  2)r 3  20 
160
(2)因为y′=  2 -16πr+8πcr 
, 0＜r≤2.
2
r
r
由于c>3,所以c-2>0,
所以令y′＞0得:r＞ 3 20 ;
c2
令y′＜0得:0＜r＜
9
①当3＜c≤ ，即
2
3
3
20
,
c2
20 ≥2时，函数y在(0，2］上是单调递减
c2
的，故建造费用最小时r=2.
9
②当c＞ ，即0＜ 3 20 ＜2时，函数y在(0，2］上是先减后增
2
c2
的，故建造费用最小时r=
3
20
.
c2
【反思·感悟】1.解决实际问题，数学建模是关键，恰当变量
的选择，决定了解答过程的繁简；函数模型的确定，决定了能
否解决这个问题.
2.解决实际问题必须考虑实际意义，忽视定义域是这类题目失
分的主要原因.
【满分指导】函数综合题的规范解答
【典例】(12分)(2011·湖南高考)设函数f(x)=x- 1 -alnx
x
(a∈R).
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有两个极值点x1和x2，记过点A(x1,f(x1)),B(x2,
f(x2))的直线的斜率为k，问：是否存在a，使得k=2-a？若存
在，求出a的值，若不存在，请说明理由.
【解题指南】(1)对f(x)求导，就a的取值分类讨论；
(2)假设存在a满足条件，判断条件是否满足.
【规范解答】(1)f(x)的定义域为(0,+∞).
1 a x 2  ax  1
f′(x)= 1  2  
x
x
x2
………………………… 2分
令g(x)=x2-ax+1,其判别式Δ=a2-4.
①当|a|≤2时，Δ≤0，f′(x)≥0,故f(x)在(0,+∞)上单调递
增.
………………………………………………………3分
②当a＜-2时，Δ＞0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,+∞)上，
f′(x)＞0，故f(x)在(0,+∞)上单调递增.
……………4分
a  a2  4
③当a＞2时，Δ＞0,g(x)=0的两根为 x1 
,
2
a  a2  4
x2 
，
2
当0＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；
当x＞x2时，f′(x)＞0，故f(x)分别在(0,x1),(x2,+∞)上单调
递增，在(x1,x2)上单调递减.
……………………………6分
(2)由(1)知，a＞2.
因为f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+ x1  x 2 -a(lnx1-lnx2)，
x1 x 2
所以k=
f (x1 )  f (x 2 )
lnx1  lnx 2
1
 1
a
x1  x 2
x1x 2
x1  x 2
………………8分
又由(1)知，x1x2=1.于是k=2-a· lnx1  lnx 2 ,
x1  x 2
若存在a，使得k=2-a,则 lnx1  lnx 2  1,
x1  x 2
即lnx1-lnx2=x1-x2，亦即x2- 1 -2lnx2=0(x2＞1)(*)
x2
……………………………………………………10分
1
-2lnt在(0,+∞)上单调递增，而
t
1
1
x2＞1，所以x2-2lnx2＞1-2ln1=0.这与(*)式矛盾.
1
x2
再由(1)知，函数h(t)=t-
…………………………………………………………11分
故不存在a，使得k=2-a.
………………………………12分
【阅卷人点拨】通过高考中的阅卷数据分析与总结，我们可以
得到以下失分警示和备考建议：
在解答本题时有两点容易造成失分：
失
分
警
示
(1)利用导数判断函数单调性和求极值(或最值)不熟
练,忽视a的值对f′(x)符号的影响.
(2)对存在性命题的解题方法不熟悉，不能准确、有
效地确定解题方法.
解决函数的综合问题时，还有以下几点在备考时要
高度关注：
备
考
建
议
(1)函数的定义域、单调性、最值(极值)的求解应熟
练掌握；
(2)与数列、三角、解析几何、不等式等综合时，能
够迅速、准确地进行转化；
另外需要较强的运算能力，才能快速正确地解决一
些函数综合问题.
1.(2011·福建高考)若a＞0，b＞0，且函数f(x)=4x3-ax2-2bx
在x=1处有极值，则ab的最大值等于(
(A)2
(B)3
(C)6
(D)9
)
【解析】选D.∵f(x)=4x3-ax2-2bx，
∴f′(x)=12x2-2ax-2b=2(6x2-ax-b).
又∵f(x)在x=1处有极值，
∴f′(1)=0，即6-a-b=0，∴a+b=6.
又∵a、b＞0，∴ab≤(
即ab的最大值为9.
ab 2
) =9(当且仅当a=b时取等号)，
2
2.(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，已知点P是函数
f(x)=ex(x＞0)的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于
点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标
为t，则t的最大值是__________.
【解析】设P(x0,ex0),则l:y-ex0=ex0(x-x0),
∴M(0,(1-x0)ex0)，过点P作l的垂线,
垂线方程为y-ex0=-e-x0(x-x0),
∴N(0,ex0+x0e-x0),
∴t=
1
[(1-x0)ex0+ex0+x0e-x0]=ex0+ 1 x0(e-x0-ex0)，t′=
2
2
1 (ex0+e-x0)(1-x ),
0
2
所以，t在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
∴x0=1时,tmax=
答案： 1 (e  1 )
2
e
1
1
(e  ).
2
e
3.(2011·广东高考)函数f(x)=x3-3x2+1在x=_______处取得极
小值.
【解析】f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),
∴f(x)的单调递增区间为：(-∞,0)和(2,+∞),递减区间为
(0,2),∴f(x)在x=2处取得极小值.
答案：2