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第十一节 变化率与导数、导数的计算
三年12考
高考指数:★★★
1.了解导数概念的实际背景；
2.理解导数的几何意义；
3.能根据导数定义求函数y=c(c为常数)，y=x,y=x2,y=x3,y=
1
x
的导数；
4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简
单函数的导数.
1.导数的几何意义是考查重点；
2.导数的运算是导数的基本内容，在高考中每年必考，一般不
单独命题，常在考查导数应用的同时进行考查.
3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中会渗透导数的运算.
1.导数的定义及几何意义
(1)定义：函数在x0处的平均变化率 y ，当Δx→0时的极限
x
(即瞬时变化率)叫做函数y=f(x)在x=x0处的导数，记作f′(x0)
f (x 0  x)  f (x 0 )
或y′|x=x0，即__________________________.
x 0
x
f (x 0 )  lim
(2)几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义是曲线
切线的斜率
y=f(x)在点P(x0,y0)处的____________.
【即时应用】
(1)思考：f′(x)与f′(x0)有何区别？
提示：f′(x)是x的函数，f′(x0)只是f′(x)的一个函数值.
(2)曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是________.
【解析】∵y′=2x，∴曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率是2.
答案：2
(3)函数f(x)=lnx的图象在点(e,f(e))处的切线方程是_____.
1
【解析】f′(e)= 1 |x=e= ，∴所求的切线方程为y-f(e)
x
e
=f′(e)(x-e)，即y-lne=
答案：x-ey=0
1
(x-e)，化简得x-ey=0.
e
2.基本初等函数的导数公式
0
(1)(c)′=_____；(c为常数)
*)
αxα-1
(2)(xα)′=________；(α∈Q
cosx
(3)(sinx)′=________；
-sinx
(4)(cosx)′=________；
ex
(5)(ex)′=_____；
axlna
(6)(ax)′=________(a>0)；
1
(7)(lnx)′=_______；
x
1
(8)(logax)′=_______(a>0且a≠1).
xlna
【即时应用】
(1)y=x-5，则y′=___________.
(2)y=4x，则y′=___________.
(3)y=log3x，则y′=________.
(4)y= sin  ， 则y′=________.
3
答案：(1)-5x-6
(2)4xln4
(3)
1
xln3
(4)0
3.导数的运算法则
若y=f(x)，y=g(x)的导数存在，则
f′(x)±g′(x)
(1)[f(x)±g(x)]′=_________________；
f′(x)g(x)+f(x)g′(x)
(2)[f(x)·g(x)]′=_______________________；
(3)[
f x
g(x)
f (x)g(x)  f (x)g(x)
]′=__________________(g(x)≠0).
g(x)
2
【即时应用】
(1)y=x3+sinx，则y′=____________.
(2)y=x4-x2-x+3，则y′=___________.
(3)y=(2x2+3)·(3x-2)，则y′=_________.
ex
(4)f(x)= ，则f′(x)=_________.
x
【解析】(1)y′=(x3)′+(sinx)′=3x2+cosx.
(2)y′=4x3-2x-1.
(3)y′=(2x2+3)′(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)′
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3=18x2-8x+9.
或：y=6x3-4x2+9x-6,y′=18x2-8x+9.
e x x  e x e x (x  1)
(4)f′(x)=

.
2
2
x
x
答案：(1)3x2+cosx
(2)4x3-2x-1
(3)18x2-8x+9
x
e
(4) (x2 1)
x
导数的运算
【方法点睛】求函数的导数的方法
(1)总原则：先化简解析式，再求导.
(2)具体方法
①连乘积的形式：先展开化为多项式形式，再求导.
②根式形式：先化为分数指数幂，再求导.
③复杂分式：通过分子上凑分母，化为简单分式的和、差，再
求导.
【例1】(1)(2011·江西高考)若f(x)=x2-2x-4lnx，则f′(x)
＞0的解集为(
)
(A)(0,+∞)
(B)(-1,0)∪(2,+∞)
(C)(2,+∞)
(D)(-1,0)
(2)求下列函数的导数.
①y=x2sinx；
ex  1
②y= x ；
e 1
【解题指南】(1)首先求出f(x)的导数，再解分式不等式.
(2)①利用积的导数法则；②利用商的导数法则或先化简分式
再求导.
2
4
x
 x  2 ＞0,
【规范解答】(1)选C.f′(x)=2x-2- ＞0,即
x
x
∵x＞0,∴(x-2)(x+1)＞0,∴x＞2.
(2)①y′=(x2)′sinx+x2(sinx)′=2xsinx+x2cosx.
②方法一：
(e x  1)(e x  1)  (e x  1)(e x  1)
y′=
(e x  1) 2
x
x
x
x
x
e
(e

1)

(e

1)e

2e
=
 x
.
x
2
2
(e  1)
(e  1)
x
e
方法二：∵y= x 1  2  1  x 2 ,
e 1
e 1
x
2

2e
∴y′=1′+( x
)′,即y′= x
.
2
e 1
(e  1)
【反思·感悟】准确熟练地掌握基本初等函数的导数和导数的
运算法则，根据所给函数解析式的特点，确定求导方法.
导数的几何意义
【方法点睛】导数几何意义的应用
导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下
几个方面：
(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值：
k=f′(x0)；
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)=k；
(3)已知过某点M(x1,f(x1))(不是切点)的切线斜率为k时，常需
设出切点A(x0，f(x0))，利用k= f (x1 )  f (x 0 ) 求解.
x1  x 0
【提醒】审题时注意所给点是否是切点.
【例2】(1)(2011·湖南高考)曲线y=
处的切线的斜率为(
1
(A) 
2

sinx
1
 在点M( , 0)
4
sinx  cosx 2
)
1
(B)
2
(C)  2
2
(D) 2
2
(2)(2011·山东高考)曲线y=x3+11在点P(1，12)处的切线与y
轴交点的纵坐标是(
(A)-9
)
(B)-3
(C)9
(D)15
【解题指南】利用导数的几何意义，(1)可以直接求出切线斜率；
(2)先求出切线方程，得到与y轴交点的纵坐标.
【规范解答】(1)选B.
 sinx)
y′= cosx(sinx  cosx)  sinx(cosx
2
(sinx  cosx)
=
1
,
2
(sinx  cosx)
所以 y |
x

4
1
1
 .


(sin  cos ) 2 2
4
4
(2)选C.∵y′=3x2，∴切线斜率为3,∴切线方程为y=3x+9，与
y轴交点的纵坐标是9.
【反思·感悟】1.要体会切线定义中的运动变化思想，由割线
→切线，由两个不同的公共点无限接近→重合(切点).
2.利用导数的几何意义求曲线的有关切线问题时，一定要抓住
切点的多面性：在曲线上、在切线上，该点处的导数是切线斜
率.
【易错误区】导数几何意义应用的易错点
【典例】(2012·杭州模拟)若存在过点(1，0)的直线与曲线
y=x3和y=ax2+ 15 x -9都相切，则a等于(
)
4
25
64
(C)  7 或  25
4
64
(A)-1或 
(B)-1或 21
4
(D) 
7
或7
4
【解题指南】因为点(1,0)不在曲线y=x3上，所以应从设切点
入手来求切线方程，再利用切线与曲线y=ax2+ 15 x -9相切求a
4
的值.
【规范解答】选A.设过(1,0)的直线与y=x3相切于点(x0,x03)，
所以切线方程为y-x03=3x02(x-x0),即y=3x02x-2x03，又(1,0)在
3
， 当x0=0时，由y=0与y=ax2+ 15 x -9相
2
4
15
切可得a=  25， 当x0= 3 时，由y= 27 x  27 与y=ax2+ x -9相
4
64
4
4
2
切线上，则x0=0或x0=
切可得a=-1，所以选A.
【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下
误区警示和备考建议：
在解答本题时有两个易错点：
误
区
警
示
(1)审题不仔细，未对点(1，0)的位置进行判断，误
认为(1,0)是切点；
(2)当所给点不是切点时，无法与导数的几何意义联
系.
解决与导数的几何意义有关的问题时，以下几点在
备
考
建
议
备考时要高度关注：
(1)首先确定已知点是否为曲线的切点是求解关键；
(2)基本初等函数的导数和导数的运算法则要熟练掌
握；
(3)对于直线的方程与斜率公式的求解要熟练掌握.
1.(2011·重庆高考)曲线y=-x3+3x2在点(1,2)处的切线方程为
(
(A)y=3x-1
(B)y=-3x+5
(C)y=3x+5
(D)y=2x
【解析】选A.由y′=-3x2+6x知,切线斜率为k=-3+6=3.所以切
线方程为y-2=3(x-1),即y=3x-1.
)
2.(2012·深圳模拟)已知f(x)=lnx(x>0),f(x)的导数是
f′(x)，若a=f(7),b=f′(
关系是(
1
1
),c=f′( )，则a、b、c的大小
3
2
)
(A)c<b<a
(B)a<b<c
(C)b<c<a
(D)b<a<c
【解析】选B.a=f(7)=ln7,又f′(x)= 1 ,故b=f′( 1 ) 1
x
=2,c=f′( 1 )= 1 =3，故c>b>a.
3
1
3
2
1
2
3.(2012·黔东南州模拟)函数f(x)=mx3+(m+1)x2+x+2,若f′(1)
=18,则m=(
(A)4
)
(B)3
(C)5
(D)6
【解析】选B.∵f′(x)=3mx2+2(m+1)x+1,
∴f′(1)=3m+2m+2+1=18,∴m=3.
4.(2012·合肥模拟)设曲线y= 1 在点(1，1)处的切线与直线
x
ax+y+1=0垂直，则a=_____.
1
x
【解析】∵y= ， ∴y′= 
∴y=
1
，
2
x
1
在点(1，1)处的切线斜率k=-1.
x
又∵该切线与ax+y+1=0垂直，
∴k·(-a)=-1，∴a=-1.
答案：-1
5.(2012·福州模拟)设P为曲线C：y=x2+2x+3上的点，且曲线C
在点P处的切线倾斜角取值范围是[0，  ]，则P点横坐标的取
4
值范围是_______.
【解析】∵y=x2+2x+3，∴y′=2x+2.

又∵曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为[0， ]，
4
∴斜率k的取值范围是0≤k≤1.
设P(x0,y0),则k=y′|x=x0=2x0+2，
1
2
∴0≤2x0+2≤1，即-1≤x0≤  .
1
2
答案：[-1，  ]