Transcript 2.数学建模案例
北方城镇的窗户玻璃是双层的, 这样做主要是为室内保温目的,试用 数学建模的方法给出双层玻璃能减 少热量损失的定量分析结果。 模型准备: 热量的传播形式,温度,与热量传播的有关结果: 厚度为d的均匀介质,两侧温度差为T,则单位时间由 温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量Q,与 T成正比,与d成反比,即:Q=k T/d k为热传导系数.（物理定律） 模型假设:(根据上定律做假设) 1.室内的热量传播只有传导(不考虑对流,辐射)； 2.室内温度与室外温度保持不变(即单位时间通过窗户单 位面积的热量是常数)； 3.玻璃厚度一定,玻璃材料均匀(热传导系数是常数) Ta 符号说明: d:玻璃厚度 T1:室内温度 T2:室外温度 L Ta:靠近内层玻璃温度 Tb:靠近外层玻璃的温度 L:玻璃之间的距离 k1:玻璃热传导系数 k2:空气热传导系数 T2 T1 Tb 模型构成: 由热量守恒定律: 过内层玻璃的热量=过中间空气层的热量=过外层玻璃的热量 T1 Ta Ta Tb Tb T2 Q k1 k2 k1 d L d 消去不方便测量的T1 ,T2,有 T1 T2 k1 L Q k1 , sh ,h d ( s 2) k2 d 对中间无缝隙的双层玻璃,可以视为厚为2d的单层 玻璃,有热传导: T1 T2 Q k1 , 2d 而 Q 2 , Q Q Q s 2 说明双层玻璃比单层玻璃保温! 为得定量结果,考虑的s的值,查资料有 常用玻璃:k1=410-3 810-3 (焦耳/厘米.秒.度) 静止的干燥空气:k2=2.510 -4 (焦耳/厘米.秒.度) 若取最保守的估计,有 k1 Q 1 L 16, ,h k2 Q 8h 1 d 显然Q/Q'可以反映双层玻璃在减少热量损失 的功效,它是h的函数. 从图形考察它的取值情况. 此函数无极小值,从图中可知: 当h从0变大时,Q/Q'迅速下降,但 h超过4后下降变慢. h不易选择过大,以免浪费材料! 模型应用: 通常取h4,有Q/Q'3%,此 时双层玻璃比单层玻璃避免 热量损失达97% 将一块积木作为基础，在 它上面叠放其他积木，问上 下积木之间的“向右前伸” 可以达到多少？ 模型准备 这个问题涉计到重心的概念 关于重心的结果有： 设xoy平面上有n个质点，它们的坐标分别为 (x1 ,y1)，(x2 ,y2)，…, (xn ,yn)，对应的质量分别为 m1,m2,…, mn, 则该质点系的重心坐标满足关系式 n n mi x i x i 1 n mi i 1 mi y i , y i 1 n mi i 1 模型假设 • 所有积木的长度和重量均为一个单位 • 参与叠放的积木有足够多 • 每块积木的密度都是均匀的，密度系数相同 • 最底层的积木可以完全水平且平稳地放在地面上 模型构成 1．考虑两块积木的叠放情况 对只有两块积木的叠放，注 意到，此时使叠放后的积木 平衡主要取决于上面的积木， 而下面的积木只起到支撑作 用。假设在叠放平衡的前提 下，上面的积木超过下面积 木右端的最大前伸距离为x。 x 上面积木在位移最大且不掉下来的中心坐标为x=1/2(因为积 木的长度是1)，于是，上面的积木可以向右前伸的最大距离 为1/2。 模型构成 2．考虑n块积木的叠放情况 为有利于问题的讨论，我们把前两块搭好 的积木看作一个整体且不再移动它们之间的 相对位置，而把增加的积木插入在最底下的 积木下方。于是，我们的问题又归结为两块 积木的叠放问题，不过，这次是质量不同的 两块积木叠放问题。 这个处理可以推广到n+1块积木的叠放问题：即假 设已经叠放好n（n>1）块积木后，再加一块积木的怎样 叠放问题。 下面我们就n+1（n>1）块积木的叠放问题来讨论。 假设增加的一块积木插入最底层积木后，我们选择这 底层积木的最右端为坐标原点建立如图坐标系（见图）。 考虑上面的n块积木的重心关系。 把上面的n块积木分成两部分 1. 从最高层开始的前n-1块积木， 记它们的水平重心为x1,总质 量为n-1; 2. 与最底层积木相连的第n块积 木, 记它的水平重心为x2,质 量为1. 1.把上面的n块积木看作一个整体，记它的重心水平坐标 x 。n块积木的质量 为n。在平衡的前提下，上面的n块积木的水平重心应该恰好在最底层积木的 右端，即有 x 0 ； 2.假设第n块积木超过最底层积木右端的最大前伸距离为z,在保证平衡的前提 下，从最高层开始的前n-1块积木的总重心的水平坐标为z，即有 x1=z，而第 n块积木的水平重心在距第n块积木左端的处，于是在图的坐标系下，有第n 1 块积木的水平重心坐标为 x2 z 。由重心的关系，有 2 1 z (n 1) ( z ) x1 (n 1) x2 1 2 0 x n n 1 1 z (n 1) ( z ) 0 z 2 2n 设从第n+1块积木的右端到第1块积木的右端最远距离为 dn+1，则有 1 1 1 d n1 2 4 2n 说明随着积木数量的无限增加，最顶层的积木可以前伸到 无限远的地方。 本题给出的启示 当问题涉及到较多对象时，对考虑的进行合理的分类进行 解决，往往会使问题变得清晰。此外，一些看似不可能的事 情其实并非不可能。 某学院的最初人数见下表,此系设20个学生代表席位 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 6 4 10 20 按比例分配方法:分配人数=学生人数比例总席位 若出现学生转系情况： 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 按比例分配席位 10.3 6.3 按惯例席位分配 6 10 34/200 3.4 20 4 20 惯例席位分配方法为: 比例分配出现小数时,先按整数分配席位,余下 席位按小数的大小依次分配之. 为改变总席位为偶数出现表决平局现象,决定增加 一席,总席位变为21个学生代表席位,还按惯例分配席 位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 10.815 6.615 3.57 21 按惯例席位分配 7 3 21 11 出现增加一席后,丙系却少一席的情况,说明按惯例 分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配席位方法. 模型构成 讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 单位A p1 n1 单位B p2 n2 要公平,应该 p1 p2 n1 n2 每席代表人数 p1/n1 p2/n2 p1 p2 n1 n2 但 一般不成立！ 若p1/n1 > p2/n2 则单位A 吃亏(对单位A不公平 ) 若p1/n1 < p2/n2 则单位B 吃亏(对单位B不公平 ) 用 p1 p2 p n1 n2 来衡量分配不公平程度 但此公式有不足之处（绝对数的特点），如： n1 =n2 =10 , p1 =120 , p2=100, n1 =n2 =10 , p1 =1020 , p2=1000, p=2 p=2 采用相对标准定义席位分配的相对不公平标准公式： p1 p2 若 , 定义 n1 n2 p1 p 2 n1 n2 rA ( n1 , n2 ) p2 n2 为对A的相对不公平值 p2 p1 若 , 定义 n2 n1 p2 p 1 n2 n1 rB ( n1 , n2 ) p1 n1 为对B的相对不公平值 对某方的不公平值越小，对某方越有利，因此可以用 使不公平值尽量小的分配方案减少分配中的不公平. 确定分配方案：（使用不公平值的大小来确定分配方案） 假设单位A和单位B的人数分别为p1和p2 ，对应的席位为 n1和 n2 ，再分配一个席位时,有 1.当该席位分配给单位A时有对单位B的不公平值为 p2 p 1 n n1 1 (n1 1) p 2 rB (n1 1, n 2 ) 2 1 p1 p1 n 2 n1 1 2.当该席位分配给单位B 时有对单位A的不公平值为 p1 p2 n n 2 1 (n 2 1) p1 r A (n1 , n 2 1) 1 1 p2 p 2 n1 n2 1 究竟这个新席位应该分给哪一方，用这两个新的不公平值 来决定。为得出一个便于使用的分配公式，我们从分配的结 果来寻找这个新的分配公式。 若rB(n1+1,n2)<rA (n1,n2+1),用不公平值的公式应该有增 加的一席应给A，对应的不等式为 p22 p12 n2 ( n2 1) n1 ( n1 1) 故可以令 pi2 Qi ni ( ni 1) 于是增加的席位分配由Qi的最小值决定。 上面的讨论说明Qk大的一方应该得到新增的一个席 位。这说明我们可由Qk的大小决定新席位的分配。 上面的分配方式可以推广到两个以上单位的情况，此 时有新的席位应该给所有Qk的最大者对应的单位，称用Qk 的最大值决定席位分配的方法为Q值法。 对多个单位（m个单位）的席位分配Q值法可以描述为： 1．先计算每个单位的Q值： Qk , k=1,2,…,m 2．求出其中最大的Q值Qi（若有多个最大值任选其中一个 即可）； 3．将席位分配给最大Q值Qi对应的第i个单位。 这种分配方法很容易编程处理。 模型求解 先按应分配的整数部分分配，余下的部分按Q值分配。 本问题的整数名额共分配了１９席，具体为 甲 10.815 n1=10 乙 6.615 n2=6 丙 3.570 n3=3 第２０席的分配由Q值决定 1032 632 Q1 96.4 Q2 94.5 10 11 67 应该将席位分给甲 342 Q3 96.3 3 4 第２１席的分配由Q值决定为 1032 632 Q1 80.4 Q2 94.5 11 12 67 应该将席位分给丙 342 Q3 96.3 3 4 最后的席位分配为： 甲 １１席；乙 ６席；丙 ４席 注：若一开始就用Q值分配，以n1=n2=n3=1逐次增加 一席，也可以得到同样的结果。该方法可以推广到 一般情况。 甲有玉米若干千克，乙有山羊 若干只。因为各自的需要，甲 乙想交换彼此的东西，问怎样 做才能完成交换活动？ 模型准备 实物交换问题在个人之间或国家之间的 各类贸易中经常遇到。通常，交换的结果 取决于交换双方对所交换物品的偏爱程度。 由于偏爱程度是一个模糊概念，较难给出 一个确切的定量关系，此时，可以采用图 形法建模的方式来描述双方如何交换物品 才能完成交换活动。 模型假设 • 交换不涉及其他因素，只与交换双方 对所交换物品的偏爱程度有关 • 交换按等价交换原则进行 模型构成 设交换前甲有玉米为X千克，乙有山羊Y只，交换后甲 有玉米为x千克、山羊y只。 在交换后乙有玉米为X - x千克、山羊Y - y只，于是可 以用一个平面坐标中的二维点坐标（x, y）描述一种交换 方案，而这些坐标点满足 0 x X, 0 y Y 即交换只在这个平面矩形区域内发生。 衡量偏爱程度的无差别曲线概念 无差别曲线表示为 f (x, y) = c，c称为在点(x, y)的满意度。 无差别曲线是一条由隐函数确定的平面曲线 或可以看成二元函数f (x, y)的等高线，虽然f (x, y) 没有具体的表达式，但我们可以讨论这族无差别 曲线的特点。 无差别的曲f(x, y) = c的特点: 1.无差别曲线是彼此不相交的； 2.无差别取曲线是单调递减的； 3.满意度大的无差别曲线在满意度小的无差别曲线上方 4.无差别曲线是下凸的。 实际交换究竟在交换路径曲线MN的哪一点上发生，要借 助交换的原则。由假设2，交换按等价交换的原则。 设玉米的价格为每千克p元，山羊的价格为每只q元，则 有交换前甲方拥有玉米的价值为pX, 乙方拥有山羊的价值为 qY。若交换前甲乙拥有物品的价值相同，即 pX=qY 则交换发生后，甲方拥有玉米和山羊的价值为 px+qy 乙方拥有玉米和山羊的价值为 p(X-x)+q(Y-y) 按按等价交换的原则应该有 px+qy=p(X-x)+q(Y-y) 用关系pX=qY，可得实际交换的点（x,y）满足关系式： x/X+y/Y = 1 此曲线是一条直线，在交换路径坐标系中画出此曲 线就得到实际交换发生的点。 y （X,Y） x 建模实例： 椅子能在不平的地面上放稳吗？ 模型假设 1、椅子的四条腿一样长，椅子脚与地面接触可以视为一个点，四脚 连线是正方形（对椅子的假设） 2、地面高度是连续变化的，沿任何方向都不出现间断。（对地面的 假设） 3、椅子放在地面上至少有三只脚同时着地，（对椅子和地面之间关 系的假设） 模型构成： 用变量表示椅子的位置，引如平面图形及坐标系如图 图中A、B、C、D为椅子的四只脚，坐标系原点选为椅子中 心，坐标轴选为其对角线，由假设2，椅子的移动位置可以由 正方形沿坐标原点旋转的角度来唯一表示。 设某椅子脚与地面的垂直距离为y，显然它是的函数，记为 y=f()，由于正方形的中心对称性，可以用对应的两个脚与地 面的距离之和来表示这两个脚与地面的距离关系 记 f()为A、C的距离之和 g()为B、D的距离之和 B B A 显然f()0、 g()0，都是的连续 函数（假设2），由假设3，对任意 C A 的，有f()、 g()至少有一个为0， 不妨设当=0时，f()>0、 g()=0 故此本问题归为证明如下数学命题： D C D 数学命题:（本问题的数学模型） 已知f()、 g()都是的非负连续函数，对任 意的，有f() g()=0，且f(0) >0、 g(0)=0 ， 则有存在0，使f(0)= g(0)=0 模型求解 证明：将椅子旋转90°，对角线AC与BD互换，由 f(0)>0、 g(0)=0 变为f(/2) =0、 g(/2) >0 令h()=f() - g(), 则有h(0) >0和h(/2) <0 由h()的连续性及连续函数的中值定理，必存在 一个0（0， /2），使h(0)=0，即则有存在0， 使f(0)= g(0)=0。