Transcript 解对初值的连续依赖性定理

§3.3 解对初值的连续性和可微性定理
考察
 dy
 f ( x, y )

,
 dx
 y(x )  y
0
0

( x, y )  G  R
2
(1)
的解 y   ( x , x 0 , y 0 ) 对初值的一些基本性质
内容:
解对初值的连续性
解对初值和参数的连续性
解对初值的可微性
y   ( x , x0 , y 0 )
图例分析(见右)
 dy
 f ( x, y )

,
 dx
 y(x )  y
0
0

y

G
( x0 , y 0 )
( x, y )  G  R
2
解可看成是关于 x , x 0 , y 0
( x1 , y1 )
y   ( x , x0 , y 0 )
的三元函数
x ,
初值问题的解不单依赖于自变量
y   ( x , x0 , y 0 )
 dy
( x0 , y 0 ) .
同时也依赖于初值

y

y


(
x
,
x
,
y
)
x  x0
满足 0初值变动,相应的初值问题的解也将随之变动.
0
0
0

y

y
e
dx
例: 
0
…………
 y(x )  y
前提
0
0

解对初值的对称性: y   ( x , x 0 , y 0 )
解存在唯一
x
( x0 , y 0 )
y 0   ( x0 , x , y )
Q:当初值发生变化时,对应的解是如何变化的?
当初始值微小变动时,方程的解变化是否也是很小呢？
证明 由 ( 3 . 1) 满足 y ( x 0 )  y 0的解存在区间内任取一
y1   ( x1 , x 0 , y 0 ),
值 x1 ,
则由解的唯一性知,
( 3 . 1) 过点 ( x1 , y1 )与过点 ( x 0 , y 0 )的解是同一条积分曲线
即此解也可写成:
且显然有:
y   ( x , x1 , y 1 ),
y 0   ( x 0 , x1 , y1 ),
由于点 ( x1 , y 1 ) 是积分曲线上任一点
,
因此关系式 y 0   ( x 0 , x , y ) 对该积分曲线上任意
点 ( x , y ) 均成立 。
,
按解的存在范围是否有限,又分成下面两个问题:
Q1: 解在某有限闭区间[a,b]上有定义,讨论初值 ( x 0 , y 0 ) 的
微小变化对解的影响情况,称为解对初值的连续性.内容
包括:当初值发生小的变化时,所得到的解是否仍在[a,b]
上有定义以及解在整个区间[a,b]上是否也变化很小?
Q2: 解在某个无限闭区间 [ a ,   ) 上有定义,讨论初值 ( x 0 , y 0 )
的微小变化是否仍有解在 [ a ,   ) 上有定义,且解在整个
区间 [ a ,   ) 上变化也很小?这种问题称为解的稳定性
问题,将在第六章中讨论.
一
解对初值的连续性
1.解对初值的连续依赖性
定义 设初值问题
 dy

 f ( x, y )
,
 dx
 y ( x 0 )  y 0
( 3 . 1)
的解 y   ( x , x 0 , y 0 ) 在区间 [ a , b ]上存在 ,
如果对    0 ,     (  , a , b )  0 , 使得对于满足
( x0  x0 )  ( y0  y0 )  
2
的一切 ( x 0 , y 0 ),
2
2
初值问题
 dy
 f ( x, y )

,
 dx
 y ( x 0 )  y 0
( 3 . 1)
'
的解 y   ( x , x 0 , y 0 ) 都在区间 [ a , b ]上存在 , 并且
 ( x, x0 , y0 )   ( x, x0 , y0 )   ,
则称初值问题
连续依赖于初值
x  [a, b]
( 3 . 1) 的解 y   ( x , x 0 , y 0 ) 在点 ( x 0 , y 0 )
'
( x 0 , y 0 ).
引理
如果函数 f ( x , y )于某域G内连续，且关于 y 满足利普
希茨条件（利普希茨常数为L），则对方程
dy
 f ( x , y ) 的任
dx
意两个解 ( x ) 及  ( x ) ,在它们的公共存在区间内成立着不
等式  ( x )   ( x )   ( x 0 )   ( x 0 ) e
L x  x0
.其中 x 0 为所考虑
区间内的某一值。
证明 设 ( x), ( x)在区间[a, b]上均有定义, 令
2
V ( x )  ( ( x )   ( x )) , x  [ a , b ]
则
'
V ( x )  2 ( ( x )   ( x )) ( ' ( x )   ' ( x ))
 2 ( ( x )   ( x )) ( f ( x ,  ( x ))  f ( x , ( x ))
V ( x)  2( ( x)  ( x))( f ( x,  ( x))  f ( x, ( x))
'
 2 ( ( x )   ( x )) L ( ( x )   ( x ))  2 LV ( x )
于是
d
(V ( x ) e
 2 Lx
)0
dx
因对  x 0  [ a , b ]有
V ( x )  V ( x0 )e
2 L ( x  x0 )
,
x0  x  b
对 a  x  x 0 类似可证 ， 因此
V ( x )  V ( x0 )e
2 L x  x0
,
x  [ a , b ],
两边取平方根即得
 ( x )   ( x )   ( x0 )   ( x0 ) e
L x  x0
,
x  [ a , b ],
2 定理1 (解对初值的连续依赖性定理)
方程
dy
 f ( x, y) ,
( x, y)  G  R
2
(1)
dx
条件: I. f ( x , y ) 在G内连续且关于 y 满足局部Lips.条件;
II. y   ( x , x , y )是(1)满足( x0 , y0 )  G 的解,定义
0
0
区间为[a,b].
结论: 对   0 ,    ( , a , b)  0使得当
( x0  x0 )  ( y0  y0 )  
2
2
2
时,方程(1)过点 ( x0 , y0 ) 的解 y   ( x, x0 , y0 ) 在[a,b]上也有
定义,且  ( x, x0 , y0 )   ( x, x0 , y0 )   ,
a  x  b.
思路分析：
y
  m in (  ,  / 2 )
D
y0
p( x0 , y0 )
y0
G
0
a
x0 x0
b
x
记积分曲线段S：y   ( x, x0 , y0 )   ( x ), x [a, b] (见下图)
显然S是xy平面上的有界闭集.
第一步:找区域D,使 S  D ,且 f ( x , y ) 在D上满足Lips.条件.
由已知条件,对  ( x , y )  S ,存在以它为中心的圆 C i  G ,使
f ( x , y ) 在其内满足Lips.条件,利普希茨常数为 L .根据有限
i
覆盖定理,存在N,当G 
N
Ci
时,有 S
G G
i 1
对 
0
,记
  d (  G , S ),   m in   ,  / 2 
L  m ax  L1 ,
y
G
, LN 
则以 为半径的圆,当其圆心从S的
左端点沿S 运动到右端点时,扫过
的区域即为符合条件的要找区域D
Ci
G
a
b
S : y   ( x , x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
x
y
G
D
p( x0 , y0 )
y0
0
  m in (  ,  / 2 )
a
x0
b
x
第二步:证明  ( x )   ( x , x 0 , y 0 ) 在[a,b]上有定义.
y
  m in (  ,  / 2 )
D
y0
p( x0 , y0 )
y0
G
0
c a
x0 x0
b d
假定 [ c , d ]  [ a , b ]利用引理2及 ( x ) 的连续性可得:
 (x) (x)   ,
c x d
(*)
x
第三步:证明  ( x )   ( x )   ,
a  x b
在不等式(*)中将区间[c,d] 换成[a,b]即得.
由于  ( x ) 连续
对 1 
1
e
 L (b  a )

,   2 , 当 x  x 0   2时 ,  ( x )   ( x 0 )   1
2
2
2
2
R : ( x  x 0 )  ( y  y 0 )   , 0    min{  1 ,  2 }
 ( x0 , y0 )  R
 ( x )   ( x )   ( x0 )   ( x0 ) e
L x  x0
 ( ( x0 )   ( x0 )   ( x0 )   ( x0 ) )e
 ( y 0  y 0   ( x0 )   ( x0 ) )e
 (   1 ) e
L (b  a )
 2 1 e
L (b  a )
L x  x0
L (b a )
  
根据上面定理及方程的解关于自变量的连续性,显然有:
3 定理2
方程
dy
(解对初值的连续性定理)
 f ( x, y) ,
( x, y)  G  R
2
(1)
dx
条件:
f ( x , y ) 在G内连续且关于 y 满足局部Lips.条件;
结论:
y   ( x , x0 , y0 ), ( x0 , y0 )  G ,作为x , x0 , y0的函数
在它的存在范围内是连续的.
证明 对  ( x 0 , y 0 )  G , ( 3 . 1) 过 ( x 0 , y 0 )的饱和解
y   ( x , x 0 , y 0 )定义于  ( x 0 , y 0 )  x   ( x 0 , y 0 ) 上 ,
令V  {( x , x 0 , y 0 ) |  ( x 0 , y 0 )  x   ( x 0 , y 0 ), ( x 0 , y 0 )  G },
下证 y   ( x , x 0 , y 0 ) 在 V 内连续 ,
对  ( x, x0 , y0 )  V ,
[ a , b ], 使 y   ( x , x 0 , y 0 ) 在 [ a , b ]上有定义 , 其中 x , x 0  [ a , b ]
对    0 ,   1  0 , 使当
( x0  x0 )  ( y0  y0 )   1 ,时
2
2
2
 ( x, x0 , y0 )   ( x, x0 , y0 ) 

2
,
x  [a, b]
而 y   ( x , x 0 , y 0 ) 在 x  [ a , b ]连续 ,
x  x   2时
故   2  0 , 使当
 ( x, x0 , y0 )   ( x, x0 , y0 ) 

,
x, x  [a, b]
2
取   min{  1 ,  2 }, 则只要
( x  x )  ( x 0  x 0 )  ( y 0  y 0 )   , 就有
2
2
2
2
 ( x, x0 , y 0 )   ( x, x0 , y 0 )
  ( x, x0 , y0 )   ( x, x0 , y 0 )   ( x, x0 , y 0 )   ( x, x0 , y 0 )

二
解对初值的可微性
为研究解对初值的可微性,先研究解对初值和参
数的连续依赖性.
对含参量  的微分方程
dy
dx
 f ( x , y ,  ),
( 3 . 1) 
设 f ( x , y ,  ) 在区域 G   {( x , y ,  ) | ( x , y )  G ,   ( ,  )}
连续 , 且在 G 内一致地关于
y 满足局部 Lipschitz 条件
(即对  ( x , y ,  )  G  ,  以 ( x , y ,  )为中心球 C  G  , 使
f ( x , y ,  ) 在 C 内对 y 满足 Lipschitz 条件 , L 与  无关 ) 对
  0  ( ,  ), 方程 ( 3 . 1)  通过点 ( x 0 , y 0 )  G  的解存在
唯一 , 记为 y   ( x , x 0 , y 0 ,  0 ), 于是有 y 0   ( x 0 , x 0 , y 0 ,  0 ).
1
解对初值和参数的连续依赖定理
设 f ( x , y ,  ) 在区域 G  连续 , 且在 G 内一致地关于
y 满足
局部 Lipschitz 条件 , ( x 0 , y 0 ,  0 )  G  , y   ( x , x 0 , y 0 ,  0 )
方程 ( 3 . 1)  通过点 ( x 0 , y 0 )的解 , 在区间 a  x  b 上有定
义 , 其中 a  x 0  b , 则对    0 ,     (  , a , b )  0 , 使当
( x 0  x0 )  ( y 0  y0 )  (  0 )  
2
2
2
2
时 , 方程 ( 3 . 1)  通过点 ( x 0 , y 0 )的解 y   ( x , x 0 , y 0 ,  ) 在区间
a  x  b 上也有定义 , 且
 ( x, x 0 , y 0 ,  )   ( x, x0 , y0 , 0 )   ,
a xb
2
解对初值和参数的连续性定理
设 f ( x , y ,  ) 在区域 G  连续 , 且在 G 内一致地关于
y 满足
局部 Lipschitz 条件 , 则方程 ( 3 . 1)  的解 y   ( x , x 0 , y 0 ,  )
作为 x , x 0 , y 0 ,  的函数在它们存在范围
内是连续的 .
3 解对初值可微性定理
若函数 f ( x , y )以及
f
y
都在区域 G 内连续 , 则方程
( 3 . 1)的解 y   ( x , x 0 , y 0 ) 作为 x , x 0 , y 0的函数在它们存
在范围内是连续可微的
.
证明
由于
f
y
在 G 内连续 ,
故 f ( x , y ) 在 G 内关于 y 满足局部 Lipschitz 条件 ,
因此,解对初值的连续性定理成立,即
y   ( x, x0 , y0 )
在它的存在范围内关于
x , x 0 , y 0 是连续的 .
下面证明 , 函数 y   ( x , x 0 , y 0 ) 在它的存在范围内
任一点偏导数
先证

y0

x
,

,

x0 y0
存在且连续 .
存在且连续的
.
先证

存在且连续 .
y0
设由初值 ( x 0 , y 0 ) 和 ( x 0 , y 0   y 0 ) 所确定的解分别为
y   ( x, x0 , y 0 )   , y   ( x, x0 , y 0   y 0 )   ,
即
和
  y0 

x
f ( x ,  ) dx ,
x0
  y0  y0 
于是      y 0 
 y0 

x
x
( f ( x , )  f ( x ,  )) dx
f ( x , ) dx ,
x0

x0
x
 f ( x ,    (   ))
x0
y

(   ) dx
f
其中 0    1 .注意到
 f ( x ,    (   ))
y
y

及  , 的连续性 , 有
f ( x,  )
y
 r1
这里当  y 0  0时 r1  0 , 且  y 0  0时 r1  0 .
因此对 y 0  0 有
 
y0
设
 1
z

x
[
f ( x,  )
x0
 
y0
y
 r1 ]
(   )
y0
dx
则
z  1

x
[
f ( x,  )
x0
即 z
是初值问题
y
 r1 ] zdx
 
y0
dz
[
f ( x,  )

y
 dx
 z(x )  1
0
 r1 ] z
( 3 . 22 )
的解, 显然当 y 0  0时 , 上述初值问题仍然有解
根据解对初值和参数的连续性定理
.
知z 
 
y0
是 x , x 0 , z 0 ,  y 0的连续函数 , 从而存在
lim
 
y0  0
而

y0
y0


y0
f ( x,  )
dz


y
 dx

z ( x0 )  1
是初值问题
的解, 不难求得

y0
 exp( 
x
x0
显然它是 x , x 0 , y 0的连续函数 .
f ( x,  )
y
z
dx)
同样可证

x0
存在且连续 .
设由初值 ( x 0 , y 0 ) 和 ( x 0   x 0 , y 0 ) 所确定的解分别为
y   ( x, x0 , y 0 )   ,
即
和
于是    
 
x0  x0
x0

  y0 
  y0 


y   ( x, x0   x0 , y 0 )   ,
x
f ( x ,  ) dx ,
x0
x
x0  x0
x
x0  x0
f ( x , ) dx 
f ( x , ) dx ,
f ( x , ) dx 

x
f ( x ,  ) dx
x0
x
 f ( x ,    (   ))
x0
y

(   ) dx
其中 0    1 .注意到
 f ( x ,    (   ))
f
y
及  , 的连续性 , 有

f ( x,  )
 r1
y
这里当  x 0  0时 r1  0 , 且  x 0  0时 r1  0 .类似有
y

1
 x0

x0  x0
x0
f ( x , ) dx   f ( x 0 , y 0 )  r2
其中 r1与 r2 具有相同性质
, 因此对 x 0  0 有
 
 x0
 [  f ( x 0 , y 0 )  r2 ] 
即 z
是初值问题

x
[
f ( x,  )
x0
y
 r1 ]
(   )
 x0
dx
 
 x0
dz
f ( x,  )
[
 r1 ] z

y
 dx

z ( x 0 )   f ( x 0 , y 0 )  r2  z 0
的解, 显然当 x 0  0时 , 上述初值问题仍然有解
根据解对初值和参数的连续性定理
( 3 . 22 )
.
知z 
 
 x0
是 x , x 0 , z 0 ,  x 0的连续函数 , 从而存在
lim
x0  0
而

x0
是初值问题
 
 x0


x0
dz
f ( x,  )

z

y
 dx

z ( x0 )   f ( x0 , y0 )
的解, 不难求得
x f ( x,  )

  f ( x0 , y0 ) exp( 
dx)
x0
x0
y
显然它是 x , x 0 , y 0的连续函数 .
初值问题
 dy

 f ( x, y )
,
 dx
 y ( x 0 )  y 0
( 3 . 1)
的解 y   ( x , x 0 , y 0 ) 有 ,

x0

y0
  f ( x0 , y0 ) exp( 
x
x0
 exp( 
x
x0
f ( x,  )
y
dx)
f ( x,  )
y
dx)
例1

已知方程
dy
试求
[
dx
y ( x, x0 , y0 )
x0
y0
 sin xy
]
x0  0
y0  0
,
[
 exp( 
x
f ( x,  )
y
x0
y ( x, x0 , y0 )
y0
dx)
x 0
] y00  0 .
解 f ( x , y )  y cos xy , f ( x , y )  x cos xy 在 xy 平面上连续 .
x
y
 方程
dy
dx
 sin xy 的解 y   ( x , x 0 , y 0 ) 作为 x , x 0 , y 0
的函数 , 在 xy 平面上连续可微
[
y ( x, x0 , y0 )
y0
]
x0  0
y0  0
 exp(
.

x
x0
由公式得
f ( x,  )
y
dx )
x0  0
y0  0
 exp(

x
x cos( x  ( x , 0 , 0 )) dx )
0
, 且满足 y ( 0 )  0 ,  ( x , 0 , 0 )  0 )
(易见 y  0 是原方程的解
1
 exp(

x
xdx )  e 2
0
[
y ( x, x0 , y0 )
x0
]
x0  0
y0  0

x
2

  f ( x0 , y0 ) exp( 
x0
x0
[  f ( x 0 , y 0 ) exp(

x
x0
f ( x,  )
y

x
x
xdx )  0
  f ( 0 , 0 ) exp(

0
f ( x,  )
y
dx )]
x0  0
y0 0
x cos( x  ( x , 0 , 0 )) dx )
0
  f ( 0 , 0 ) exp(
x
dx)
作业
P92
1,3,4
习题: p92 1