Transcript 5.1 存在唯一性定理

第五章
存在性与唯一性
线性微分方程组
§5.1 存在唯一性定理
存在性与唯一性
一、线性微分方程组的有关概念
1 线性微分方程组的定义
定义 形如
x1'  a11 (t ) x1  a12 (t ) x2 

 x2'  a21 (t ) x1  a22 (t ) x2 


 x '  a (t ) x  a (t ) x 
n
n1
1
n2
2
 a1n (t ) xn  f1 (t )
 a2 n (t ) xn  f 2 (t )
(5.1)
 ann (t ) xn  f n (t )
的微分方程组,称为一阶线性微分方程组.
其中aij (t )(i, j ,  1, 2,
存在性与唯一性
, n), f i (t )(i  1, 2,
, n)在a  t  b上连续.
设函数组xi (t )(i  1, 2,
, n)在a  t  b上连续,且
dxi (t )
 ai1 (t ) x1  ai 2 (t ) x2 
dt
则称函数组x1 (t ), x2 (t ),
 ain (t ) xn  f i (t ),
i  1, 2,
, xn (t )为微分方程组(5.1)在
a  t  b上的一个解.
(5.1)含有n个独立的任常数c1 , c2 ,
xi =i( x, c1 , c2 ,
称为(5.1)的通解.
存在性与唯一性
,n
, cn ) , i =1, 2,
, cn的解
,n
2 函数向量和函数矩阵的有关定义
(1) n维函数列向量定义为
 x1 (t ) 


x
(
t
)
x (t )   2 




 xn (t ) 
每一xi (t )(i  1, 2,
, n)在区间I上有定义.
n  n函数矩阵A(t )定义为
a12 (t ) 
 a11 (t ) a12 (t )


a
(
t
)
a
(
t
)
a
(
t
)
22
2n

每一a ij 在I上有定义.
A(t )   21




ann (t ) 
 an1 (t ) an 2 (t )
注: 对向量或矩阵的代数运算的性质,对于以函数作为元素的
矩阵同样成立.
存在性与唯一性
(2 )函数向量和矩阵的连续,微分和积分的概念
如果函数向量x(t)或函数矩阵A(t)的每一元素都是区间
连续函数
连续


a  t  b上的  可微函数 , 则称x(t)或A(t)在a  t  b上 可微 ,


 可积函数
可积
此时,它们的导数与积分分别定义为
 x (t ) 


x (t ) 
'

x (t ) 
,


 ' 
 xn (t ) 
'
1
'
2
存在性与唯一性
 a11' (t ) a12' (t )
 '
'
a
(
t
)
a
'
21
22 (t )

A (t ) 

 '
'
a
(
t
)
a
n 2 (t )
 n1
a1' n (t ) 

'
a2 n (t ) 
.


'
ann (t ) 
 t x ( s )ds 
 t0 1

 t

t
 t x2 ( s )ds 

t0 x(s)ds   0


 t

  x2 ( s )ds 
 t0

 t a ( s )ds
 t0 11
 t
t
 t a21 ( s )ds
t0 A(s)ds   0

 t
  an1 ( s )ds
 t0
存在性与唯一性
注: 关于函数向量与矩阵的微
分,积分运算法则,和普通数
值函数类似.

t

t

t
t0
t0
t0
a12 ( s )ds
a22 ( s )ds
an 2 ( s )ds

a
(
s
)
ds
t0 1n


t
t0 a2n (s)ds 


t
t0 ann (s)ds 
t
(3 ) 矩阵向量的范数
定义 对n维列向量x  ( x1 , x2 ,
, xn )T 及n  n函数矩阵
A  (aij )nn , 定义它们的范数为
n
x   xi ,
A 
i 1
n
a
i , j 1
ij
,
设A, B是n  n矩阵, x和y是n维列向量, A(t ), x(t )是在[a, b]
上可积的函数矩阵和向量, 则易验证有下面的性质
10 AB  A B ,
20 A  B  A  B ,
0
3

b
a
b
x( s)ds   x(s) ds,
存在性与唯一性
a
Ax  A x ,
x y  x  y ,

b
a
b
A( s)ds   A( s) ds,
a
( a  b).
(4 ) 向量或矩阵序列的敛散性
0
T
1 向量序列{xk }xk  ( x1k , x2 k , , xnk ) 称为收敛的, 如果对
每一个i(i  1, 2, , n), 数列{xik }收敛.
函数向量序列{xk (t )}, xk (t )  ( x1k (t ), x2 k (t ),
, xnk (t ))T
称为在a  t  b收敛 (一致收敛),
如果对每一个i(i  1, 2, , n),函数序列{xik (t )}在a  t  b
上是收敛 (一致收敛).

20 设 xk (t )是函数向量级数, 如果部分和所组成的函
k 1
数向量序列在a  t  b收敛 (一致收敛),

则称 xk (t )在a  t  b收敛 (一致收敛).
k 1
存在性与唯一性
如果
xk (t )  M k , a  t  b,


k 1
k 1
而级数 M k 收敛,则函数向量级数 xk (t )在a  t  b
上一致收敛.
如果函数向量序列{xk (t )}在a  t  b上一致收敛,则
b
b
lim  xk (t )dt   lim xk (t )dt ,
k  a

a k 
如果函数向量级数 xk (t )在a  t  b上一致收敛,则


k 1
存在性与唯一性
k=1
b
a
xk (t )dt  
b 
a
 x (t )dt.
k 1
k
0
3 对矩阵序列也有类结果
设{ Ak }是n  n矩阵序列,其中Ak =(a(i k)j )nn ,如果对一切
i , j =1, 2,

, n, 数列{a(i k)j }都收敛,则称Ak 是收敛的.
设 Ak 是矩阵级数,如果其部分和所组成的矩阵序列
k 1

是收敛的,则称 Ak 是收敛的.

k 1
 Ak 是收敛 
k 1
存在性与唯一性

( k)
a
 i j 收敛,i,j=1,2, ,n.
k=1
如果对每一整数k,都有
Ak  M k ,


k 1
k 1
而 M k 收敛, 则 Ak 收敛.

同样可给出函数矩阵级数 Ak (t )一致收敛定义和有关结果.
k 1
存在性与唯一性
3 一阶线性微分方程组的向量表示
对一阶线性微分方程组:
x  a11 (t ) x1  a12 (t ) x2 
'
1

 x2'  a21 (t ) x1  a22 (t ) x2 


 x '  a (t ) x  a (t ) x 
n
n1
若记
1
n2
2
 a1n (t ) xn  f1 (t )
 a2 n (t ) xn  f 2 (t )
 ann (t ) xn  f n (t )
A(t )  (aij (t )) nn , x  ( x1 , x2 ,
f (t )  ( f1 (t ), f 2 (t ),
, f n (t ))T
则(5.1)可写成
dx
 A(t ) x  f (t ), (5.4)
dt
存在性与唯一性
, xn )T ,
(5.1)
(1)定义1 设A(t )是a  t  b上连续的n  n矩阵, f (t )是
a  t  b上连续的n维列向量函数, 方程组
x'  A(t ) x  f (t ), (5.4)
在  t   ([ ,  ]  [a, b])的解向量u (t ), 是指u (t )
在  t   上满足(5.4),即
u (t )  A(t )u(t )  f (t ),   t   .
'
(2)定义2
初值问题
u ' (t )  A(t )u (t )  f (t ), x(t0 )   , (5.5)
的解,就是方程组(5.4)在包含t0的区间[ ,  ]的解u (t ),
使得u(t0 )  .
存在性与唯一性
例1 验证向量
 et 
u (t )   t 
e 

是初值问题
0 1 
1
'
x 
x, x(0)   

1 0 
 1
在区间    t  上的解.
 e0   1 
u(0)   0    
 e   1
因为e- t 和  et 处处有连续导数, 我们得到
t
t
0 1 
0
1


e





e
u ' (t )   t   
 t   1 0 u (t ),

1
0


  e  
e


因此,u(t)是给定初值问题的解.
解: 显然
存在性与唯一性
4 n阶线性微分方程的初值问题与一阶线性微分方程
组的初值问题关系
对n阶线性微分方程的初值问题
(n)
( n 1)
x

a
(
t
)
x
  an (t ) x  f (t )
1

 x(t )   , x ' (t )   , , x ( n 1) (t )  
0
1
0
2
0
n

其中ai (t )(i  1, 2,
i (i  1, 2,
, n), f (t )在a  t  b上连续, t0  [a, b],
, n)为常数.
'
x

x
,
x2  x ,
若令: 1
存在性与唯一性
(5.6)
, xn  x ,
'
则有:
'
'
x

x

x
,
1
2

 x '  x ''  x ,
2
3


 '
( n 1)
x

x
 xn ,
 n 1
'
(n)
xn  x
 an (t ) x1  an 1 (t ) x2 
 a1 (t ) xn  f (t ),
而且:
x1 (t0 )  x(t0 )  1 , x2 (t0 )  x ' (t0 )  2 ,
即方程(5.6)可化为
存在性与唯一性
, xn (t0 )  x ( n 1) (t0 )  n
1
0
 0
 0
0
1

x'  


0
0
0


 an (t ) an 1 (t ) an  2 (t )





1 
 
x(t0 )   2   
 
 
 n 
存在性与唯一性
0 
 0 
 0 
0 


x




1 
 0 
 f (t ) 
a1 (t ) 
(5.7)
若 (t )是(5.6)在包含t0的区间a  t  b的任一解,则令
1 (t ) 
 (t ) 
2


 (t ) 




 n (t ) 
这里1 (t0 )   (t0 ), 2 (t0 )   (t0 ),
'
n (t0 )   ( n1) (t0 ), a  t  b.
则 (t )是(5.7)的解
 1 (t0 )    (t0 )  1 
 (t )    ' (t )   
显然:
2 0 
0
2




 (t0 ) 



  

 
  

  ( n 1)
(t0 )   n 
 n (t0 )  
存在性与唯一性
,
且:
 (t ) 


 (t ) 
'

 (t ) 


 ' 
 n (t ) 
'
1
'
2
 2 (t )




3 (t )






 n (t )


  a1 (t ) ( n 1)   an (t )  f (t ) 
1
0
 0
 0
0
1



0
0
 0
  an (t )  an 1 (t ) an  2 (t )
存在性与唯一性
0 
 0 
 0 
0 


  (t )  




1 
0


a1 (t ) 
 f (t ) 
反之,设u(t)=(u1(t), un(t))T是在包含t0的区间[a,b]
上(5.7)的解
定义函数(t)=u1(t),则 (t )是(5.6)的解,
事实上,由
0
1
0

 u (t )  
0
1

  0
u (t )   

 
0
0
 '   0
un (t )    a (t ) a (t ) a (t )
n 1
n2
 n
'
1
'
2
知
存在性与唯一性
 0 
0 
 u1 (t )  


0
0 
 

u
(
t
)

 2  
  0 

1 

 
u (t )
a1 (t )   n   f (t ) 
 (t )  u (t )  u2 (t ),
'
'
1
 '' (t )  u2' (t )  u3 (t ),

( n 1)
(t )  u (t )  un (t ),
'
n 1
 ( n ) (t )  un' (t )  an (t )u1 (t ) 
 an (t ) ( n 1) (t ) 
即
 (t )  an (t )
且
 (t0 )  u1 (t0 )  1 ,
(n)
( n 1)
(t ) 
 a1 (t )un (t )  f (t ),
 a1 (t ) (t )  f (t ),
 a1 (t ) (t )  f (t ),
,  ( n 1) (t0 )  un (t0 )  n
即初值问题(5.6)与(5.7)的解等价,即给出其中一个
初问题的解,可构造另一个初值问题的解.
存在性与唯一性
例2 将初值问题
x"  2 x'  8tx  et , x(0)  1, x ' (0)  4
化为与之等价的一阶微分方程组的初值问题.
解: 设 x1 (t )  x,
x2 (t )  x , 则有
'
x  x  2 x  8tx  e  8tx1  2 x2  e ,
'
x2 ,
 x1 
即有  '
t
 x2  8tx1  2 x2  e ,
'
2
''
'
'
t
 0 1   x1 (t )   0 

 

   et 

 x2 (t )  8t 2   x2 (t )   
 x1 (0)   1 

 
 x2 (0)   4
也即  x1 (t ) 
存在性与唯一性
t
注: 每一个n阶线性微分方程可化为n个一阶线性微
分方程构成方程组,反之却不成立.
如: 方程组
'
 x1 (t )  1 0   x1 (t ) 

 



 x2 (t )  0 1   x2 (t ) 
不能化为一个二阶微分方程.
存在性与唯一性
二、存在唯一性定理
1 存在唯一性定理
定理 1
假设 A(t ) 是 n  n 阶矩阵函数, f (t ) 是 n 维列向量.
它们都在区间 a  t  b 上连续的 则对任意 t0  [a, b] 及任
T

=
(

,

,
,

)
, ,初值问题
1
2
n
一 n 维常向量
 x '  A(t ) x  f (t )

 x(t0 )  
(5.5)
在区间 a  t  b 上存在唯一解 x =  (t) .
存在性与唯一性
2 存在唯一性定理的证明
证明共分五步完成
第一步
容易验证, 初值问题(5.1)定义于区间 a  t  b 的解，
等价于积分方程
t
x(t )     ( A( s)x( s)  f ( s))ds, a  t  b, (5.8)
t0
定义于区间 a  t  b 上的连续解.
命题 1 设  (t ) 初值问题(5.1)定义于区间 a  t  b 的
解，
则  (t ) 是积分方程（5.8）
定义于区间 a  t  b
上的连续解，反之亦然。
存在性与唯一性
第二步 构造 Picard 向量函数序列 {k (t )} ,
 0 (t )  

t
, (5.9)

k (t )     t0 ( A( s)k 1 ( s)  f ( s))ds, a  t  b
向量函数k (t )为(5.8)的第k次近解.
证明向量函数 k (t ) 在区间 [a, b] 上有定义且连续．
命题２ 对所有整数k,向量函数k (t )在a  t  b上有定义
且连续.
存在性与唯一性
第三步 证明向量函数序列 {k (t )} 在区间 a  t  b 上一
致收敛.
考虑向量函数项级数：

0 (t )  ( j (t )   j 1 (t )), a  t  b
j 1
|| 1 (t )  0 (t ) ||
由
A(t )  L, f (t )  K ;
a  t  b.
|| 2 (t )  1 (t ) ||


t
t0
|| A( s)0 ( s)  f ( s) || ds

t
t0
( L ||  ||  K ) ds
 M t  t0 ,


t
t
t0
M  L ||  ||  K
|| A( s) || || 1 ( s)  0 ( s) || ds
ML
2
 LM s  t0 ds 
t  t0 ,
t0
2!
存在性与唯一性
m 1
ML
m
|| m (t )  m1 (t ) ||
t  t0
m!
设
则
|| m1 (t )  m (t ) ||
MLm1

m!

t
t0
|| A( s) || || m ( s)  m1 ( s) || ds
m
ML
m
m1
|
s

t
|
ds

|
t

t
|
0
 t0 0
(m  1)!

MLm
而级数
(b  a)m1收敛
m1 (m  1)!
t

知0 (t )  ( j (t )   j 1 (t ))在a  t  b上上一致收敛.
j 1
命题 3 向量函数序列 {k (t )} 在区间 a  t  b 上一
致收敛.
存在性与唯一性
第四步
设
lim k (t )   (t ), a  t  b
k 
由序列 {k (t )} 的连续性和一致收敛性, 它的极限
函数  (t ) 也在区间 [a, b] 上连续，且
t
lim k (t )     lim( A( s)k 1 ( s)  f( s))ds
k 
t0 k 
即极限函数  (t ) 对所有的 a  t  b 整体都满足
积分方程.
命题 4  (t ) 是积分方程(5.8)定义于区间 a  t  b 上
的连续解.
存在性与唯一性
第五步 证明积分方程的连续解的唯一性.
设 (t ) 是积分方程的另一个连续解.
令g (t )   (t )  (t ) , 则g (t )在[a, b]上非负连续, 且有

g (t ) 


t
t0
t
t0
A(s)( (s)  (s))ds
A( s)  ( s)  ( s) ds  L
由Gronwall不等式, 可得

t
t0
g (s)ds ,
g (t )  0, t  [a, b]
故  (t )   (t ), t [a, b]
命题 5 设 (t ) 是积分方程(5.8)定义于区间 a  t  b 上
的另一连续解，则  (t )   (t ), a  t  b.
存在性与唯一性
３ n阶线性微分方程的解存在唯一性定理
推论 如果ai (t )(i  1, 2,
n)及f (t )都是区间a  t  b
的连续函数, 则对任一t  [a, b]及任意1 ,2 ,
x
(n)
 a1 (t ) x
( n 1)

,n , 方程
 an (t ) x  f (t )
存在唯一解x   (t ), 定义于区间a  t  b, 且满足
初始条件
 (t0 )  1 ,  ' (t0 )  2 ,
存在性与唯一性
,  ( n 1) (t0 )   n .
作业
• P184 1, 2(b), 3
存在性与唯一性