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复变函数论
主讲:王明华
第六章
留数理论及其应用
§1 、留数
§3、辅角原理及其应用
1、留数的定义及留数定理
1、对数留数
2、留数的求法
2、辅角原理
3、无穷远点的留数
3、儒歇定理
§2、用留数定理计算实积分
第六章
留数理论及其应用
§1 、留数
1、留数的定义及留数定理
定义1:函数
f z 以有限点 a
为孤立奇点,即 f z 在点
a 的某去心邻域
0 z a R 内解析,则称积分
1
f ( z )dz : z a , 0 R
2 i
为
f z 在点 a 的留数(residue),记作 Re
s f z
z a
s f z
注1:我们定义的留数 Re
与圆 的半径 无关:事实上,在
z a
0 | z a | R 内,f(z)有洛朗展式: f ( z )
上一致收敛。逐项积分,我们有
Re s f z c1
f ( z )dz
c ( z a)
n
c
n
n
n C
n
而且这一展式在
( z z0 )n dz 2 ic1 , 因此,
z a
注2:即 f(z)在孤立奇点a 的留数等于其洛朗级数展式中
1
的系数。
za
注3:可去奇点的留数为0。
定理1(柯西留数定理):f z 在周线或复周线 C 围成的区域
D
内,除
a1 , a2 ,..., an 外解析,在闭域 D D C 上除 a1 , a2 ,..., an 外连续,则
C
n
f ( z )dz 2 i Re s f z
k 1
z ak
2、留数的求法
1、用定义求 c1
2、用洛朗展式求c1
3、极点留数的求法
定理2:若 a 为 f z 的 n 级极点, z f z z a ,则 Re sfz
n
za
s f z z a f z
注:当 n 1 时,Re
z a
定理2:设 a 为 f z
'
z a
z
z
z
1
z 的 级极点(只要 及 在点
a 0, a 0, ' a 0)。则 Re s f z
z a
eiz
例1:求 z 2 z z 2 1 2
dz
1
z a
2
当 n 2 时,Re s f z z a f z
z a
a
n 1!
n
a
a
a
解析,且
sec z
例2:求
z 1 z 3 dz
例3:求
z sin z
z 1
1 e
z 3
dz
3、无穷远点的留数
定义2:若
为 f z 的孤立奇点,即 f z 在 r z
内解析,则称复积分
1
f ( z )dz : z , r 为 f z 在
2 i
s f z
的留数,记为 Re
z
s f z 等于 f z 在点
注4:Re
z
的洛朗级数展式中 1z
这一项系数反号。
定理3:如果 f z 在扩充复平面上只有有限个鼓励奇点(包括无穷远点在内),
设为
a1 , a2 ,..., an , ,则 f z 在各点的留数总和为零。
1 1
s f z Re s f 2
注5:Re
z
0
例4:求
z 4
z
z15
2
1 z 2
2
4
3
dz
§2、用留数定理计算实积分
2
1、计算 0 R cos ,sin d 型积分
z z 1
z z 1
dz
z
e
cos
,
sin
,
d
令
,则
2
2i
iz
i
则
2
0
z z 1 z z 1 dz
R cos ,sin d R
,
z 1
2i iz
2
可以看出,左端是实积分,右端为z的有理函数的周线积分,并且在积分路
径上无奇点,应用留数定理可求得其值。
2
例1:求I 0
sin 2
d
a b cos
a b 0
注1:若R cos ,sin 为偶函数,则
z z 1 z z 1 dz
1
i 1
0 R cos ,sin d 2 R cos ,sin d z e 2 z 1 R 2 , 2i iz
cos mx
dx m
例2:求 I 0
5 4 cos x
P x
dx 型积分
2、计算
Q x
P z c0 z m c1 z m1
定理4:设 f z
Q z b0 z n b1 z n1
cm
c0 0,b0 0,P z ,Q z 互质
cn
1)n m 2, 2)Q z 在实轴上不为0则
例3:求I 0
P x
dx 2 i Re s f z
z ak
Q x
Im ak 0
1
dx
x4 a4
例4:计算积分 I
a 0
x4
2 3x
2 4
dx
满足:
3、计算
P x imx
e dx 型积分
Q x
P z
g
z
P z ,Q z 互质多项式 ,且符合条件
定理5:设
Q z
1) Q z 的次数比 P z 的次数要高
2)Q z 在实轴上不为0
g x eimx dx 2 i
Re s g z eimx
z ak
Im ak 0
P x
cos mxdx,及
注:将上式分开实虚部,我们可以得到形如
Q x
3)m 0 则
的积分。
例5:计算积分 I
0
例6:计算积分 I
cos mx
dx
1 x2
0
m 0
x cos x
dx
x 2 2 x 10
P x
sin mxdx,
Q x
§3、辅角原理及其应用
1、对数留数
定义3:f
z
f ' z
1
的对数留数为: 2 i C f z dz 显然,函数
f ' z
奇点都可能是
的奇点。
f z
f z 的零点和
f ' z
引理1:1)若a为 f z 的 n 阶零点,则 a 必为函数
的一阶极点,并且
f z
f ' z
Re s
n
z a
f
z
f ' z
的一阶极点,并且
2)若 b 为 f z 的 m 阶极点,则 a 必为函数
f z
f ' z
Re s
m
z a
f
z
证明:如果若 a为 f z 的 阶零点,则在 a 的邻域内有 f z z a g z
f ' z
g' z
n
其中g z 在点 a 的邻域内解析,切 g a 0。于是
'
f z z a g z
g z
n 1
n
'
'
f z n z a g z z a g z 由于
在点 a 的邻域内解析,
g
z
f ' z
f ' z
故点 a 必为函数
的一阶极点,且 Re s
n
f z
z a
f z
n
n
定理6:设 C 是一条周线。f z 符合条件
1) f z 在 C 的内部是亚纯的;
2) f z 在 C 上解析且不为零;
则有
f ' z
1
dz N f , C P f , C
C
2 i
f z
N f , C , P f , C 分别表示f z 在 C 的内部的零点与极点个数,(几阶算几个)。
z i z 1 z 2 z 4
f
z
例7:设
3
z 2i z 2
4
2
4
3
f ' z
1
, C : z 3 ,求
dz
2 i C f z
2、辅角原理
f z 的对数留数的意义
f ' z
1
1
d
dz
ln f z dz
C
C
2 i
f z
2 i dz
1
d ln f z
2 i C
1
d ln f z i d arg f z
C
C
2 i
C arg f z
2
注:C arg f z 表示沿 C 一周,arg f z 的改变量。
C arg f z
2
C arg f z
N
f
,
C
上不为0,则
2
定理7(辅角原理):在定理6的条件下有 N f , C P f , C
注:若 f z 在 C 及内部解析,且在 C
例8:设 f z z i
4
z 1
2
z 2
4
z 4
3
C : z 3 验证辅角原理。
3、儒歇定理
定理8(儒歇定理):设 C 是一周线。设函数 f z 及 z 满足:
1)
他们在 C 的内部解析,且连续到 C
2)
在 C 上, f z z 则函数 f z 与 f z z 在C 的内部有
同样多的零点,即 N f , C N f , C
注:儒歇定理可用来判别方程在区域内根的个数,或判定零点的位置。
例9:若 p z a0 z a1z
m
at a0
n1
an a0 0 符合条件
at -1 at 1
则 p z 在单位圆
an
z 1
内 n t 个零点。
7
8
5
z
6 z 8 0 在 z 1 内无根 。
z
5
z
2
z
1
0
内有5个根
注:
在 z 1
例10:证明:z 7 z 3 12 0 的根全在 1
例11:如果
a e
z 2 内。
z
n
,求证方程 e az 在单位圆内有 n 个根
定理9:若函数 f z 在区域D 内单叶解析,则在D 内 f z 0
注:定理8的逆不成立,但有局部化的结果
定理10:若 w f z 在
z0
的某邻域内单叶解析。
解析且 f z0 0
w f z 在 z0