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复变函数论
主讲：王明华
第六章
留数理论及其应用
§1 、留数
§3、辅角原理及其应用
1、留数的定义及留数定理
1、对数留数
2、留数的求法
2、辅角原理
3、无穷远点的留数
3、儒歇定理
§2、用留数定理计算实积分
第六章
留数理论及其应用
§1 、留数
1、留数的定义及留数定理
定义1：函数
f  z  以有限点 a
为孤立奇点，即 f  z  在点
a 的某去心邻域
0  z  a  R 内解析，则称积分
1
f ( z )dz   : z  a   , 0    R 


2 i
为
f  z  在点 a 的留数(residue)，记作 Re
s f z
z a
s f z
注1：我们定义的留数 Re
与圆  的半径  无关：事实上，在
z a
0 | z  a | R 内，f(z)有洛朗展式： f ( z ) 
上一致收敛。逐项积分，我们有
Re s f  z   c1


f ( z )dz 


 c ( z  a)
n 
c 
n 
n
n C
n
而且这一展式在
( z  z0 )n dz  2 ic1 , 因此，
z a
注2：即 f(z)在孤立奇点a 的留数等于其洛朗级数展式中
1
的系数。
za
注3：可去奇点的留数为0。
定理1（柯西留数定理）：f  z  在周线或复周线 C 围成的区域
D
内，除
a1 , a2 ,..., an 外解析，在闭域 D  D  C 上除 a1 , a2 ,..., an 外连续，则

C
n
f ( z )dz  2 i  Re s f  z 
k 1
z  ak

2、留数的求法
1、用定义求 c1
2、用洛朗展式求c1
3、极点留数的求法
定理2：若 a 为 f  z  的 n 级极点，  z   f  z  z  a  ，则 Re sfz
n
za
s f  z    z  a  f  z 
注：当 n  1 时，Re
z a
定理2：设 a 为 f  z  
'
z a
  z
 z
 z
1
  z  的 级极点（只要   及   在点
  a   0,  a   0, '  a   0）。则 Re s f  z  
z a
eiz
例1：求  z 2 z z 2  1 2
 
dz
1
z a
2
当 n  2 时，Re s f  z    z  a  f  z 
z a
 
a 
 n  1!
 n
 a
 a
a
解析，且
sec z
例2：求
 z 1 z 3 dz
例3：求

z sin z
z 1
1  e 
z 3
dz
3、无穷远点的留数
定义2：若
为 f  z  的孤立奇点，即 f  z  在 r  z  
内解析，则称复积分
1
f ( z )dz   : z   , r    为 f  z  在



2 i

s f z
的留数，记为 Re
z 
s f  z  等于 f  z  在点
注4：Re
z 
 的洛朗级数展式中 1z
这一项系数反号。
定理3：如果 f  z  在扩充复平面上只有有限个鼓励奇点（包括无穷远点在内），
设为
a1 , a2 ,..., an ,  ，则 f  z 在各点的留数总和为零。
 1 1 
s f  z    Re s  f   2 
注5：Re
z 
 0
   
例4：求

z 4
z
z15
2
 1  z  2 
2
4
3
dz
§2、用留数定理计算实积分
2
1、计算 0 R  cos  ,sin  d 型积分
z  z 1
z  z 1
dz
z

e
cos


,
sin


,
d


令
，则
2
2i
iz
i
则

2
0
 z  z 1 z  z 1  dz
R  cos  ,sin  d   R 
,

z 1
2i  iz
 2
可以看出，左端是实积分，右端为z的有理函数的周线积分，并且在积分路
径上无奇点，应用留数定理可求得其值。
2
例1：求I  0
sin 2 
d
a  b cos 
 a  b  0
注1：若R  cos ,sin  为偶函数，则
 z  z 1 z  z 1  dz
1 
i 1
0 R  cos ,sin  d  2  R  cos ,sin  d z  e 2  z 1 R  2 , 2i  iz

cos mx
dx  m  
例2：求 I  0
5  4 cos x

P  x
dx 型积分
2、计算 
Q  x
P  z  c0 z m  c1 z m1 

定理4：设 f  z  
Q  z  b0 z n  b1 z n1 

 cm
 c0  0，b0  0，P  z ，Q  z  互质
 cn
1）n  m  2, 2）Q  z  在实轴上不为0则




例3：求I  0
P  x
dx  2 i  Re s f  z 
z ak
Q  x
Im ak 0
1
dx
x4  a4

例4：计算积分 I  
 a  0
x4
 2  3x 
2 4
dx
满足：

3、计算 
P  x  imx
e dx 型积分
Q  x
P z
g
z



 P  z ，Q  z  互质多项式 ，且符合条件
定理5：设
Q z
1） Q  z  的次数比 P  z  的次数要高
2）Q  z 在实轴上不为0


g  x eimx dx  2 i

Re s  g  z  eimx 

z  ak
Im ak  0
 P  x 
cos mxdx,及
注：将上式分开实虚部，我们可以得到形如 
Q  x
3）m  0 则
的积分。
例5：计算积分 I  

0
例6：计算积分 I  
cos mx
dx
1  x2

0
 m  0
x cos x
dx
x 2  2 x  10



P  x
sin mxdx,
Q  x
§3、辅角原理及其应用
1、对数留数
定义3：f
 z
f '  z
1
的对数留数为： 2 i C f z dz 显然，函数
 
f ' z
奇点都可能是
的奇点。
f z
f  z  的零点和
f ' z
引理1：1）若a为 f  z 的 n 阶零点，则 a 必为函数
的一阶极点，并且
f z
 f '  z
Re s 
n
z a
f
z




f ' z
的一阶极点，并且
2）若 b 为 f  z  的 m 阶极点，则 a 必为函数
f z
 f ' z
Re s 
  m
z a
f
z
  
证明：如果若 a为 f  z 的 阶零点，则在 a 的邻域内有 f  z    z  a  g  z 
f ' z
g'  z
n
其中g  z  在点 a 的邻域内解析，切 g  a   0。于是


'
f  z z  a g z
g z
n 1
n
'
'
f  z   n  z  a  g  z    z  a  g  z  由于
在点 a 的邻域内解析，
g
z


f ' z
 f '  z
故点 a 必为函数
的一阶极点，且 Re s 
n
f z
z a
 f  z 
n
n
定理6：设 C 是一条周线。f  z  符合条件
1） f  z  在 C 的内部是亚纯的；
2） f  z  在 C 上解析且不为零；
则有
f '  z
1
dz  N  f , C   P  f , C 

C
2 i
f  z
N  f , C  , P  f , C  分别表示f  z  在 C 的内部的零点与极点个数，（几阶算几个）。
 z  i   z  1  z  2   z  4 
f
z



例7：设
3
 z  2i   z  2 
4
2
4
3
f '  z
1
, C : z  3 ，求
dz
2 i C f  z 
2、辅角原理
f  z 的对数留数的意义
f '  z
1
1
d
dz

ln f  z   dz


C
C
2 i
f z
2 i dz
1
d ln f  z 
2 i C
1 

d ln f  z   i  d arg f  z  

C
C


2 i


C arg f  z 
2
注：C arg f  z  表示沿 C 一周，arg f  z 的改变量。
C arg f  z 
2
C arg f  z 
N
f
,
C


上不为0，则 
2
定理7（辅角原理）：在定理6的条件下有 N  f , C   P  f , C  
注：若 f  z  在 C 及内部解析，且在 C
例8：设 f  z    z  i 
4
 z  1
2
 z  2
4
 z  4
3
C : z  3 验证辅角原理。
3、儒歇定理
定理8（儒歇定理）：设 C 是一周线。设函数 f  z  及   z  满足：
1)
他们在 C 的内部解析，且连续到 C
2)
在 C 上， f  z     z  则函数 f  z  与 f  z     z  在C 的内部有
同样多的零点，即 N  f  , C   N  f , C 
注：儒歇定理可用来判别方程在区域内根的个数，或判定零点的位置。
例9：若 p  z   a0 z  a1z
m
at  a0 
n1

 an  a0  0 符合条件
 at -1  at 1 
则 p  z  在单位圆
an
z 1
内 n  t 个零点。
7
8
5
z
 6 z  8  0 在 z  1 内无根 。
z

5
z

2
z

1

0
内有5个根
注：
在 z 1
例10：证明：z 7  z 3  12  0 的根全在 1 
例11：如果
a e
z  2 内。
z
n
，求证方程 e  az 在单位圆内有 n 个根
定理9：若函数 f  z  在区域D 内单叶解析，则在D 内 f  z   0
注：定理8的逆不成立，但有局部化的结果
定理10：若 w  f  z  在
z0
的某邻域内单叶解析。
解析且 f  z0   0
w  f  z  在 z0