Transcript 第二章连续时间系统的时域分析

第二章 连续时间信号与系统的时域分析
本章要点
F
F
F
F
F
F
F
常用典型信号
连续时间信号的分解
连续时间系统的数学模型
连续时间系统的时域模拟
连续时间系统的响应
单位冲激响应
卷积
2.1常用典型信号
一．实指数信号
函数表示式为： f (t )  Aet
f(t)
f(t)
 0
 0
A
A
A
0
f(t)
t
0
t
图2.1实指数信号的波形
0
 0
t
二．复指数信号
函数表示式为:
由欧拉公式，可得
f (t )  Ae
t
f (t )  Ae [cos(0t )  j sin(0t )]
f(t)
f(t)
f(t)
 0
 0
-A
A
 0
A
A
0
(  j0 ) t
t
0
t
-A
图2.2 复指数信号实部和虚部的波形
0
t
-A
f (t )  Ae(  j0 )t
根据
1．当
、 0
  0  0
2．当 0  0
3．当
的不同取值，复指数信号可表示为下列几种特殊信号：
e
f (t )  A
为直流信号；
  0 时， f (t )  e t 为实指数信号；
0
 0
不难证明
而
时，
时， f
j0t 是周期为
(t )  e j0t
T 
2
0
称为正弦指数信号，
的周期信号。
三．抽样信号
Sa (t )
Sa
(t定义为
)
抽样信号
f (t )  S (t ) 
sin t
t
f(t)
1
4 3 2
 0 
图2.3 抽样信号
2
3 4
t
可以看出，（1）
Sa (t ) 为偶函数；
（2）当 t
（3）
Sa (信
t )号满足：
 
时，S
a
(t ) 的振幅衰减趋近于0；
f (k )  0 ，（k为整数）；


0

S (t )dt  2


S (t )dt  
2.1常用典型信号
奇异函数——是指函数本身或其导数（或积分）具有不连续
点的函数。
四、单位阶跃函数
unit step function
0 ( t  0 )
1 ( t  0 )
1.定义  ( t )  
此函数在t=0处不连续，函数值未定义。
 (t )
1
0
t
。
2.  (t ) 可代替电路中的开关，故又称为开关函数
2

U s  1V
S (t  0)

1
 (t)V
P

P

(a )
(b)
3.、 (t ) 给函数的表示带来方便
 (t  t 0 )
 (t  t0 )
1
1
t
0
 t0
t0
右移
0
左移
t
sin t
0
(a)
t0
t
 ( t )起始任一函数
sin  t (t  t0 )
(b)
0
t0
t
注意（b）与
（c）图的不同
s in(t  t 0) (t  t 0)
(c)
0
t0
t
五、单位脉冲函数 P (t )
1、定义
0( t  0 )
1

P ( t )  
(0  t   )


0( t   )
P (t )
面积为 1
1

0

t
2. P ( t )可用（t）来表示
1

0
P (t )
1
 (t )

1

t

=
+
0

t
1
 (t   )


0
故P ( t ) 
1

 ( t )   ( t   )
1


t
Sgn(t )
六、符号函数Sgn(t)
1
1 ( t  0 )
Sgn( t )  
 1 ( t  0 )
1.定义
0
t
1
2. Sgn( t )可用（t）来表示
Sgn(t )
1
0
t

1
故Sgn( t )  2 ( t )  1
2 (t )
0
t

1
0
t
R(t )
七、单位斜变函数R(t)
t ( t  0 )
1.定义 R( t )  
0 ( t  0 )
1
0
2.R( t )可用（t）来表示
t
R( t )    (  )d  t

t
t


R( t )    (  )d   0 d  0
dR ( t )
( t ) 
dt
t0
t0
1
t
八. 单位冲激函数（t） unit impulse function
(t ) 0
(t  0)


1、定义  
 ( t ) dt  1


 
 (t  t 0 )
 (t )
（1）
0
(K )
(1)
在t  0处奇异
t
K (t )
K称为冲激强度
0
t0
t
0
t
或
P (t )

（t） 0 ( t  0 )

（t）  ( t  0 )
 
 ( t )dt  1


1


0
t
或（t） lim P ( t )
 0
sin t
k

或（t） lim  Sa( kt )，其中Sa( t ) 
k  
t


k

1

 3
 2

0


k
2
3
t
2.  (t ) 的基本性质
(1)筛选性:设f(t)为一连续函数，则有



f ( t ) ( t )dt  f ( 0 )
 (t t
0
) f ( t )dt  f ( t 0 )

0

0
证明：  （t）f ( t )dt   f ( 0 ) ( t )dt  f ( 0 )
(2)  (t ) 是偶函数
 ( t )   ( t )
  ( t  t 0 )   ( t  t 0 )
(3)冲击函数 (t ) 的积分等于阶跃函数
(t)
t
 ( t )    (  )d

d ( t )
或  ( ) 
dt
 t  (  )d  1 t  0

证明：由 t
  (  )d  0 t  0
 
将这对式子与 ( t )的定义式比较，得

t

 (  )d   ( t )
 ( t )   ( t   ) d ( t )

 0

dt
反之， （t） lim P ( t )  lim
 0
1
( 4)、 (at)   ( t )
a
1 
1 
 (at)d (at)    ( )d





a 
a
证明：
  (at)dt   1 
1 
   (at )d (at )    ( )d
a 
 a 
1
故（at）  ( t )
a
a0
a0
九、冲击偶函数 ' ( t )
d ( t ) d 2 ( t )

1、定义  ' ( t ) 
dt
dt 2
1 

 
im d   (t  )   (t  ) 
 0

2
2 

或 ' (t ) 
dt
im
 0 1 

 
  (t  )   (t  )

2
2 
1

1
( )



2
0
 ' (t )
t 从负  0

2
1
( )

矩形脉冲的导数
(1)
t
t
0
t 从正  0
2、 ' (t )的基本性质
①.  '  (t  t0 )   ' (t  t0 )
②.




奇函数
f (t ) ' (t  t 0 )dt   f ' (t0 )
③.

④.
f (t ) ' (t )  f (0) ' (t )  f ' (0) (t )

 ' ( t)dt  0
引入广义函数后，瞬息物理现象则可由奇异函数来描述，
例如：
K (t  0)

Uc
1V
_

ic
_
C  1F
U c ( 0  )  0V  U c ( 0  )  1V
q(0  )  CU c (0  )  1C
0
0
0_
0_
q(0  )   ic ( )d    ( t )dt  1库仑
2.2 连续时间信号的分解
time domain decompose of signal
分解——将时间函数用若干个奇异函数之和来表示。
例1.有始周期锯齿波的分解
f (t )
f (t )  0, t  0
A
0
T
2T
3T
t
f1 (t )  f 2 (t )
f1 (t )
A (t  T )
f 2 (t )
A
A
T
0
A

2T
t
0
T
t

0
 A
f1(t )  f 2 (t ) 
f (t ) 
故

A
T
A
T
A
T
t
T
 A (t  T )
R(t )  A (t  T )
R(t )  A (t  T )  A (t  2T )  .........


R(t )  A
n 1
(t  nT )
F
例2.任意函数表示为阶跃函数的积分
F动画演示
f (t )
f a (t )
f (0)
0
考虑0  t时间段的函数 f ( t )
将间隔分成宽度为t 的几等分。
t 2t (k  1)t k t
t
f (t )  f (t )  f (0) (t )  [ f (t )  f (0)] (t  t )  .....
 [ f (kt )  f (kt  t )] (t  kt )  .....
n
f ( t )  f ( t )  f (0) ( t )   f k  ( t  kt )
k 1
f k  f ( kt )  f ( kt  t )  [
[
f ( kt )  f ( kt  t )
]  t
t
f ( t )
]t  kt  t
t
f ( t )
f a ( t )  f (0) ( t )   [
]t kt  t ( t  kt )
t
k 1
n
t
lim f ( t )  f ( t )  f (0) ( t )   f ( ) ( t   )d
t 0
0
F 例3.任意函数表示为冲激函数的积分.
f (t )
F动画演示
f a (t )
f a (t )
f (0)
0
t
(k  1)t k t
t
0
t
k t t
f ( t )  f ( t )  f (0) Pt ( t )  t  f ( t )  tPt ( t  t )  ....
 f ( kt )  tPt ( t  kt )  ......
n
  f ( kt )  tPt ( t  kt )
k 0
t
lim f (t )  f (t )   f ( ) (t   )d  f (t )   (t )
t 0
0
2.3 连续时间系统的数学模型
一、线性时不变系统的分析方法
第一步：建立数学模型
第二步：运用数学工具去处理
第三步：对所得的数学解给出物理解释，赋予物理意义。
例一：对图示电路列写电流 i1 ( t )、i2 ( t )和电压U0 ( t )
的微分方程。
C
C
M

e(t )

i1 (t )
R
L

L
i2 (t )
R U 0 (t )

C
C
M

e(t )
i1 (t )

R
L

L
i2 (t )
R U 0 (t )

解：由两类约束关系，分别列两回路方程得：
回路1的KVL方程：
1
C
di1 ( t )
di 2 ( t )
 i1 (  )d  L dt  M dt  Ri1 ( t )  e( t )
t
回路2的KVL方程：
1 t
di 2 ( t )
di1 ( t )
i2 (  )d  L
M
 Ri 2 ( t )  0



c
dt
dt
电阻R的伏安关系：
整理后得：
U（
 Ri2 ( t )
0 t）
4
3
2
d
i
(
t
)
d
i
(
t
)
2
L
d
i ( t ) 2 R di1 ( t ) 1
（L2  M 2） 1 4  2 RL 1 3  ( R 2 
) 12 
 2 i1 ( t )
dt
dt
C
dt
C dt
C
d 4 e( t )
d 3e ( t ) 1 d 2 e ( t )
L
R

4
3
dt
dt
C dt 2
4
3
2
d
i
(
t
)
d
i
(
t
)
2
L
d
i ( t ) 2 R di2 ( t ) 1
（L2  M 2） 2 4  2 RL 2 3  ( R 2 
) 22 
 2 i2 ( t )
dt
dt
C
dt
C dt
C
d 3e ( t )
M
dt 3
4
d 3U 0
2 L d 2U 0 2 R dU0 1
2
2 d U0
2
（L  M ） 4  2 RL 3  ( R 
) 2 
 2 U0
dt
dt
C dt
C dt C
d 3e ( t )
 RM
dt 3
例2. 对图示电路，写出激励e(t)和响应r(t)间的微分方程。
i (t )
L


e(t )
C2

R
r (t )

解：由图列方程
KVL:
L
di ( t )
 r ( t )  e( t )...........(1 )
dt
dr ( t ) r ( t )

 i ( t )...........( 2 )
KCL: C 2
dt
R
将（2）式两边微分，得
d 2 r ( t ) 1 dr( t ) di( t )
C2


...........( 3 )
2
dt
R dt
dt
将（3）代入（1）得
d 2 r ( t ) L dr( t )
LC2

 r ( t )  e( t )
2
dt
R dt
*由以上例题可以得出如下结论：
1.求得的微分方程阶数与电路的阶数一致。
例一：含有4个储能元件，故为四阶电路。
例二：含有2个储能元件，故为二阶电路。
2.无论是电流i(t)或电压U（t）,他们的齐次方程相同。
说明同一系统的特征根相同，即自由频率是唯一的。
二、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。
一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系，
总可以用下列形式的微分方程来描述：
d nr
d n1r
dr
 an1 n1  .... a1  a0 r
n
dt
dt
dt
d me
d m 1e
de
 bm m  bm 1 m 1  ... b1  b0 e
dt
dt
dt
n阶常系数微分方程
三、n阶常系数微分方程的求解法
the solution method for
constant-coefficient difference equation of Nth-order
微分方程求解
变换域法
（第五章拉普拉斯变换法）
时域分析法
（经典法）
全响应=
全响应=
齐次方程通解 + 非齐次方程特解
零输入响应
（自由响应）
（解齐次方程） （叠加积分法）
（受迫响应）
+
零状态响应
2.4 连续时间系统的时域模拟
一、何谓系统的模拟
利用线性微分方程基本运算单元给出系统方框图
的方法称为系统模拟(或仿真)。
为什么要模拟？
①建立数学模型（微分方程或差分方程）的系统分析方法,
在实际中只依赖这种方法是不行的，研究过程十分繁琐或不
得要领。
②解决上述矛盾的方法之一：即利用基本的方框图组合建立
系统模型。
系统的模拟是将系统分解为若干基本单元，如果熟知各单元性能，
将它们组合构成复杂系统时，分析过程将得以简化。
这种方法容易理解性能特征的实质，系统分解与互联的研究方法也
有助于从系统分析过渡到系统设计（综合）。
二、线性系统的模拟方法
1、模拟图用基本单元
①加法器:
x1( t )
X 1( s )

x 2(t )
X 2( s )
y (t )
Y (s)
y (t )  x1(t )  x 2(t )
Y ( s )  X 1( s)  X 2( s)
②标量乘法器:
x (t )
X (s)
y (t )  ax(t )
Y ( s)  aX ( s)
y (t )
Y (s)
a
③乘法器：
x1( t )
X 1( s )
x 2(t )
X 2( s )
4
延时器：
x (t )


y (t )
Y (s)
y (t )
y (t )  x1(t ) x 2(t )
Y ( s )  X 1( s) X 2( s)
y(t )  x(t   )
5 初始条件为零的积分器

x(t )
y(t )
X (s )
1
s
Y (s)
1
X ( s)
s
复频域形式
Y ( s) 
t
y (t )   x( )d
0
时域形式
初始条件不为零的积分器
y (0)
s
y (0)
x(t )


t
y(t )  y(0)   x( )d
0
y(t )
X (s )
1
s
Y ( s) 

y (0) X ( s )

s
s
Y (s)
2、一阶微分方程的模拟
y'a0 y  x
x

y'
y'  x  a0 y

y
 a0
X (s )

sY (s)
 a0
以上模拟图都未计初始条件，故是零状态响应
1
s
Y (s)
3、二阶系统的模拟
y' 'a 1 y'a 0 y  x
x(t )

y' '
y' '  x  a1 y'a0 y
y'


y
 a1
 a0
由一、二阶系统的模拟可以推出n阶系统的模拟
规则P30页
4、含有x导数的二阶系统的模拟
y  a1 y  a0 y  b1x  b0 x
引入一辅助函数q, 使q满足方程（1） q  a1q  a0q  x (1)
则y满足（2）式 y  b1q  b0q
将(1)、
(2)代入原
X
q


q
方程即可证明
b1

q
b0

 a1
 a0
以上讨论的框图是直接根据系统的微分方程或
系统函数作出的，一般称为直接模拟框图。
y
2.5 连续时间系统的响应
the time domain solution for linear system response
描述LTI连续系统激励与响应关系的数学模型是n阶线性
常系数微分方程。
r ( t )  an1r
( n)
( n 1)
( t )  ...  a1r ( t )  a0 r ( t )
(1)
 bm e ( m ) ( t )  bm 1e ( m 1) ( t )  ...  b1e( t )
上式缩写为：
n
m
( j)
a
r
(
t
)

b
e
 i
 j (t )
(i )
i 0
j 0
an  1
系统的特征方程为
p n  an 1 p n 1      a1 p  a0
 ( p  1 )( p  2 )    ( p  n )  0
值为特征方程的根。
系统的特征方程为
p n  an 1 p n 1      a1 p  a0
 ( p  1 )( p  2 )    ( p  n )  0
值为特征方程的根。
令
rh (t ) — —齐次解 自由响应
rp (t ) — —特解  受迫响应
r (t )  全响应
r (t )  rh (t )  rp (t )
一、齐次解rn (t )
系统的特征方程为
p n  an 1 p n 1      a1 p  a0
 ( p  1 )( p  2 )    ( p  n )  0
值为特征方程的根。
设齐次方程的特征根均为单实根i (i  1,2...n)
n
rh (t )   ci e i t
i 1
n
rn ( t )   ci e i t
i 1
式中常数 Ci 由初始条件确定。
表2.1不同特征根所对应的齐次解
特征根
齐次解rh (t )
单实根
Ce t
m重实根
Cm 1t m 1e t  Cm  2t m 2 e t      C1t e t  C0 e t
一对共轭复根
t
e
C cos(t )  D sin(t )
12＝＋ j


例1：描述某系统的输入输出方程为r ' (t )  2r (t )  e(t )
已知e(t )  0, r (0 )  2，求系统的响应 r (t )。
初始状态：系统在t  0  时的状态（设激励在t  0 时接入）
初始条件：系统在t  0  时的状态
求系统的响应 r ' (t )  2r (t )  0
p  2  0  p  2
r (t )  Ce  2t
t0
将r ( 0＋ )  r ( 0  )  2代入上式得C  2
故r ( t )  2e  2 t t  0
例2：描述某系统的微分方程为r" ( t )  4r' ( t )  4r ( t )  2e' ( t )
 e( t ). 已知r ( 0 )  2，r' ( 0 )  2 ,求系统的零输入响应。
解：由于激励为零，故r ' (0 )  r ' (0 )  2, r (0 )  r (0 )  2
特征根为1、2 , 2  4  4  0, 得 1、2＝－2
零输入响应
r (t )  C1te 2t  C0e 2t
t0
将初始条件代入上式得C 0  2 , C1  2
r ( t )  2( 1  t )e  2 t
二、特解rp (t )
特解是满足微分方程并和激励信号形式有关的解。表2.2列出了几种激励及其所对应特解的形式。
激励 e(t )
特解
A
e
t
t
Ate

A
e
1
0
Amt m  Am1t m1 
cost 或 sin t
A（待定常数）
e t
Ak t k et  Ak 1t k 1et 
tm
备注
A
B（常数）
t
rp (t )
t k ( Amt m  Am1t m1 
t
 Ate
 A0et
1

 At
1  A0
 At
1  A0 )
A1 cos t  A2 sin t

不等于特征根

等于特征单根
等于
k
重特征根
所有特征根均不等于零
有
k
重等于零的特征根
所有特征根均不等于
 j
例描述某系统的微分方程为
1. y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求（1）当f(t) = 2e-t，t≥0；y(0)=2，y’(0)= －1时的全解；
（2）当f(t) = e-2t，t≥0；y(0)= 1，y’(0)=0时的全解。
解:
(1) 特征方程为λ2 + 5λ+ 6 = 0 ,其特征根λ1= – 2，λ2= – 3。
齐次解为y h(t)
= C1e – 2t + C2e – 3t
由表2.2可知，当f(t) = 2e
– t时，其特解可设为
Y P(t) = Pe – t
将其代入微分方程得
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t
解得 P=1
于是特解为yp(t) = e – t
全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e
– 2t
+ C2e – 3t + e – t
其中待定常数C1,C2由初始条件确定。
y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
解得C1 = 3 ，C2 = – 2
最后得全解y(t) = 3e – 2t – 2e– 3t + e – t , t≥0
（2）齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时，其指数与特征根之一相重。
由表2.2知：其特解为
yp(t) = (P1t + P0)e–2t
代入微分方程可得 P1e-2t = e–2t ,
所以P1= 1 但P0不能求得。
全解为 y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t
= (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t
将初始条件代入，得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，
y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1 最后得微分方程的全解为
y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0
上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分C1和P0，因而也不能区
分自由响应和强迫响应。
三．零输入响应和零状态响应
n
m
( j)
a
r
(
t
)

b
e
 i
 j (t )
(i )
i 0
an  1
j 0
r (t )  rh (t )  rp (t )
设齐次方程的特征根均为单实根i (i  1,2...n)
rh (t ) 
n
i t
c
e
 i
i 1
n
r ( t )   c i e i t  r p ( t )
i 1
自由响应
n
  c xi e
i t
i 1
强迫响应
n
  c fi e
i 1
rzi (t ) 零输入响应
式中
i t
 rp (t )
rzs (t )零状态响应
n
n
n
i 1
i 1
i 1
i t
i t
i t
c
e

c
e

c
e
i
 xi
 fi
自由响应
零输入响应
零状态响应
的齐次解
两种分解方式的区别：
1、
自由响应与零输入响应的系数各不相同
ci
与
c xi
不相同
c i 由初始状态和激励共同确定
c xi 由初始状态确定
t 
2、
自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
t  时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指 t 
时，响应不为零的那部分响应分量。
2.6 单位冲激响应
step response and impulse response
冲击响应h( t )
LTI 系统的零状态响应 叠加积分  
阶跃响应g( t )
r ( t )  e( t )  h( t )
t
r ( t )   e' ( )g( t   )d
0
一.冲激响应
1.定义：当激励为单位冲激函数 (t ) 时，系统的零状态响
应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。
h(t )
 (t )
 (t )
(1)
0
t
h(t )
LTI
零状态
0
t
2. h(t)的求解方法
例1.描述某系统的微分方程为: r (t )  3r (t )  2r (t )  e(t )
试求该系统的冲激响应h(t)。
解：由冲激响应的定义，当e(t)=  (t ) 时， rZS (t )  h( t )
h( t )  3h( t )  2h( t )   ( t ) ........................(1)
得
h(0 )  h(0 )  0
 t  0时， ( t )  0, 上式可化为
h( t )  3h( t )  2h( t )  0
t  0 ......................(2)
特征根为 1＝－1，2＝－2
故 h(t )  (C1e t  C2 e 2t )  (t ) ...................(3)
由方程（1）等号两边奇异函数要平衡，确定初始条件h(0  )和h(0  )
h(t )  3h(t )  2h(t )   (t ) ...............(1)
h(t )含 (t )项  h(t )   h(t )dt,  h(t )含 (t )项, 即h(0  )  h(0－ )
 h(t )   h(t )dt为连续函数t ,即h(0  )＝h(0－ )＝0
对(1)式两边从0  到0  逐项积分，得
h' (0 )  h' (0 )  3h(0 )  h(0 )  20 h(t )dt  1
0
0
其中h(0  )  h(0  )  0，  h( t )dt  0
0
故h' (0  )  h' (0  )  1, 即h' (0  )  1
将初始条件h' (0  )  1，h(0  )  0代入(3)式得
h(0  )  C1  C 2  0
 C1  1

h' (0  )  C1  2C 2  1  C 2  1
故h( t )  (e t  e  2 t ) ( t )
(1) 0  初始值确定
若 r ( n ) ( t )  a n 1r ( n1) ( t )  ...  a0 r ( t )  e( t )
当e( t )   ( t )时，h( t )满足方程
h( n ) ( t )  an1h( n1) ( t )  ...  a0 h( t )   ( t )
j)
h( （
0－） 0
j  0,1,2,...,n  1


(1  1)


由系数平衡法，可推得各0 初始值为
j  0,1,2,...,n  2 

(1  2)
n 1

h (0  )  1

( 2) LT I系统的冲激响应求解步骤
h( j ) ( 0  )  0
r ( n ) ( t )  a n1r ( n 1) ( t )  ...  a0 r ( t )  bm e m ( t )  bm 1e ( m 1) ( t )  ...
 b0 e( t ) ....................(1  3)
a . 选取新变量h1 ( t ), h1 ( t )满足方程
h1 ( t )  a n1h1( n1) ( t )  ...  a0 h1 ( t )   ( t )
(n)
h1 ( t )求解过程与（1  1）式相同.
b. 根据线性时不变系统零状态响应的线性性质和
微分特性，即可求得式(1  3)系统的冲激响应为
h( t )  bm h1( m ) ( t )  bm 1h1( m 1) ( t )  ...  b0 h1 ( t )
例2.描述某系统的微分方程为
r" (t )  5r ' (t )  4r ( t )  2e( t )  e' (t )
试求该系统的冲激响应h(t)。
解： (1)选求满足下式的冲击响应h1(t )
h1" ( t )  5h1' ( t )  4h1 (t )   (t )
化为零输入响应，设t  0时
h 1" ( t )  5h 1' ( t )  4h1 ( t )  0
h 1' (0  )  1
h 1(0  )  0





特征根为 1 1， 2  4
故冲击响应h1 ( t )  (C1e  t  C 2 e  2 t ) ( t )
将h 1(0  )  0, h 1' (0  )  1代入上式得
h 1(0 )  C1  C 2  0

1
1
  C1  ，C 2  
h 1' (0 )  C1  4C 2  1 
3
3
1 t 1  4 t
故冲击响应h 1(t )为h 1(t )  ( e  e ) (t )
3
3
1 t 4  4 t
1 t 1  4 t
h 1' (t )  ( e  e ) (t )  ( e  e ) (t )
3
3
3
3
1 t 4  4 t
 ( e  e ) (t )
3
3
( 2)再求满足系统方程的h( t )
1 t 2 4t
h( t )  2h 1( t )  h 1' ( t )  ( e  e ) ( t )
3
3
 1.化为零输入响应(难点h(0 )的确定)

dg( t )
d ( t )

h( t )的求法 2.h( t ) 
( ( t ) 
)
dt
dt

 3.h( t )  L1[ H ( s )]
二、阶跃响应
1.定义
g (t )
 (t )
1
 (t )
0
t
g (t )
LTI
零状态
0
t
2.g(t)的求解方法
g ( n ) ( t )  an1 g ( n1) ( t )  ...  a0 g( t )   ( t ) 
 ( 2  1)
( j)

g (0 )  0, j  0,1,2...,n  1
由方程两边奇异函数要平衡，得g ( j ) (0 )  g ( j ) (0 )  0
j  0,1,2,...,n  1
若该方程的特征根均为单根，则
n
g( t )  (  C i e
i t
i 1
齐次解
另外： g (t ) 

t

1
 ) ( t )
a0
特解
t
h( )d [  (t )   ( )d ]

例3.描述某系统的微分方程为
r" (t )  6r ' (t )  8r (t )  e(t ), 试求该系统的阶跃响应
解：g ( t )满足方程为
g" ( t )  6 g' ( t )  8 g ( t )   ( t )
g' ( 0  )  0
g(0  )  0





特征根为 1 2， 2  4，
故g( t )  (C1e
2 t
 C 2e
4 t
1
 ) ( t )
8
由0 初 始 值 代 入 上 式 得

g (0  )  C1  C2   0 
1
1
8
  C1   , C2 
8
4

g ' (0  )  2C1  4C2  0 
1
于 是 得g (t )  (
2.15(2), (3)
作业：
1
4
e
 2t

1
8
e
 4t

1
8
) (t )
例4：系统的微分方程为r" (t )  4r ' (t )  3r (t )  2e' (t )  e(t )
已知r (0)  2, r ' (0)  1, e(t )  e2t  (t ), 求全响应r (t ).
解 : (1)r (t )  rn(t )  rp (t )
特征根1  1，  2  3
 rn(t )  c1e t  c 2e 3t
由e(t )  e  2t  (t ), 得e' (t )  2e 2t  (t )  e  2t (t )
2e' (t )  e(t )  2e  2t (t )  3e  2t  (t )
 2 (t )  3e 2t  (t )
t  0时, 系统方程为：
r" (t )  4r ' (t )  3r (t )  3e  2t  (t )
(1)
设特解 rp (t )  pe 2t
rp ' (t )  2 pe 2t , rp ' ' (t )  4 pe 2t
将rp，rp '，rp ' ' 代入（1）式，可得rp (t )  3e  2t
 r (t )  c1e t  c 2e 3t  3e  2t
(2) r (0 ), r ' (0 )的确定
r" (t )  4r ' (t )  3r (t )  2 (t )  3e  2t
0＋
0＋
0＋
0＋
0＋
0－
0－
0－
0－
0－
将方程两边积分 r" (t )dt   4r ' (t )dt   3r (t )dt   2 (t )dt   3e  2t (t )dt
[r ' (0 )  r ' (0)]  4[r (0 )  r (0)]  2
r (0  )  r (0  )  2 , r ' (0  )  3
将r (0 )  2, r ' (0 )  3
代入r (t )  c1e t  c 2e 3t  3e 2t
c1  c 2  3  2 
得
 c1  3, c 2  4
 c1  3c 2  6  3
故r (t )  3e t  4e 3t  3e  2t
t 0
2.7
卷 积
一、杜阿美尔积分
e(t )
ea (t )
e(0)
0
t
k t kt  t
t
 e( t ) 
ea ( t )  e(0) ( t )   
 t ( t  kt )  信号分解

k 1  t  t  kt
n
t
e( t )  limea ( t )  e(0)   e' ( ) ( t   )d
0
t 0
t
  e' ( ) ( t   )d
0
设输入为ea ( t )时，零状态响应为ra ( t )
输入为 ( t )时， 零状态响应为g( t )
由线性定常系统的叠加原理得
 e( t ) 
ra ( t )  e(0) g( t )   
 tg( t  kt )

k 1  t  t  kt
n
则当输入为e( t )时，零状态响应r ( t )为
t
r ( t )  limra ( t )  e(0) g( t )   e' ( )g( t   )d
0
t 0
t
  e' ( )g( t   )d  称为杜阿美尔积分
0
二、卷积积分
e(t )
eb (t )
e(0)
0
t
k t (k  1)t
t
n
eb ( t )   e( kt )  t  Pt ( t  kt )
k 0
 (t )
Pt
1
t
t  0
0
(1)
t
t
 (t )  lim Pt (t )
t 0
0
n
e( t )  limeb ( t )  lim e( kt )tPt ( t  kt )
t 0
t 0
n
k 0
 lim e( kt )t ( t  kt )   e( ) ( t   )d
t 0
k 0
t
0
t
设 输 入 为 (t )时 ， 零 状 态 响 应 为
h(t )
输 入 为eb (t )时 ， 零 状 态 响 应 为
rb (t )
由叠加原理，得
n
rb (t ) 

e(kt )t  h (t  kt )
k 0
则当输入为e( t )时，零状态响应r ( t )为
t
r ( t )  limrb ( t )   e( )h( t   )d  卷积积分
t 0
0
卷积积分常简记为r ( t )  e( t )  h( t )
2.8 卷积及其性质
integral and the property
1.定义：
对于任意两个信号f1 ( t )和f 2 ( t ),两者做卷积运算定义为
f (t )  


f1 ( ) f 2 ( t   )d
简记为f ( t )  f1 ( t )  f 2 ( t )  f1 ( t )  f 2 ( t )
在因果系统中，系统的零状态响应
t

0

r ( t )   e( )h( t   )d  e( )h( t   )d e( t )  h( t )
 t  0时，h( t )  0, t    0, 即  t时, h( t   )  0
故积分上限可改为
t , 有r (t ) 

t
e( )h(t   )d

又激励是在
t  0时 接 入 系 统 ， 即
t  0时 ，e(t )  0
积 分 下 限 可 改 为
0
2.卷积的图示
f 2 (t )
f1 (t )
1
0 .5
0
1
t
0
1
t
求f1 ( t )  f 2 ( t )的步骤：
第一步：将函数f1 ( t ), f 2 ( t )的自变量用代换，并将
f 2 ( )反转得f 2 (  ).
f1 ( )
f 2 ( )
f 2 ( )
1
0 .5
0 .5
0 1

0
1

1
0

第二步：将函数f 2 ()沿正轴平移时间t，得f 2 (t  )
f1 ( )
f1 ( )
1
f 2 (t   )
t
0 .5

0
t 1
t  0(左移)
0
0 .5
t
0  t  1(右移)
f1 ( )
1
f 2 (t   )
0
f 2 (t   )
f 2 (t   )
0.5
t 1
1
1 t 1
t2
2
t

1

0
t 1 1
t
2
1  t  2 (右移)

第三步：两信号重叠部分相乘，求相乘后图形的积分

t  0, f1 ( )  f 2 (t   )  0, f (t )   f1 ( )  f 2 (t   )d  0

两图形分离，其乘积等于零
t
0  t  1, f1 ( )  f 2 (t   )  1 0.5, f (t )   1 0.5d  0.5t
0
1
1  t  2, f1 ( )  f 2 (t   )  1 0.5, f (t )   1 0.5d  0.5(2  t )
t 1
t  2, f1 ( )与f 2 (t   )完全分离，f (t )  0
以上计算结果归纳为
下页动画演示卷积
f (t )
0 .5
0
1
2
t
卷积动画
3.卷积的性质
f ( t )  f 2 ( t )  f 2 ( t )  f1 ( t )
(1)交换律： 1
(2)分配律： f1 ( t )  [ f 2 ( t )  f 3 ( t )]  f1 ( t )  f 2 ( t )  f1 ( t )  f 3 ( t )
(3)结合律： [ f1 ( t )  f 2 ( t )] f 3 ( t )  f1 ( t )  [ f 2 ( t )  f 3 ( t )]
例一、计算f1 (t )  f 2 (t ).
f1 (t )
f 2 (t )
2
1
0
1
t
f1 (t )  2[ (t )   (t 1)]
e t  (t )
0
f 2 (t )  e  t  (t )
t
t
方法一：f (t )  f1 (t )  f 2 (t )   2[ ( )   (  1]e ( t  ) (t   )d
0
f1 ( )
f1 ( )
2
2
f 2 ( )
f1 ( )
2
1
1
1
f 2 (t   )

1
0
0
t
1

0
t
0  t  1, f ( t )   2  e ( t  ) d  2(1  e  t ) ( t )
0
1
t  1, f ( t )   2  e ( t  ) d  2(e ( t 1)  e  t ) ( t  1)
0
故 f ( t )  2(1  e  t )[ ( t )   ( t  1)]  2(e ( t 1)  e  t ) ( t  1)
f 2 (t   )
1
t 
t
方法二：f ( t )  f1 ( t )  f 2 ( t )   2[ ( )  (  1)]e ( t  ) ( t   )d
0
t
  2e
( t  )
t
( t  )
 ( ) ( t   )d   2e ( t  ) (  1) ( t   )d
0
  2e
t
0
0
t
d   2e ( t  ) (  1)d
0
1
f ( t )  2(1  e ) ( t )  2 e
t
0
t
 (  1)d  2 e ( t  ) (  1)d
( t  )
1
 2(1  e  t ) ( t )  2[e ( t 1)  1] ( t  1)
 2(1  e  t )[ ( t )   ( t  1)]  2[e ( t 1)  e  t ] ( t  1)
方法三、由卷积的交换律
t
f ( t )  f 2 ( t )  f1 ( t )   e   ( )  2[ ( t   )   ( t  1   )]d
0
t
t
  2e  ( t   )d  2 e   ( t    1)d

0
0
t
t 1
t
 2 e d  2 e d  2 e   ( t    1)d

0
0

t 1
 2(1  e  t ) ( t )  2[e ( t 1)  1] ( t  1)
由t    1  0
得  t  1
4.卷积的微分性质
d
df ( t ) df ( t )
[ f1 ( t )  f 2 ( t )]  f1 ( t )  2  1  f 2 ( t )
dt
dt
dt
5.卷积的积分性质

t

[ f1 ( )  f 2 ( )]d  f1 ( )  
t

t
f 2 ( )d   f1 ( )d  f 2 ( )
6.由4.5两性质可得
df1 ( t ) t
f ( t )  f1 ( t )  f 2 ( t ) 
  f 2 (  )d

dt

7.函数与冲激函数的卷积
f (t )  f (t )   (t )  





f ( ) ( t   )d
f ( ) (  t )d  f ( t )
f (t )   (t  t0 )  f (t  t0 )
f (t )   ' (t )  f ' (t )
f ( t  t1 )   ( t  t 2 )  f ( t  t1  t 2 )
8.函数延时后的卷积
若f (t )  f1 (t )  f 2 (t )
则f1 (t  t1 )  f 2 (t  t 2 )  f (t  t1  t 2 )
 (t   )   (  t )  偶函数
9.函数与阶跃函数的卷积
(性质6)
f ( t )   ( t )  [ 
t


t

t
d ( t )
f ( )d ] 
 [  f ( )d ]   ( t )

dt
f ( )d
10.相关与卷积
相关运算定义

Rxy ( t )   x( ) y(  t )d


R yx ( t )   y( )x(  t )d

Rxy — —称为x( t )与y( t )的互相关函数
R yx — —称为y( t )与x( t )的互相关函数
(1  1)
若作    t的变量置换，可得

Rxy ( t )   x(  t ) y( )d


R yx ( t )   y(  t )x( )d

对照(1  1), (1  2)两式可得Rxy ( t )  R yx ( t )

Rxx ( t )   x( )x(  t )d  Rxx ( t )

Rxx ( t ) — —称为自相关函数
Rxy ( t )  x( t )  y( t )
R yx ( t )  x( t )  y( t )
例2、 已知：f1 (t )与f 2 (t )的波形图如图(a )所示，求
y(t )  f1 (t )  f 2 (t )   ' (t )，并画波形。
f 2 (t )   (t  1)   (t 1)
f 2 ' (t )
f1 (t )
1
(1)
1
1
1
1
0
1
1 0
1
1 0
 (1)
解：
由微分性
y (t )  f1 (t )  f 2 (t )   ' (t )  [ f1 (t )  f 2 (t )]'  (t )
f (t )  f (t )   (t )
 [ f1 (t )  f 2 (t )]'  f1 ' (t )  f 2 (t )
 f1 (t )  f 2 ' (t )
 f1 (t )  [ (t  1)   (t  1)]
延时性
 f1 (t  1)  f1 (t  1)
y (t )
1
 2 1
0
1
1
2
t
例3、时间函数f (t )与单位冲激序列 T (t )的波形如图
(a ), (b)所示，求f (t )   T (t ),并画出其波形。设  T
 T (t )
f (t )
A
(1)


2
0

2
t
 2T
(1)
(1)
T
0
(1)
T
(1)
2T
t
f (t )   T (t )
f (t )   T (t )
A
T


2
0
 T
2
t
0
T 
T 
解： f ( t )   T ( t )  f ( t ) 

t

  (t  kT )
k  


k  
k  
 f (t )   (t  kT )   f (t  kT ).........k  0,1,2....
问： 当T   时，f (t )   (t )的波形如何？
T
作业：2.17(a)(c) .2.20 .2.21(b)