9.5.静电环路定理电势能电势
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Transcript 9.5.静电环路定理电势能电势
9 静电场
任课教师
曾灏宪
中原工学院 理学院
大学物理（下）
9
静电场
9.5 静电场的环路定理 电势能
一
静电场力所做的功
1. 在点电荷的电场中
dl e
dr E
B
qq 0
r
er d l
dW q0 E dl
2
4 π 0r
rB
e r d l d l cos d r
qq 0
dW
dr
2
4 π 0r
rA
q
q0
qq 0 rB d r
W
A
2
r
4 π 0 A r
静电力做功只与检验电荷
qq 0
1
1
(
)
起点，终点的位置有关，
4 π 0 r A rB
与所通过的路径无关。
r
此结论可通过叠加原理推广到任意点电荷系的电场。
结论：静电场力做功与路径无关.
静电力做功只与电荷起点、终点的位置有关，与所
通过的路径无关 —— 静电力是保守力
二
静电场的环路定理
q0 E dl q0 E dl
A1 B
q0 ( E dl
A1 B
E
d
l
)
0
B
1
A2B
A
2
B2A
静电场是保守场
静电环路定理
l
E dl 0
E
三
电势能
静电场是保守场，静电场力是保守力.静电场力
所做的功就等于电荷电势能增量的负值.
qq 0 1
1
(
)
W A B q 0 E dl
AB
4 0 r A
rB
( E pB E pA ) E p
令 E pB 0
W AB
E pA
AB
0 , E pB E pA
0 , E pB E pA
q0 E dl
试验电荷 q 0 在电场中某点的电势能，在数值上
就等于把它从该点移到零势能处静电场力所作的功.
电势能的大小是相对的，电势能的差值是绝对的.
大学物理（下）
9
静电场
9.6 电势
一
电势
电场的电势（势函数）
静电场的保守性意味着，对静
电场来说，存在着一个由电场
中各点位置决定的标量函数.
q 0 E d l ( E pB E pA )
AB
AB
B
q0
A
E pB
E pA
E dl (
)
q0
q0
积分大小与 q 0 无关，仅与 A、B 位置有关.
E
此标量函数（电势）在 A、B 两点的数值之差等
于从A到B移动单位正电荷时静电场力所做的功.
AB
AB
E pB
E pA
E dl (
)
q0
q0
E d l (V B V A )
E pB
B
q0
E
A
E pA
A 点电势 V A
B 点电势 V B
q0
q0
V A E d l V B （ V B为参考电势，值任选）
AB
VA
AB
E dl VB
令 VB 0
VA
V 0点
E dl
VA
E dl
A
AB
选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
一般,场源电荷有限分布:选 V 0
场源电荷无限分布:不选 V 0
许多实际问题中选 V 地球 0
物理意义 把单位正试验电荷从点 A 移到零电势点
时，静电场力所作的功.
电势差
U
AB
VA VB
E dl
AB
(将单位正电荷从 A 移到 B 电场力作的功.)
静电场力的功 W AB q 0V A q 0V B q 0U BA
单位：伏特（V）
原子物理中能量单位 1eV 1 . 602 10
19
J
注意
1.电势差是绝对的，与电势零点的选择无关
2.电势大小是相对的，与电势零点的选择有关
例
在静电场中，下列说法中正确的是：
（A）带正电荷的导体其电势一定是正值
（B）等势面上各点的场强一定相等
（C）场强为零处电势也一定为零
（D）场强相等处电势不一定相等
例
某电场的电力线分布如图，一负电荷从 A
点移至 B 点，则正确的说法为
（A）电场强度的大小 E A E B
（B）电势 V A V B
（C）电势能 E pA E pB
（D）电场力作的功 W 0
A
B
E
V
点电荷周围的电势
q
r
4 π 0r
3
r
令V 0
q
4 π 0r
r
二
3
r dl
dl
q
r
qr d r
4 π 0r
V
3
q
q 0, V 0
4 π 0r
q 0, V 0
p
E
三
E
点电荷系
电势的叠加原理
Ei
i
V A E dl Ei dl
i
A
VA
V
Ai
i
A
q2
q3
r2
r3
E3
E2
A
E1
qi
4π
i
电荷连续分布
VP
r1
q1
dq
4π
0
r
r
0 i
dq dV
dq
r
q P
dE
讨论
1. 利用 V P
求电势
的方法
dq
4π
0
r
（利用了点电荷电势 V q / 4 π 0 r ，
这一结果已选无限远处为电势零点，即：
使用此公式的前提条件为有限大带电体且
选无限远处为电势零点.）
2.
若已知在积分路径上 E
则
V 0点
VA
A
E dl
的函数表达式，
例 在点电荷 +2q 的电场中，如果取图中P点处
为电势零点，则 M点的电势为
2q
P
a
（A）
（C）
M
VM
a
q
2 π 0 a
q
8π 0 a
（B）
2qdr
a
2a
4 π 0r
q
4 π 0 a
（D）
q
4 π 0 a
2
例1 正电荷 q 均匀分布在半径为 R 的细圆环上.
求圆环轴线上距环心为 处点 P 的电势.
x
y
dl + + + +
+
+R o +
+
+
z
VP
+
+
+ + +
1
4 π 0r
qdl
2π R
qdl
dq dl
2π R
r
P
x
dVP
1
x
qdl
4 π 0r 2 π R
q
4 π 0r
q
4π 0
x R
2
2
VP
q
4π 0
q
x R
2
2
V
4 π 0 R
讨论
x 0， V 0
x R ， V P
q
4π 0R
q
4π 0x
x
o
q
4π 0(x R )
2
2 12
例2
均匀带电薄圆盘轴线上的电势
dq 2 π rdr
dr
x r
2
o
rR
VP
P
x
x
1
4π 0
x R
2
R
0
2 π rdr
x r
2
2
x R x
2
2
R
2
2x
2 0
( x R x)
2
2
V Q 4π 0x
（点电荷电势）
例2
“无限长”带电直导线周围的电势
解 VP
PB
E dl VB
令 VB 0
rB
VP E dr
r
rB
r
2π 0r
2π 0
ln
er dr
rB
r
注意：不能选 V 0
B
o
P
r
rB
r
例3
均匀带电球壳的电势分布.
真空中，有一带电为 Q ，半径为 R 的带电球壳.
试求（1）球壳外两点间的电势差；（2）球壳内两点
间的电势差；
+
解 r R， E 0
1
r R， E2
+
q
er
+
+
+
+
+ A
+
r+
o e
R
dr
B
r
+ + rA
4 π 0r
r r
Q
rB
B
（1）V A V B E 2 d r
rA
rB d r
Q
1
1
Q
(
)
e
e
r
r
2
r
4 π 0 rA
rB
4π
A r
2
0
求：（2）球壳内两点间的电势差；（3）球壳外任
意点的电势；
（2） r R
rB
V A ' V B ' E1 d r 0
rA
'
o e
dr
'
+
A +B A
R
+
+
r+
+
+ + rA
Q
（3） r R
令 rB ,
+ + +
B
r
r
rB
V 0
Q
Q
dr
V外 (r ) E 2 dr
2
r 4 π 0r
r
4 π 0r
求：（4）球壳内任意点的电势.
（4） r R
Q
Q
可得 V ( R )
V外 ( r )
V内
4 π 0r
4π 0R
Q
R
V内 ( r ) E 1 d r E 2 d r
r
R
4π 0R
V外 ( r )
V内 ( r )
V
Q
Q
4 π 0r
Q
4 π 0R
4π 0R
o
Q
4 π 0r
R
r
电势计算的两种基本方法
1.场强积分法（由定义求）
〈1〉确定 E 分布
〈2〉选零势点和便
于计算的积分路径
〈3〉由电势定义求电势
零势点
零势点
Va E dr E cos dr
a
a
若路径上各段 E 的表达式不同，应分段积分。
选取零势点的原则：使场中电势分布有确定值
2. 叠加法
〈1〉将带电体划分为电荷元 d q
〈2〉选零势点，写出 d q 在场点的电势 d V
〈3〉由叠加原理：
V
dV
或
V
dV
例
一球壳半径为 R ，带电量 q ，在离球心 O 为 r
（r < R）处一点的电势为（设“无限远”处为电势零点）
（A）
（C）
0
q
4 π 0 r
（B）
q
4 π 0 R
（D）
q
4 π 0 r
[例4]无限大均匀带电平面 场中电势分布.
a
o
a
电场分布:
x
E
i
0
0
( a x a )
(x a , x a)
思考：先由电场强度和电势的关系，定性分析电势
变化规律，再定量计算。
两极板之间：电势沿－x 方向均匀降低。
两极板外侧：电势为恒量。
电荷无限分布，在有限远处选零势点:
令
Uo 0
，沿
x 轴积分.
x a 区 域 ：
U
a
x
0
E1 d l E 2 d l
E
a
1x
dx
E
2x
dx 0 (
a
0
a x a 区域 ：
0
E
x
o
a
0
x
U
a
a
x
dx (
0
)( x )
x
0
)a
a
0
x
x a 区 域 ：
a
U
0
a
o
a
o
a
x
a x a 区域 ：
U
x
0
U
a
x a 区 域：
0
a
U
0
E3xdx
x
0 (
E2 xdx
a
0
)( a )
a
0
a
a
x
0
U — x 曲线如图
[例5]在与面电荷密度 的无限大均匀带电平板相距a处
有一点电荷q，求点电荷至平板垂线中点处的电势Up
解一： 点电荷q在P处电势：
o
q
P
a
2
a
U1
x
q
4
0
a
2
无限大带电平板在P处电势：
U 2 Ed
U
P
U1 U 2
q
2 0 a
a
4 0
2 0
a
2
对不对？
q
P
a
2
o
U1 U 0
错在那里？
U2 Ua 0
x
a
零电势点不统一不能叠加.
Ua 0
解二：选共同的零势点
点电荷q在P处电势：U 1
a
a
2
q
4 0 x
2
带电平板在P处电势： U 2 Ed
U
P
U1 U
2
q
4 0 a
a
4 0
dx
2 0
q
4 0 a
a
2
例6.真空中一半径为R的球面均匀带电Q，在球心O处
有一带电量为q的点电荷，如图所示。设无穷远处为
电势零点，求在球内离球心O距离为r的P点处电势
解：由高斯定理可得电场分布为
Q
q
4 r 2
0
E
qQ
4 0 r 2
(r R )
r
O
(r R )
根据电势的定义，P点的电势为：
Up
p
E dr
R
r
q
4 0 r
2
dr
R
qQ
4 0 r
2
dr
q
1
P
R
q
Q
( )
4 0 r R
大学物理（下）
9
静电场
9.7 电场强度与电势梯度
一
等势面（电势图示法）
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势
面. 为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势
面间的电势差相等.
在静电场中，电荷沿等势面移动时，电场力做功
b
W ab q 0 (V a V b ) q 0 E d l 0
a
在静电场中，电场强度 E 总是与等势面垂直的，
即电场线是和等势面正交的曲线簇.
W ab
q0 0
b
a
q0 E dl 0
E 0
dl 0
E dl
按规定，电场中任意两相邻等势面之间的电势差相
等，即等势面的疏密程度同样可以表示场强的大小
点
电
荷
的
等
势
面
d l 2 d l1
E 2 E1
dl1
dl2
两平行带电平板的电场线和等势面
+ + + + + + + + + + + +
一对等量异号点电荷的电场线和等势面
+
实际问题中常常先由实验测得等势面分布，再通
过电场线与等势面的关系得出电场线分布。
电偶极子的电场线和等势面
作心电图时人体的
等势面分布
（大学物理实验 —— 静电场的描绘）
二
U
AB
电场强度与电势梯度
（ V B V A） E l
E cos E l
V E l l ，E l
E l lim
l 0
V
l
V
l
dV
l
B
A
El
E
dl
V V
V
电场中某一点的电场强度沿某一方向的分量，等于这
一点的电势沿该方向单位长度上电势变化率的负值.
𝛛𝑽
𝛛𝑽
𝛛𝑽
𝑬 = −𝒈𝒓𝒂𝒅𝐕 = −𝛁𝐕 = −
𝒊+
𝒋+
𝒌
𝝏𝒙
𝝏𝒚
𝝏𝒛
三
电场线和等势面的关系
1）电场线与等势面处处正交.
（等势面上移动电荷，电场力不做功.）
2）等势面密处电场强度大；等势面疏处电场强度小.
讨论
1）电场弱的地方电势低；电场强的地方电势高吗？
2）V 0 的地方，E 0 吗 ？
V 一定相等吗？等势面上 E
3）E 相等的地方，
一定相等吗 ？
例
求一均匀带电细圆环轴线上任一点的电场强度.
E V
解
V
y dq dl
q
4π 0(x R )
2
E Ex
2 1 2
V
x
r
q R
o
z
P x
x
E
qx
q
2
2 3
2
2 1 2
4π 0(x R )
x 4 π 0 ( x R )
2
作业
P38: 16；17；19；20
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）下册》
（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”。由 Haoxian Zeng 设计和编写的内容采
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