Transcript 12.1-2.电磁感应定律动生电动势和感生电动势

12 电磁感应
任课教师
中原工学院
曾灏宪
理学院
大学物理（下）
12 电磁感应
12.1 电磁感应定律
法拉第 （Michael Faraday,
1791-1867），伟大的英国物理学
家和化学家.
他创造性地提出场
的思想 ，磁场这一名称是法拉第
最早引入的 . 他是电磁理论的创
始人之一 ，于1831年发现电磁感
应现象，后又相继发现电解定
律，物质的抗磁性和顺磁性，以
及光的偏振面在磁场中的旋转.
一
电磁感应现象
静电场、稳恒电流的磁场
什么现象？什么规律？
不随时间而变化
如果电场、磁场随时间变化
三个实验现象
N
S
结论：
当穿过一个闭合导体回路所围面积的磁
通量发生变化时（不论这种变化是由什
么原因引起的），在回路中就有电流产
生——该现象称为电磁感应现象
产生的电流称为感应电流
相应的电动势为感应电动势
×
× A×
Fm
×
×
×
×
× B×
×
×
× v ×
B
×
×
二 电磁感应定律
电磁感应定律
当穿过闭合回路所围面积的磁通量发生变化时，
回路中会产生感应电动势，且感应电动势正比于磁通
量对时间变化率的负值.
i  
dΦ
dt
国际单位制
i
伏特
Φ
韦伯
讨论：
1）闭合回路由 N 匝密绕线圈组成
i  
d
磁通匝数（磁链）  N Φ
dt
2）若闭合回路的电阻为 R ，感应电流为
Ii  
1 dΦ
R dt
 t  t 2  t1 时间内，流过回路的电荷
q 
t2
t
1
Id t  
1
Φ2

R Φ
1
dΦ 
1
R
(Φ1  Φ2 )
3）感应电动势的方向  i  
判断步骤:
d
dt

nn   0
 0
a.先任意规定一个方向为回路的正
SN
方向，且回路所围面积的正法线与
其构成右手螺旋；
b.确定磁通量的正负,然后确定磁
通量增量的正负
N
S
d
d 0 N  0
 0
dd
tdt 0 0反抗Φ变化
dt
S
c.由法拉第电磁感应定律确定感应电动势的方
向,若为正，则与回路正向一致，若为负，则相
反。
三 楞次定律
i  
d
dt
闭合的导线回路中所
出现的感应电流，总是使
它自己所激发的磁场反抗
任何引发电磁感应的变化
（反抗相对运动、磁场变
化或线圈变形等）.

B
N

F

v
S
用
楞
次
定
律
判
断
感
应
电
流
方
向

B

B
I
I
S
N

v
N
S

v
楞次定律 闭合的导线回路中所出现的感应电
流，总是使它自己所激发的磁场反抗任何引发电磁
感应的原因.
增反减同
大学物理（下）
12 电磁感应
12.2 动生电动势和感生电动势
引起磁通量变化的原因
 



B  dS
1）B： 导体不动，磁场变化
2）S： 稳恒磁场中的导体运动 ,
变化、取向变化等
如果两种情况同时存在呢？
感生电动势
或者回路面积
动生电动势
一 动生电动势
动生电动势的非静电力来源

 
Fm  (  e ) v  B



平衡时 F m   Fe   e E k

非静电场强 E k 

Fm
e
 
 v B
洛伦兹力
+  + +P + + + +
B  ++
+ +F + + + + +
e
+
+ + -+ +
+ + + + + + +
Fm - + + + O+ + + +
根据电源电动势的定义



 
 i   E k  dl   (v  B )  dl
OP
特例 设 𝒗 ⊥ 𝑩

p
i
OP
i 

l

v
+ +
v B d l  v Bl
o
0



( v  B )  d l 就是动生电动势的“方向”，指向高电势一端
在磁场中运动的任意形状的导线，其动生电动势为：





v  B  dl
 



注: 动生电动势只存
在于运动导体内。
说明：
d
(1)   
dt
适用于一切产生感应电动势的回路
适用于切割磁力线的导体
(2)
(3) 闭合回路中的动生电动势为
i   d i  
L
L
  
( v  B )  dl
动生电动势的计算（两种方法）
(1) 由电动势定义求



 
 动   E K  dl   (v  B )  dl
L
L

动 

 
 (v  B )  dl

（经内电路）
(2) 由法拉第定律求   
d m
dt
如果回路不闭合，需加辅助线使其闭合。
 大小和方向可分别确定。
二 感生电动势
1. 导体回路不动，由于磁场变化引起穿过回路的磁
通量变化,产生的感应电动势叫感生电动势。
产生感生电动势的非静电场
感生电场
麦克斯韦尔假设 变化的磁场在其周围空间激

发一种电场，这个电场叫感生电场 E 感 .
2. 非静电力：涡旋电场力(感生电场力)


 
电荷受力： F  q E  q v  B


 
 qE静  qE感  qv  B



非静电力： F K  F感  q E 感


非静电场强： E K  E 感
3. 感生电场与变化磁场之间的关系
由电动势定义：


 感   E K  dl 
L

L


E感  dl
由法拉第定律：
感  
得：
L

E
感
dm
d
 
dt

d
 dl  
dt
dt


B
t


B d S
S


B d S
S
因为这里只有 𝑩 发生变化，所以也可以写成




B
LE 感  d l   S  t  d S
E感
讨论：
(1) 感生电场线闭合成环

B

E感 







dB




E感
 0
dt


(2) L E 感  d l  0


(3)  E 感  d S  0
s

B

E感 
dB


E感

 0
dt
感生电场是非保守场。
感生电场是无源场，没有源电荷。
4. 两种电场比较
静电场
起源
静止电荷
性质
 1

s E 静  d S  
0

L
q


E静  dl  0
有源，保守场
特点
对场中电
荷的作用
联系
内
感生电场
变化磁场


 E感  dS  0
s

L


E 感  d l  N


B
S
t

 dS
无源，非保守场(涡旋)
不能脱离源电荷存在 可以脱离“源”在空间传播


F静  q E 静

F 感 作为产生  感


F感  q E 感
的非静电力，可以引起导体中
电荷堆积，从而建立起静电场 .
5. 感生电动势的计算
两种方法：

1. 由电动势定义求（ E 感 已知或容易求出 ）





 感  E感  dl 或  感  E感  dl


L

（经内电路）
2. 由法拉第定律
因为回路固定不动，磁通量的变化仅来自磁场的变化
感  
d m
dt
 N
d
dt
 
 B  dS
s
若导体不闭合，需加辅助线构成闭合回路。
三 涡电流
感应电流不仅
能在导电回 路内出
现， 而且当大块导
体与磁场有相对运
动或处在变化的磁
场中时，在这块导
体中也会激起感应
电流. 这种在大块
导体内流动的感应
电流, 叫做涡电流,
简称涡流.
应用
热效应、电磁阻尼效应
金属块
工
频
感
应
炉
阻
尼
摆
抽真空
发接
生高
器频
金
属
电
极
N
S
涡电流加热金属电极

en
例 在匀强磁场中,
N
置有面积为 S 的可绕

轴转动的N 匝线圈 .
若线圈以角速度

作匀速转动.
求线圈中的感应电动
势.
ω
o
i
R
o'

B
已知
S , N ,
求

解 设 t  0 时,


e n 与 B 同向 , 则    t

en
N

  N   NBS cos  t
 
d
 NBS  sin  t
dt
令  m  NBS 
则    m sin  t
ω
o
i
R
o'

B
   m sin  t
i

R
 I m sin  t
Im 
m
R
i  I m sin  t
在匀强磁场中匀速转动的
线圈内的感应电流是时间的正
弦函数 . 这种电流称交流电.
例 均匀磁场如图垂直纸面向里. 在垂直磁场的平
面内有一个边长为 l 的正方形金属细线框，在周长固
定的条件下，正方形变为一个圆，则图形回路中感应
电流方向为 （
）
（A）顺时针
（B）逆时针
（C）无电流











 B


（D）无法判定
2 r  4 l
r 
2
4l

2
l
2
例 一个圆形环，它的一半放在一分布在方形
区域的匀强磁场中，另一半位于磁场之外，如图所
示，磁场的方向垂直向纸内，欲使圆环中产生逆时
针方向的感应电流，应使（
（A）圆环向右平移
（B）圆环向上平移
（C）圆环向左平移
（D）磁场强度变弱
）









B
例 圆柱形空间内有一磁感强度为B的均匀磁场，
B的大小以恒定速率变化。在磁场中有A、B两点，其
间可放直导线或弯曲的导线（
）
（A） 电动势只在直导线中产
生.
（B） 电动势只在曲线中产生.

B
O
A
（C）电动势在直导线和曲线
B
中都产生，且两者大小相等.
（D）直导线中的电动势小于
弯曲的导线.

B
O
A
C
EOABO 
解：联结OA、OB，构成
闭合回路OABO（三角型）或
OACBO（扇型）
B


d
EOABO   E k  d l  

d
t






E k  dl   E k  dl   E k  dl
OA
EOA  EBO
dB
EAB 
 S ΔABO
dt
AB
BO


  E k  dl  0
O
dB
同理 EACB 
 S ACBOA
dt
A
由于SOABO < SACBOA故（D）正确.

例 在圆柱形空间内有一磁感应强度为 B 的匀强

磁场，如图. B 的大小以速率 d B / d t  0 变化，有一长度
为 l 的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1（ab）和2
（ a ' b ' ），则该棒放在这两个位置时棒内的感应电动势
满足
（A）  1   2  0
（B）  1   2  0
（C）   
2
1
（D）  2   1
x
x
x
x
x
x
x
x . ox
x
a
x
x
1
x
b
x
a 'x 2x b '

例1 一长为 L 的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场
中, 以角速度  在与磁场方向垂直的平面上绕棒的一
端转动，求铜棒两端的感应电动势.

 
解 d   (v  B )  dl
i
 vBdl
i 


L

L
0
vBdl
 lB d l
0
i 
1
BL
2
+
+ +
+ +
+
+ +
+d l+
+ +
P
+ +
+  + + + + + +
o
v
B
+ + + + + + +
+
+ +
+ +
 i 方向 O
2
（点 P 的电势高于点 O 的电势）
+ +
P

例2 一长为 3 l 的铜棒在磁感强度为 B 的均匀磁场
中，以角速度  在与磁场方向垂直的平面上绕 O 点旋
转，已知 CO  l , OD  2 l 求铜棒两端的感应电动势 .

 
解
d  i  (v  B )  dl

. . . . . . . . .
B

l
2
. . . . . . d.l . D.
E iCO    Br d r  B  l 2
v
.
. . . . . .
*
.C . . O. . . . . .
.
.
.
.
dl
.
.
.
.
.

v.
等效电路
C
*O
.
同理

iOD
 iCD

D
0
 2 B l

iCD
iCO
 
3

2
iOD
Bl
2
2
C 点电势高于 D 点电势
例3.一段直导线在垂直于均匀磁场的平面内运动，已
知导线绕其一端以角速度  转动时的产生的动生电
动势与导线以垂直于导线方向的速度 v 作平动时产
生的动生电动势相同，求导线的长度？
解
转动  i 
平动
1
2
1
 BL
2
2
 i  vBL
 BL  vBL
2
L 
2v

例4: 直导线AB以速率v沿平行于长直载流导线的方向运动，
AB与载流直导线共面，且与它垂直。设直导线中的电流
为I,导线AB长为L，A端到直导线的距离为d.
求：导线AB上的感应电动势
I
解：利用动生电动势定义求解
0 I
B
2 πx
v
方向为：

x
dx上的动生电动势为
  
d   (v  B )  d l
0 I

 B v sin cos dx  
vdx
2
2 πx
   d  
d L
d
A
d
B
dx
L
0 I
 0 Iv d  L

vdx  
ln
2 πx
2π
d
负号表明：A端电势高
例：如图金属三角形框在均匀磁场中以角速度 
绕 ab 边旋转，求回路感应电动势 E 和 a，c 两点间的
电势差 U  U .
a
c

B b

 0, U a  U c  B  l
2
( B ) E  0, U a  U c   B  l
2
( A)
l
c
(C )
a
(D )
   m  0 , E  0
E
E  Bl
2
E  Bl
2
, U a  U c  Bl
2
2
2
, U a  U c   Bl
U ac  U cb  U ba  0
2
2
U ac  U cb
2
例5. 如图所示，一矩形导线框在无限长载流导线I 的
场中向右运动，求其动生电动势。
解法一：B 

动

B
I
0I
方向 
2 x
P
N

dl
   0 Iv
vB 
方向 
M
2

x
o

 
x
 L( v  B )  d l
 P  
N
 Q  

 
  ( v  B )  d l  ( v  B )  d l   ( v  B )  d l 
M
b


0
P
N
 0 Iv d l
2 x
b
0 
 
avB

0
[
 0 Iv d l
2 ( x  a )
 v
b
Q

 
 (v  B )  dl
M
Q
] 0 
x
 Ivab
0
2 x ( x  a )
解法二： B 
0I

B
2 x
I
a
dS  bdx
d m


 0 Ib d x
 B  dS 
2 x
 m   d m 
动  
dm
dt

 0 Ib
2

xa
dm dx
dx dt
v

x
o
dx
x
x
b v
ds

x
 0 Ib
2
ln
 0 Ivab
2 x ( x  a )
xa
x
方向
例6 已知半圆导线与长直电流共面（
如 图），半

圆以匀速 v 沿直导线方向向上运动，求动生电动势 .


解：解法一
B
v
I +
连接 MN形成一半圆闭合回路

v
C

dl
M
E
i总
b
*'
N
o
a
o
x
C
M
N
O’
 EiMCN  EiNM
Ei总  
d
0
dt
E iMCN  E iNM  EiMN
0I
B 
2 x
I

B
+

 
dEi  ( v  B )  d l   v B d l

v

v
M
ab
C

dl
EiMN 
b
*'
o
o
x
B 
0I
2 x
v
a b
N
a

 
EiMCN  
问：M、N 两端，何处电势高？
 0 Iv
2
 0 Iv
2
0I
2 x
ln
ln
dx
ab
ab
ab
ab
解法二：直接计算半圆弧导线的动生电动势.


0I
B
B
I
v
+
2 ( a  b cos  )
 
v B

dl

C

 
(v  B )  dl 
 0 I v d l cos 
2 ( a  b cos  )
b


*o
M
N
dl  bd ,  

a
2
π  Iv b
sin  d 
0
Ei   
令：a  b cos   t
0
2 ( a  b cos  )
d t  b sin  d 
 0 Iv a  b
 0 Iv a  bd t

ln
Ei  
2
ab
2 a  b t


例7 一导线矩形框的平面与磁感强度为 B 的均
匀磁场相垂直.在此矩形框上,有一质量为 m长为 l 的
可移动的细导体棒 MN ; 矩形框还接有一个电阻 R ,
其值较之导线的电阻值要大得很多. 若开始时, 细导

体棒以速度 v 沿如图所示的矩形框运动, 试求棒的
0
速率随时间变化的函数关系.
N
解 如图建立坐标
棒中 Ei  Bl v 且由 M
棒所受安培力
i
F  IBl 
N
R l 

B
I
F
2
Bl 
R
方向沿 ox 轴反向

v
2
B l v
R
M
o
x
2
B l v
F  IBl 
m
2
 
则

v0
dv
v
N
2
B l v
R l 
R
dt
v
方向沿 ox 轴反向
R
棒的运动方程为
dv
2
 
t
0

B
I
F
2
B l
mR
2
dt
M
o
计算得棒的速率随时间变化的函数关系为
v  v0e

v
2 2
(B l
mR ) t
x
例1.均匀磁场被限制在半径为a的圆
筒内，方向与筒轴平行， d B  0

B
a o
a
dt
求：梯形回路ABCDA的感应电动势
2
A
E
B
a
2
2a
D
解 通过梯形回路ABCDA的磁通量
与通过AEFDA的磁通量相等
F
C
1
 m  B  S AEFD  B ( a
2
 B(

a 
6
感  
d
dt
 (

6

3
16
)a
2
dB
dt
2
3
2
a )
16
方向
2

3

1
2
AD h )
例2 如图所示，有一半径为 r ，电阻为 R 的细
圆环，放在与圆环所围的平面相垂直的均匀磁场中.
设磁场的磁感强度随时间变化，且 d B d t  常量.
求圆环上的感应电流的值.
解
d
Ei  

dB
dt
I 
dt

Ei
R


S
dS 

 ds
πr
R
2
B (t )
dt
dB
πr
dt
S


dB
dB
dt
2
r
例 如图导体棒 ab 在均匀磁场中沿金属导轨向右做
匀加速运动，（导轨电阻不计，铁芯磁导率为常数） 则
达稳定后在电容器的 M 极板上
M
+
N
a 
+ + +
v+ 
+b+ + + B
+ + + + +
+
（A）有一定量的正电荷；
（B）有一定量的负电荷；
（C）带有越来越多的正电荷；
（D）带有越来越多的负电荷。
作业
 P160：6；7；8；10；11；12；13；14
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）下
册》（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片
和动画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编
著的“大学物理题库”。由 Haoxian Zeng 设计和编写的内
容采用 知识共享 署名-相同方式共享 3.0 未本地化版本 许
可协议进行许可。详细信息请查看课件发布页面。