Transcript 11.7-8.带电粒子在磁场中运动载流导线在磁场中所受的力

11 恒定磁场
任课教师
中原工学院
曾灏宪
理学院
回顾
比较
静电场
高斯定理
  1
 E  dS 
0
S
 
 B  dS  0
S
无源场
 
 E  dl  0
q
有源场
稳恒
磁场
环路定理
内
L
保守场（有势场）
 
 B  dl   0
L
I
i
（ 穿 过L）
非保守场（无势场）
大学物理（下）
11 恒定磁场
11.7 带电粒子在磁场中的运动
一 带电粒子在磁场中所受的力
电场力


Fe  qE
磁场力（洛仑兹力）
z

  x
Fm  qv  B
o

Fm

B
q+ 

v
y



方向：即以右手四指 v 由经小于 180 的角弯向 B，
拇指的指向就是正电荷所受洛仑兹力的方向.
运动电荷在电场和
磁场中受的力


 
F  qE  qv  B
如果只受磁场力作用，粒子做什么形式的运动？
1.
二 带电粒子在磁场中运动举例


回旋半径和回旋频率
v0  B
洛伦兹力  向心力
2
0
v
qv0 B  m
R
mv0
R
qB
2π R 2πm
T 

v0
qB
1
qB
 f  
T 2πm
2 . 磁聚焦

 
洛仑兹力 Fm  qv  B （洛仑兹力不做功）
 
  
若 v 与 B 不垂直 v  v  v
//

v //  vcosθ
作匀速直线运动
v  vsinθ
在垂直于磁场的平面
内作匀速圆周运动
mv
2π m
R
T
qB
qB
2π m
螺距 d  v // T  vcos
qB
磁聚焦 在均匀磁场中某点
A 发射一束初速相差不大的


带电粒子, 它们的 v0 与 B 之间的夹角  不尽相同 , 但都较
小, 这些粒子沿半径不同的螺旋线运动, 因螺距近似相等, 都
相交于屏上同一点, 此现象称之为磁聚焦 .
 很小时
v //  v
v   v
接收
器 A’
粒子
源 A
回旋周期与
2 mv
h  v //T 
qB
v 无关。 应用：电子光学 ,
电子显微镜等 .
• 磁约束原理
在非均匀磁场中，速度方向与磁场方向不同的带电粒子，也
要作螺旋运动，但半径和螺距都将不断发生变化
mv  mv sin 
R

qB
qB
磁场增强，运动半径减少
强磁场可约束带电粒子在一根磁场线附近 —— 横向磁约束
• 纵向磁约束
  
f  f //  f 

f // 减少粒子的纵深前进速
度，使粒子运动发生“反射”
在非均匀磁场中，纵深运动
受到抑制—— 磁镜效应

f //

f
e

B
 v
f
磁镜
• 磁镜效应的典型应用

B
受控热核聚变实验研究
在热核反应中物质处于
等离子态，温度高达
1,000,000K以上，目前
尚无一种实体容器能够
耐受如此高温。
线圈
线圈
高温等离子体
能约束运动带电粒子的磁场分布称为磁镜约束 —— 磁瓶
• 地球的磁约束效应 —— 天然磁瓶
地磁场是非均匀磁场，从赤道到两极磁感应强度逐渐增强.
宇宙射线中的高能电子和质子进入地磁场，将被磁场捕获，并
在地磁南北极间来回震荡，形成范阿伦辐射带.
地磁场对来自宇宙空间高能带电粒子的磁约束作用
11.5
23.5
磁北极
地理北极
电
子
质
子
地球轨道平面
范阿伦辐射带.
三 带电粒子受电磁场作用的现代技术运用举例
1 . 质谱仪
滤速器
p
 q
s1
s2
 F  F  

  m e B
     

    
      

   
A x
       



s
B0               0 
      
     
    
  
qE  qvB v  E B
v2
质谱分析： qvB0  m
R
qB0 Bx
2mv
x  2R 
m
qB0
2E
谱线位置：同位素质量
谱线黑度：相对含量
70 72 73 74 76
锗的质谱
2.回旋加速器
两D型盒中：均匀磁场，两D型盒间：交变电场。
粒子在交变电场中运动：半个周期电场内加速运动
粒子在磁场中运动：圆周运动，v 不变，改变方向；
回旋周期 T 与速度 v 无关，只要保持每经过半个周
期电场改变一次方向，就可以将带电粒子加速到很大
的值。
频率与半径无关
N
N
~
D2
O
D1
B
S
回旋加速器原理图
qB
f
2π m
到半圆盒边缘时
qBR 0
v  2R0 f 
m
1
Ek  mv 2
2
2 2 2
q B R0

2m
第一台回旋加速器
1932年劳伦斯研制第一台回旋加速器的D型室.
此加速器可将质子和氘核加速到 1MeV 的能量，
为此1939年劳伦斯获得诺贝尔物理学奖.
1939年诺贝尔物理奖：劳伦斯
发明的第一台回旋加速器
真空室直径：10.2cm
美国费米实验室
大型加速器：
直径 2km
欧洲核子研究中心(CERN)座落在日内瓦郊外的加速器
：大环是直径 8.6km 的强子对撞机，中环是质子同步加
速器。（2005年建成，发现希格斯玻色子的数据就是在
这里产生的）
我国于
1996年建成
的第一台强
流质子加速
器 ，可产生
数十种中短
寿命放射性
同位素 .
* 3 . 霍耳效应

B
IB
霍耳电压 U H  RH

d
Fm
b
d + + + + +
vd
+
- - - Fe
qEH  qvd B
EH  vd B
U H  vd Bb
q
-
I
UH
平衡时，
𝑭𝒎 = 𝑭𝒆
I  qnvd S qnvdbd
IB
UH 
nqd
霍耳
系数
1
RH 
nq
 霍耳效应的应用
1）判断半导体的类型
通过测量霍尔电压的正负可以确定导电体中载流子的正负

B
I

Fm
+
 + ++ +
v
UH
- d- -
I
-
 B
Fm
-
--
+ + +
vd
以带正电的空穴为主
UH
+
P 型半导体
-
N 型半导体
载流子以电子为主
导体中自由电子的浓度很大(约1029/m3)，霍耳效应不明显；
半导体有明显的霍耳效应
2）测量磁场
IB
霍耳电压 U H  RH
d
3）通过测量霍尔电压的大小可
高温导
电气体
以确定导电体中载流子浓度 n
IB
n
u ab qd

B
它是研究半导体材料性质的有效方法
（浓度随杂质、温度等变化）
4）磁流体发电
使高温等离子体（导电流体）以1000ms-1的高速进入发电通
道（发电通道内有磁场），由于洛仑兹力作用，结果在发电通
道两侧的电极上产生电势差。不断提供高温高速的等离子体，
便能在电极上连续输出电能。
特点：
热能直接转换为电能，没有机械转动部分造成的能量损
耗——可提高效率
大学物理（下）
11 恒定磁场
11.8 载流导线在磁场中所受的力
一 安培力

 
洛伦兹力 f m  evd  B
f m  evd B sin 
dF  nevd SdlB sin 
I  nevd S

vd

B

fm

I
d
l
 
I
S
dl
dF  IdlB sin   IdlB sin 
由于自由电子与晶格之间的相互作用，使导线在
宏观上看起来受到了磁场的作用力 .
安培定律 磁场对电流元的作用力
 

dF  Idl  B
安培定律
 

dF  Idl  B
安培力是大量带电粒子洛伦兹力的叠加
意义： 磁场对电流元作用的力的大小为
dF  IdlB sin 
 

和 B 所组成的平面,
dF 的方向垂直于
I
d
l

且与 Idl  B 同向 .


dF
dF

有限长载流导线所受

Idl
I
d
l
的安培力
 


F  l dF  l Idl  B

B

B
有限长载流导线所受的安培力
 


F  l dF  l Idl  B
1. 载流直导线在匀强磁场中受力:
I
F   IB sin dl  IBL sin 

l
B
L
 
Idl  B
方向由
确定
2. 一般而言，各电流元受安培力大小与方向都不一样，则求安
培力时应将其分解为坐标分量
Fx   dFx
L
dFx , dFy , dFz
Fy  L  dFy
L
后求和。
Fz   dFz
L
练习：
1.分析电流在磁场中所受的力





B
a
R
o

b


I


F  BI  2 R
方向向右

B


  
I
I
  
  
F 0
I1
I2
I 2 受力 F  0
二 磁场对载流线圈的力矩
如图 均匀磁场中有一矩形载流线圈 MNOP

F3
MN  l2 NO  l1
F1  BIl2


F2   F1
F3  BIl1 sin(π   )


F4   F3
 4 
F   Fi  0
i 1
往下看
P 
F2 
B
M

F1
I

N F4

O

en

F2

M,N 
F1
 
O,P
en

B

F3
P 
M

F1
I

N F4

F2 
B
O

en
MN  l2
NO  l1
M,N 
F1

F2

 
O,P

B
en
力矩：M  F1l1 sin   BIl2l1 sin   BIS sin 

   
M  ISen  B  m  B

  （适用于任意线圈）
线圈有N 匝时 M  NISen  B
讨论：


1）en方向与 B 相同
2）方向相反
稳定平衡
不稳定平衡
+
+
+
+
+ +
I
+ +
+ +
+ +
+ + + +
F
+ +

+ +B
  0 ,M  0
.
力矩最大
. .
. I .F .
. . .
.
.
.B .
.
.
3）方向垂直
.
.
.
.
.
 π , M  0

F
I

F
.
B
π
  , M  M max
2
结论: 均匀磁场中，任意形状刚性闭合平面通电线
圈所受的力和力矩为

F  0,
 
M  m B
 0
  
m // B, M  0
 
稳定平衡
非稳定平衡
 
m  B , M  M max  mB ,   π / 2
磁矩


m  NISen

en与 I 成右螺旋
例1 有一半径为 a ，流过稳恒电流为 I 的 1 4

圆弧形载流导线 bc ,按图示方式置于均匀外磁场 B
中，则该载流导线所受的安培力大小为多少？
解：考虑闭合线圈 ocbo
Fcb  Fbo  Foc  0
Fbo  0

B
c
a I
o a b
Fcb  Foc  Fco  aIB
例2 两无限长平行载流直导线间的相互作用力
B1 
 0 I1
2π d
0 I 2
B2 
2π d
I1
dF2  B1I 2dl2 sin 

  90 , sin   1
 0 I 1 I 2 dl 2
 dF2  B1 I 2 dl2 
2πd
 0 I 2 I1dl1
同理： dF1  B2 I1dl1 
2πd
dF2 dF1 0 I1I 2
dl2

dl1

2πd

I1dl1

B2
I2

I 2dl2  
B1
 
dF1 dF
2
d
，作用力与反作用力
例
 3 如图一通有电流 I 的闭合回路放在磁感应强

度为 B 的均匀磁场中，回路平面与磁感强度 B 垂直 .
回路由直导线 AB 和半径为 r 的圆弧导线 BCA 组成 ，
电流为顺时针方向, 求磁场作用于闭合导线的力.
 

分析 dF  Idl  B


对AB：F1  I ABBj
对BCA，根据对称性分析
F2 x  0


F2  F2 y j
 F2   dF2 y   dF2 sin 

B
y

dF2

Idl
I
B
0
dF2
C
r
 o
F1

Idl
 A
0
x
F2   dF2 y   dF2 sin    BI dl sin 
因 dl  rd
π 
F2  BIr
sin  d
0



F2  BI (2r cos 0 ) j  BI AB j


y
由于 F1   BI AB j

dF2
  

C
故 F  F1  F2  0
Idl
0
I
注意：可以证明，在均匀磁场
B
中，任意形状的载流导线闭合
0
回路的平面与磁感强度垂直时，
此闭合回路不受磁场力的作用.

B

dF2

d Idl
r
 o
F1
0
A
x
例 3 求 如图不规则的平面载流导线在均匀

磁场中所受的力，已知 B 和 I.


解 取一段电流元 Idl
B
y  dFy
 

dF  Idl  B
dFx  dF sin   BIdl sin 
 BIdlcos  BIdy
dFy  dF cos  BIdl cos  BIdx
Fx   dFx 
0
BI 0 dy
0
dF  
dF

Idl
x
I
o
P
L
x
结论 任意平面载流导线在
L
均匀磁场中所受的力 , 与其
0
始点和终点相同的载流直导
Fy   dFy  BI  dx  BIL
 

F  Fy  BILj
线所受的磁场力相同.
例4 求
I 2 受 I1磁场的作用力
解：𝑰𝟏 周围磁场分布为
 0 I1
B
2r 方向如图
r  R sin 
取
I 2dl  I 2 Rd
0 I1 I 2 d
dF  BI 2 dl 
2 sin 
由对称性
Fy   dFy  0
I2
 y
 
B  I  B dF
1

o

B 
R
d

I 2dl
x
 '
 B dF
F  Fx   dFx   dF  sin
 0 I1 I 2 d

sin 
2 sin 
 0 I1I 2
沿  x 方向。
求磁场对电流作用的一般步骤：


① 选取电流元 I d l ，根据安培公式判断 d F 的方
向，画出矢量图；

② 选取坐标系，分析力的对称性，写出 d F 的分
量式；

③ 对d F 每个分量积分求出合力，并说明方向；
例 有一根流有电流 I 的导线，被折成长度分别


为 a 、b ，夹角为 120 的两段,并置于均匀磁场 B 中，

若导线的长度为 b 的一段与 B 平行，则 a 、b 两段载
流导线所受的合磁力的大小为多少？
 


分析： F   dF   Idl  B
l
l
F  aIBsin 60  bIBsin 0

3

aIB
2


B
a
I
b
例 在长直导线 AB 内通有电流 I1=20A，如图所
示，在矩形线圈 CDEF 中通有电流 I2=10A ， AB 与线
圈共面，且 CD、EF 都与 AB平行.
已知 a  9.0cm, b  20.0cm, d  1.0cm ，求：（1）
导线 AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力；（2）矩形
线圈所受的合力.
分析（1）FCD  I 2bBCD  I 2b
0 I1
A
C
2πd
a
F
4
 8 10 N
FEF  I 2bBEF  I 2b
 8 105 N
0 I1
I1 d I 2
2π(d  a)
方向如图
D
B
b
E
FDE 

 I dl  B  
2
d a
d
0 I1 I 2
I 2 dr
0 I1
2πr
d a
5
ln
 9.2  10 N
2π
d
5
FCF  FDE  9.2 10 N
方向如图
（2） 由（1）可得
A
C
a F
8x10-5
I1 d I 2
b
8x10-4
 F  7.2010
4
N
D
B
E
例
边长为0.2m的正方形线圈，共有50 匝 ，通
以电流2A ，把线圈放在磁感应强度为 0.05T的均匀磁
场中. 问在什么方位时，线圈所受的磁力矩最大？磁
力矩等于多少？
  
解析 M  m  B
M  NBIS sin 
π
得   , M  M max
2
M  NBIS  50  0.05  2  (0.2) N  m
2
 0 .2 N  m
问 如果是任意形状载流线圈，结果如何？
例 如图半径为0.20m，电流为20A，可绕轴旋转
的圆形载流线圈放在均匀磁场中 ，磁感应强度的大小
为0.08T，方向沿 x 轴正向.问线圈受力情况怎样？ 线

圈所受的磁力矩又为多少？
y
解 把线圈分为JQP和PKJ两部分



FJQP  BI (2R)k  0.64kN



FPKJ  BI (2R)k  0.64kN

以Oy为轴，Idl 所受磁力矩大小
dM  xdF  IdlBx sin 
B
J
I

Q
z
o
x
d
R
K
P
x  R sin  , dl  Rd
x
y
dM  xdF  IdlBx sin 
x  R sin  , dl  Rd
dM  IBR sin d
2
M
2
2 2π
IBR
0

J
I

Q
sin d
2
 IB π R



2
m  ISk  I π R k

B
z
o
d
P
2


B  Bi
x
 
  
2
2 
M  m  B  I π R Bk  i  I π R Bj
R
K
x
作业
 P125：20；22；
版权声明
本课件根据高等教育出版社《物理学教程（第二版）下册》
（马文蔚 周雨青 编）配套课件制作。课件中的图片和动
画版权属于原作者所有；部分例题来源于清华大学编著的
“大学物理题库”。由 Haoxian Zeng 设计和编写的内容采
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