Transcript 第二章复变函数的积分

第二章
复变函数的积分
重点
1、复变函数积分的概念、性质和计算方法；
2、单、复连通Cauchy定理(解析函数的基本定理)
的应用；
3、应用Cauchy公式（解析函数的基本公式）计
算回路积分。
§2、1
y
复变函数的积分
z3
1、复变函数的积分定义
z 2 z2 z 3
zk z k
zk1Dzk
f(z)在复平面内的l分段光
z1 z 1
滑曲线上连续,在l上取一
A
系列分点 z0 zn
O
将l分成n小段在每一小段上任取一点
 k 。则有下式复变函数积分
n
lim  f (k )(zk  zk 1 ) 存在，
B
x
n  k 1
且值与  k 点的选取无关。称该和的极限为函数
f(z)沿曲线l从A 
B的路积分，记作
n
 f ( z )dz  lim  f ( )(z
n  k 1
k
k
 zk 1 )
积分函数
积分路径
一般来说,复变函数的积分值与积分路径有关.
l
n
 f ( z )dz  lim  f ( )(z
2、复变函数积分计算方法
n  k 1
l
k
k
 zk 1 )
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
f ( x, y)  u( x, y)  iv( x, y)
zk  xk  iyk
zk 1  xk 1  iyk 1
n
 f ( z )dz  lim  f ( )(z
l
n  k 1
n
 lim
k
k
 zk 1 )
[u( x , y )  iv( x , y )][(x
n  k 1
k
k
k
k
k
 xk 1 )  i( yk  yk 1 )]
 lim
n
[u( x , y )  iv( x , y )][(x
k
n  k 1
n
k
k
k
k
 xk 1 )  i( yk  yk 1 )]
n
lim  v( x , y )( y  y )
n
 y )  i lim  v( xk , yk )(xk  xk 1 )
x  k 1
  u ( x, y )dx   v ( x, y ) dy  i  u ( x, y )dx  i  v( x, y )dy
lim  u( x , y )(x
i lim  u( x , y )( y
x 
x 
k 1
n
k 1
k
k
k
 xk 1 ) 
k
k
k
k 1
k
k
k 1
l
l
l
l
x  k 1
k
  u ( x, y )dx  v( x, y )dy  i  v ( x, y ) dx  u ( x, y ) dy
l
l
可见 将复变函数的路积分转化为两个实变函数的线积
分，因此实变函数的线积分性质对复变函数而言均成立。
 f ( z)dz  udx  vdy  i  vdx  udy
l
l
  (u  iv)(dx  idy)
l
l
注：
应学会利用y与x关系（y和x的关系显式,
即积分路径表示式）将复函数线积分化为
定积分或不定积分计算
例1：沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫l Re(z) dz从O
到B（1，1）的定积分。
解：分析积分式与路径
f ( z)  Re z : u  Re z  x, v  0
 Re zdz   x(dx  idy)   xdx  i  xdy
B
A
l
OA
1
1
 Re zdz   xdx  i  ydy   xdx  i  ydy
1 1
  i
2 2
OB
OB
l
 Re zdz   xdx  i  xdy  0
（3）路径：y=x，则：
OB
l
（1）路径OAB：路径OA+OB
对OA：x=0,dx=0,y:0~1
D
O
l
0
0
OA
OA
对AB：y=1,dy=0,x:0~1
1
1
AB Re zdz  AB xdx  i AB xdy  0 xdx  2
1
  Re zdz   Re zdz   Re zdz 
2
l
OA
AB
（2）同理可求另一条路径ODB的积分
为：1/2+i
例
计算
 zdz ，l 为从原点到3+i4的三条直线段。
l
解：分析：积分式为： z  x  iy
dz  dx  idy
复积分化为：
 zdz   ( x  iy)(dx  idy)   xdx  ydy  i  ydx  xdy
l
l
（1）路径OAB：路径OA+OB
对OA：x=0,dx=0,y:0~4
对AB：y=4,dy=0,x:0~3
3
4l
 zdz   ydy  8
OA
3
l
B
A
0
9
AB zdz  0 xdx  i0 ydx  2 12i
7
  zdz   zdz   zdz    12i
2
l
OA
AB
（2）同理可求
另一条路径ODB
的积分也为此数
O
D
4
y  x; x : 0 ~ 3, y : 0 ~ 4
3
（3）路径：
 zdz   xdx  ydy  i  ydx  xdy
l
l
l
3
  xdx  ydy  i 0
3
4
0
0
4 3
4
xdx i 0 ydy
4
3
1 2 1 2
4 1 2
3 1 2
 3   4  i  3  i   4
2
2
3 2
4 2
7
1
1
 (9  16)  i (12  12)    12i
2
2
2
B
A
O
D
B（1，1）
A
O
D
B（3，4）
A
O
思考：
D
 1
 2 ; OAB路径

1
l Re zdz   2  i; ODB路径

1 1
 2  2 i; OB路径

 7
  2  12i; OAB路径

 7
l zdz   2  12i; ODB路径

 7
  2  12i; OB路径

究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？
2）参数积分法
若积分曲线的参数方程z=z(t) (   ), dz  z' (t )dt

则
 f ( z )dz   f [ z(t )]z' (t )dt
l

（极坐标法，通常用来计算积分路径为圆弧时的情况）
通常思路：
积分路径l为圆弧：
z  z0  
宗量用指数形式表示：
z  z0  ei
例2
1
计算积分 1 | z | dz 积分路径是（1）直线段
y
（2）单位圆周的上半（3）单位圆周的下半
解：
=
l0
（1）在-1到1的直线段上
路径方程为y=0
z  x 2  y 2 | x | dz=dx+idy=dx
所以
1

1
1
1
| z | dz  1 | x | dz  20 xdx  1
x
y
2）在单位圆上半周上：
ze
令
1

则
1
x
i
0
i

ie
d  2
| z | dz 

3) 在单位圆下半圆周上:
1

1
=
可见
0
| z | dz   iei d  2

0


0
  | z | dz  
| z | dz  2  (2)  0
例：计算圆弧积分：
n为整数
z  a  rei

i
r
n 1
2
2
0
0
[  cos(n -1) d  i  sin(n -1) d ]
3、复积分的性质
n
 c
l k 1
k
n
n
f k ( z )dz   ck f k ( z )dz   ck  f k ( z )dz
k 1 l
n
k 1
l
n
 f ( z)dz   f ( z)dz; l   l
l

l AB

l
k 1 lk
f ( z )dz  

k 1
k
f ( z )dz
lBA
 f ( z )  dz ; dz  dx 2  dy 2  ds

f ( z )dz   l
 Ms; M  f ( z ) , s  l的长度

用来求积分的估计值
z1  z2  z1  z2
3
z
试证： lim 
dz  0
2
r 0 z  r 1  z
证明：要证上式，只需证明
3
z
 z r 1  z 2 dz   z r
z3
l
3
z
lim 
dz  0
2
z r 1  z
r 0
3
z
dz （1）
2
1 z
z3
3
z
z
r3
又 Q f ( z) 




M
2
2
2
2
2
1 z
1 r
1 r
1 z
1 z

3

 f ( z )  dz ; dz  dx 2  dy 2  ds

f ( z )dz   l
 Ms; M  f ( z ) , s  l的长度

3
z r
z
dz  M  dz  M  ds  Ms （2）
2
z r
z r
1 z
3
3
z
z
 z r 1  z 2 dz   z r 1  z 2 dz （1）
z3
 z r 1  z 2 dz  M  z r dz  M  z r ds  Ms （2）
3
z
由（1）（2）式，得：
 z r 1  z 2 dz  Ms
3
r
M
1 r2
s
z r
ds  2 r
z3
2 r 4

dz 
2
2
z r 1  z
1 r

l
 f ( z )  dz ; dz  dx 2  dy 2  ds

f ( z )dz   l
 Ms; M  f ( z ) , s  l的长度

z
2 r

dz 
2
2
z r 1  z
1 r
3
4
2 r
又 Q lim
0
2
r 0 1  r
4
z3
 lim 
dz  0
2
r 0 z  r 1  z
z3
即lim 
dz  0
2
r 0 z  r 1  z
得证
n
复习：
 f ( z )dz  lim  f ( )(z
l
2、复变函数积分计算方法
n  k 1
k
k
 zk 1 )
积分函数
积分路径
1）将复变函数的路积分化为两个实变函数的线积分
 f ( z )dz  udx  vdy  i  vdx  udy   (u  iv)(dx  idy )
l
l
l
2）参数积分法
积分路径l为圆弧： z  z0  
宗量用指数形式表示：z  z0  ei
2 i
dz
试证： Ñ
C ( z  z0 )n   0
3、复积分的性质

l
l
n 1
; c : z  z0  r
n 1
 f ( z )  dz ; dz  dx 2  dy 2  ds
 l
f ( z )dz  
 Ms; M  f ( z ) , s  l的长度   dz

3
l
z
dz  0
试证： lim
2

r 0 z  r 1  z
B（1，1）
A
O
D
B（3，4）
A
O
思考：
D
 1
 2 ; OAB路径

1
l Re zdz   2  i; ODB路径

1 1
 2  2 i; OB路径
解析？ 
 7
  2  12i; OAB路径

 7
l zdz   2  12i; ODB路径

 7
  2  12i; OB路径

究竟哪些函数积分与路径有关，哪些无关？有什么规律？
在定义域上处处可导的
函数，在此区域上积分
与路径无关
§2、2 Cauchy定理
主要讨论复变函数满足什么条件其路积分值才能不决定
于积分路径，而只与始末位置有关。
1、单连通区域的柯西(Cauchy)定理
如果函数在闭连通区域 B上解析，则沿 B

上任一分段光滑闭合曲线L （L也可以是 B
B
L
的境界线），有
 f ( z )dz   u ( x, y)dx  v( x, y)dy  i  v( x, y)dx  u ( x, y)dy  0
l
l
l
证明：
 f ( z )dz 
l

udx  vdy  i  vdx  udy
l
B
L
l
由 Pdx  Qdy  (Qx  Py )dxdy
l
B
(Green公式）
 udx  vdy  (v  u )dxdy  0 (v  u )
l vdx  udy B (ux  vy )dxdy  0 (ux  vy )
x
l
y
x
y
B

l
f ( z )dz 
 udx  vdy  i  vdx  udy  0
l
l
下一页
附：格林公式
L
若函数P（x，y）、Q（x，y）在闭域 B
上具有连续的一阶偏微商，则：

l
Pdx  Qdy  (Qx  Py )dxdy
B
l：B的边界线
B
2、复连通区域的柯西定理Cauchy定理
1)复通区域境界线：
外境界线：逆时针为正方向
区域在行走的左侧
内境界线：顺时针为正方向
区域在行走的左侧
B
l1
l2
l3
l
2)复通区域的Cauchy定理：
如果f(z)是闭合复通区域上的单值解析函数，则
n
 f ( z)dz   l f ( z )dz  0 l为区域的外边界，
l
i 1
i
区域的内边界
l i 是。
证明：

f ( z )dz 
l

f ( z )dz 
l AB

l
f ( z )dz 


f ( z )dz 
l1

f ( z )dz  0
lB ' A '
f ( z )dz  0
l1
n
 f ( z)dz    f ( z)dz  0
l
i 1 li
A’ A
B’ B
l
l1
l1
1 闭单通区域上的解析函数沿境界线
或区域内任一分段光滑闭合曲线l积分
为零
Ñ
 f ( z )dz  0
C
L
B
D
l
相关推论： （1） f（z）在单通区域B上解析，在 B上连续，
仍有
Ñ
 f ( z )dz  0 （条件放宽了）
l
（2）单通区域B上的解析函数f（z）沿B上任一路
径l的积分值  f ( z ) dz只与l的起点和终点有关，与
l
路径无关
（3）区域B上的解析函数f（z），设B内二
点C、D，连接两点的任一条曲线l（在B内且
只经过f（z）的解析区）， f ( z ) dz 只与l的
l
起点和终点有关，与路径无关
B
2 闭复通区域上的解析函数沿所有内
外境界线正方向积分和为零
i
n
f ( z )dz   j f ( z )dz  0
l1
l2
l3
l
i 1 l
l
相关推论：
（1） 闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针
方向积分等于沿所有内境界线逆时针方向积分之和
i
n
l
n
f ( z)dz   j f ( z )dz   i f ( z )dz
i 1 li
i 1 li
（2） 设f（z）是闭区域（单通区域或复通区域）
B+L上的解析函数，B内任一条闭曲线l可以在B内连
续变形（只要不跨过非连通区域）而积分值 Ñ
l f ( z )dz
保持不变。
§2、3 不定积分
1、不定积分的定义及证明
原函数：
若函数F(z)满足 F ' ( z )  f ( z) ，则F(z)称为
f(z)的原函数
f(z)的所有原函数仅相差一个复常数[F(z)+c] '  F ' ( z )  f ( z )
不定积分定义：所有f(z)的原函数的集合称为f(z)的不定
积分。即
z
F ( z)   f (z )dz  c
z0
求解复函数定积分的另一个方法：由原函数求解

b
a
f ( z )dz  F ( z ) a
b
例2 求积分

i
0
z cos z d z
的值
•[解] 函数zcos z在全平面内解析, 容易求得
它有一个原函数为zsin z+cos z. 所以
例3 试沿区域Im(z)0, Re(z)0内的圆弧|z|=1, 计算积分
ln( z  1)
1 z  1 d z的值
i
ln( z  1)
• [解] 函数
在所设区域内解析.
z 1
1 2
它的一个原函数为 ln ( z  1), 所以
2
i ln( z  1)
i
1 2
1 z  1 d z  2 ln ( z  1)|1
i
ln( z  1)
1 2
1 z  1 d z  2 ln ( z  1)|1
1 2
2
 [ln (1  i )  ln (2)]
2
2


1 1
π 
2
  ln 2  i   ln 2
2  2
4 


2
π
3 2
π ln 2
   ln 2 
i
32 8
8
i
例1
n
计算积分：I  Ñ
(
z


)
dz (n 整数）l 为任意闭合曲线

l
解
1) 若l 不包围  点,则由Cauchy定理知积分为零。
2) 若l 包围  点,则有由Cauchy定理知f(z)在 B上有可能不解析
y
n  0 解析。
n <0 时不解析，
c
l
n  0 时，积分为零

n<0时，由复连通Cauchy定理知，沿l 的积
x
分，可以化为沿圆心在  点的半
径为R圆周c 的积分。
圆周的方程可写为： z    Rei
(0    2 )
z    Rei
n
I Ñ
(
z


)
dz

l


R n ein d (  Rei ) 
c
 iR
n 1

R n ein Rie i d 


R n 1ei ( n 1) id
c
c
2
(0    2 )
ei (n 1) d
0
i (n 1)
e
n 1
2
I

iR
|
0
若 n  1,
则
0
i(n  1)
2
若n=-1， 则有 I  i 1d  2 i
结论
l 包围  点时
不包围  点时

0
0, n  1
1
n
( z   ) dz  

2i l
1, n  1
1
2i

l
( z   ) n dz  0
复习：
一 柯西定理
连通区域B如图所示，复函数
f（z）在B内解析，任选B内
积分回路l，则：
（1）当l不包括非连通区域
时，有：
Ñ
 f ( z )dz
0
l
B
l1
l2
l3
l
单通柯西定理
l
（2）当l包括非连通区域时，
有：
n
i
l
f ( z )dz   j f ( z )dz   i
i 1 li
n
f ( z )dz
i 1 li
复通柯西定理
l可以不跨过非连通区域变形，积分值保持不变
二 牛顿-莱布尼兹方程

b
a
f ( z )dz  F ( z ) a
b
b
当f（z）在所研究区域解析时，  f ( z ) 与积分具体路
a
径无关，可以用Newton-Lebniz方程求解定积分
§2、4 Cauchy公式
1、Cauchy公式与证明
1)
单连通区域的Cauchy公式与证明
内容:若 f ( z )在闭单连通区域 B 上解析, l为的 B境
界线,  为 B 内的任一点,则有
1
f ( z)
f ( ) 
dz
Ñ

2 i l z  
证明
 是 B 的内点,由例1知:
1
1
dz  1

2i l z  

z
§2、4 Cauchy公式
1、Cauchy公式与证明
1)
单连通区域的Cauchy公式与证明
内容:若 f ( z )在闭单连通区域 B 上解析, l为的 B境
界线,  为 B 内的任一点,则有
1
f ( z)
f ( ) 
dz
Ñ

2 i l z  
证明

 是 B 的内点,由例1知:
1
1
dz  1

2i l z  
则有
0, n  1
1
n
l包围时， Ñ
( z   ) dz  
2 i l
1, n  1
1
f ( )
f ( ) 
dz

l
2i z  
z
如果证明了
1 f ( z )  f ( )
dz  0 就证明了该公式

2i l
z 
上式被积函数
f ( z )  f ( )
的奇点是 z   ,则在
z 
以为圆心以  为半径
做小圆C
,则由复连通
区域的Cauchy定理有
C

l
C

l

l
f ( z )  f ( )
f ( z )  f ( )
dz  
dz
C

z 
z 
进行估算:
f ( z )  f ( )
f ( z )  f ( )

dz
dz
Ñ

Ñ
C z  
C
z 
max f ( z)  f ( )
max f ( z )  f ( )
Ñ
dz
Ñ
dz
C

z 
C


max f ( z )  f ( )

Ñ
 dz
C

max f ( z )  f ( )

max f ( z)  f ( )
f ( z)  f ( )
dz 
2
z 

C

2
C

l
max f ( z)  f ( )
f ( z)  f ( )
dz 
2
z 

C

  0 时 f ( z )  f ( ),则 max f ( z)  f ( )  0
lim
 0
max f ( z)  f ( )
f ( z)  f ( )
dz 
2  0
z 

C

由于上式与 无关,则恒有

C
f ( z )  f ( )
dz  0
z 
Cauchy公式得证.
更一般的表达式：
1
f (z )
f ( z) 
dz
Ñ

l
2 i z  z
l包围z点
2) 复连通区域的Cauchy公式
内容:若 f (z ) 是复连通区域 B 上的解析函数, C 是内境
R
界线，l 是外境界线.  是区域的内点,则有
f ( z)
f ( z)
f ( )  
dz  
dz
l z 
CR z  
证明:略
l, C R 沿正方向线积
分
1
f (z )
f ( z) 
dz
Ñ

l
2 i z  z
2、Cauchy公式的推论
1) f (z ) 在 l 的外部解析，对   点公式
成立.
1
f ( z) 
2 i
j
l
f (z )
d z  f ( )
z z
l
z
l包围z点, z在解析区域内
l正方向： 顺时针
2)某区域上的解析函数在该区域上可以求任意阶导数.
f ( z ) 
1!
2i

l
f ( )
d
(  z )
f
( n)
n!
( z) 
2i
f ( )
 (  z)
l
( n 1)
d
3、Cauchy公式的用处
1) 建立了解析函数路径积分与闭合积分路径包围内函数值之
间的关系;
2) 一类复变函数的路径积分可以直接用内点的函数值计算.
1
f ( ) 
2i
f ( z)
l z   dz
1
f (z )
f ( z) 
dz
Ñ

2 i l z  z
3) 一类函数的路径积分可以用内点的函数导数值计算.
f
(n)
n!
f ( z)
n!
(n)
( ) 
dz
f ( z) 
2i l ( z   ) n1
2 i
f (z )
Ñ
 l z  z dz
例1 计算

z 4
3z  1
dz
( z  1 )( z  3 )
3z  1
被积函数 z 1 ( z  1)(z  3)dz 有两个奇点z=-1,z=3,且都在l
解
围成的区域内, 如图做补充围道 l1,l2 y
由复连通的Cauchy定理和单连通
的Cauchy公式有
法一

3z  1
( z  1 )( z  3 )

3z  1
dz 
(z  1)(z  3)
z 4

l1
l
l2
l1
1
2
3 4
x
柯西定理

l2
3z  1
dz
( z  1 )( z  3 )
i
n
l
f ( z )dz   i f ( z )dz
i 1 li
f (z)


3z  1
z  3 dz 
z 1
l1
3z  1
 2i (
)
z 3

3z  1
z  1dz
z3
f (z)
柯西公式
1
f (z )
f ( z) 
dz
Ñ

l
2 i z  z
3z  1
 2i (
)
z  1
z 3
z 1
l2
 6i
法二
3z  1
3( z  1)  4
3
4



( z  1)( z  3) ( z  1)( z  3) z  3 ( z  1)( z  3)
3
1
1
2
1

[

]

z  3 z  3 z 1 z  3 z 1
所以

z 4
3z  1
dz 
( z  1)( z  3)
 2  2i  2i  6i

2
dz 
z 3
z 4

1
dz
z 1
z 4
例3 求下列积分的值, 其中C为正向圆周: |z|=r>1.
cos z
e
1) 
d z; 2)  2
dz
5
2
( z  1)
( z  1)
C
C
z
cos z
•[解] 1) 函数
5 在C内的z=1处不解析, 但
( z  1)
cosz在C内却是处处解析的. 有
f
(n)
n!
f ( z)
( ) 
dz
n

1

2i l ( z   )
cos z
2i
 i
( 4)
C ( z  1)5 d z  (5  1)! (cos z) |z 1   12 .
5
z
e
2)函数 2
在C内的z  i处不解析.我们
2
( z  1)
在C内以i和  i为中心作两个正向圆周C1 , C2 .
则此函数在由C , C1和C2所围成的区域内是解
y
析的.
C
C1
i
O
C2
i
x
根据复通区域柯西定理,
y
C
C1
C2
i
O i
x
ez
例：计算 I  Ñ
z 1 z 2  5 z  6 dz
ez
 Ñ
z 1 ( z  2)( z  3) dz
e z /( z  2)
 Ñ
z 1 ( z  3) dz 
2
e z /( z  3)
Ñ
z 1 ( z  2) dz
ez
ez
 2 i
 2 i
z  2 z 3
z  3 z 2
 2 ie  2 ie
3
2
？
3
ez
例：计算 I  Ñ
z 1 z 2  5 z  6 dz
积分函数
在使用柯西公式之前，一
定先要判断被积函数的奇
点在不在闭合曲线内
ez
 Ñ
z 1 ( z  2)( z  3) dz
作图！
ez
f ( z) 
( z  2)( z  3) 在积分回路
z 1 内解析，
因此有单通区域的柯西定理可知
ez
I Ñ
z 1 z 2  5 z  6 dz 
0
2
3
例2 已知函数
 (t , x)  e  xt /(1t ) /(1  t ) 把 x当作参数，
 n
把t 认为是复变数，试应用Cauchy公式把 n
t t  0 表为
回路积分。对回路积分进行积分变数的替换 t  ( z  x ) / z
并借以证明
n
 n
d
x
n x
t
n
t 0
e
n
(x e
)
dx
f
(n)
n!
f (z )
( z) 
dz
Ñ

2 i l z  z
解
x

(1 )
f
(n)
n!
f (z )
( z) 
dz
Ñ

l
2 i z  z

n! e
/(1   )

d
 xt /(1t )
Ñ
n 1
n


(
t
,
x
)

e
/(1  t )
2 i l (  t )
t
n
1） 应用Cauchy公式将
 n
t
n
化为回路积分

x
1
 n
n!
e

d
Ñ
n
n 1

t
2 i l (  t ) (1   )

x
1
 n
n!
e

d
Ñ
n
n 1

t
2 i l (  t ) (1   )
（2）对回路积分进行积分变数的替换 t  ( z  x) / z
n
n


d
x
n x
并借以证明

e
(
x
e )
n
n
t t 0
dx
 n
t
2）令  
n

t 0
t

e
x
1
n 1
l
(1   )
d
zx
代入上式：
z
 n
n
n!
2i

t 0
n!

2i
e( z  x)
 ( z  x)
l
z
x
z  x z2
n 1
(1 
)
z
dz
 n
t
n
t 0
n!

2i
 n
t n t 0
n! x

e
2i
e( z  x)
 ( z  x)
l
n!

2i
z

l

l
n 1
(1 
x
zx z
)
z
2
dz
z n 1e ( z  x) z x
dz
n 1 x 2
( z  x)
z
z n e ( z  x )
n
d
dz  e x
( x ne x )
( z  x) n 1
dxn
证毕
此题将函数的导数化为了回路积分，看到了Cauchy公式
的作用。
本节主要公式
C f ( z )dz
  u( x, y )dx  v( x, y )dy  i  v( x, y )dx  u( x, y )dy,
C
C

 f ( z )dz
  f ( z(t ))z (t )dt

dz
C ( z  z
C
1
0)
n1
f ( z )dz  
C2
 2i

0
f ( z )dz
C
n0
n0
z1
z
0
n
   f ( z )dz
k  0C k
f ( z )dz  G( z1 )  G( z0 )
路积分
• 路积分的概念和性质
实变函数
定义

b
f ( x)dx  lim
a
n
 f ( x )Dx 
i
Dxi 0 i 1
b
 cf ( x)dx  c
a
性质
复变函数
a
b
b
a
a
 [ f  g ]dx  

b
a

c
a
b
i
C
fdx   gdx
a
C
C

C
b
b
c
a
f dx   f dx   f dx
C
 [ f  g ]dz  
f ( x)dx   f ( x)dx

i
Dzi 0 i 1
C
a
b
 f ( z )Dz
f ( z )dz  lim
 cf ( z)dz  c 
f ( x)dx
b
n
C1
i
f ( z )dz
fdz   gdz
C
f ( z )dz    f ( z )dz
C
f dz   f dz  
C2
C1 C2
f dz