刘三阳教授中值定理课件下载
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中值定理
授课教师：刘三阳
绪 论
微分中值定理和积分中值定理在微积分中
居于十分突出的地位，具有重要的理论价值和
广泛的应用.
本讲在回顾和总结中值定理的基础上，介
绍中值定理一些新的用途、一些推广形式及其
应用，进一步扩大其使用范围，同时，这些内
容也体现出传统数学分析和高等数学教材中有
关知识的综合运用.
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绪 论
罗尔定理
微分中值定理
拉格朗日中值定理 →泰勒公式
柯西中值定理
中值定理
积分第一中值定理 →特殊形式
积分中值定理
积分第二中值定理 →一般形式
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一、微分中值定理
微分中值定理是沟通函数与其导数的桥梁，
是研究可微函数性态的理论基础和有力工具,
它不仅是微分学的核心内容,而且在整个微积
分中起着极其重要的作用.
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5.1 微分中值定理的回顾
罗尔定理：设函数 f ( x )
（1）在[a , b]上连续；
（2）在( a, b) 内可导；
（3） f ( a ) f (b).
则存在 ( a, b) ，使 f ( ) 0．
拉格朗日定理：设函数 f ( x )
（1）在[a, b]上连续；
（2）在( a, b) 内可导；
f (b) f ( a )
则存在 ( a, b) ，使 f ( )
.
ba
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5.1 微分中值定理的回顾
柯西定理：设函数 f ( x ), g ( x )
（1）在[a , b]上连续；
（2）在 ( a , b) 内可导；
（3） g ( x) 0, x (a, b).
f ( ) f (b) f ( a )
则存在 ( a, b) ，使
．
g ( ) g (b) g ( a )
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
大家知道，微分中值定理是理论证明的有
力工具，其实不仅如此，在求极限时也有妙用
.
先利用拉格朗日中值定理给出下述命题.
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
命题 设
（1） ( x ) 、 ( x ) 在 x0 的一个邻域内连续（ ( x )
( x ) ），且 lim ( x ) lim ( x ) c ；
x x0
x x0
（2） f ( x ) 在 x c 的一个邻域内可导，且 f ( x ) 在
x c 处连续.则有
f [ ( x )] f [ ( x )]
（5-1）
lim
f ( c )
x x0
( x) ( x)
当 f ( c ) 0 时，还有
f [ ( x )] f [ ( x )] f ( c )[ ( x ) ( x )] ( x x0 ) .
（5-2）
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
证： 由拉格朗日中值定理和题设条件有
f [ ( x )] f [ ( x )]
f ( x ), 其中 x介于 (x)与 (x)之间.
( x) ( x)
于是 lim f [ ( x )] f [ ( x )] lim f ( x ) f ( c ).
x x0
x x0
( x) ( x)
当 f (c) 0 时, 有
f [ ( x )] f [ ( x)]
f (c)[ ( x) ( x)] ( x x0 )
注：这个命题既可以非常简便地直接计算某些函数的极限，还可
以导出一些很有用的等价关系，在求极限时发挥奇效.其中（5-1）
还可以根据柯西中值定理加以推广.
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
x
tan x
e
e
例5.1 计算 lim
.
x 0 x tan x
这里： ( x) x, ( x) tan x,
解：原式＝ lim e x =1 其中 x介于x与 tan x之间.
x 0
lim x lim tan x 0,
x 0
x 0
lim x 0
x 0
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
sin(tan x ) sin(sin x )
例5.2 计算 lim
.
x 0
tan x sin x
解：原式=limcos x
x0
1.
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( x) tan x,
( x) sin x,
其中 x介于 sin x与 tan x之间.
lim x 0
x0
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
例5.3 计算 lim
x 0
sin( x x ) sin( a x )
a a
xx
x
,( a 1).
解： 记 f ( x) sin x, g ( x) a x ,由柯西中值定理有
f ( x )
原式 lim
x a g ( )
x
cos( x )
x
x
lim x
(
介于
a
与
x
之间).
x
x a a ln a
cos a a
aa
.
a ln a
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
例5.4 设f ( x )在x 0处有连续的一阶导数，且f (0) = 0,
f x f ln 1 x
f (0)存在,试求 lim
.
3
x 0
x
解： 对任意的x 1, , 有 ln 1 x x.
由拉格朗日中值定理，存在 x ln 1 x , x 使
f x f ln 1 x
x ln 1 x
f x
3
x
x3
ln 1 x x
x ln 1 x
因为
1, x 0 ;1
, 1 x 0.
x
x
x
x
故 lim
x 0
x
x
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'
1, lim x 0.
x 0
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
由于f ' 0 0, f '' 0 存在. 于是
lim
f x f ln 1 x
x3
x 0
lim
f ' x f ' 0
x 0
x
x ln 1 x
lim f x
3
x0
x
'
x ln 1 x
lim lim
x 0 x x 0
x2
x
1
x
1
1 ''
''
''
1
x
1
x
f 0.
f 0 lim
f 0 lim
x 0
x 0 2 x
2
2x
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
如所熟知，若 f ( x)
f1 ( x), g ( x)
g1 ( x),
且 g( x), g1( x) 在 U 0 ( x0 )内不为零，若 xlim
x
0
( x x0 ),
f1 ( x )
A,
g1 ( x )
则
f ( x)
f1 ( x )
lim
lim
A
x x0 g ( x )
x x0 g ( x )
1
常见的等价无穷小代换：当 x 时
0
sin x
x,
tan x
ex 1 x, ln(1 x)
x2
1 cos x
.
2
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x,
arcsin x
x,
x, arctan x
x,
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
命题
lim ( x ) lim ( x ) c ; f (c) 0.
x x
x x
0
0
f [ ( x)] f [ ( x)] ~ f (c)[ ( x) ( x)] ( x x0 )
根据上述命题，可对常见的初等函数得出下列等价关系，
其中、 可以是自变量，也可以是函数（每一个等价关
系中极限过程相同）为引用方便，特殊情形也单独编号
.
.
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
(1)ln ln
1
( ) (c 0, c, c, );
c
(2)ln ln
(3)ln
( 1, 1, );
1 ( 1);
( x) lim ( x) c,
证: (1)在命题中取f (x) = lnx, xlim
x
x x
0
0
f (c) 1/ c, 故(1)成立.
(2)在命题中取 f (x) = lnx, 取 c=1, 得(2).
(3)在命题中取 f (x) = lnx, 取c=1, β=1 得(3).
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
(4)sin sin
( 0, 0, );
(5)tan tan
( 0, 0, );
(6)b b
ln b( ) (b 0, b 1, 0, 0, );
证: (6)在命题中取 f ( x) b x , 则 f (0) b x ln b x 0 ln b,
故(6)成立.
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
(7)e e
( 0, 0, );
(8)
(9)
1
2 c
( ) (c 0, c, c, );
( ) ( 1, 1, , 0);
(10)
( )( 1) ( 1, );
e ln e ln ln ln
( )ln ( )( 1)
下面看一些例子：
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
2
1
x
1
例5.5 求 lim
.
2
x 0
1 x
ln
1 x2
n
倒用（3）
解： 由等价关系式(2)、(3)有
ln n 1 x 2
原式 lim
x 0 ln(1 x 2 ) ln(1 x 2 )
(2)ln ln
(3)ln
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应用（2）
1
ln(1 x 2 )
1
lim
.
2
x
0
n
2x
2n
( 1, 1, )
1 ( 1)
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
cos x cos 2 x 1
例5.6 求 lim
.
x 0
ln cos x
倒用（3）
(3)ln
1 ( 1)
ln(cos x cos 2 x )
解：原式 lim
x 0
ln cos x
ln cos x 12 ln cos2 x
lim
x 0
ln cos x
应用（3）
ln cos x 1
ln cos2 x
1
cos2 x 1
lim
lim
1 lim
x 0 ln cos x
x
0
2
ln cos x
2 x0 cos x 1
1 2 3
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（用罗必达法则或等价代换）
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
例5.7
求 lim
tan x ln cos x
x 0
解： 原式 lim
3x 2 x
2
2
.
x2
ln 3 ln 2
1
x ( x)
2
lim 2
x 0 x (ln 3 ln 2)
x2
1 ( 1)
倒用(3)
x(cos x 1)
x 0
(3)ln
倒用（2）而得
1
2ln 6
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
（8）
例5.8 求 lim 1 tan x 1 sin x .
x 0
e 2 tan x esin x
（7）
解：因为x 0时，1 tan x 1, 1 sin x 1,
由等价关系(7),(8)和命题得
1
(7)
e
e
( 0, 0, )
(tan x sin x)
1
原式 lim 2
(8)
( ) ( c, c, )
x 0 2 tan x sin x
2 c
1 tan x
(
1)
lim 2 sin x
＝1
x 0
tan x
2
1
sin x
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
sin xe sin x 2 e x
例5.9 求 lim
.
x 0 tan(sin 2 x ) tan(sin x )
x2
解： 利用关系式(4)、(5)有
xe x 2 e x
原式 lim
x 0 sin 2 x sin x
x2
(4)sin sin
( 0, 0, )
(5)tan tan
( 0, 0, )
x ( e xe x )
lim
x 0
2x x
x2
x
lim(e xe ) 1.
x 0
x2
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5.2 微分中值定理在求极限中的应用
(1 tan x )5 (1 sin x )5
例5.10 求 lim
.
x 0 sin(tan x ) sin(sin x )
解： 利用关系式(4)、(9)有
5(tan x sin x )
原式 lim
x 0 tan x sin x
(4)sin sin
( 0, 0, ));
(9) ((
))
(9)
1,
1,
1,
1, , 0);
0)
((
5.
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5.3 微分中值定理的推广
定理 5.1（广义罗尔定理）设 ( a, b) 为有限或无限区间，
f ( x ) 在 ( a, b) 内可微，且 lim f ( x ) lim f ( x ) A( A有
x a
x b
限或为 , ) ，则存在 ( a, b) ，使 f ( ) 0 ．
第一步 先证A有限的情形.
证1(反证法) 若不然，对x (a, b)，f ( x ) 0,
由达布定理， f ( x )恒正或恒负，不妨设f ( x ) > 0，
则f ( x )严格递增，这与 lim f ( x) lim f ( x) A矛盾，
x a
x b
事实上，取定一点x0 (a, b)，则对x (a, x0 ), x ( x0 , b)有
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5.3 微分中值定理的推广
f ( x ) f ( x0 ) f ( x)，
A lim f ( x ) f ( x0 ) lim f ( x) A ,矛盾.
x a
xb
所以，存在 (a, b)，使f ( ) 0.
证2 （1）当(a, b)为有限区间时，令
f ( x), x (a, b);
F ( x)
A, x a或x b.
则F ( x )在[a, b]上连续，在 a, b 内可导，且F ( a ) F (b).
由罗尔定理，存在 (a, b)，使F ( ) 0.
而在(a, b)内，f ( x ) F ( x )，故f ( ) 0.
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5.3 微分中值定理的推广
（2）设( a, b) ( , )，令x tan t ,
2
t
2
.
则函数g (t ) f (tan t )在有限区间( , )内满足类似（1）
2 2
的条件． 由（1）知，存在t0 ( , )，使
2 2
g (t0 ) f (tan t0 )sec2 t0 0.
因为sec2 t0 0，故有f (tan t0 ) 0, 令 tan t0即可得证.
1 t
注 也可作替换x ln
, 1 t 1.
1 t
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5.3 微分中值定理的推广
（3）
(a, b) (a, ),(a为有限数). 令
x (t ) a tan( t ), t (0,1), 则 (0) a, (t ) (t 1 ).
2
记g (t ) f [ (t )]，则g (t )在(0,1)内可导，且
lim g (t ) lim f [ (t )] lim f ( x) A lim f ( x) lim f [ (t )]，
t 0
xa
t 0
x
t 1
于是函数g (t )在有限区间(0,1)内满足（1）的条件，
因此，由（1）的结论知， 存在t0 (0,1)，使
2
g (t0 ) f ( (t0 )) (t0 ) 0,由于 (t0 ) sec ( t0 ) 0,
2
2
故有 f ( (t0 )) 0, 令 (t0 )即可得证.
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5.3 微分中值定理的推广
1
t
注 也可令 (t ) a 1 ，或 (t ) a
，t (0,1).
t
1 t
（4）当a , b为有限数时，类似（3）可证.
第二步 再证A 或-的情形.
这里只考虑A 的情形. 任取定一点x0 (a, b)，
lim f ( x ) lim f ( x ) ，对任意M max{0, f ( x0 )}，
x a
x b
存在充分接近a的点a1 (a，x0 )和充分接近b的点b1 ( x0 , b)，
使f (a1 ) M , f (b1 ) M .
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5.3 微分中值定理的推广
又因为f ( x)在闭区间[a1, b1 ] (a, b)上连续，故存在最小值
点 [a1 , b1 ]， 注意到x0 (a1, b1 ) 且 f ( x0 ) M f (a1 )
(或 f (b1 )) , 从而 a1， b1，即 （a1 , b1 )，
因为f ( x )可微，所以f ( ) 0.
当A 时,同理可证.
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5.3 微分中值定理的推广
x
例5.11 设函数f ( x )在[0,+)可导，且0 f ( x )
2
1 x
2
1
证明存在 0使f ( )
.
2 2
(1 )
x
f ( x)， 则F ( x)在[0,+)可导，
证： 设F ( x)
2
1 x
x
由0 f ( x )
得
2
1 x
F (0) f (0) 0 lim f ( x) lim F ( x)
x
x
据广义罗尔定理，存在 0，使F ( ) 0,
2
1
即f ( )
.
2 2
(1 )
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5.3 微分中值定理的推广
练习：设函数 f ( x ) 在[0, ) 上可导.
（1）若 f (0) 1， f ( x ) e x .证明存在 x0 0
x0
使 f ( x0 ) e .
xn
(2) 若 0 f ( x ) x ，证明存在 0 使得.
e
n 1 ( n )
f ( )
.
e
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5.3 微分中值定理的推广
思考：当 f ( x ) 满足（广义）罗尔定理
条件时，一定存在导数为零的点(驻点).
是否存在导数大于零或小于零的
点？
显然常值函数就是一个反例，那么，
当 f ( x )不是常值函数时答案如何呢？
请看下面例子.
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5.3 微分中值定理的推广
例5.12 设f ( x)在(a,b)内可导，lim f ( x) lim f ( x) A,
x a
x b
且f ( x )不恒为常数.则存在 , (a, b)，使
f ( ) 0，f ( ) 0.
证：假若对x (a, b)恒有f ( x ) 0, 则f ( x )在(a,b)内单调
递减， 故对任意x, y, z (a, b), y x z，有
f ( y ) f ( x ) f ( z )，A lim f ( y ) f ( x ) lim f ( z ) A.
y a
z b
所以f ( x) A, 与题设矛盾.
同理可证存在导数小于0的点.
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5.3 微分中值定理的推广
思考：类比考虑拉格朗日中值定理条件下，若f(x)不是
线性函数，是否存在 , (a, b)使
f ( b) f ( a )
f ( )
f ( ) ？
ba
现在考虑拉格朗日中值定理的反问题：
对 (a, b)，是否一定存在x1 , x2 (a, b)，x1 x2，使
f ( x2 ) f ( x1 )
f ( )
x2 x1
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？
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5.3 微分中值定理的推广
请看反例 f ( x) x , x [1,1], 取 0 (1,1), 则对任意
x23 x13
2
2
x1 , x2 ( 1,1)，x1 x2，
x2 x1 x2 x1 0 f ( ).
x2 x1
3
设 f ( x ) 在( a, b) 内可导, ( a, b) . 则当
(1) f ( ) 存在，且 f ( ) 0 ,或
(2) 不是 f ( x ) 在 ( a , b) 上的最大值点或最小值
点时，存在 x1 , x2 ( a, b) , x1 x2 ，满足
f ( x2 ) f ( x1 )
f ( ).
x2 x1
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5.3 微分中值定理的推广
上述问题要求在函数曲线上选择两点，使其连
成的弦平行于对应曲线上给定点处的切线. 如果在
曲线上先固定一点，能否在曲线上找到另外一点，
使它们连成的弦平行于给定点处的切线？即
f (c ) f ( a )
对 (a, b), 是否存在c (a, b], 使
f ( )?
ca
一般而言，答案是否定的.
请验证反例：f ( x) x 3 x 2 , x [1,1].
思考：这时需要的条件会更强还是更弱？
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5.3 微分中值定理的推广
现在回顾柯西中值定理：
设函数 f ( x ), g ( x ) 在[a, b] 上连续，在 ( a, b) 内可导，
且对x ( a, b)， g ( x ) 0.则存在 ( a, b) ，使．
f (b) f (a ) f ( )
.
g (b) g (a ) g ( )
该定理中的条件g( x) 0是苛刻的，它相当于要求
g ( x)严格单调，这限制了柯西中值定理的应用范围，
如：f ( x) x, g ( x) x 3 , 在 1,1 上不满足上述定理条件.
1
f (1) f ( 1) f ( )
但确实存在
( 1,1), 使1
.
g (1) g ( 1) g ( )
3
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5.3 微分中值定理的推广
那么,柯西中值定理的条件能否放宽呢？
人们做过不少研究，如：将条件g ( x ) 0减弱为
“ g (a) g (b), 且f ( x)和g ( x)不同时为零”
这时上述例子就适用了，但如果改取f ( x) x 3 , g ( x) x 5 ,
又不适用了； 也有干脆去掉 g ( x) 0的要求，将原式
“摆平”，即有
定理 5.2 设 f ( x ) 和 g ( x ) 在[a, b]上连续，在 (a, b) 内可导.
则有[ f (b) f (a )]g ( ) [ g (b) g (a )] f ( ).
设辅助函数F ( x ) f ( x )[ g (b) g (a )] g ( x)[ f (b) f (a )]
用罗尔定理即可得证.
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二、积分中值定理的推广
积分中值定理是积分的一条重要性质，是
积分学乃至数学分析的重要理论结果和有效工
具，课本上通常讲的积分中值定理，一般要求
函数连续，且“中值”属于闭区间.
下面将放宽对函数的要求，并将结论改进
为“中值”属于开区间，当然不排除同时在端
点取得，这不仅与微分中值定理的“中值”表
述相一致，也扩大了积分中值定理的应用范围
.
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二、积分中值定理的推广
定理 5.3（积分第一中值定理特殊形式） 设函数 f ( x ) 在闭区
间[a, b]上可积且有原函数.则至少存在一点 (a, b) ，使得
b
a
f ( x)dx f ( )(b a ).
证：设F ( x )是f(x)在[a, b]上的一个原函数，
因为f ( x )在闭区间[a, b]上可积，则由广义牛顿 莱布
b
尼兹公式有 f ( x )dx F (b) F (a ).
a
再由拉格朗日中值定理知，存在 (a, b)使得
F (b) F (a) F '( )(b a) f ( )(b a),
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二、积分中值定理的推广
b
于是有 f ( x )dx f ( )(b a ), (a, b).
a
例5.13 设f ( x )在0,1 上可导，且f (1) xf ( x )dx
0
f ( )
'
.
证明：存在 (0,1)，使 f ( )
1
证： 由定理5.3,存在 c (0,1) 使
1
1 f (1) f (1) xf ( x)dx cf (c),
0
令F ( x ) xf ( x )，则F (1) F (c)，
由罗尔定理，存在 (c,1)，F ' ( ) 0，即
f ( )
'
'
f ( ) f ( ) 0，或f ( )
.
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二、积分中值定理的推广
1
e
练习： 设f ( x )在[0,1]上可导，且f (1)
0
1 x 2
f ( x )dx
证明：存在 (0,1)，使f ' ( ) 2 f ( ).
注：这两个题目是从1996年和2001年全国硕士生入
学统考数学试题改编而来，原题为了保证
属于开区间，分别假设
1
2
1
3
f (1) 2 xf ( x)dx 和 f (1) 3 e
0
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1 x 2
0
f ( x)dx.
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二、积分中值定理的推广
例5.14
设f ( x )在0, 上连续，且 f ( x)dx 0,
0
f ( x )cos xdx 0，证明存在1 , 2 0, ,
0
1 2 , 使f (1 ) f (2 ) 0.
x
证： 设F ( x ) f (t )dt , 则F (0) 0, F ( ) 0
0
0 f ( x )cos xdx cos xdF ( x )
0
cos xF ( x )
0
F ( x )sin xdx
0 0
(0, )
F ( x)sin xdx F ( )sin ,
0
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二、积分中值定理的推广
F ( ) 0 ( sin 0),
F (0) F ( ) F ( ) 0， 由罗尔定理
存在1 (0, ),2 (, )，使f (1 ) f (2 ) 0.
思考：本题能否直接对两个等式分别使用定理5.3
得到1 , 2？
关于积分第一中值定理、积分第二中值一般形式的
改进和推广，下节课再讲.
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