Transcript 第3章 §3.1 燕列雅 微分中值定理 权豫西 王兰芳 李琪 一、微分中值定理 定义1 设函数 f ( x) 在 (a, b)内有定义 , x0  (a , b) , 若存在 x0 的一个邻域 ，如果在该邻域内 , (1) f.

第3章
§3.1
燕列雅
微分中值定理
权豫西
王兰芳
李琪
一、微分中值定理
定义1 设函数 f ( x) 在 (a, b)内有定义 , x0  (a , b) ,
若存在 x0 的一个邻域 ，如果在该邻域内 ,
(1) f ( x)  f ( x0 ), 则称 x0 为 f ( x)的极大值点 ,
称 f ( x0 ) 为函数的极大值 ;
(2) f ( x)  f ( x0 ), 则称 x0为 f (x)的极小值点 ,
称 f ( x0 ) 为函数的极小值 .
极大值点与极小值点统称为极值点 ; 极大值与极小
值统称为极值.
定义2
导数为零的点称为函数的驻点.
1. 罗尔( Rolle )定理
费马(fermat)引理
y  f (x) 在  ( x0 ) 有定义 ,
且 f ( x)  f ( x0 ) , f ( x0 ) 存在
y
o x0 x
f ( x0 )  0
(或  )
证 设 x0  x  ( x0 ) , f ( x0  x)  f ( x0 ) ,
f ( x0  x)  f ( x0 )
则 f ( x0 )  lim
x 0
x
f  ( x0 )  0 (x  0  )
f ( x0 )  0

f  ( x0 )  0 (x  0  )
证毕
即: 可导函数的极值点一定是驻点. 但反过来不成立.
罗尔（ Rolle ）定理
满足:
y
y  f (x)
(1) 在区间 [a , b] 上连续
(2) 在区间 (a , b) 内可导
o
a
b x
(3) f ( a ) = f ( b )
在( a , b ) 内至少存在一点  , 使 f ( )  0.
证 因 f ( x) 在[a , b] 上连续，故在[ a , b ]上取得最大
值M 和最小值 m .
若 M = m , 则 f ( x )  M , x  [ a , b] ,
因此   (a , b) , f ( )  0 .
若 M > m , 则 M 和 m 中至少有一个与端点值不等,
不妨设 M  f (a) , 则至少存在一点   (a, b) , 使
f ( )  M , 则由费马引理得 f ( )  0 .
注意:
1) 定理条件不全具备, 结论不一定成立.
x , 0  x  1
f ( x)  
0, x  1
f ( x)  x
x  [1,1]
y
1
o
y
o
1
f ( x)  x
x  [0 ,1]
1
x
例如,
x
y
o
1
x
例1 证明方程 x  5 x  1  0 有且仅有一个小于1 的
正实根 .
证 1) 存在性 .
设 f ( x)  x 5  5 x  1, 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且
5
f (0)  1, f (1)  3. 由零点定理知存在 x0  (0 ,1) , 使
f ( x0 )  0, 即方程有小于 1 的正根 x0 .
2) 唯一性 .
假设另有 x1  (0 , 1) , x1  x0 , 使 f ( x1 )  0,
 f (x) 在以x0 , x1 为端点的区间满足罗尔定理条件 ,
 在 x0 , x1 之间至少存在一点  , 使 f ( )  0.
但 f ( x)  5( x 4  1)  0, x  ( 0 , 1), 矛盾, 故假设不
真!
2. 拉格朗日中值定理
满足:
(1) 在区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在区间 ( a , b ) 内可导
y  f (x)
y
o
a
b x
至少存在一点   (a, b) , 使 f ( )  f (b)  f (a ) .
b

a
f (b)  f (a )
※
问题转化为证

证
f ( ) 
0
ba
f (b)  f (a )
x
 (x)  f (x) 
作辅助函数
ba
显然 ,  (x) 在 [ a , b ] 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且
b f (a )  a f (b)
 (a) 
  (b) , 由罗尔定理知至少存在一
ba
点   (a , b) , 使  ( )  0 , 即定理结论成立 . 证毕
思路: 利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数
注: 拉格朗日中值定理对于b<a也是成立的.
推论1 若函数 f (x) 在区间 I 上满足 f ( x)  0 , 则 f (x)
在 I 上必为常数.
证 在 I 上任取两点x1 , x2 ( x1  x2 ) , 在[ x1 , x2 ] 上用拉
日中值公式 , 得
f ( x2 )  f ( x1 )  f ( )( x2  x1 )  0 ( x1    x2 )

f ( x2 )  f ( x1 )
由 x1 , x2 的任意性知, f (x) 在 I 上为常数 .
推论2 若两个可导函数f (x)，g (x)的导数 处处相等，
则它们只相差一个常数， 即存在 常数C， 使
f ( x )  g( x )  C .
例2 证明等式 arcsin x  arccos x 

, x  [1, 1].
2
证 设 f ( x)  arcsin x  arccos x , 则在 (1, 1) 上
1
1

0
f (x) 
2
2
1 x
1 x
由推论可知
f ( x)  arcsin x  arccos x  C (常数)
令x=0,得C

.
2
又 f (1)   , 故所证等式在定义域 [1, 1] 上成立.
2
例3 证明不等式 | sin a  sin b || a  b | .
证 设 f ( x)  sin x, 则 f ( x) 在[a , b] 或[b, a]上满足拉
格朗日中值定理条件, 因此应有
f (b)  f (a)  f ( )(b  a)
于是
因为
故
f (a)  f (b)  f ( ) a  b
f ( )  cos   1
| sin a  sin b || a  b | .
( 在a与b在之间)
2. 柯西(Cauchy)中值定理※
f (x) 及 F (x) 满足 :
(1) 在闭区间 [ a , b ] 上连续
(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导
(3) 在开区间 ( a , b ) 内
F ( x)  0
y
几何意义:
f (b)
 x  F (t )
 y  f (t )

则
d y f (t )

d x F (t )
f (a)
o F (a)F ( )
则至少存在一点
  ( a, b) , 使
f (b)  f (a ) f ( )

.
F (b)  F (a ) F ( )
弦的斜率
切线斜率
F (b) x
内容小结
1. 微分中值定理的条件、结论及关系
费马引理
f (b)  f (a)
拉格朗日中值定理
F ( x)  x
罗尔定理
f (b)  f (a)
F ( x)  x
2. 微分中值定理的应用
(1) 证明恒等式
(2) 证明不等式
柯西中值定理※
思考与练习
1. 填空题
1) 函数 f ( x)  x 4 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
条件, 则中值  
3 15
_____
4 .
2 1
3
 4
2 1
4
4
2) 设 f ( x)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) , 方程 f ( x)  0
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.