第十二章 非线性规划方法 非线性规划的一般模型； 无约束线性规划的求解方法； 带约束非线性规划的求解方法； 非线性规划的软件求解方法； 非线性规划的应用案例分析。 2015年10月31日 一、非线性规划的一般模型 1. 引例：股票的组合投资问题 一个投资者拟选择Ａ，Ｂ，Ｃ三支业 绩好的股票来进行长期组合投资．通过对 这三支股票的市场分析和统计预测得到 相关数据如下表 1 所示． 2015年10月31日 1. 引例：股票的组合投资问题 (1) 问题的提出 表 1 股票的相关数据表 股票名称 五年期望收益 率（％） Ａ Ｂ Ｃ 64 五年的协方差（％） Ａ Ｂ Ｃ36120 -30 -30 试从两个方面分别给出三支股票的 投资比例： 2015年10月31日.
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第十二章 非线性规划方法
非线性规划的一般模型；
无约束线性规划的求解方法；
带约束非线性规划的求解方法；
非线性规划的软件求解方法；
非线性规划的应用案例分析。
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一、非线性规划的一般模型
1. 引例：股票的组合投资问题
一个投资者拟选择Ａ，Ｂ，Ｃ三支业
绩好的股票来进行长期组合投资．通过对
这三支股票的市场分析和统计预测得到
相关数据如下表 1 所示．
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1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
表 1 股票的相关数据表
股票名称
五年期望收益
率（％）
Ａ
Ｂ
Ｃ
92
64
41
五年的协方差（％）
Ａ
Ｂ
Ｃ
180
36
110
36
120
-30
110
-30
140
试从两个方面分别给出三支股票的
投资比例：
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1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
(１)希望将投资组合中的股票收益的标
准差降到最小，以降低投资风险，并希望
五年后的期望收益率不少于65%．
(２)希望在标准差最大
不超过12%的情况下，
获得最大的收益．
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1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
设 x1 , x 2 , x 3 分别表示Ａ，Ｂ，Ｃ三支股票的
投资比例，其五年的期望收益率分别记为
r1 , r2 , r3 ，即为随机变量．
五年后投资组
合的总收益率为
R x1 r1 x 2 r2 x3 r3 ，
表 1 股票的相关数据表
股票
名称
Ａ
Ｂ
Ｃ
7
五年期望收
益率（％）
92
64
41
五年的协方差（％）
Ａ
Ｂ
Ｃ
180
36
110
36
120
-30
110
-30
140
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1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
由概率统计的知识,投资组合的方差为
V ar ( R ) x1 V ar ( r1 ) x 2 V ar ( r2 ) x 3 V ar ( r3 )
2
2
2
2 x1 x 2 C ov ( r1 , r2 ) 2 x1 x 3 C ov ( r1 , r3 ) 2 x 2 x 3 C ov ( r2 , r3 ) ,
根据表 1 中的数据计算得到
Var ( R ) 180 x1 120 x 2 140 x 3 72 x1 x 2 220 x1 x 3 60 x 2 x 3 .
2
2
2
投资组合的标准差为
1
D [180 x 120 x 140 x 72 x1 x 2 220 x1 x 3 60 x 2 x 3 ] 2 .
2
1
2
2
2
3
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1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
问题(１)：根据投资者第(1)项要求，则问题的模型为
1
m in D [180 x 120 x 140 x 72 x1 x 2 220 x1 x 3 60 x 2 x 3 ] 2 ;
2
1
2
2
2
3
x1 x 2 x 3 1,
s.t. 0.92 x1 0.64 x 2 0.41 x 3 0.65,
x , x , x 0.
1 2 3
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1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
问题（２）：希望在标准差最大不超过12%的情
况下，获得最大的收益．
根据投资者第（２）项要求，则问题的模型为
m ax R 0.92 x1 0.64 x 2 0.41 x 3 ;
x1 x 2 x 3 1,
1
2
2
2
s.t.[180 x1 120 x 2 140 x 3 72 x1 x 2 220 x1 x 3 60 x 2 x 3 ] 2 12,
x , x , x 0.
1 2 3
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二. 非线性规划的数学模型
1 . 非线性规划问题的一般模型
如果问题的目标函数和约束条件中包含有非线
性函数，则这样的规划问题称为非线性规划问题。
非线性规划的一般模型为
min f ( x 1 , x 2 , , x n )
h i ( x 1 , x 2 , , x n ) 0 , i 1, 2 , , m
g ( x , x , , x ) 0 , j 1, 2 , , l
j
1
2
n
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（1）
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1 . 非线性规划问题的一般模型
若 X ( x1 , x 2 , , x n ) E ,
T
n
则模型
min f ( X )
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m （2）
g ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
j
(1) 若目标函数为最大化问题，由 max f ( X ) min[ f ( X )] ，
令 F ( X ) f ( X ) ，则 min F ( X ) max f ( X ) ；
(2) 若约束条件为 g j ( X ) 0 ，则 g j ( X ) 0 ；
(3） h i ( X ) 0 h i ( X ) 0 且 h i ( X ) 0 。
m in f ( X )
一般模型形式：
g j ( X ) 0, j 1, 2,
12
,m
（3）
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二. 非线性规划的数学模型
2 . 非线性规划模型的几种特殊情况
（1）无约束的非线性规划
当问题无约束条件时，则此问题
称为无约束的非线性规划问题。
（2）二次规划
如果目标函
数是 X 的二次函
数，约束条件都有
是线性的，则称此
规划为二次规划.
min f ( X )
X R
X 0
(4)
n
n
n
min f ( X ) c j x j c jk x j x k
j 1
j 1 k 1
n
a ij x j b i 0 , i 1, 2 , , m
j 1
x 0 , c c , j , k 1, 2 , , n
j
jk
kj
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二. 非线性规划的数学模型
2 . 非线性规划模型的几种特殊情况
m in f ( X )
一般模型形式：
g j ( X ) 0, j 1, 2,
,m
（3）
（ 3） 凸 规 划
当 模 型 (3 ） 中 的 目 标 函 数 f ( X ) 为 凸 函 数 ，
g j ( X )( j 1, 2 , , m ) 均 为 凹 函 数 （ 即 g j ( X ) 为 凸 函
数 ）， 则 这 样 的 非 线 性 规 划 称 为 凸 规 划 。
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三、无约束非线性规划的解法
1. 一般迭代法
一般迭代法基本思想：
对问题(4)，给出 f ( X ) 的极小点
的初始值 X
X
(k )
(0)
f (X )
min
X R
X 0
（ 4）
，按某种规律计算出一系列的
( k 1, 2 , ) ，希望点列 X
(k )
的极限 X
*
就是
f ( X ) 的一个极小点。
??问题：如何来产生这个点列？即如何由一个解向量
(k )
求出另一个新的向量解 X ？
X
( k 1 )
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1. 一般迭代法
实际上：向量 X ( k 1) 总可以写成
X
( k 1)
X
(k )
k P
(k )
( k 1, 2 , )
其中 P ( k ) 为一个向量， k 为一个实数，称为步长。
实际中各种迭代法就在于寻求不同的 k 和 P ( k ) ，特别是方
向 P ( k ) 的确定是问题的关键，称为搜索方向。
选择 k 和 P ( k ) 的一般原则是使
f (X
(0)
) f (X
(1 )
) f (X
这种算法称为下降算法。 最后检验 X
解，即对 0 ，是否有 f ( X
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( k 1)
(k )
(k )
)
是否收敛于最优
) 决定迭代是否结束。
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三、无约束非线性规划的解法
2. 一维搜索法
一维搜索法:沿着一系列的射线方向 P
(k )
寻求极小化点列的方法.
对 确 定 方 向 P ( k ) ， 在 X ( k ) P ( k ) ( 0) 上 选 取 步 长 k 使
f (X
(k )
k P
(k )
) f (X
(k )
) ，则可确定一个新的点 X
( k 1)
X
(k )
k P
(k )
，
即 为 沿 X (k ) P (k ) 求 f ( X ) 的 最 小 值 问 题 。 即 等 价 于 求
(k )
(k )
(k )
(k )
( ) f ( X P ) 在 L X | X X P , 上 极 小
点k 。
一维搜索法是对某一个确定方向 P ( k ) 来进行的.
??问题:如何选择搜索方向 P ( k ) 呢？
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2、 一维搜索法
(1)梯度法（最速下降法）
选择下降速度最快的方向，可取 f ( X ) 在 X
(k )
数最小的方向作为搜索方向，即令 P ( k ) f ( X
点的方向导
(k )
) ，这就是
梯度法，或最速下降法．
(2)共轭梯度法
共轭梯度法仅适用于正定二次函数的极小值问题：
min f ( X )
1
X AX B X c
T
T
2
其中 A 为 n n 实对称正定阵， X , B E n , c 为常数．
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2、 一维搜索法
(3)牛顿（Newton）法
对 于 问 题 ： min
f (X )
1
X
T
AX B X c
T
2
当 A 为正定时， A
(4)
1
存在，于是有 X
*
1
A B 为最优解．
拟牛顿法）
对于一般的二阶可微函数 f ( X ) ，在 X
f (X ) f (X
1
(k )
) f ( X
(X X
) (X X
(k ) T
) f (X
(k ) T
2
(k )
(k )
(k )
点的局部有
)
)( X X
(k )
)
2
当黑塞矩阵 2 f ( X
就是拟牛顿法，
(k )
) 正定时，也可应用上面的牛顿法，这
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2、 一维搜索法
变尺度法
(5)
1）任取 X
P
(0)
H
E 和H
(0)
n
(0)
f ( X
(0)
(0)
（一般取 H
(k )
3）计算 k 1 X
( k 1)
X
(k )
P
P
( k 1)
( k 1)
H
(k )
H
( k 1)
k 1
f ( X
( k 1)
H
(k )
X
(k )
， k 1 f ( X
k 1 k 1
T
k 1
( k 1)
) f (X
(k )
T
H
，计算
I 为单位阵）
), k 0 ；
2）若 f ( X ( k ) ) 0 ，则停止计算，否则令 X
k 为最佳步长，由 min f ( X
(0)
(k )
k P
k P
( k 1)
k 1
T
k 1
H
(k )
(k )
) 确定；
) f ( X
(k )
，其中
T
k 1
H
k 1
(k )
)，
(k )
,
)
4）令 k k 1; 返回 2）
．
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四、带约束非线性规划的解法
1、非线性规划的可行方向法
假设 X
(k )
是问题（３）的
一个可行解，但非最优解，
min f ( X )
（ 3）
g j ( X ) 0 , j 1, 2 , , m
为进一步寻找最优解在它的可行下降方向中选取其一个方向
D
(k )
，并确定最佳步长 k 使
X ( k 1 ) X ( k ) k D ( k ) R
, k 0 ,1, 2 ,
( k 1)
(k )
f ( X
) f (X )
反复进行这一过程，直到得到满足精度要求为止。即称为
可行方向法．
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四、带约束非线性规划的解法
2、非线性规划的制约函数法
基本思想：将求解非线性规划的问题转化为一
系列无约极值问题来求解，故也称为序列无约束最
小化方法．在无约束问题的求解中，对企图违反约
束的那些点给出相应的惩罚约束，迫使这一系列的
无约束问题的极小点不断地向可行域靠近(在可行外
部)，或者一直在可行域内移动(在可行域内部)，直
到收敛到原问题的最优解为止．
制约函数分两类：惩罚函数和障碍函数。从方
法上分为外点法(或外部惩罚函数法)和内点法(或内
部惩罚函数法，即障碍函数法)．
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2、非线性规划的制约函数法
（1）外点法（罚函数法）
min f ( X )
对于等式约束的问题：
（1）
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m
m
作辅助函数： P1 ( X , M ) f ( X ) M
h
2
j
(X )
j 1
取 M 为充分大的正数，则问题（1）转化为求无约束问题
min P1 ( X , M ) 的解的问题。
X
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（1）外点法（罚函数法）
对于不等式约束的问题：
min f ( X )
g j ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
（2）
同样可构造惩罚函数，即对充分大的 M 作：
min 0 , g
l
P2 ( X , M ) f ( X ) M
j
2
( X )
j 1
则问题（2）可以转化为求 min P2 ( X , M ) 的问题。
X
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（1）外点法（罚函数法）
对于一般的问题
m i n f ( X )
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m
g ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
j
（3）
对于充分大的 M 作辅助函数： P3 ( X , M ) f ( X ) MP ( X )
m
其中 P ( X )
i 1
2
l
2
hi ( X ) mim 0 , g j ( X ) ,则将问题（3）
j 1
化为求解 min P3 ( X , M ) 的问题。
X
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（1）外点法（罚函数法）
选择惩罚因子 M 的一般策略:
选取一个趋向无穷大的严格递增正数列
{ M k } ，逐个求解
min P3 ( X , M k ) f ( X ) M k P ( X )
X
*
k
即可得到一个极小点的序列 { X } ，在一定的条件
下，这个序列收敛于原问题的最优解。
这种方法又称为序列无约束极小化方法，简称
为 SUMT 方法。
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2、非线性规划的制约函数法
（2）内点法（障碍函数法）
内点法总是在可行域内进行的，并一直保持在可行域内
进行搜索.这种方法只适用于只有不等式约束的问题：
min f ( X )
X R { X | g j ( X ) 0 , j 1, 2 , , l }
作辅助函数（障碍函数）：
Q ( X , r ) f ( X ) rB ( X )
其中 B ( X ) 是连续函数， rB ( X ) 称为障碍项； r 为充分小
的正数，称之为障碍因子。
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（2）内点法（障碍函数法）
作辅助函数（障碍函数）：
Q ( X , r ) f ( X ) rB ( X )
其中 B ( X ) 是连续函数， rB ( X ) 称为障碍项； r 为充分小
的正数，称之为障碍因子。
注意到，当点 X 趋向于 R 的边界时，要 B ( X ) 趋向于正无
穷大，则 B ( X ) 的最常用两种形式为
l
B( X )
g
j 1
1
j
(X )
和 B ( X ) log g j ( X )
l
j 1
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（2）内点法（障碍函数法）
由于 B ( X ) 的存在，在 R 的边界上形成了“围墙”，
对迭代点的向外移动起到了阻挡作用，而越靠近边界阻
力就越大。当点 X 趋向于 R 的边界时，则障碍函数
Q ( X , r ) 趋向于正无穷大；否则， Q ( X , r ) f ( X ) 。
问题转化为求解问题：
min Q ( X , r )
X R0
其中 R 0 X | g j ( X ) 0 , j 1, 2 , , l 。
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（2）内点法（障碍函数法）
根据 Q(X , r) 定义，显然障碍因子越小，
min Q ( X , r ) 的解就越接近于原问题的解.
X R0
在实际中也采用 SUMT 方法，即取一个严格单
调减少且趋于零的障碍因子数列 { rk } ，对于每一个
rk ，从 R 0 内的某点出发，求解 min Q ( X , rk ) 。
X R0
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（2）内点法（障碍函数法）
针对带有约束条件的非线性规划模型的
一般形式为 :
min f ( X )
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m
g ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
j
下面给出LINGO模型的基本形式.
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五、非线性规划的软件解法
1、非线性规划的LINGO解法
MODEL:
min f ( X )
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m
g ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
j
sets:
row/1..m/;
arrange/1..L/;
link/1..n/:x0,x;
endsets
init:
x0=x0(1),x0(2),… ,x0(n);
endinit
[OBJ]min=f(x);
!目 标 函 数 的 表 达 式
@for(row(i):hi(x)==0;);
!等 式 约 束 条 件
@for(arrange(j):gj(x)>=0;); !不 等 式 约 束 条 件
@for(link(k):x(k)>=0;);
END
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五、非线性规划的软件解法
2、非线性规划的MATLAB解法
（1）若要求问题： min f ( x ) ，其步骤如下：
第一步：利用文件编辑器编写 M 文件，即定义函数，
并存为*.M 文件。
function f=fun（x）
f=f（x）
（表达式）
；
第二步：在命令窗口中调用优化程序 fmin，
x x 0 ；%取初始值
x=fmin（’fun’
，x）
回车后输出最优解 x，键入 fun（x）
，可得到最优值。
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五、非线性规划的软件解法
2、非线性规划的MATLAB解法
（2）若求问题： min f ( x )
[ a ,b ]
指定搜索区间，调用优化程序 constr，即在命令窗
口键入：
x x0 ；
vlb=a；
vub=b；
x=constr（‘fun’，x，options，vlb，vub）
回车后即执行并输出解，键入 fun（x）输出最优值。
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2、非线性规划的MATLAB解法
（3）求无约束的非线性规划问题： min f ( X )
X E
n
第一步：定义函数
function f=fun（X）
f=f（X） %（表达式）；
第二步：在命令窗口键入
X 0 [x
(0)
1
,x
(0)
2
, , x
(0)
n
] ；%给出初始值
options=[ ]； %使用默认值
[X，options]=fmin（‘fun’，X0，options）
%调用优化函数
回车输出最优解，键入 option（8）输出最优值，键入 options
（10）输出计算次数。
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2、非线性规划的MATLAB解法
(4)求解带约束的非线性规划
min n
x R
s .t .
f ( x)
hi ( x ) 0 ,
i 1, 2 , , m
g ( x ) 0,
j
j 1, 2 , , l
x=constr(‘fun’,x0)
x=constr(‘fun’,x0,opt)
x=constr(‘fun’,x0,opt,v1,v2,’grad’)
x=constr(‘fun’,x0,opt,v1,v2,’grad’,p1,…)
[x,opt]=constr(‘fun’,x0,opt,…)
注意：1）fun.m文件中同时给出目标函数f和约束g，
形式为：[f,g]=fun(x)；
2）grad.m文件中（用分析梯度方法）同时给出目标
函数f和约束g的梯度，形式为[df,dg]=grad(x)。
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1、问题的提出
一奶制品加工厂用牛奶生产 A1 , A 2 两种初级奶制品，它们
可以直接出售，也可以分别加工成 B 1 , B 2 两种高级奶制品再出
售．按目前技术每桶牛奶可加工成 2 公斤 A1 和 3 公斤 A 2 ，每
桶牛奶的买入价为 10 元，加工费为 5 元，加工时间为 15 小时．
每公斤 A1 可深加工成 0.8 公斤 B 1 ，加工费为 4 元，加工
时间 12 为小时；每公斤 A 2 可深加工成 0.7 公斤 B 2 ，加工费
为 3 元，加工时间 10 为小时．
初级奶制品 A1 , A 2 的售价分别为每公斤 10 元和 9 元，
高级奶制品 B 1 , B 2 的售价分别为每公斤 30 元和 20 元．
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1、问题的提出
工厂现有的加工能力每周总共 2000 小时．根据市
场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的
20%至 40%．试在供需平衡的条件下为该厂制订生产计
划，使利润最大，并进一步研究如下问题：
（1）工厂拟拨一笔资金用于技术革新，据估计可
实现下列革新中的某一项：总加工能力提高 10%；各项
加工费用均减少 10%；初级奶制品 A1 , A 2 的产量提高 10%，
高级奶制品 B 1 , B 2 的产量提高 10%．问将资金用于哪一项
革新，这笔资金的上限应为多少．
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Slide 39
1、问题的提出
(2) 该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来
的每桶牛奶可加工成品 2 公斤 A 1 和 3 公斤 A 2 变为每桶
牛奶可加工成 4 公斤 A 1 或 6 公斤 A 2 ．假设其他条件都
不变，问应否采用这项革新，若采用，生产计划如何．
(3) 根据市场经济规律，初级奶制品 A1 , A 2 的售价都
要随着它们二者销售量的增加而减少，同时，在深加工
过程中，单位成本会随着它们各自加工数量的增加而减
小．在高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量 20%的情
况下，市场调查得到一批数据．试根据此市场实际情况
对该厂的生产计划进行修订．
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2、问题的分析
由题意： A1 , B1 , A2 , B 2 的售价分别为 p1 10 , p 2
30 , p 3 9 , p 4 20
（元/公斤）．牛奶的购入和加工费用为 q1 10 5 15（元/桶），
深加工 A1 , A 2 的费用分别为 q 2 4 , q 3 3（元/公斤）．每桶牛奶
可加工成 a 2 公斤 A1 和 b 3 公斤 A 2 ，每公斤 A1 可深加工成
c 0 . 8 公斤 B 1 ，每公斤 A 2 可深加工成 d 0 . 7 公斤 B 2 ．
每桶牛奶的加工时间为 15 小时，每公斤 A1 , A 2 的深加工时
间分别为 12、10（小时），工厂的总加工能力为 S=2000 小时．B 1 ，
B 2 的销售量（即产量）占全部奶制品的比例为 20%至 40%．
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2、问题的分析
记出售 A1 , B1 的数量分别为 x1 , x 2（公斤），出售 A2 , B 2 的数量分别为
x 3 , x 4 （公斤），生产的 A1 , A 2 的数量分别为 x 5 , x 6 （公斤），购入和加工
牛奶的数量为 x 7 桶，深加工的 A1 , A2 的数量分别为 x 8 , x 9 （公斤）．
加工 1 公斤 A1 ：4 元+12 小时
= 0.8 公斤 B1 ：30 元/公斤
一桶牛奶
10 元+5 元
+15 小时
2 公斤 A1
出售 1 公斤 A1 ：10 元
出售 1 公斤 A2 ：9 元
3 公斤 A2
加工 1 公斤 A2：3 元+10 小时
= 0.7 公斤 B2：20 元/公斤
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3、模型的建立与求解
具体的模型为一个线性规划模
型和非线性规划模型，用LINGO
求解可以得到相应的结果。
详细内容请教材！
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Slide 2
Slide 3
第十二章 非线性规划方法
非线性规划的一般模型；
无约束线性规划的求解方法；
带约束非线性规划的求解方法；
非线性规划的软件求解方法；
非线性规划的应用案例分析。
3
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一、非线性规划的一般模型
1. 引例：股票的组合投资问题
一个投资者拟选择Ａ，Ｂ，Ｃ三支业
绩好的股票来进行长期组合投资．通过对
这三支股票的市场分析和统计预测得到
相关数据如下表 1 所示．
4
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1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
表 1 股票的相关数据表
股票名称
五年期望收益
率（％）
Ａ
Ｂ
Ｃ
92
64
41
五年的协方差（％）
Ａ
Ｂ
Ｃ
180
36
110
36
120
-30
110
-30
140
试从两个方面分别给出三支股票的
投资比例：
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1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
(１)希望将投资组合中的股票收益的标
准差降到最小，以降低投资风险，并希望
五年后的期望收益率不少于65%．
(２)希望在标准差最大
不超过12%的情况下，
获得最大的收益．
6
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1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
设 x1 , x 2 , x 3 分别表示Ａ，Ｂ，Ｃ三支股票的
投资比例，其五年的期望收益率分别记为
r1 , r2 , r3 ，即为随机变量．
五年后投资组
合的总收益率为
R x1 r1 x 2 r2 x3 r3 ，
表 1 股票的相关数据表
股票
名称
Ａ
Ｂ
Ｃ
7
五年期望收
益率（％）
92
64
41
五年的协方差（％）
Ａ
Ｂ
Ｃ
180
36
110
36
120
-30
110
-30
140
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1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
由概率统计的知识,投资组合的方差为
V ar ( R ) x1 V ar ( r1 ) x 2 V ar ( r2 ) x 3 V ar ( r3 )
2
2
2
2 x1 x 2 C ov ( r1 , r2 ) 2 x1 x 3 C ov ( r1 , r3 ) 2 x 2 x 3 C ov ( r2 , r3 ) ,
根据表 1 中的数据计算得到
Var ( R ) 180 x1 120 x 2 140 x 3 72 x1 x 2 220 x1 x 3 60 x 2 x 3 .
2
2
2
投资组合的标准差为
1
D [180 x 120 x 140 x 72 x1 x 2 220 x1 x 3 60 x 2 x 3 ] 2 .
2
1
2
2
2
3
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1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
问题(１)：根据投资者第(1)项要求，则问题的模型为
1
m in D [180 x 120 x 140 x 72 x1 x 2 220 x1 x 3 60 x 2 x 3 ] 2 ;
2
1
2
2
2
3
x1 x 2 x 3 1,
s.t. 0.92 x1 0.64 x 2 0.41 x 3 0.65,
x , x , x 0.
1 2 3
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1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
问题（２）：希望在标准差最大不超过12%的情
况下，获得最大的收益．
根据投资者第（２）项要求，则问题的模型为
m ax R 0.92 x1 0.64 x 2 0.41 x 3 ;
x1 x 2 x 3 1,
1
2
2
2
s.t.[180 x1 120 x 2 140 x 3 72 x1 x 2 220 x1 x 3 60 x 2 x 3 ] 2 12,
x , x , x 0.
1 2 3
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二. 非线性规划的数学模型
1 . 非线性规划问题的一般模型
如果问题的目标函数和约束条件中包含有非线
性函数，则这样的规划问题称为非线性规划问题。
非线性规划的一般模型为
min f ( x 1 , x 2 , , x n )
h i ( x 1 , x 2 , , x n ) 0 , i 1, 2 , , m
g ( x , x , , x ) 0 , j 1, 2 , , l
j
1
2
n
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（1）
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1 . 非线性规划问题的一般模型
若 X ( x1 , x 2 , , x n ) E ,
T
n
则模型
min f ( X )
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m （2）
g ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
j
(1) 若目标函数为最大化问题，由 max f ( X ) min[ f ( X )] ，
令 F ( X ) f ( X ) ，则 min F ( X ) max f ( X ) ；
(2) 若约束条件为 g j ( X ) 0 ，则 g j ( X ) 0 ；
(3） h i ( X ) 0 h i ( X ) 0 且 h i ( X ) 0 。
m in f ( X )
一般模型形式：
g j ( X ) 0, j 1, 2,
12
,m
（3）
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二. 非线性规划的数学模型
2 . 非线性规划模型的几种特殊情况
（1）无约束的非线性规划
当问题无约束条件时，则此问题
称为无约束的非线性规划问题。
（2）二次规划
如果目标函
数是 X 的二次函
数，约束条件都有
是线性的，则称此
规划为二次规划.
min f ( X )
X R
X 0
(4)
n
n
n
min f ( X ) c j x j c jk x j x k
j 1
j 1 k 1
n
a ij x j b i 0 , i 1, 2 , , m
j 1
x 0 , c c , j , k 1, 2 , , n
j
jk
kj
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二. 非线性规划的数学模型
2 . 非线性规划模型的几种特殊情况
m in f ( X )
一般模型形式：
g j ( X ) 0, j 1, 2,
,m
（3）
（ 3） 凸 规 划
当 模 型 (3 ） 中 的 目 标 函 数 f ( X ) 为 凸 函 数 ，
g j ( X )( j 1, 2 , , m ) 均 为 凹 函 数 （ 即 g j ( X ) 为 凸 函
数 ）， 则 这 样 的 非 线 性 规 划 称 为 凸 规 划 。
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三、无约束非线性规划的解法
1. 一般迭代法
一般迭代法基本思想：
对问题(4)，给出 f ( X ) 的极小点
的初始值 X
X
(k )
(0)
f (X )
min
X R
X 0
（ 4）
，按某种规律计算出一系列的
( k 1, 2 , ) ，希望点列 X
(k )
的极限 X
*
就是
f ( X ) 的一个极小点。
??问题：如何来产生这个点列？即如何由一个解向量
(k )
求出另一个新的向量解 X ？
X
( k 1 )
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1. 一般迭代法
实际上：向量 X ( k 1) 总可以写成
X
( k 1)
X
(k )
k P
(k )
( k 1, 2 , )
其中 P ( k ) 为一个向量， k 为一个实数，称为步长。
实际中各种迭代法就在于寻求不同的 k 和 P ( k ) ，特别是方
向 P ( k ) 的确定是问题的关键，称为搜索方向。
选择 k 和 P ( k ) 的一般原则是使
f (X
(0)
) f (X
(1 )
) f (X
这种算法称为下降算法。 最后检验 X
解，即对 0 ，是否有 f ( X
16
( k 1)
(k )
(k )
)
是否收敛于最优
) 决定迭代是否结束。
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三、无约束非线性规划的解法
2. 一维搜索法
一维搜索法:沿着一系列的射线方向 P
(k )
寻求极小化点列的方法.
对 确 定 方 向 P ( k ) ， 在 X ( k ) P ( k ) ( 0) 上 选 取 步 长 k 使
f (X
(k )
k P
(k )
) f (X
(k )
) ，则可确定一个新的点 X
( k 1)
X
(k )
k P
(k )
，
即 为 沿 X (k ) P (k ) 求 f ( X ) 的 最 小 值 问 题 。 即 等 价 于 求
(k )
(k )
(k )
(k )
( ) f ( X P ) 在 L X | X X P , 上 极 小
点k 。
一维搜索法是对某一个确定方向 P ( k ) 来进行的.
??问题:如何选择搜索方向 P ( k ) 呢？
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2、 一维搜索法
(1)梯度法（最速下降法）
选择下降速度最快的方向，可取 f ( X ) 在 X
(k )
数最小的方向作为搜索方向，即令 P ( k ) f ( X
点的方向导
(k )
) ，这就是
梯度法，或最速下降法．
(2)共轭梯度法
共轭梯度法仅适用于正定二次函数的极小值问题：
min f ( X )
1
X AX B X c
T
T
2
其中 A 为 n n 实对称正定阵， X , B E n , c 为常数．
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2、 一维搜索法
(3)牛顿（Newton）法
对 于 问 题 ： min
f (X )
1
X
T
AX B X c
T
2
当 A 为正定时， A
(4)
1
存在，于是有 X
*
1
A B 为最优解．
拟牛顿法）
对于一般的二阶可微函数 f ( X ) ，在 X
f (X ) f (X
1
(k )
) f ( X
(X X
) (X X
(k ) T
) f (X
(k ) T
2
(k )
(k )
(k )
点的局部有
)
)( X X
(k )
)
2
当黑塞矩阵 2 f ( X
就是拟牛顿法，
(k )
) 正定时，也可应用上面的牛顿法，这
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Slide 20
2、 一维搜索法
变尺度法
(5)
1）任取 X
P
(0)
H
E 和H
(0)
n
(0)
f ( X
(0)
(0)
（一般取 H
(k )
3）计算 k 1 X
( k 1)
X
(k )
P
P
( k 1)
( k 1)
H
(k )
H
( k 1)
k 1
f ( X
( k 1)
H
(k )
X
(k )
， k 1 f ( X
k 1 k 1
T
k 1
( k 1)
) f (X
(k )
T
H
，计算
I 为单位阵）
), k 0 ；
2）若 f ( X ( k ) ) 0 ，则停止计算，否则令 X
k 为最佳步长，由 min f ( X
(0)
(k )
k P
k P
( k 1)
k 1
T
k 1
H
(k )
(k )
) 确定；
) f ( X
(k )
，其中
T
k 1
H
k 1
(k )
)，
(k )
,
)
4）令 k k 1; 返回 2）
．
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Slide 21
四、带约束非线性规划的解法
1、非线性规划的可行方向法
假设 X
(k )
是问题（３）的
一个可行解，但非最优解，
min f ( X )
（ 3）
g j ( X ) 0 , j 1, 2 , , m
为进一步寻找最优解在它的可行下降方向中选取其一个方向
D
(k )
，并确定最佳步长 k 使
X ( k 1 ) X ( k ) k D ( k ) R
, k 0 ,1, 2 ,
( k 1)
(k )
f ( X
) f (X )
反复进行这一过程，直到得到满足精度要求为止。即称为
可行方向法．
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四、带约束非线性规划的解法
2、非线性规划的制约函数法
基本思想：将求解非线性规划的问题转化为一
系列无约极值问题来求解，故也称为序列无约束最
小化方法．在无约束问题的求解中，对企图违反约
束的那些点给出相应的惩罚约束，迫使这一系列的
无约束问题的极小点不断地向可行域靠近(在可行外
部)，或者一直在可行域内移动(在可行域内部)，直
到收敛到原问题的最优解为止．
制约函数分两类：惩罚函数和障碍函数。从方
法上分为外点法(或外部惩罚函数法)和内点法(或内
部惩罚函数法，即障碍函数法)．
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2、非线性规划的制约函数法
（1）外点法（罚函数法）
min f ( X )
对于等式约束的问题：
（1）
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m
m
作辅助函数： P1 ( X , M ) f ( X ) M
h
2
j
(X )
j 1
取 M 为充分大的正数，则问题（1）转化为求无约束问题
min P1 ( X , M ) 的解的问题。
X
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（1）外点法（罚函数法）
对于不等式约束的问题：
min f ( X )
g j ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
（2）
同样可构造惩罚函数，即对充分大的 M 作：
min 0 , g
l
P2 ( X , M ) f ( X ) M
j
2
( X )
j 1
则问题（2）可以转化为求 min P2 ( X , M ) 的问题。
X
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（1）外点法（罚函数法）
对于一般的问题
m i n f ( X )
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m
g ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
j
（3）
对于充分大的 M 作辅助函数： P3 ( X , M ) f ( X ) MP ( X )
m
其中 P ( X )
i 1
2
l
2
hi ( X ) mim 0 , g j ( X ) ,则将问题（3）
j 1
化为求解 min P3 ( X , M ) 的问题。
X
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（1）外点法（罚函数法）
选择惩罚因子 M 的一般策略:
选取一个趋向无穷大的严格递增正数列
{ M k } ，逐个求解
min P3 ( X , M k ) f ( X ) M k P ( X )
X
*
k
即可得到一个极小点的序列 { X } ，在一定的条件
下，这个序列收敛于原问题的最优解。
这种方法又称为序列无约束极小化方法，简称
为 SUMT 方法。
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2、非线性规划的制约函数法
（2）内点法（障碍函数法）
内点法总是在可行域内进行的，并一直保持在可行域内
进行搜索.这种方法只适用于只有不等式约束的问题：
min f ( X )
X R { X | g j ( X ) 0 , j 1, 2 , , l }
作辅助函数（障碍函数）：
Q ( X , r ) f ( X ) rB ( X )
其中 B ( X ) 是连续函数， rB ( X ) 称为障碍项； r 为充分小
的正数，称之为障碍因子。
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（2）内点法（障碍函数法）
作辅助函数（障碍函数）：
Q ( X , r ) f ( X ) rB ( X )
其中 B ( X ) 是连续函数， rB ( X ) 称为障碍项； r 为充分小
的正数，称之为障碍因子。
注意到，当点 X 趋向于 R 的边界时，要 B ( X ) 趋向于正无
穷大，则 B ( X ) 的最常用两种形式为
l
B( X )
g
j 1
1
j
(X )
和 B ( X ) log g j ( X )
l
j 1
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（2）内点法（障碍函数法）
由于 B ( X ) 的存在，在 R 的边界上形成了“围墙”，
对迭代点的向外移动起到了阻挡作用，而越靠近边界阻
力就越大。当点 X 趋向于 R 的边界时，则障碍函数
Q ( X , r ) 趋向于正无穷大；否则， Q ( X , r ) f ( X ) 。
问题转化为求解问题：
min Q ( X , r )
X R0
其中 R 0 X | g j ( X ) 0 , j 1, 2 , , l 。
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（2）内点法（障碍函数法）
根据 Q(X , r) 定义，显然障碍因子越小，
min Q ( X , r ) 的解就越接近于原问题的解.
X R0
在实际中也采用 SUMT 方法，即取一个严格单
调减少且趋于零的障碍因子数列 { rk } ，对于每一个
rk ，从 R 0 内的某点出发，求解 min Q ( X , rk ) 。
X R0
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Slide 31
（2）内点法（障碍函数法）
针对带有约束条件的非线性规划模型的
一般形式为 :
min f ( X )
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m
g ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
j
下面给出LINGO模型的基本形式.
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Slide 32
五、非线性规划的软件解法
1、非线性规划的LINGO解法
MODEL:
min f ( X )
h i ( X ) 0 , i 1, 2 , , m
g ( X ) 0 , j 1, 2 , , l
j
sets:
row/1..m/;
arrange/1..L/;
link/1..n/:x0,x;
endsets
init:
x0=x0(1),x0(2),… ,x0(n);
endinit
[OBJ]min=f(x);
!目 标 函 数 的 表 达 式
@for(row(i):hi(x)==0;);
!等 式 约 束 条 件
@for(arrange(j):gj(x)>=0;); !不 等 式 约 束 条 件
@for(link(k):x(k)>=0;);
END
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Slide 33
五、非线性规划的软件解法
2、非线性规划的MATLAB解法
（1）若要求问题： min f ( x ) ，其步骤如下：
第一步：利用文件编辑器编写 M 文件，即定义函数，
并存为*.M 文件。
function f=fun（x）
f=f（x）
（表达式）
；
第二步：在命令窗口中调用优化程序 fmin，
x x 0 ；%取初始值
x=fmin（’fun’
，x）
回车后输出最优解 x，键入 fun（x）
，可得到最优值。
33
2015年10月31日
Slide 34
五、非线性规划的软件解法
2、非线性规划的MATLAB解法
（2）若求问题： min f ( x )
[ a ,b ]
指定搜索区间，调用优化程序 constr，即在命令窗
口键入：
x x0 ；
vlb=a；
vub=b；
x=constr（‘fun’，x，options，vlb，vub）
回车后即执行并输出解，键入 fun（x）输出最优值。
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2015年10月31日
Slide 35
2、非线性规划的MATLAB解法
（3）求无约束的非线性规划问题： min f ( X )
X E
n
第一步：定义函数
function f=fun（X）
f=f（X） %（表达式）；
第二步：在命令窗口键入
X 0 [x
(0)
1
,x
(0)
2
, , x
(0)
n
] ；%给出初始值
options=[ ]； %使用默认值
[X，options]=fmin（‘fun’，X0，options）
%调用优化函数
回车输出最优解，键入 option（8）输出最优值，键入 options
（10）输出计算次数。
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2015年10月31日
Slide 36
2、非线性规划的MATLAB解法
(4)求解带约束的非线性规划
min n
x R
s .t .
f ( x)
hi ( x ) 0 ,
i 1, 2 , , m
g ( x ) 0,
j
j 1, 2 , , l
x=constr(‘fun’,x0)
x=constr(‘fun’,x0,opt)
x=constr(‘fun’,x0,opt,v1,v2,’grad’)
x=constr(‘fun’,x0,opt,v1,v2,’grad’,p1,…)
[x,opt]=constr(‘fun’,x0,opt,…)
注意：1）fun.m文件中同时给出目标函数f和约束g，
形式为：[f,g]=fun(x)；
2）grad.m文件中（用分析梯度方法）同时给出目标
函数f和约束g的梯度，形式为[df,dg]=grad(x)。
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2015年10月31日
Slide 37
1、问题的提出
一奶制品加工厂用牛奶生产 A1 , A 2 两种初级奶制品，它们
可以直接出售，也可以分别加工成 B 1 , B 2 两种高级奶制品再出
售．按目前技术每桶牛奶可加工成 2 公斤 A1 和 3 公斤 A 2 ，每
桶牛奶的买入价为 10 元，加工费为 5 元，加工时间为 15 小时．
每公斤 A1 可深加工成 0.8 公斤 B 1 ，加工费为 4 元，加工
时间 12 为小时；每公斤 A 2 可深加工成 0.7 公斤 B 2 ，加工费
为 3 元，加工时间 10 为小时．
初级奶制品 A1 , A 2 的售价分别为每公斤 10 元和 9 元，
高级奶制品 B 1 , B 2 的售价分别为每公斤 30 元和 20 元．
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2015年10月31日
Slide 38
1、问题的提出
工厂现有的加工能力每周总共 2000 小时．根据市
场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的
20%至 40%．试在供需平衡的条件下为该厂制订生产计
划，使利润最大，并进一步研究如下问题：
（1）工厂拟拨一笔资金用于技术革新，据估计可
实现下列革新中的某一项：总加工能力提高 10%；各项
加工费用均减少 10%；初级奶制品 A1 , A 2 的产量提高 10%，
高级奶制品 B 1 , B 2 的产量提高 10%．问将资金用于哪一项
革新，这笔资金的上限应为多少．
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1、问题的提出
(2) 该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来
的每桶牛奶可加工成品 2 公斤 A 1 和 3 公斤 A 2 变为每桶
牛奶可加工成 4 公斤 A 1 或 6 公斤 A 2 ．假设其他条件都
不变，问应否采用这项革新，若采用，生产计划如何．
(3) 根据市场经济规律，初级奶制品 A1 , A 2 的售价都
要随着它们二者销售量的增加而减少，同时，在深加工
过程中，单位成本会随着它们各自加工数量的增加而减
小．在高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量 20%的情
况下，市场调查得到一批数据．试根据此市场实际情况
对该厂的生产计划进行修订．
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2、问题的分析
由题意： A1 , B1 , A2 , B 2 的售价分别为 p1 10 , p 2
30 , p 3 9 , p 4 20
（元/公斤）．牛奶的购入和加工费用为 q1 10 5 15（元/桶），
深加工 A1 , A 2 的费用分别为 q 2 4 , q 3 3（元/公斤）．每桶牛奶
可加工成 a 2 公斤 A1 和 b 3 公斤 A 2 ，每公斤 A1 可深加工成
c 0 . 8 公斤 B 1 ，每公斤 A 2 可深加工成 d 0 . 7 公斤 B 2 ．
每桶牛奶的加工时间为 15 小时，每公斤 A1 , A 2 的深加工时
间分别为 12、10（小时），工厂的总加工能力为 S=2000 小时．B 1 ，
B 2 的销售量（即产量）占全部奶制品的比例为 20%至 40%．
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2、问题的分析
记出售 A1 , B1 的数量分别为 x1 , x 2（公斤），出售 A2 , B 2 的数量分别为
x 3 , x 4 （公斤），生产的 A1 , A 2 的数量分别为 x 5 , x 6 （公斤），购入和加工
牛奶的数量为 x 7 桶，深加工的 A1 , A2 的数量分别为 x 8 , x 9 （公斤）．
加工 1 公斤 A1 ：4 元+12 小时
= 0.8 公斤 B1 ：30 元/公斤
一桶牛奶
10 元+5 元
+15 小时
2 公斤 A1
出售 1 公斤 A1 ：10 元
出售 1 公斤 A2 ：9 元
3 公斤 A2
加工 1 公斤 A2：3 元+10 小时
= 0.7 公斤 B2：20 元/公斤
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3、模型的建立与求解
具体的模型为一个线性规划模
型和非线性规划模型，用LINGO
求解可以得到相应的结果。
详细内容请教材！
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