Transcript 2014春微积分第三讲4.29

微积分
第三讲
马黎
2014.4.29
复习极限
 新授
1. 点连续定义和闭区间连续函数性质；
2.导数定义，导数计算。

复习
1.几种极限的定义；
2.极限计算法则
3.无穷小
4 .两个重要极限
数列极限
当
函数f(x)的极限
几何解释:
y
sin x
x

A
X

X
当x   X或x  X时, 函数 y  f ( x )图形完全落在以
直线y  A为中心线, 宽为2的带形区域内.
当
时函数f(x)的极限
自变量趋向有限值时函数的极限
问题:函数 y  f ( x ) 在 x  x0 的过程中,对应
函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
f ( x )  A   表示 f ( x )  A 任意小;
0  x  x 0   表示x  x 0的过程.

x0  
点x0的去心邻域,

x0
x0  
x
体现x接近x0程度.
注意 1.函数极限与f ( x )在点x0是否有定义无关;
：
2.与任意给定的正数有关.
几何解释:
当x在x 0的去心邻
域时,函数y  f ( x )
图形完全落在以直
y
y  f (x )
A
A
A
线y  A为中心线,
宽为2的带形区域内.
o
x0  
显然, 找到一个后, 越小越好.


x0
x0  
x
无穷小量：极限为零的变量称为无穷小.
1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
3.无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量．
4.在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;
恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
极限的运算
两个重要极限
第一个重要极限
sin x
lim
1
x 0
x
sin  ( x)
lim
1
 ( x ) 0  ( x )
sin x
lim
 1 无穷小量与有界函数的乘积仍是无穷小量
x 
x
第二个重要极限
1 x
lim(1  )  e
x 
x
1
x
lim(1  x )  e
x0
1  ( x)
lim (1 
)
e
 ( x ) 
 ( x)

lim(1  0)  e
计算
x 2  5x  6

1．lim
2
x 2 x  6 x  8
2.
3.
选择题（3分）
新授
第一部分
函数的连续性
一、函数的连续性
1.函数的增量
设函数 f ( x )在U  ( x0 )内有定义,  x  U  ( x0 ),
x  x  x0 , 称为自变量在点 x0的增量.
y  f ( x )  f ( x0 ), 称为函数 f ( x )相应于x的增量.
y
y  f ( x)
y
x
0
x0
x 0  x x
2.连续的定义
定义 1
设函数 f ( x ) 在U ( x0 )内有定义,如
果当自变量的增量x 趋向于零时,对应的函
数的增量  y 也趋向于零,即 lim y  0
x  0
或
lim [ f ( x 0  x )  f ( x0 )]  0 ,那末就称函数
x  0
f ( x )在点 x0 连续, x0 称为 f ( x )的连续点.
设 x  x0  x,
y  f ( x )  f ( x0 ),
x  0 就是 x  x0 , y  0 就是 f ( x )  f ( x0 ).
定义 2
设函数 f ( x ) 在U ( x0 ) 内有定义,如果
函数 f ( x ) 当 x  x0 时的极限存在,且等于它在
点 x0 处的函数值 f ( x0 ),即 lim f ( x )  f ( x0 )
x  x0
那末就称函数 f ( x ) 在点 x0 连续.
"   " 定义 :
   0,    0, 使当 x  x0   时,
恒有 f ( x )  f ( x0 )   .
1

x sin , x  0,
例8 试证函数 f ( x )  
在x  0
x
 0,
x  0,
处连续.
1
证  lim x sin  0,
x0
x
又 f (0)  0,
lim
f ( x )  f (0),
x 0
由定义2知
函数 f ( x )在 x  0处连续.
3.单侧连续
若函数f ( x )在(a , x 0 ]内有定义, 且f ( x 0  0)  f ( x 0 ),
则称f ( x )在点x 0处左连续;
若函数f ( x )在[ x 0 , b)内有定义, 且f ( x 0  0)  f ( x 0 ),
则称f ( x )在点x 0处右连续.
定理 函数 f ( x )在 x0 处连续  是函数 f ( x )在 x0
处既左连续又右连续.
考试3分题
4.连续函数与连续区间
在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上
的连续函数,或者说函数在该区间上连续.
如果函数在开区间 (a , b)内连续, 并且在左端点
x  a处右连续, 在右端点 x  b处左连续, 则称
函数 f ( x )在闭区间 [a , b]上连续.
连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.
例如,有理函数在区间(,)内是连续的.
例9 当a取何值时,
cos x , x  0,
函数 f ( x )  
在 x  0处连续.
a  x , x  0,
解  f ( 0)  a ,
lim f ( x )  limcos x  1,
x 0
x 0
lim f ( x )  lim(a  x )  a ,
x0
x0
要使 f (0  0)  f (0  0)  f (0),  a  1,
故当且仅当a  1时, 函数 f ( x )在 x  0处连续.
5、函数的间断点
函数 f ( x )在点 x0处连续必须满足的三个条件 :
(1) f ( x )在点x0处有定义;
( 2) lim f ( x )存在;
x x 0
( 3) lim f ( x )  f ( x 0 ).
x  x0
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x )在点 x0处不连续(或间断), 并称点 x0为
f ( x )的不连续点(或间断点).
例10
解
考试3分题
间断点问题，在考试中只考一种情况：
使分母为零的点。
6.初等函数的连续性
新授
第二部分
导数
引例1 自由落体在某时刻的瞬时速度
如果下落时间为t，g为重力加速度，位移s（下落的高度）
自由落体各量的关系则有以下关系:
1 2
s (t )  gt  5t 2
2
（g为常数，g=9.8，为了计算方便我们取为10.）
由此可得物体在第4秒走过80米。对于任意给时间一个增量h，
位移也有一个改变量
s(4  h)  s(4)  40h  5h
2
求自由落体的瞬时速度可以分成三步：
(1)求⊿s；
(2)求
(3)求
s
h
s
lim
t 0 h
引例 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直
线MT就称为曲线C在点M处的切线.
y = f (x)
Y
N
T
C
α
O
M
φ
x0
x1
X
引例2 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直
线MT就称为曲线C在点M处的切线.

切线MT的斜率为：
y  y0 f ( x)  f ( x0 )
tan  

x  x0
x  x0
f ( x0  x)  f ( x0 ) y


x
x
f ( x0  x)  f ( x0 )
y
k  lim
 lim
x 0
x 0 x
x
求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步：
（1）求⊿y；
y
(2)求 并整理；
x
y
(3)求 lim
；
x  0  x

以上的实际案例，从抽象的数量关系来
看，是在求当自变量的增量趋近于零时，
函数的增量与自变量的增量之比值的极
限，或者说，是在求某一种平均变化率
的极限，而这样的极限在实际生活中是
比较普遍的，因此我们在数学上进行抽
象以后，就得到了导数的定义．
导数
两点说明：
导数的几何意义
可导与连续的关系：

基本导数公式

导数计算法则
求导计算
计算熟练以后，我们也可以不写出中间变量
而直接求出复合函数的导数．
考试题型（10分题）
第二次数学危机
17世纪的下半叶，牛顿（Newton，16421727）与莱布尼兹（Leibniz，1646-1716）
分别独立创立了微积分，从此数学乃至这个
自然科学进入了一个新的发展时期。
 微积分创立之后，在许多领域中的应用取得
了巨大成功。对于微积分的可靠性，人们并
无异议。可是，在微积分的逻辑基础方面，
却遭到了质疑，主要是如何看待无穷小问题
为了说明问题，我们先看两个例子：

第二次数学危机
瞬时速度
假设有一个沿着直线运动的质点，其运动规律为

3
s =at +b
这里t代表时间，s代表质点离开初始位置的距离a，
b是两个常数。
现在考察在某一 t 0 时刻的瞬时速度。
按照莱布尼兹的说法，我们先考虑一个无穷小量dt
，它是一个极小极小的量，然后考虑质点从 t 0
到 t 0 +dt 时间段所走过的距离：
s（t 0 +dt）
-s（t 0）
=3at 0 dt  3at 0dt  adt
3
2
3
2
3
dt
和
dt
由于dt无穷小，所以
可以作为0忽略不计
。
于是质点在
t0
时刻瞬时速度为
s（t 0 +dt）
-s（t 0）
v( t 0 ) 
 3at 0 2
dt
这里的计算有问题吗？这里的无穷小dt是什么？
第二次数学危机
自由落体在某时刻的瞬时速度

舍去的部分是靠直觉，不影响结果。牛顿和莱布尼
兹都有这个直觉。

牛顿这一方法很好用，解决了大量的实际问题，比
如万有引力定律、天体运动等自然现象，被科技界
广泛接受。但当时的微积分只是给出了一些计算方
法和原则，而在推导上并不严谨，因此遭到指责，
并引发了历史上的第二次数学危机。
无穷小作为一个量，既不是0，又不是非0，
他一定是“量的灵魂”了。

此后100多年间的数学家，都不能满意地解
释贝克莱提出的悖论---无穷小到底是不是零
，所以无穷小引发的第二次数学危机，实际
上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微
积分学的逻辑基础。

直到19世纪初，捷克数学家波尔查诺（
B.Bolzano,1781-1848）开始将严格的论证引入数
学分析，他写的《无穷的悖论》一书中包含很多真
知灼见。而决定性的工作可称为分析学奠基人的是
法国数学家柯西（A.L.Canchy,1789-1857）。他
在1821年--1823年间出版的《分析教程》和《无穷
小计算讲义》是数学史上划时代的著作。他给出极
限比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微
分、定积分等数学概念，与我们今天的课本上的叙
述差不太多了。

莱布尼茨认识到好的数学符号能节省思维劳
动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。
因此，他所创设的微积分符号远远优于牛顿
的符号，这对微积分的发展有极大影响。

由于对牛顿的盲目崇拜，英国学者长期固守
于牛顿的流数术，只用牛顿的流数符号，不
屑采用莱布尼茨更优越的符号，以致英国的
数学脱离了数学发展的时代潮流。

有了极限理论，就可以消除“贝克莱悖论”
了，于是“贝克莱悖论”在历经了二百年后，
终于消除了。第二次数学危机得到了圆满解
决。


莱布尼茨于1684年发表第一篇微分论文，定义了微
分概念，采用了微分符号dx，dy。1686年他又发
表了积分论文，讨论了微分与积分，使用了积分符
号∫。依据莱布尼茨的笔记本，1675年11月11日他
便已完成一套完整的微分学。
1714至1716年间，莱布尼茨在去世前，起草了
《微积分的历史和起源》一文（本文直到1846年才
被发表），总结了自己创立微积分学的思路，说明
了自己成就的独立性
然而1695年英国学者宣称：微积分的发明权属于
牛顿；1699年又说：牛顿是微积分的“第一发明
人”。1712年英国皇家学会成立了一个委员会调
查此案，1713年初发布公告：“确认牛顿是微积
分的第一发明人。”
莱布尼茨直至去世后的几年都受到了冷遇。

莱布尼茨与牛顿谁先发明微积分的争论是数学界至
今最大的公案。

科学是第一位的，科学家是第二位的。
所谓优先权之争真是“叫人脸红的问题”。


通过两次数学危机可以看到，建立微积分的“逻辑
顺序”是：实数理论--极限理论--微积分。

而微积分发展的“历史顺序”正好相反。因此知识
的“逻辑顺序”与“历史顺序”有时是不同的，我
们在学习其他知识的时候也可能遇到这一情况。
小结
1. 点连续定义和闭区间连续函数性质；
考试题涉及的题有选择或填空，知识点就是点连续和间断点。
2.导数定义，导数计算；
考一道复合函数的计算题10分。
3.做作业二