Transcript 下载2
第二章 随机变量及其分布
关键词:
随机变量
概率分布函数
离散型随机变量
连续型随机变量
随机变量的函数
1
§1
随机变量
常见的两类试验结果:
示数的——降雨量;
候车人数;
发生交通事故的次数…
示性的——明天天气(晴,云…);
化验结果(阳性,阴性)…
中心问题:将试验结果数量化
s
e
x
X=X(e)--为S上的
单值函数,X为实数
3
定 义 : 设 随 机 试 验 的 样 本 空 间 为 S e , 若
X X (e) 为定义在样本空间 S 上的实值单值函数,
则称 X X (e) 为随机变量。
一般采用大写英文字母 X , Y , Z 来表示随机变量
引入随机变量的目的是用来描述随机现象
4
一 般 的 , 若 I 是 一 个 实 数 集 合 , { X I }记
则{X I }为事件{e : X (e) I }
离散型的
常见的两类随机变量
连续型的
例:掷硬币3次,出现正面的次数记为X.
样本点
TTT TTH THT HTT HHT HTH THH HHH
X的值
0
1
1
1
2
2
2
3
P{X 0} P{TTT } 1 / 8
P{X 1} P{TTH , THT , HTT } 3 / 8
P{X 1} P{ X 0} P{X 1} 1 / 2
X
0
1
2
3
p
1/8
3/8
3/8
1/8
6
§2
离散型随机变量及其分布
定义:取值至多可数的随机变量为离散
型的随机变量。概率分布(分布律)为
X
pk
x1
p1
x2
p2
…
…
xi
pi
…
…
pi 0, pi 1
i 1
7
概率分布
写出所有可能取值
写出取每个可能取值相应的概率
例:某人骑自行车从学校到火车站,
一路上要经过3个独立的交通灯,设各
灯工作独立,且设各灯为红灯的概率
为p,0<p<1,以X表示首次停车时所通
过的交通灯数,求X的概率分布律。
解:设Ai={第i个灯为红灯},则P(Ai)=p,
i=1,2,3 且A1,A2,A3相互独立。
P( X 0) P( A1 ) p ;
P( X 1) P( A1 A2 ) (1 p) p ;
P( X 2) P( A1 A2 A 3 ) (1 p) p ;
2
P( X 3) P( A1 A2 A 3 ) (1 p) ;
3
10
X
p
0
p
1
3
2
2
p(1-p) (1-p) p (1-p)
3
11
例:若随机变量X的概率分布律为
c
P( X k )
,k 0,1, 2, , 0
k!
k
求常数c.
12
解:
1 P{ X k }
k 0
c
k 0 k !
k
ce
ce
几个重要的离散型随机变量
一、0-1分布
若X的分布律为:
X
p
0
q
1
p
随机变量只可能
取0、1 两个值
(p+q=1,p>0,q>0)
则称X服从参数为p的0-1分布,或两点分布.
记为
X ~ 0 1( p) 或 B(1, p)
它的分布律还可以写为
1k
P( X k ) p (1 p) , k 0,1.
k
15
对于一个随机试验,如果它的样本空间只
包含两个元素,即 S {e1 , e2 } ,我们总能
在S上定义一个服从(0-1)分布的随机
变量。
0, 当e e1 ,
X X (e)
1, 当e e2 .
来描述这个随机试验的结果。
检查产品的质量是否合格,对新生婴儿
的性别进行登记,检验种子是否发芽以
及前面多次讨论过的“抛硬币”试验都
可以用(0-1)分布的随机变量来描述 。
17
一个随机试验,设A是一随机事件,且
P(A)=p,(0<p<1).若仅考虑事件A发生与否,
定义一个服从参数为p的0-1分布的随机变
量:
1, 若 A发生 ,
X
0, 若 A不发生(即A发生).
来描述这个随机试验的结果。只有两个
可能结果的试验,称为Bernoulli试验。
二、二项分布
n重贝努利试验:设试验E只有两个可能的
结果: A与A ,p(A)=p,0<p<1,将E独立地重
复进行n次,则称这一串重复的独立试验为
n重贝努利试验。
在相同条件下
重复进行
即每次试验结果
互不影响
19
独立重复地抛n次硬币,每次只有两个可能的
结果:正面,反面,
P 出现正面 1 2
将一颗骰子抛n次,设A={得到1点},则每次
试验只有两个结果:A, A,
P A 1 6
从52张牌中有放回地取n次,设A={取到红
牌},则每次只有两个结果: A, A,
P A 1 2
如果是不放回抽样呢?
21
设A在n重贝努利试验中发生X次,则
n k
P( X k ) C p (1 p) ,k 01
,
,
,n
k
n
k
并称X服从参数为p的二项分布,记
X ~ B(n,p)
n
注:1 ( p q)n Cnk p k q n k 其中q 1 p
k 0
22
推导:以n=3为例,设Ai={ 第i次A发生 }
P( X 0) P( A1 A 2 A3 ) (1 p)
3
P( X 1) P( A1 A 2 A3
A1 A 2 A3
P( X 2) P( A1 A 2 A3
A1 A 2 A3
P( X 3) P( A1 A 2 A3 ) p
A1 A 2 A3 ) C31 p1 (1 p)31
A1 A 2 A3 ) C32 p 2 (1 p)32
3
一般 P( X k ) Cnk pk (1 p)nk , k 0,1,2,
,n
例:有一大批产品,其验收方案如下:
先作第一次检验,从中任取10件,经检
验无次品接受这批产品,次品数大于2
拒收;否则作第二次检验,从中任取5
件,仅当5件中无次品便接受这批产品,
设产品的次品率为p.求这批产品能被
接受的概率.
解:设A={接受该批产品}。 设X为第一次抽得
的次品数,Y为第2次抽得的次品数.
则X~B(10,p),Y~B(5,p),且{X=i}与{Y=j}独立。
P ( A) P( X 0) P(1 X 2且Y=0)
P( X 0) P(1 X 2) P(Y 0)
P( X 0) ( P( X 1) P( X 2)) P(Y 0)
(1 p)10 [10 p(1 p)9 45 p2 (1 p)8 ] (1 p)5
25
例:设随机变量 X ~ B(100, 0.05),
求P( X 10)和P( X 10)
10
10
解:P( X 10) P( X k ) C 0.05 0.95
k 0
10
k
100
k 0
10
k
X 10) P( X k ) C 0.05 0.95
k 0
k 0
k
100
k
100 k
26
使用Excel表单:在Excel表单的任一单元格输入“ =”
在主菜单中点击“ 插入” “ 函数( F )”
在选择类别的下拉式菜单中选择“ 统计”
选择“ BINOMDIST” 点击“ 确定”
在函数参数表单中输入
“ Number _ s 10, Trials 100, Probability _ s 0.05, Cumulative TRUE”
点击“ 确定” 即在单元格中出现"0.98852759"。
计算P( X 10),只要将上述步骤中“ Cumulative TRUE”
改为“ Cumulative FALSE” 即出现 "0.016715884"。
泊松分布(Poisson分布)
若随机变量X的概率分布律为
P( X k )
e
k
k!
,k 0,1, 2, , 0
称X服从参数为λ的泊松分布,记
X ~ ( )
例:设某汽车停靠站单位时间内候车人数
X ~ (4.8),
求(1)随机观察1个单位时间,至少有3人候车
的概率;
(2)随机独立观察5个单位时间,恰有4个单
位时间至少有3人候车的概率。
29
解:
1 P( X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P( X 2)
2
2
4.8
1 e 4.8 (1 4.8
) 0.8580
2!
设5个单位时间内有Y 个单位时间是
“ 至少有3人候车” ,
则Y ~ B(5, p), 其中p P( X 3) 0.8580,
于是
P(Y 4) C p (1 p) 0.7696.
4
5
4
30
二项分布与泊松分布有以下近似公式:
当n 10, p 0.1时,
k
Cn
p 1 p
k
nk
e , 其中 np
k!
k
事实上, C nk
p 1 p
k
nk
1 n
n!
k !( n k )! n
k
n ( n 1)...( n k 1)
1
n
k!
nk
k
n
nk
1
n
k
k
e
k!
n ( n 1)...( n k 1)
因为当 n充分大和适当的 时,
1
,
1
n
nk
n ( n 1)...( n k 1)
的 时,
1
,
1
n
nk
k
1, 1
n
n
e
32
例:某地区一个月内每200个成年人中有1
个会患上某种疾病,设各人是否患病相互独
立。若该地区一社区有1000个成年人,求某
月内该社区至少有3人患病的概率。
33
解:设该社区1000人中有X 个人患病,则 X
P
(
X
3)
1
P
(
X
0)
P
(
X
1)
P
(
X
2
人患病,则 X ~ B(1000, p), 其中p 1/ 200
X 解:设该社区
1) P( X 1000
2)人中有
0.8760
X 个人患病,则 X ~ B(1000, p), 其中
P( X 3) 1 P( X 0) P( X 1) P( X 2) 0.8760
利用泊松分布进行近似计算,取 5,
5
5
2
5
e
5e
5e
P( X 3) 1
0.8753
0!
1!
2!
注:泊松分布也可以使用Excel表单:在Excel表单的任一单元格输入“ =”
在主菜单中点击“ 插入” “ 函数( F )”
在选择类别的下拉式菜单中选择“ 统计”
选择“ POISSON” 点击“ 确定”
在函数参数表单中输入“ X 2, Mean 5, Cumulative TRUE”
点击“ 确定” 即在单元格中出现"0.124652019"。
P( X 3) 1 P( X 2) 0.875347981
35
超几何分布
若随机变量X的概率分布律为
k
a
nk
b
n
N
CC
P( X k )
C
, k l1 , l1 1,..., l2 ,
其中,l1 max(0, n b), l2 min(a, n).
称X服从超几何分布
例:一袋中有a个白球,b个红球,a+b=N,
从中不放回地取n个球,设每次取到各球的
概率相等,以X表示取到的白球数,则X服从
超几何分布。
37
几何分布
若随机变量X的概率分布律为
k 1
P( X k ) p(1 p) , k 1, 2,3,..., 0 p 1.
称X服从参数p的几何分布
例:从生产线上随机抽产品进行检测,设
产品的次品率为p,0<p<1,若查到一只次
品就得停机检修,设停机时已检测到X只产
品,则X服从参数p的几何分布。
39
巴斯卡分布
若随机变量X的概率分布律为
P ( X k ) Ckr11 p r (1 p ) k r , k r , r 1, r 2,...,
其中r为正整数,0 p 1.
称X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布.
例:独立重复地进行试验,每次试验的结果
为成功或失败,每次试验中成功的概率均为p,
0<p<1,试验进行到出现r次成功为止,以X表示
试验次数,则X服从参数为(r,p)的巴斯卡分布。
41
思考题:一盒中有2个红球4个白球,
(1)从中取一球,X表示取到的红球数;
(2)采用不放回抽样取3球,Y表示取到的
红球数;
(3)采用放回抽样取3球,Z表示取到的红
球数;
(4)采用放回抽样取球,直到取到红球为
止,U表示取球次数;
(5)采用放回抽样取球,直到取到3个红球
为止,V表示取球次数。
上述随机变量X,Y,Z,U,V的分布律是什么呢?
42
解答:(1)X服从0-1分布,P(X=1)=1/3,P(X=0)=2/3;
(2)Y服从超几何分布,
C2k C43k
P(Y k )
, k 0,1, 2;
3
C6
(3)Z服从二项分布B(3, 1/3),
3 k
2
P( Z k ) C3k 3 , k 0,1, 2,3;
3
(4)U服从几何分布,
2k 1
P(U k ) k , k 1, 2,3,...
3
(5)V服从巴斯卡分布,
P(V k ) C
2
k 1
2 k 3
, k 3, 4,5,...
k
3
43
§3 随机变量的分布函数
随机变量X , 对实变量x, P( X x) 应为x的函数
定义:随机变量X , 对任意实数x, 称函数
F ( x) P( X x) 为 X 的概率分布函数,简称分布函数。
F ( x)的几何意义:
任何随机变量
都有相应的分
布函数
X
x
F ( x)的性质:
1) 0 F ( x) 1
2) F ( x)单调不减,且F () 0,F () 1
0 P( x1 X x2 ) F ( x2 ) F ( x1 )
3) F ( x)右连续,即F ( x 0) F ( x).
4) F ( x) F ( x 0) P( X x)
45
X
例:
p
0
q
1
p
p>0,q>0,q+p=1.
求X的概率分布函数F x 。
0
F ( x) P X x q
1
解:
x0
0 x 1
x 1
F x
1
q
0
1
x
47
一 般 地 , 设 离 散 型 随 机 变 量 X的 分 布 律 为
P X x k p k ,
k 1,
2,
由 概 率 的 可 列 可 加 性 得 X的 分 布 函 数 为
F ( x)
p
xk x
k
分布函数 F ( x )在 x x k , k 1,2, 处有跳跃,
其跳跃值为 p k P{ X x k }
例:设随机变量X 的分布函数如下,求X 的分布律。
0,
0.2,
F ( x)
0.6,
F (x) 1,
x 1,
1 x 3,
3 x 4,
x 4.
1
0 .6
0 .2
1
0
3
4
x
49
F (x)
1
0 .6
0 .2
1
0
3
4
x
解:F (x)只在 1,3,4有跳,跳的幅度分别是
0.2,0.4,0.4. 分布律为
X
1
3
4
pk
0 .2
0 .4
0 .4
50
例:设一物体在A,B两点间移动,A,B之间距
离3个单位。该物体落在A,B间任一子区间的
概率与区间长度成正比。设它离A点的距离
为X ,求X的分布函数。
51
解:根据题意,P(0 X 3) 1,
1
P(0 X 3) 3k 1, k
3
当x 0时, F ( x) P( X x) 0,
当x 3时, F ( x) P( X x) 1,
当0 x 3时, F ( x) P( X x)
x
P( X 0) P(0 X x) .
3
X 的分布函数为
0,
x
F ( x) P( X x)
3
1
F (x)
x0
0 x3
x3
1
0
3
x
与离散型随机变量的分布函数不同
§4 连续型随机变量及其概率密度
定义:对于随机变量X的分布函数 F ( x), 若存
在非负的函数 f ( x),使对于任意实数 x,有:
x
F ( x) f (t )dt
则称X为连续型随机变量,
其中f ( x)称为X的概率密度函数,简称概率密度。
f ( x)的性质:
面积为1
y f ( x)
1) f ( x) 0
2)
+
f ( x)dx 1
Px1 X x2
3) 对于任意的实数x1,x2 ( x2 x1 )
P x1 X x2
x2
x1
f (t ) dt P( X a) 0
x1 x2
f ( x)的性质:
4) 在f ( x)连续点x,F '( x) f ( x)
即在f ( x)的连续点
F ( x x) F ( x)
P( x X x x)
f ( x) F '( x) lim
lim
x 0
x 0
x
x
与物理学中的质量线密度的定义相类似
P( x X x x) f ( x) x
这表示X 落在点 x 附近(x, x x]的概率近似等于f ( x)x
56
思考题:
设A,B为随机事件,
若P ( A) 1,则A为必然事件吗?
若P ( B ) 0,则B为不可能事件吗?
若P ( AB) 0,则A与B不相容吗?
答:都不一定。
57
0 x 1
c
f ( x) 2 9 3 x 6
例:设X的概率密度为
0
其他
(1)求常数c的值;
(2) 写出X的概率分布函数;
2
(3)要使 P( X k ) ,
求k的值。
3
解:
1
1
f (t )dt
2 6
1
2
c dt dt c c
0
9 3
3
3
1
2
F ( x) P X x
0
x1
0 3 dt
11
dt
0 3
11
x 2
dt dt
3 9
03
1
x0
0 x 1
1 x 3
3 x 6
x6
x
f (t )dt
x0
0
x 3
0 x 1
1 3
1 x 3
(2 x 3) / 9 3 x 6
x6
1
59
3
2
使 P( X k ) F (k ) k 4.5
3
60
几个重要的连续量
均匀分布定义:X具有概率密度
1
x ( a, b)
f ( x) b a
其他
0
称X在区间(a,b)上服从均匀分布,记为X~U(a,b)
f x
1
ba
0
a
b
x
设 a c cl b
P (c X c l )
c l
c
1
l
dt
- - - - 与c无关
ba
ba
xa
0
xa
F ( x)
a xb
b a
xb
1
F x
1
0
a
b
x
62
例:(1)在区间(-1,2)上随机取一数X,试写
出X的概率密度。并求 P( X 0)的值;
(2)若在该区间上随机取10个数,求10个数
中恰有两个数大于0的概率。
解:(1) X为在区间(-1,2)上均匀分布
1
, 1 x 2
f ( x) 3
0, 其他
2
P ( X 0) ,
3
(2)设10个数中有Y个数大于0, 则:
2
8
2
Y ~ B (10, ) P(Y 2) C102 2 1
3
3 3
64
例:杭州某长途汽车站每天从早上6点(第一班
车)开始,每隔30分钟有一班车开往上海。王
先生在早上6:20过X分钟到达车站,设X服从
(0,50)上的均匀分布,
(1)求王先生候车时间不超过15分钟的概率;
(2)如果王先生一月中有两次按此方式独立地
去候车,求他一次候车不超过15分钟,另一次
候车大于10分钟的概率。
解: (1)P(候车时间不超过15钟)=25/50=0.5
(2) P(候车时间大于10分钟)=30/50=3/5
P(一次候车时间不超过15分钟,另一次大于10分钟)
P(( X1 15, X 2 10) ( X1 10, X 2 15))
P( X1 15, X 2 10) P( X1 10, X 2 15) P(10 X1 15,10 X 2 15)
0.5 3 / 5 3 / 5 0.5 0.1 0.1 0.59
6:30
6:20 6:30
6:50
6:45
7:00 7:10
66
指数分布
e x x 0
定义:设X的概率密度为 f ( x)
x0
0
其中λ>0为常数,则称X服从参数为λ的指数
分布。记为
X ~ Exp( )或X ~ E ( )
1 e
F ( x)
0
x
x0
x0
X具有如下的无记忆性:t0 0, t 0, P( X t0
P ( X t0 t )
t 0, P( X t0 t | X t0 )
P ( X t0 )
1 F (t 0 t )
t
e
P( X t )
1 F (t 0 )
68
例:某大型设备在任何长度为t 的区间内
发生故障的次数N t 服从参数为λt
的Poi sson分布,记设备无故障运行的时间为T.
1 求T的概率分布函数;
2 已知设备无故障运行10个小时,
求再无故障运行8个小时的概率。
解:1 P N t k e
t
t
k
/ k !, k 0,1, 2,
FT t PT t 1 PT t
当t 0 时,FT t 0
当t 0 时,FT t 1 PN t 0 1 e
t
P T 18 8
e P T 8
2 P T 18 | T 10
P T 10
70
正态分布
定义:设X的概率密度为
1
f ( x)
e
2
( x )2
2 2
, x
其中 , 0 为常数,称X服从
参数为 , 的正态分布(Gauss分布),
记为 X ~ N ( , 2 )
71
可以验证:
+
f ( x)dx 1
令t
x
f ( x)dx
2
t
2
1 e dt
2
t2
2
1
e dt
2
t2
2
记 I e dt
I e
2
( x 2 y2 )
2
2
0
0
d re
dxdy
r2
2
dr I 2
f ( x)dx 1
73
X ~ N ( , ):
2
1
f ( x)
e
2
( x )2
2 2
, x
1 f ( x)关于x 对称
1
2 f max f ( )
2
3 lim f ( x) 0
x
正态概率密度函数
1
f ( x)
e
2
( x )2
2 2
, x
当固定 σ , 改变 μ 的大小时,
f ( x) 图形的形状不变, 只是沿
着 x 轴作平移变换;
当固定 μ, 改变 σ 的大小时, f ( x) 图形的对称轴
不变, 而形状在改变, σ 越小,图形越高越瘦, σ 越大,
图形越矮越胖.
X ~ N ( , )
2
称μ为位置参数(决定对称轴位置)
σ为尺度参数(决定曲线分散性)
f x
0
5
5
1
x
X的取值呈中间多,两头少,对称的特性。
当固定μ时,σ越大,曲线的峰越低,落
在μ附近的概率越小,取值就越分散,即
σ是反映X的取值分散性的一个指标。
在自然现象和社会现象中,大量随机变量
服从或近似服从正态分布。
正态分布下的概率计算
x
1
P { X x } F ( x )
e
2σ
?
( t μ )2
2σ 2
dt
若 Z ~ N (0,1),称Z 服从标准正态分布
x2
2
1
Z的概率密度: x
e
2
t2
x
1 2
Z的分布函数:( x)
e dt
2
y
( x)
y ( x)
x x 1
( x)
x
0
x
当 X ~ N ( , 2 ) 时
P ( X b)
1
e
2
b
x
(作变换:
t)
b
P ( X b) (
b
( x )2
2 2
dx
t2
2
1
e dt
2
)
事实上,当X N ( , ),
X
2
~ N (0, 1)
当 X ~ N ( , ) 时
2
例:X ~ N ( , )
2
P( X ) P( X )
P(
( )
X
( )
(1) (1) 2(1) 1 0.6826
P( X 2 ) 2(2) 1 0.9544
P( X 3 ) 2(3) 1 0.9974
3 2
68.26%
95.44%
99.74%
2 3
)
例:用天平称一实际重量为 a 的物体,天平的
读数为随机变量 X ,设 X ~ N (a, 0.012 ) 时,
(1)求读数与 a 的误差小于0.005的概率;
(2)求读数至少比 a 多0.0085的概率。
解:
( 1) P( X a 0.005)
0.005
0.005
(
) (
)
0.01
0.01
2(0.5) 1
查附表
=== 2 0.6915 1 0.3830
( 2) P( X a 0.0085) 1 (0.85) 1 0.8
(0.85) 1 0.8023 0.1977.
85
注:计算P( X a 0.0085)使用Excel表单:
在Excel表单的任一单元格输入“ =”
在主菜单中点击“ 插入” “ 函数( F )”
在选择类别的下拉式菜单中选择“ 统计”
选择“ NORMDIST” 点击“ 确定”
在函数参数表单中输入
“ X 0.0085, Mean 0, Standard _ dev 0.01, Cumulative TRUE”
点击“ 确定” 即在单元格中出现"0.802337508"。
86
例:一批钢材(线材)长度 X (cm) ~ N (, 2 )
(1)若μ=100,σ=2,求这批钢材长度小于
97.8cm的概率;
(2)若μ=100,要使这批钢材的长度至少 有
90%落在区间(97,103)内,问σ至多取何值?
解:
( 1) P( X 97.8)
97.8 100
(
)
2
X 100 97.8 100
P(
)
2
2
1 (1.1)
查附表
=== 1 0.8643 0.1357
( 2) 需:P97 X 103 90%
103 100
97 100
3
即 (
) (
) 2( ) 1 90%
3
3
( ) 0.95
1.645 1.8237
88
例:设一天中经过一高速公路某一入口的重型
车辆数X近似服从 N (, 2 ) ,已知有25%的天
数超过400辆,有33%的天数不到350辆,求
, .
解:已知 P( X 400) 0.25, P( X 350) 0.33
而 P( X 400) 1 (
P( X 350) (
400
350
400
) (
), (0.675) 0.25,
), (0.440) 0.33,
400
0.675
369.7
于是
44.8
350 0.440
90
例:一银行服务需要等待,设等待时间X(分
钟)的概率密度为
1 10x
e , x0
f ( x) 10
0,
x0
某人进了银行,且打算过会儿去办另一件事,于是先
等待,如果超过15分钟还没有等到服务就离开,设他
实际的等待时间为Y,(1)求Y的分布函数;(2)问Y是离
散型随机变量吗?连续型随机变量吗?
91
y0
0,
y
解:( 1) F ( y ) P(Y y ) 1 e 10 , 0 y 15
1,
y 15
( 2) Y的取值范围为[0,15],故不是离散量;
又P{Y 15} e
1.5
0,因此Y 也不是连续量。
§5 随机变量函数的分布
例如,若要测量一个圆的面积,总是测量其
半径,半径的测量值可看作随机变量X,若
X ~ N (, ),则Y服从什么分布?
2
问题:已知随机变量X的概率分布,
且已知Y=g(X),求Y的概率分布。
-1
0
1
X
例:已知X具有概率分布 p
i 0.2 0.5 0.3
且设Y=X2,求Y的概率分布。
解:Y的所有可能取值为0,1
P(Y 0) P( X 0) 0.5
P(Y 1) P( X 1) ( X 1)
P( X 1) P( X 1) 0.5
即找出(Y=0)的等价事件(X=0);
(Y=1)的等价事件(X=1)与(X=-1)的和事件
95
例:设随机变量X具有概率密度
x
, 0 x4
f X ( x) 8
0, 其他
求 Y = X 2 的概率密度。
FY ( y)
解:分记X,Y的分布函数为 FX ( x),
FY ( y ) P Y y P X y
2
当 y 0时,F Y ( y) 0;
当 y 16时,FY ( y) 1
97
当 0 y 16 时,
FY ( y) P 0 X y
y
0
t
y
dt
8
16
1
, 0 y 16
fY ( y ) 16
其他
0,
Y在区间(0,16)上均匀分布。
98
一般,若已知X的概率分布,Y=g(X),求Y的
概率分布的过程为:
1. 若Y 为离散量,则先写出Y的可能取值:
y1 , y2 ,
yj,
, 再找出Y y j 的等价
事件( X D), 得P(Y yi ) P( X D);
2. 若Y 为连续量,则先写出Y的概率分布函数:
FY ( y ) P(Y y ),找出Y y 的等价事件( X D),
得FY ( y ) P( X D);再求出Y的概率密度函数fY ( y );
关键是找出等价事件。
X
例:设
-1
0
1
1
1
1
3
3
3
Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。
解:Y的可能取值为-2,0,2
Z的可能取值为0,1
(Y=-2)的等价事件为(X=-1)…
(Z=1)的等价事件为(X=1)∪(X=-1)
故得:
Z
p
0
1
Y
1
3
2
3
p
-2
0
2
1
1
1
3
3
3
101
例:
设随机变量X具有概率密度为
fX(x),-∞ < x < +∞,
2
分别求Y = X , Z = X 的
概率密度fY(y),fZ(z)。
解 : 分 别 记 X , Y , Z 的 分 布 函 数 为 F X ( x ), FY ( y ), FZ ( z ).
当 y 0 时, FY ( y ) 0. 当 y 0 时,
FY ( y ) P{Y y} P{ X y} FX ( y ) FX ( y ).
f X ( y ) f X ( y ),
fY ( y )
0,
y0
(1)
y0
103
同理,当 z 0 时 , FZ ( z ) 0. 当 z 0 时 ,
FZ ( z ) P{Z z} P{ X z}
2
P{ z X z } FX ( z ) FX ( z )
1
[ f X ( z ) f X ( z )], z 0
fZ ( z) 2 z
(2)
0
, z 0.
例如:X~U(-1, 2),求
Y X 的概率密度fY ( y).
1/ 3, 1 x 2
解: X 的概率密度为 f X ( x )
其它
0,
由(1)得Y X 的概率密度为
f X ( y ) f X ( y ),
fY ( y )
0,
y0
y0
1 1
2
3 3 , 0 y 1
3 , 0 y 1
1
1
0, 1 y 2 , 1 y 2
3
3
其它
其它
0,
0,
106
例如:X~N(0, 1),求
Z X 的概率密度f Z ( z).
2
107
解: X 的概率密度为 f X ( x )
1
e
2
x2
2
, x ,
由 (2) 得 Z X 的 概 率 密 度 为
2
1
[ f X ( z ) f X ( z )], z 0
fZ ( z) 2 z
0
, z 0.
1 12 2z
z e , z0
2
0
, z 0.
此 时 称 Z 服 从 自 由 度 为 1 的 2分 布 。
定理:设X ~ f X ( x), x ,g '( x) 0 (或g '( x) 0)。
Y g ( X ),则Y 具有概率密度为:
f X (h( y )) h '( y ) , y
f Y ( y)
0,
其他
这里
( , )是
g的反函数
其中
Yg的取值范围,
(), gh(是
),
{当g '( x) 0时 g (
h( y) x y g ( x)
y
y=g(x)
y
h(y),y
0
x
证明:不妨设g '( x) 0, 则g x 为单调增函数,
且:h '( y) 0
,当
y y时,
;当
1;
显然,当
F时,
F)Y (y)0
0;当y y 时,
时,FFYY((yy) )
1;
Y (y
当 y 时,
FY ( y) P(Y y) P( g ( X ) y)
P( X h( y)) FX (h( y))
fY ( y) f X (h( y))h '( y) f X (h( y)) h '( y)
同理可证:当g '( x) 0 时,定理为真
110
例:设X ~ N (, ),Y aX b(a 0),求Y的概
2
(a 0),求Y的概率密度fY ( y).
111
解: y g ( x) ax b,g '( x) a 0,
y b
x h( y )
a
1
y b
fY ( y )
fX (
)
a
a y b
1
a
1
exp{
2
1
2 a
e
(
)2
a
2 2
}
[ y ( a b )]2
2 a 2 2
Y ~ N (a b, a2 2 )
2
一般若X ~ N ( , ),Y aX b
2
),Y aX b Y ~ N (a b, a )
2
2
113
例
设 随 机 变 量 X 在 ( / 2 , / 2 )内 服 从 均 匀 分 布
Y sin X , 试 求 随 机 变 量 Y 的 概 率 密 度 。
解:
Y sin X 对 应 的 函 数 y g ( x ) sin x 在 ( / 2 , / 2 )
上 恒 有 g ' ( x ) cos x 0 , 且 有 反 函 数
x h ( y ) arcsin y , h ' ( y ) 1 / 1 y
2
X的 概 率 密 度 为
f X (x )
1
, - x
2
2
0 , 其它
115
由 定 理 得 Y sin X 的 概 率 密 度 为
fY ( y)
1
1
, -1 y 1
2
1 y
0 , 其它
116
例 : V sin , 服从U (0, ),求fV (v).
解:V sin 在(0,)不单调,所以不能应用定理。
对0 v 1,
2 arcsin v
FV (v) P(V v) P{sin v)
sin
v
arcsin v
arcsin v
117
所以V的概率密度为:
2
,
2
1
v
fV (v)
0,
0<v <1,
其他.
118
例:设X 服从参数为的指数分布,F x 为X 的分布函数。
1 求F x ;
2 设Y F X , 试证Y ~ U 0,1 即均匀分布。
119
e x , x 0
解:
1 由前知, X ~ f x
0 ,x0
1 e x , x 0
F x
,x0
0
(2)当x 0, y F ( x)严格单调递增,y的取值范围为
1
1
(0,1), 此时x F ( y ) ln(1 y )
X 0, Y的取值范围为 (0,1).
当0 y 1时,FY y P 1 e
X
y
FY ( y) P(Y y) P( F ( X ) y)
P( X F 1 ( y)) F ( F 1 ( y))
y
y0
0,
即 FY y y, 0 y 1 , Y U 0,1 .
1,
y 1
121
课件待续!