Transcript 随机事件及其概率

第八章
概率初步
概率(或然率或几率) —— 随机事件出现
的可能性的量度—— 其起源与博弈问题有关.
概率论是一门研究客观世界随机现象数量
规律的 数学分支学科.
16世纪意大利学者开始研究掷骰子等赌博
中的一些问题；17世纪中叶，法国数学家B. 帕
斯卡、荷兰数学家C. 惠更斯 基于排列组合的方
法，研究了较复杂 的赌博问题， 解决了“ 合
理分配赌注问题” ( 即得分问题 ).
对客观世界中随机现象的分析产生了概率
论；使 概率论 成为 数学的一个分支的真正奠
基人是瑞士数学家J.伯努利；而概率论的飞速
发展则在17世纪微积分学说建立以后.
本学科的应用
概率论的应用几乎遍及所有科学技术领域、
工农业生产和国民经济的各个部门中. 例如
1. 气象、水文、地震预报、人口控制
及预测都与《概率论》紧密相关；
2.
研究化学反应的时变率，要以《马尔
可夫过程》 来描述;
3.生物学中研究 群体的增长问题时，
提出了生灭型《随机模型》，传染病流行问
题要用到多变量非线性《生灭过程》；
4. 许多服务系统，如电话通信、船舶
装卸、机器维修、病人候诊、存货控制、
水库调度、购物排队、红绿灯转换等，都
可用一类概率模型来描述，其涉及到 的知
识就是 《排队论》.
目前, 概率统计理论进入其他自然科学
领域的趋势还在不断发展.
在社会科学领
领域 ,特别是经济学中研究最优决策和经
济的稳定增长等问题 ,都大量采用《概率
统计方法》.法国数学家拉普拉斯(Laplace)
说对了:“ 生活中最重要的问题 ,其中绝
大 多数在实质上只是概率的问题.”
英国的逻辑学家和经济学家杰文斯曾
对概率论大加赞美：“ 概率论是生活真正
的领路人, 如果没有对概率的某种估计, 那
么我们就寸步难行, 无所作为.
第八章 概率初步
一、随机事件及其概率
二、随机变量及其分布
三、随机变量的数字特征
四、概率在经济分析中的应用
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结束
铃
第一节 随机事件及其概率
• 随机事件及其运算
• 概率与频率
• 古典概率与几何概率
• 概率运算
• 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
• 事件的独立性
• 伯努里概型
教学要求
了解： 了解随机事件的概念，了解随机事件概率
的概念。
掌握： 掌握概率的运算，掌握运算公式，掌握事
件的独立性，会利用公式求解想要的概率。
重点： 概率运算公式的应用。
难点： 概率的运算，事件的独立性的掌握。
第一节 随机事件及其概率
确定性现象
随机现象 ——
 每次试验前不能预言出现什么结果
 每次试验后出现的结果不止一个
 在相同的条件下进行大量观察或试验
时，出现的结果有一定的规律性
—— 称之为统计规律性
8.1.1 随机事件
1.随机事件的概念
对某事物特征进行观察, 统称试验.
若它有如下特点,则称为随机试验,用E表示
□
试验结果不止一个,但能明确所有的结果
□
可在相同的条件下重复进行
□
试验之前不能准确预言试验出现哪种结果
一些试验的例子
E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示
出正面和反面;
E2: 将一枚硬币连抛三次，考虑正反面出现
的情况；
E3:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的
次数;
E4:掷一颗骰子，考虑可能出现的点数；
E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；
E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命;
E7:任选一人，记录他的身高和体重 。
样本空间—— 随机试验E 所有可能的结果
组成的集合称为样本空间 记为
样本空间的元素, 即E 的直接结果, 称为
样本点(or基本事件) 常记为 ， = {}
随机事件 —— 的子集, 记为 A ,B ,…
它是满足某些条件的样本点所组成的集合.
基本事件 —— 它是随机试验的直接结果,
每次试验必定发生且只可能发生一个基
本事件.
复合事件—— 可以分解为一些基本事件
必然事件——全体样本点组成的事件,记
为, 每次试验必定发生的事件.
不可能事件——不包含任何样本点的事件,
记为 ,每次试验必定不发生的事件.
例8-1 某公司为了了解一批产品的质量，从中抽出50件
产品来检查，结果可能是：
A 0  {没有次品}, A1  有1件次品
A 2  有2件次品，
, A50  全是次品
基本事件：
复合事件：
A0 , A1 , A 2 ,, A50
次品不多于1件
次品不少于10件
次品在5和8件之间件
2.事件的关系和运算
文氏图 ( Venn diagram )

A
随机事件的关系和运算
雷同集合的关系和运算
（1）事件的包含与相等
A  B —— A 包含于B
 事件 A 发生必
导致事件 B 发生
事件的相等
AB
AB
BA

A
B
(2) 事件的并(和)
A B 或A  B
—— A 与 B 的和事件
A

A B
A  B 发生
事件 A 与事件 B至
少有一个发生
n
A1 , A2 ,, An 的和事件 ——
 Ai
A1 , A2 ,, An , 的和事件 ——
 Ai
i 1

i 1
B
例8-2 在100件产品中，有3件次品，从中任取3件，
记，Ai  恰有i件次品（
 i  0,1,2,3）,
B  {至少有1件次品}
解：
B  A1  A 2  A3 .
（3） 事件的交(积)
A  B 或 AB
—— A 与B 的积事件

A
B
A  B 发生
A B
事件 A与事件B 同时
发生
n
A1 , A2 ,, An 的积事件 ——
 Ai
i 1 
A1 , A2 ,, An , 的积事件 ——  Ai
i 1
（4） 事件的差
A B
—— A 与 B 的差事件
A  B 发生

事件 A 发生，但
事件 B 不发生

A
B
A B
（5） 事件的互斥(互不相容)
AB   —— A 与B 互斥
 A、B不可能同时发生

A
B
A1 , A2 ,, An 两两互斥
 Ai Aj  , i  j, i, j  1,2,, n
A1 , A2 ,, An , 两两互斥
 Ai Aj  , i  j, i, j  1,2,
（6） 互逆事件（对立事件）
AB   , A  B  
—— A 与B 互相对立

B A
 每次试验 A、B中有且
只有一个发生
称B 为A的对立事件(or逆事件)，
记为
BA
注意：“A 与B 互相对立”与
“A 与B 互斥”是不同的概念
A
（7） 完备事件组
n
若 A1 , A2 ,, An两两互斥，且    Ai
则称 A1 , A2 ,, An 为完备事件组
或称 A1 , A2 ,, An 为  的一个划分
A1
A2
A3


An
An 1
i 1
3.事件间的运算律
 交换律
A  B  B  A; AB  BA
 结合律 (A  B)  C  A  (B  C); (AB)C  A(BC)
 分配律 A(B  C)  AB  AC; A  (BC)  (A  B)(A  C)
 反演律
A  B  A B; AB  A  B
运算顺序： 逆交并差，括号优先
分配律
B
A
图 示
C
A (BC )
( A  B)( A  C )
B
A
C
例8-3 用图示法简化
A ( A B) B
( A  B)( A  B ) . AB  
红色
区域

交
( A B )
A

B
黄色
区域
A

 ( A  B)( A  B )  A
例8-4 利用事件关系和运算表达多个事件的
关系
A ,B ,C 都不发生——
ABC  A B C
A ,B ,C 不都发生——
ABC  A  B C
例8-5 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、
B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C
的运算关系表示下列事件
（1）至少有一人命中目标；
（2）恰有一人命中目标；
（3）恰有两人命中目标；
（4）三人均命中目标；
（5）三人均未命中目标.
解：
(1)AB  C;
(2)A B C  ABC;
(3)A BC  ABC  ABC;
(4)A BC;
(5)A  B  C.
问题
在一次乒乓球比赛中设立奖金1千元.比赛规定谁先
胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已
打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比
赛.问这1000元应如何分配才算公平?
8.1.2 随机事件的概率
概率：从直观上来看，事件 A的概率是指事件 A
发生的可能性大小的度量（数值），记作 P( A )
1.概率的统计定义
频率:在相同条件下，进行了n次试验，在这n

次试验中事件A出现的次数  称为的A频数，比值
n
称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为

f n (A) 
n
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，
出现正反面的机会均等。
频率的性质
(1)
(2)
0  f n (A)  1
f n ()  1; f n ()  0
(3) 可加性：若AB  , 则
f n (A  B)  f n (A)  f n (B)
2、概率与频率
实践证明：当试验次数n增大时，f n (A) 逐渐趋
向一个稳定值。可将此稳定值记作 P(A) ，作为事
件 A 的概率。
因此，概率应具有与频率同样的性质。
表8-1
实 验者
次数n
正面向
上次数
( )
De.Morg
an
2048
1061
0.5181
Buffon
4040
2048
0.5070
K.person
12000
6019
0.5016
K.person
24000
12012
0.5005
频率f n (A)
从表8-1可见，“抛出正面”的频率稳定地接近于一个定植
0.5，它反映出随机事件发生的可能性大小，把它定义为概率
概率:在相同条件下，进行了多次试验，随机事

件A频率
所稳定地接近的定值p，称为随机事
n
件A的概率 ， 记作
p( A )  p
例8-6 某公司对齿轮做磁力探伤，对2万个齿轮分
5批进行检测，检测结果如表8-2 所示
表8-2
批次
检测
次数
出现“没
有裂纹”
的次数
出现“没有
裂纹”的频
率
第一批
300
282
0.94
第二批
500
473
0.946
第三批
1000
946
0.946
第四批
1500
1428
0.952
第五批
2000
1902
0.951
从表8-2可以看到，随着检测次数的增加，频率波
动的幅度越来越少，并稳定的接近0.95，因此
P(“没有裂纹”)=0.95
概率的性质
(1)
0  P(A)  1;
(2)
P()  1; P()  0.
2、概率的古典定义
若某实验E满足：
1.有限性：基本事件的总数为有限个；
2.等可能性：每个基本事件出现的可能性相同.
则称E为古典概型也叫等可能概型。
(1)概率的古典定义
设在古典概型中，基本事件总数为n个，随
机事件A包含其中的m个基本事件，则事件A
的概率为：
m
P(A) 
n
(2) 古典概型中的概率
A
设事件
中所含样本点个数为
，
以 N(A)记样本空间
S
N (S) 中样本点总数，则有
N ( A)
P( A) 
N (S )
P( A ) 具有如下性质：
(1) 0  P(A)  1;
(2) P()  1; P()  0;
(3) AB  , 则P(A  B)  P(A)  P(B).
例8-7:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的
概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?
解：基本事件有
A1  男，男，男，A 2  男，男，女，
A 3  男，女，女，A 4  女，女，女，
A 5  女，男，女, A 6  女，女，男,
A 7  女，男，男, A8  男，女，男.

7
p
8
(3)古典概型的几类基本问题
复习：排列与组合的基本概念
乘法公式：设完成一件事需分两步，第一步有n1
种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种
方法。
加法公式：设完成一件事可有两种途径，第一
种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完
成这件事共有n1+n2种方法。
有重复排列：从含有n个元素的集合中随机
抽取k 次，每次取一个，记录其结果后放回，
将记录结果排成一列，共有nk种排列方式.
无重复排列：从含有n个元素的集合中随机抽
取k 次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排
成一列，共有Pnk=n(n-1)…(n-k+1)种排列方式.
组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个，
共有
n

 P
n!
k
C n    

 k  k! k!(n  k )!
k
n
种取法.
例8-8、抽球问题
设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2
个球，求取到一红一白的概率。
C13C12 3
答:取到一红一白的概率为p  2 
C5
5
一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，
现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的
概率是
k
M
n k
NM
n
N
C C
p
C
分球入盒问题(分房问题)
例8-9：将3个球随机的放入3个盒子中去，问：
（1）每盒恰有一球的概率是多少？
（2）空一盒的概率是多少？
一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm)
，则每盒至多有一球的概率是：
n
m
n
P
p 
m
分组问题
例8-10：30名学生中有3名运动员，将这30名学生
平均分成3组，求：
（1）每组有一名运动员的概率；
（2）3名运动员集中在一个组的概率。
一般地，把n个球随机地分成m组(n>m),要求
第 i 组恰有ni个球(i=1,…m)，共有分法：
n!
n1!....n m !
3、主观概率
在商情预测与投资决策中，经济环境
不断变化试验（或调查）数据往往不足，
这就不能单靠多次重复试验（或观察），
而要凭主观作出判断。主观概率的观点
认为，概率所度量的是某一个人相信某
一特定命题是真理的程度，它不依赖于
任何过程的可重复性。
8.1.3 概率的运算
1.加法公式
定理8-1
设事件A与事件B互不相容，则
P(A  B)  P(A)  P(B)
推论1
有限可加性：设 A1 , A 2 ,, A n 是n个两两
,
互不相容的事件，即 A A  , (i  j), i, j  1,2,, n
i j
则有
P(A1  A2    An )  P(A1 )  P(A2 )    P(An );
推论2
事件差 ：A
B是任意两个事件，则
P(A  B)  P(A)  P(AB)
特别地，若 B  A, 则
P(A  B)  P(A)  P(B)
推论3 互补性 ：A是任意事件，则
P ( A )  1  P ( A)
定理8-2：对任意两事件A、B，有
P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB)
该公式可推广到任意 A1 , A2 ,An n个事件的情形；
可分性：对任意两事件A、B，有
P(A)  P(AB)  P(AB)
例8-11：某人打靶，命中10环的概率为0.40，
命中8环或9环的概率为0.45，求最多命中7环
的概率
解
设A=｛命中10环｝，B= ｛命中8环或9环｝，
C= ｛命中7环｝
C  ｛命中环数大于7｝
因为
C  A  B, 且A与B互不相容，所以
P( C)  P(A)  P(B)  0.40  0.45  0.85;
P(C)  1  P( C )  1  0.85  0.15.
例8-12：设某种玩具可有 S1,S2,S3,S4, 四种式样，每
种式样又有白Y1,，红Y2，黄 Y3三种颜色,设在10000件
玩具中按式样和颜色分类的数如表8-3所示。现从
中随机抽出一件问（1）抽到 S式样的概率是多少？
1
（2）抽到白球的概率是多少？（3）抽到 既是式
样 S1 又是白球的概率是多少？（4）抽到式样 S1
或白球的概率是多少?
表8-3
数量
颜色
白
红
黄
合计
1400
1300
900
1000
450
350
700
250
900
800
750
1200
2750
2450
2350
2450
式样
S1
S2
S3
S4
解
令S1  抽到S1式样，Y1  抽到白球, 有
2750
4600
(1)P(S1 ) 
 0.275; (2)P(Y1 ) 
 0.46;
10000
10000
1400
(3)P(S1Y1 ) 
 0.14;
10000
(4)P(S1 Y1 )  P(S1 )  P(Y1 )  P(S1Y1 )  0.595.
2.乘法公式
一般地，设 A B 是
则

中的两个事件，
P(A )  0 ,
P(AB)
P( B | A ) 
P( A )
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概
率。
设 A, B, P(A)  0, 则
P(AB)  P(A)P(B | A)  P(B)P(A | B)
该式称为事件A、B的概率乘法公式。
上式还可推广到三个事件的情形：
P(ABC )  P(A)P(B | A)P(C | AB)
例8-13 在一次对一年级学生上下两学期学习成
绩的统计调查中发现：上下两学期均优的占被调
查学生的5%，仅上学期优的占7.9%，仅下学期
优的占8.9%，求：
（1）已知某学生上学期得优，估计下学期得优
的概率；
（2）已知某学生上学期没得优，估计下学期得
优的概率；
（3）上下两学期均未得优的概率。
解：设A=｛上学期得优｝，B= ｛下学期得优｝，则
P(AB)  0.05, P(AB)  0.079, P( AB)  0.089
A  A  A(B  B), 得
P(A)  P(AB)  P(AB)  0.05  0.079  0.129；
P(AB)
0.05
（1）P(B A) 

 0.388
P(A) 0.0129
P(BA)
0.089
(2)P(B A) 

 0.102;
P(A) 1  0.129
(3)P(AB)  P(A)P( B A)  (1  P(A))(1  P(B A))  0.782
例8-14 盒中有3个红球，2个白球，，每次从袋
中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只
与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次
,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概
率。
解：设 A i 为第i次取球时取到白球，则
P( A1 A2 A3 A4 )  P( A1 ) P( A2 | A1 ) P( A3 | A1 A2 ) P( A4 | A1 A2 A3 )
2
P( A1 ) 
5
3
P( A2 | A1 ) 
6
3
P( A3 | A1 A2 ) 
7
4
P( A4 | A1 A2 A3 ) 
8
3.全概率公式与贝叶斯公式
定理8-3：设 A1 ,, A n 构成一个完备
事件组，( i  1,2,, n )，则对任何一个事
件B，有
n
P(B)＝ P(A i )P(B | A i )
i 1
式(8-11)就称为全概率公式.
(8  11)
例8-15 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同
一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为
25%、25%、50%，且三家工厂的次品率分别为
2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品
率。
解 设A1  产品为甲工厂生产，A 2  产品为乙工厂生产
A3  产品为丙工厂生产，B  产品为次品；
显然，A1 , A 2 , A 3构成一个完备事件组
,
P(B)  P(BA1 )  P(BA 2 )  P(BA3 )
 P(BA1 )P(A1 )  P(BA 2 )P(A 2 )  P(BA3 )P(A3 )
 0.02 0.25  0.01 0.25  0.03 0.5  0.0225.
4. 贝叶斯公式
定理8-4 ：设 A1 ,, A n 构成一个完备事件组，
且 P(Ai )  0, (i  1,2,, n )，则对任何事件B，有
P(A i | B) 
P( A i ) P( B | A i )
n
 P( A ) P( B | A )
i 1
i
i
式(8-12)就称为贝叶斯公式。
, (i  1,..., n )
(式8 - 12)
例8-16：继续讨论例8-14，若已知某件产品
为次品，问它由甲、乙、丙工厂生产的概率各
为多少？哪个工厂生产该次品的可能性最大？
解：由例8-14已经求出P(B)=0.0225,故直接求得：
P(A1 | B) 
P(A1B)
P ( B | A1 ) P ( A1 )
0.25  0.02
 3

 0.2222;
P(B)
0.0225
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
 i
i
i 1
P(A 2 B)  0.1111, P(A 3 B)  0.6667.
所以丙工厂生产该次品的可能性最大.
例8-17：设某一工厂有A、B、C三个车间，他们
生产同一种螺钉，每个车间的产量分别占该厂生产
螺钉总产量的25﹪,35 ﹪,40 ﹪,每个车间的次品率分
为5 ﹪，4 ﹪，2 ﹪。求（1）从全厂总产品中抽取
一件产品，得到次品的概率；（2）如果从全厂总
产品中抽取一件产品，得到次品，那么它是车间A
生产的概率。
解 设
A1  是A车间产生的，A 2  是B车间产生的，
A3  是C车间产生的，
B  从全厂总产品中抽取一件产品，得到次品。
(1)P(B)  P(BA1 )  P(BA 2 )  P(BA 3 )
 P( B | A1 ) P( A1 )  P( B | A2 ) P( A2 )  P( B | A3 ) P( A3 )
 0.25  0.05  0.35  0.04  0.40  0.02  0.0345
P(A1B)
P(B | A1 )P(A1 )
25
(2)P(A1 | B) 
 3

P(B)
69
P
(
A
)
P
(
B
|
A
)
 i
i
i 1
8.1.4事件的独立性
1、事件的独立性
定义： 设 A B 是两事件，P(A)  0 ,若
P(AB)  P(A)P(B)
则称事件A与B相互独立。
(8 - 13)
定理8-5
（1）必然事件及不可能事件与任何事件独立；
（2）若事件A与事件B相互独立，则
(ⅰ)事件 A, B 相互独立；
(ⅱ)事件 A, B 相互独立；
(ⅲ)事件
A, B 相互独立；
（3）当 P(A)  0, P(B)  0 时。下面4个结论等价：
◆
◆
事件A与事件B相互独立 ◆ P(AB)  P(A)P(B)
P(B)  P(B | A)
◆ P(A)  P(A | B)
2、多个事件的独立
定义若三个事件 A B C 满足：
(1)P(AB)  P(A)P(B) P(AC)  P(A)P(C)
P(BC)  P(B)P(C)
则称事件 A B C 两两相互独立；
若在此基础上还满足：
(2)P(ABC)  P(A)P(B)P(C)
则称事件 A B C 相互独立。
3.事件独立性的应用
1、加法公式的简化：若事件相互独立,
则
P{A1  A2  ...  An )  1  P( A1 ).... P( An )
2、在可靠性理论上的应用
例1：如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设
每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否
相互独立，求L至R是通路的概率。
例8-18:某公司生产的一批灯泡：在被检查的
100个灯泡中，有两个是坏的.某人从这100个灯泡
中随机抽取两个灯泡，抽出第一个之后不放回，
再抽第二个，则连续抽到两个坏灯泡的概率是多
少？若他抽出第一个之后，将其放回，再随机抽
第二个，则连续抽到两个坏灯泡的概率是多少？
解：设A=｛抽到第一个是坏灯泡｝，
B= ｛抽到第二个是坏灯泡｝，则
（1）抽后不放回
P(A) 
2
100
由于A发生，余下的99个灯泡中，只有一个
是坏的，因此
1
P(B A)  ,
99
P(AB)  P(A)P(B A) 
2
1
1


.
100 99 4950
（2）抽后放回
此时，A发生与否不影响B的发生。第一次和第
二次抽取都是从两个坏灯泡的100个灯泡中抽取一
个，因此是相互独立的，并且
P(A)  P(B) 
2
2
2
1
, P(AB)  P(A)P(B) 


.
100
100 100 2500
例8-19:假定有奖储蓄一万张为一组，奖号有
A1
Ai (i  1,2,3,4是0，
,5)
五位数字 A5A4 A3A2组成，其中
1，2，…，9中任一个数字.设一等奖一个，中奖
号码有后面四位数字决定；二等奖10个，中奖号
码有后面三位数字决定；三等奖100个，中奖号
码有后面两位数字决定；四等奖1000个，中奖号
码有后面一位数字决定.今任意购买一张奖券，
中各等奖的概率是多少？
解： A i  抽到A i数字，
(i  1,2,3,4,5)，A i (i  1,2,3,4,5)是相互独立，且
1
(i  1,2,3,4,5)，
10
中一等奖的事件为A 4 A 3A 2 A1 ;
P (Ai ) 
中二等奖的事件为A 3A 2 A1 ;
中三等奖的事件为A 2 A1 ;
中四等奖的事件为A1.
P ( A 4 A 3 A 2 A1 )  (
P ( A 3 A 2 A1 )  (
P ( A 2 A1 )  (
P ( A1 ) 
1 4
)  0.01%;
10
1 3
)  0.1%;
10
1 2
)  1%;
10
1
 10%.
10
4.伯努里概型
定义：如果试验只有两个可能结果： A 及 A
且 P( A)  p, P( A)  1  p  q (0  p  1)
则称E为伯努里试验。
将伯努里试验独立地重复n次的试验，称为n重
伯努里试验。
例8-20：设有一批产品，次品率为p.现进行有放回的
抽取，问任取4次后，发现其中恰有两件次品的概率
是多少？
解：设A i  第i次抽到次品(i  1,2,3,4), A i  第i次抽到正品
在四次试验中，
2次抽到次品的情况有C 24  6种：
A1A 2 A 3 A 4 , A1A 2 A 3 A 4 , A1A 2 A 3 A 4 , A1A 2 A 3 A 4 , A1A 2 A 3 A 4 ,
A1 A 2 A 3 A 4 ;
恰抽到2次次品的概率为：
P（
 P( A1A 2 A 3 A 4 )  P( A1A 2 A 3 A 4 )  P( A1A 2 A 3 A 4 )
4 2）
 P(A1A 2 A 3 A 4 )  P(A1A 2 A 3 A 4 )  p(A1A 2 A 3 A 4 );
 P( A1A 2 A 3 A 4 )  (1  p) 2 p 4 2 ;
42 2
2 42
2 42
 P（
2
）

(
1

p
)
p

(
1

p
)
p



(
1

p
)
p
4
 C 24 (1  p) 2 p 4 2 .
定理：在伯努里试验中，A发生的概率
为 p(0  p  1)，则在n次独立重复试验中，A
恰好发生k次的概率为
Pn (k )  C p (1  p)
k
n
k
nk
C p q
k
n
k
nk
k  0,1, n
例8-21 金工车间有10台同类型的机床，每台机床配备的电动
机功率为10千瓦，已知每台机床工作时，平均每小时实际开
动12分钟，且开动与否是相互独立的。现因当地电力供应紧
张，供电部门只提供50千瓦的电力给这10台机床，问这10台
机床能够正常工作的概率为多大？
解：设A={10台机床能够正常工作}， A i ={第i台机床开
动}，X表示10台机床中正在开动着的机床台数。
则 P( Ai )=12|60=1|5=0.2。
于是，有
5
P( A)  P( X  5)   P( X  k )
k 0
5
k
k
10 k
C
0
.
2
0
.
8
 0.994
 10
k 0
例8-22： 一条自动化生产线上产品的一级品率为
0.6， 现从中随机抽取10件检查，求：
（1）恰有两件一级品的概率；
（2）至少有2件一级品的概率.
解：本题中的抽样方法是不放回的抽取，但由题意知产品的
数量很大，抽取数量较小，可作为有放回的抽样处理.
设A i  恰有i件一级品(i  0，
1, ,10), B  至少2件一级品
i
P (Ai )  P10（i） C10
(0.6) i (1  0.6)10 i (i  0，
1, ,10)
2
(1)P (A2 )  P10（2） C10
(0.6) 2 (1  0.6)10  2  0.0106;
10
(2)P (B)  P(A 2  A 3    A10 )   P10 (i)
i2
 1  P10 (0)  P10 (1)  0.9983.
例8-23：某大学校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛。
校队的实力较系队较强，当一个校队运动员与一个系队运动员
比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6。现在校、系双方商量
对抗赛的方式，提出了三种方案：（1）双方各出3人；（2）
双方各出5人；（3）双方各出7人。三种方案中均以比赛中得
胜人数多的一方为胜。问：对系队来说，哪一种方案有利？
解：设系队得胜的人数为X，则在上述三种方案中系队得
胜的概率为：
3
(1) P( X  2)   C3k 0.4 k 0.6 3 k  0.352
k 2
5
(2) P( X  3)   C5k 0.4 k 0.6 5k  0.317
k 3
7
(3) P( X  4)   C 7k 0.4 k 0.6 7 k  0.290
k 4
练习
1 .写出随机试验E的样本空间、样本点及所列
出的随机事件
（1）掷一颗骰子.A={出现偶数点}；
（2）5件产品中有一件废品，从中任取两
件.B={从中任取两件得一件废品}；
（3）向xoy面上的单位圆内投点.C={投点落
在单位圆内}
2.甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、
B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的
运算关系表示下列事件：
A1 :“至少有一人命中目标”:
A2 :“恰有一人命中目标”:
A3 :“恰有两人命中目标”:
A4 :“最多有一人命中目标”:
A5 :“三人均命中目标”:
A6 :“三人均未命中目标”:
3.某地区有1000人是1925年出生的，E：考察到
2005年还有几个人活着。
（1）写出E的样本空间；
（2）设A={只有10个人活着}，B={至少有30个
人活着}，C={最多有5个人活着}，问：A与B、A与
C、B与C是否互不相容？A、B、C的对立事件是什
么？
4.某电灯泡使用时数在1000以上小时的概率为
0.2，求三个灯泡在使用1000小时以后，最
多只有一个坏的概率。
5.在盒子中有十个相同的球，分别标为号码1、
2、…、10，从中任取一球，求此球的号码为偶数
的概率。
作业
P167
练习8-1
2、3、4、5