Transcript 第13章

第四部分 概率
第13章 随机事件及概率
一、事件及概率
1. 随机事件: 可能发生,也可能不发生的事件.
例13.1 投一枚硬币
事件A=正面朝上;
事件B=正面朝下
例13.2 投两枚硬币
事件A=两枚均正面朝上; 事件B=两枚均正面朝下;
事件C=一枚正面朝上,另一枚正面朝下;
事件D=至少一枚正面朝上
一、事件及概率
例13.3 十个产品(8个正品,2个次品),从中取3个
A=三个都是正品;
B=至少一个次品;
C=三个都是次品; ----不可能事件
D=至少一个正品. ----必然事件
一.、事件及概率
2. 随机事件的概率
例: 抛硬币试验
Kerrich 抛硬币结果
一、事件及概率
历史上其他人的结果
结论:一枚公正的硬币,不管以前的结果如何,下一次得到头像
的机会总是50%. 随着抛掷次数的增加,头像与期望数之间
的差的绝对值可能会增加. 但是,与抛掷次数相比,差可能逐
渐减少.频率趋近 50%.
一、事件及概率
（1）定义： 在一组条件下,重复n次试验, 其中随
机事件A发生μ次,当n增加时,
频率

n
p
称p为随机事件A发生的概率, 记为P(A)=p.
(2)性质：
二、古典概型
例13.4 盒中有5个球,其中3个白球,2个黑球,任选1
个.求P(白球)=?
解: 因为5个球被取到的机会相等,所以,
P(白球)=3/5.
例13.5 同上. 任取2个. 求: P(两白)=?
解: P(两白)=3/10.
二、古典概型
1.定义: 随机实验 称为是古典概率模型，如果它满
足以下条件：
（1）实验基本结果只有有限多种 { A1,…, An};
（2）当 ij时, Ai 和 Aj 是不会同时发生的；
（3）各个{Ai} 地位是对称的，出现的可能性的大小
是相等的。
注: 其中, A1,…, An 称为基本事件；
二、古典概型
2. 古典概型的概率计算：
若事件B是由基本事件{A1 ,A2 ,…,Am}组成，则
B的概率为 P( B )=m/n.
例13.5 (recall)
试验的基本事件个数: 10=C(5,2)
事件{两白}所含的基本事件个数:3=C(3,2)
二、古典概型
3. (补充复习)若干排列组合定理
定理1: 有M个空盒， N 个符号,每个空格里面放1个
符号，
(1) 如符号允许重复，则一切可能有NM 种;
(2) 如不允许重复(N>=M)，则是
N*(N-1)*…*(N-M+1)=P(N, M)。
例：一个骰子投掷2次，则所有可能结果为
62=36。
例：36取7的排列，
P(36,7)=36*35*…*30=42072307200。
二、古典概型
定理2：从N 个符号中任取M个，只看符号不看次
序，则有
C(N,M)=N!/(M!(N-M)!)
推论：将 n 个不同的元素
{a1 , a2 ,...,an }
划分为 k 组， 1  k  n
指定 第一组有 r1 个，第二组有 r2 个，… ，第 k 组 有 rk，
k
n!
则一切可能的结果有
N
r1!r2 ! rk !
 rj  n
j 1
二、古典概型
定理3：袋中有两类元素总数有N个，第 I 类有N1个，第 II
类有N2个，从中取M个，则其中有M1个 I 类和 M2 个 II
类 （M1+M2=M) 的一切可能取法有
C(N1, M1)*C(N2, M2) 种
例：52 (N)张牌中， 13 (N1)张，其它39 (N2) 张，从
中 取5 (M) 张，其中有3 (M1) 张  的一切可能有
C(13, 3)*C(39, 2)=211926 种。
注：定理 3 的结果可以推广到更多种的场合：
m1 m 2
Cn Cn
1
2
mk
C n ;
k
k
k
j 1
j 1
 n j  N;  m j  M
二、古典概型
例13.6： 北京市电话号码为8位，任指一用户，其头4位号码
为6275的概率。
解：N=108; M=104, P=10-4=0.0001
例13.7: 北京体育彩票有36个号，特等奖为7个号相同；香港的六
合彩为47个号选6个，头等奖为6个号全相同。问哪个概率大？
解：北京为 N=C(36, 7), M=1, P=1/C(36, 7)=1/8347680
香港为 N=C(47, 6), M=1, P=1/C(47, 6)=1/10737600
例13.8： A={11, 24, 25, 26, 27, 33, 34}, B={16}, 从36个号中选7
个数, 能选中A 中的6个号及 B的概率大小（一等奖）。
解：N=C(36, 7), M=C(7,6)*C(1,1)=7*1=7, P=M/N=8.386E-7
二、古典概型
练习13.1 100件产品,其中5件次品.
(1) 取50件.求:P(无次品)=?
(2) 取50件.求: P(取出的50件中两件次品)=?
解：
C (95,5)
95! /(50!45! )
1081


.
C (100,5) 100! /(50!50! ) 38412
(1)
P(无次品)＝
(2)
P(两件次品)＝
C (95,3)C (5,2)
.
C (100,5)
二、古典概型
练习13.2 一对骰子. 点数和为4的机会多少?
解：机会是3/36.
三、事件的运算及概率的加法公式
1.事件的包含与相等
(1) B  A, 或A  B (B包含A ): 如果 A 发生则 B
一定发生;
例: 投2枚硬币.
A=正好1枚正面向上,
B=至少1枚正面向上。
(2) A=B (B等于A): 如果 A  B; B  A。
例:投2枚硬币.
A=正好1枚正面向上, B=正好1枚正面向下。
三、事件的运算及概率的加法公式
2. 事件的和与积
(1) AB,或A+B (A与B的和): A, B至少有一个发生
(2) AB ,或AB (A与B的积): A发生且B发生
例: 投2枚硬币.
A=正好1枚正面向上, B=正好2枚正面向上,
C=至少1枚正面向上.
C  A, C  B, A + B = C,
AC = A, BC = B,AB = V (不可能事件).
三、事件的运算及概率的加法公式
3. 对立事件及事件的差
(1) A (A 的对立事件 ): 非 A, 即 A 不发生.
例: 投2枚硬币. A=至少1枚正面向上.
A = 2枚都向下.
注： ( A)  A，A  A  V (不可能事件)
A  A＝U (必然事件)
(2) A-B或A\B (A 与B 的差): A 发生, 而B不发生.
注:
A  B  A  B。
三、事件的运算及概率的加法公式
4. 事件的运算规律
三、事件的运算及概率的加法公式
三、事件的运算及概率的加法公式
Morgan公式
三、事件的运算及概率的加法公式
5. 事件的互不相容
(1) 若 AB=V(不可能事件),则称A与B互不相容。
例：A＝ 正好1枚正面向上, B = 正好2枚正面向上.
例: 从牌中抽 1 张, A = 红心, B = 黑桃。
例：一对骰子, 一黑, 一白.
A = 白 1 与 B = 黑 1 互不相容吗？
(2) n个事件A1,A2,…,An互不相容: 如果对于任意
ij,都有 Ai 和 Aj不相容。
三、事件的运算及概率的加法公式
6. 概率的加法公式
(1) 若AB = V,则P(A+B)=P(A)+P(B) .
注:
三、事件的运算及概率的加法公式
例13.9 一副牌, 最上面一张牌. 求:
(1)第一张是红心的机会 ;
(2)第一张是黑桃的机会 ;
(3)第一张是强花色(红心 或 黑桃)的机会 .
例13.10 一对骰子. 至少一个 1 点的机会 = 1/6
+ 1/6 = 1/3, 对吗?
解: 不对.应为 1/6 + 1/6 -1/36=11/36.
三、事件的运算及概率的加法公式
例13.11
17世纪法国赌徒, 采用两种赌法.
第一种: 一个骰子, 掷4次, 至少1次出现 “1点”;
第二种: 一对骰子, 掷24次, 至少1次出现“双1点”.
请问这两种赌法是等可能的吗 ?
解: 第一种:
P(至少一次1点)=1-P(无幺点)=1-(5/6)4 = 51.8%.
第二种:
P(至少一次双1点)=1- P(无双1点)
=1-(35/36)24=49.1%
三、事件的运算及概率的加法公式
(2) 任意事件A与B,都有
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
例13.12 3个球, 其中 1红, 1黄, 1白. 每次取 1
个, 有放回, 取 3次.
求: P( 无红 或 无黄) = ?
解:令G = 无红, H = 无黄.
则 G + H = 无红 或 无 黄, GH = 无红 且 无黄.
P(G) = (2/3)3, P(H) = (2/3)3, P(GH) = (1/3)3. 则
P(G + H) = P(G) + P(H) –P( GH ) =(8+81)/27=15/27
四、条件概率,乘法公式及独立性
例 一副牌（52张）洗过后，最上面的两张牌面朝下
地放在桌上。如果第二张牌是红心Q,你赢1美元。
（1）你赢美元的机会是多少？
（2）你翻开第一张牌，这张牌是梅花7。现在你赢
的机会是多少？
解: (1) 1/52;
(2) 1/51.
四、条件概率,乘法公式及独立性
1. 条件概率:
(1) 定义: 设P(A) 0. 在A发生的条件下, B发生
的概率, 记为 P(B|A).
例13.13
16个球, 其中 6个玻璃, 10个木质.
6个玻璃: 2个红, 4个蓝;
10个木质: 3个红, 7个蓝.
(1) 任取 1个, 如果已知取到的球是蓝的,那么该
球是玻璃球的概率是多少?
(2) 任取 1个, 如果已知取到的球是玻璃的,那么
该球是蓝球的概率是多少?
四、条件概率,乘法公式及独立性
列联表
红
蓝
玻璃
2
4
木质
3
7
和
5
9
和
6
10
16
解: 令A=任取 1个该球是蓝的; B=该球是玻璃的
P(A)=9/16, P(B)=6/16
(1)P(B|A)=4/9
(2)P(A|B)=4/6
四、条件概率,乘法公式及独立性
(2)条件概率的性质
P(A1+A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B)
若A1A2=V,则
P(A1+A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)
若任意 AiAj=V,则
P(Ai+  +An|B)=P(Ai|B)+  +P(An|B)
P( A | B)  1  P( A | B)
四、条件概率,乘法公式及独立性
2. 乘法公式
经验公式: P(B|A) = P(AB)/P(A)
乘法公式: P(AB) = P(A)P(B|A)
例 盒中3张票: 红, 白, 蓝. 随机,不放回,取两张.
求: 第一张红,且第二张白的概率.
例 抛硬币两次. 如果第二次为头像,你赢1美元.
(a) 假如第一次抛得头像,你赢1美元的概率?
(b) 假如第一次抛得背面,你赢1美元的概率?
四、条件概率,乘法公式及独立性
注: 乘法公式的推广
P(A1A2  An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)
 P(An|A1 A2 An-1)
例13.14 甲乙两地有电话线通往某处.甲地有10条
线路,在T时间内平均有100人打电话;乙地也有
10条线路,在T时间内平均有50位本地人打电话.
在甲地打不通的人中有1/5的人可能转到乙地去
打.试问,任指一在甲地打电话的人,他在甲地会打
不通且到乙地也打不通电话的概率是多大?
四、条件概率,乘法公式及独立性
解: 设 A={在甲地打不通}, B={由甲地转往},
C={在乙地打不通}, P(ABC)=?
P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)
P(A)=1-10/100=0.9
P(B|A)=0.2
P(C|AB)=1-10/68=58/68
P(ABC)=0.90.2 (58/68)=0.1535
四、条件概率,乘法公式及独立性
例13.14 市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产
品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，
且三家工厂的次品率分别为 2％、1％、3％，试求市场上
该品牌产品的次品率。
设：B：买到一件次品
A1 : 买到一件甲厂的产品
A2 : 买到一件乙厂的产品
A3 : 买到一件丙厂的产品
P( B)  P( BA1 )  P( BA2 )  P( BA3 )
 P( B | A1 ) P( A1 )  P( B | A2 ) P( A2 )  P( B | A3 ) P( A3 )
1
1
1
 0.02   0.01  0.03   0.0225
4
4
2
四、条件概率,乘法公式及独立性
3.全概公式
定理 (全概公式)
n
若A1，…, An满足:
(1)  Ai  U ; 且P( Ai )  0;
i 1
(2) Ai A j  V , (i  j ), i, j  1,2,..., n.
即A1,A2, … ,An为样本空间的一个划分.
那么,对于任意事件B都有:
n
P( B)＝ P( Ai ) P( B | Ai )
i 1
四、条件概率,乘法公式及独立性
用Venn图表示全概公式
…
A2
A1
…
B
An
…
…
…
四、条件概率,乘法公式及独立性
例13.15 有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，
1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六
个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入
乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红
球的概率？
解：设A1= 从甲袋放入乙袋的是白球；
A2= 从甲袋放入乙袋的是红球；
B= 从乙袋中任取一球是红球；
四、条件概率,乘法公式及独立性
P( B)  P( B | A1 ) P( A1 )  P( B | A2 ) P( A2 )
1 2 3 1 7
    
2 3 4 3 12
思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放
入乙袋的是白球的概率是多少？
P( A1B) P( B | A1 ) P( A1 ) 4
解 : P( A1 | B) 


7
P( B)
7
12
四、条件概率,乘法公式及独立性
练习13.3 商店论箱出售玻璃杯，每箱20只，其中每箱含0，
1，2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，某顾客选中一
箱，从中任选4只检查，结果都是好的，便买下了这一箱.
问这一箱含有一个次品的概率是多少？
解:设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.
B0, B1, B2分别表示事件每箱含0，1，2只次品
已知:P(B0)=0.8, P(B1)=0.1, P(B2)=0.1
P(A|B0)=1, P(A|B1)=C(19,4)/C(20,4)=4/5,
P(A|B1)=C(18,4)/C(20,4)=12/19
P(A)=P(A|B0)P(B0)+ P(A|B0)P(B0)+ P(A|B0)P(B0)
2.2842
P(B1|A)=P(B1A)/P(A) 0.0848
四、条件概率,乘法公式及独立性
4. 独立性
两事件是独立的: 如果给定第一个事件,无论它的
结果是什么, 第二件事件的概率都一样.
(1) 定义: 事件A与B独立 (A  B): 若
P(AB)=P(A)P(B) .
注: 当P(A) 0,
P(AB)=P(A)P(B)  P(B|A)=P(B)
四、条件概率,乘法公式及独立性
(2) 定理 以下四件事等价：
(a)事件A、B相互独立；(b)事件A、B相互独立；
(c)事件A、B相互独立；(d)事件A、B相互独立。
(3) 推广: A、B、C满足：
A  B,
A  C,
B  C,
则称事件A、B、C两两独立；
(i)
若在此基础上还满足：
P(ABC)＝P(A)P(B)P(C),
则称事件A、B、C相互独立。
(ii)
四、条件概率,乘法公式及独立性
思考题: (i) 与 (ii) 等价吗? 如果不,请给出例子.