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概率论与数理统计复习提纲
第一章
1, 搞清楚事件的各种关系和运算的意思
思考题: 已知A,B都是随机事件, AB,
A=B, AB, AB(或AB), A的意思是什么?
A和B互斥或者互不相容是什么意思?
A和B对立是什么意思? 对立事件的定义.
随机事件A,B互不相容, 是指AB=, 这时
P(AB)=P(A)+P(B)
随机事件A与B相互独立, 是指
P(AB)=P(A)P(B)
对随机事件A与B, 如果AB, 则有
P(A-B)=P(A)-P(B)
古典概型的试验中, 基本事件总数为n, 有
利于事件A的基本事件总数为m, 则
P(A)=m/n
思考题: 一张圆桌有3个座位围绕, 3个人
随机去坐, 其中指定的二人相邻而坐的概
率是多大?
全概率公式:
设W为试验E的样本空间, B1,B2,…,Bn为E
的一组事件, 在每次试验中必有且仅有其
中的一个事件发生, 则称这组事件为样本
空间的一个划分.
对于W中的一个划分B1,B2,…,Bn, 任给一
个事件A都有
n
P( A)   P( Bi ) P( A | Bi )
i 1
最常见的倒是n=2的情况, 这时B1,B2互为
对立事件.
思考题
已知男子有5%是色盲患者, 女子有0.25%
是色盲患者, 从人群中任取一人, 取到的
是色盲患者的概率是多少?
第二章
随机变量X的分布函数的定义是
F(x)=P{Xx}
已知X的分布函数, 就有
P{a<Xb}=F(b)-F(a)
概率密度函数
设连续型随机变量X的概率密度函数为
f(x), 则
b
P{a  X  b}   f ( x)d x
a
上式中的不等式, 将<改为或将改为<
结果都一样.
思考题: 设X的概率密度函数为
2 x, 0  x  1,
f ( x)  
其它.
 0,
P{X<0.6}=?
连续型随机变量X的分布函数F(x)与概率
密度函数f(x)的关系:
f ( x)  F ( x)
x
F ( x)   f (t )d t
-
f(x)既然是F(x)的导数, 则F(x)也就是f(x)的
原函数之一. 但是f(x)的原函数有无穷多
个, 假设G(x)是f(x)中的一个原函数, 则必
有F(x)=G(x)+c, 但是为了满足分布函数的
需要, c不能够随意取, 而是必须满足分布
函数的连续性要求.
例如, 设
1

2(1 - 2 ), 1  x  2.
f ( x)  
x

0,
其它.
则必有当x<1时F(x)=0, 及x>2时F(x)=1. 当
1x2时, 2(1-1/x2)的原函数是
2
F ( x)  2 x   c
x
则c必须满足F(1)=0, F(2)=1, 因此c-4,
最后F(x)写出为:
0,
x  1,


2
F ( x)  2 x  - 4, 1  x  2,
x

1,
x2

1, 记住0-1分布, 二项分布, 泊松分布的分
布率,
记住均匀分布, 指数分布, 正态分布的概
率密度函数.
0-1分布:
X服从0-1分布(X~b(1,p)),
P{X=0}=1-p, P{X=1}=p,
P{X=k}=(1-p)1-kpk, k=0,1
E(X)=p, D(X)=p(1-p).
二项分布
X~b(n,p)
n k
n-k
P{ X  k}    p (1 - p ) , k  0,1,
k 
,n
E(X)=np, D(X)=np(1-p),
X可视为n个相互独立的服从0-1分布的
随机变量的和,
两个相互独立的服从二项分布的随机变
量的和仍然服从二项分布.
泊松分布:
X~p(l)
P{ X  k} 
l
k
k!
-l
e , k  0,1,2,
E(X)=D(X)=l,
两个相互独立的服从泊松分布的随机变量
的和仍然服从泊松分布.
如果X~b(n,p), 但是n特别大p特别小, 则近
似有X~p(np).
均匀分布:
X~U(a,b), (a<b)
 1
, a  x  b,

f ( x)   b - a
 0,
其它.
ab
(b - a)
E( X ) 
, D( X ) 
2
12
2
如果X服从均匀分布, 则kX+c也服从均匀
分布, k,c为任意数且k0.
指数分布:
X~E(l),
-l x
l e , x  0,
f ( x)  
x  0.
 0,
E( X ) 
1
l
, D( X ) 
1
l
2
1
正态分布:
f ( x) 
e
2
X~N(m,s ),
2ps
E(X)=m, D(X)=s2,
X -m
Y
~ N (0,1),
( x - m )2
2s 2
s
E (Y )  0, D(Y )  1, D(Y )  2.
2
aX+b(a0)仍然服从正态分布, 两个相互
独立的服从正态分布的随机变量的和仍
然服从正态分布.
定理 设随机变量X的概率密度fX(x)只是
在区间[a,b]内不等于0, 而另有一实函数
g(x)在区间[a,b]内可导, 单调升, g'(x)>0,
当自变量从a变到b的时候, g(x)的函数值
从a=g(a)上升到b=g(b), 在此区间内g(x)
的反函数h(x)存在且可导, 令Y=g(X), 则Y
的概率密度为
 f X [h( y )]h( y ), a  y  b ,
fY ( y )  
0,
其它.

第三章
设离散性随机变量(X,Y)的分布率为
pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2,…,n; j=1,2,…,m
则X的边缘分布率pi和Y的边缘分布率pj
为:
m
pi  P{ X  xi }   pij , i  1, 2,
,n
j 1
n
p j  P{Y  y j }   pij , j  1, 2,
i 1
, m.
假设随机变量X,Y的概率密度函数分别为
fX(x), fY(y), X,Y相互独立, 则X,Y的联合概
率密度函数为
f(x,y)=fX(x)fY(y)
且有
P{a  X  b, c  Y  d }
 P{a  X  b}P{c  Y  d }
b
d
a
c
  f X ( x)d x  fY ( y )d y
思考题:
设X和Y都服从参数为2的指数分布, 它们
相互独立, 则
P{X<1/2, Y<1/2}=?
第四章
数学期望和方差的计算:
设X是离散型随机变量, 其分布律为
pi=P{X=xi}, i=1,2,…,n.
则
n
E ( X )   xi pi ,
i 1
n
E ( X )   x pi ,
2
i 1
2
i
D( X )  E ( X ) - [ E ( X )]
2
2
设X是连续性随机变量, 概率密度为f(x)
则
E( X )  

-
E( X )  
2
xf ( x)d x

-
2
x f ( x)d x
D( X )  E ( X ) - [ E ( X )]
2
2
设离散性随机变量(X,Y)的分布率为
pij=P{X=xi, Y=yj}, i=1,2,…,n; j=1,2,…,m
m
n
m
n
E ( X )   xi pij ; E (Y )   y j pij
j 1 i 1
m
n
j 1 i 1
m
n
E ( X 2 )   xi2 pij ; E (Y 2 )   y 2j pij
j 1 i 1
j 1 i 1
D( X )  E ( X 2 ) - [ E ( X )]2 , D(Y )  E (Y 2 ) - [ E (Y )]2
m
n
E ( XY )   xi y j pij ,cov( X , Y )  E ( XY ) - E ( X ) E (Y )
j 1 i 1
 XY
cov( X , Y )

D( X ) D(Y )
数学期望的性质:
任给随机变量X,Y,常数a,b
E(aX+b)=aE(X)+b
E(aX+bY)=aE(X)+b(Y)
尤其有E(X+Y)=E(X)+E(Y)
E(X-Y)=E(X)-E(Y)
任何随机变量的数学期望也是常数, 因此
E[E(X)]=E(X)
方差的性质:
设随机变量X,Y的相互独立, 方差存在,
a,b为任意常数, 则
D(aX)=a2D(X)
D(X+Y)=D(X)+D(Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)
D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y)
第五章
第六章
假设X1,X2,…,Xn相互独立且都服从N(m,s2), 则
X1  X 2   X n
X
n
 s2 
X ~ N  m, ,
n 

X - m (X - m) n

~ N (0,1)
s
s/ n
假设X1,X2,…,Xn相互独立且都服从N(m,s2), 则
( X1 - X )2  ( X 2 - X )2 
s
或
2
(n - 1) S
s
2
 ( X n - X )2
2
~  (n - 1)
2
~  (n - 1)
2
思考题: 假设X1,X2,X3相互独立且都服从
N(0,1), 则
2
2
2
( X1 - X )  ( X 2 - X )  ( X 3 - X )
服从什么分布?自由度是多少?
第七章
极大似然估计法:
设总体为X, 要估计的参数为q, 如果X为
离散型随机变量, 分布率函数为
p(x;q)=P{X=x}
这时似然函数为
L(q)=p(x1;q)p(x2;q)…p(xn;q)
如果X为连续型随机变量, 概率密度函数
为f(x;q), 这时似然函数为
L(q)=f(x1;q)f(x2;q)…f(xn;q)
然后求似然函数L关于q的最大值
可令
d ln L(q )
0
dq
解出极大似然估计值为
qˆ  qˆ( x1 , x2 , , xn )
则极大似然估计量为
qˆ  qˆ( X 1 , X 2 , , X n )
对一个正态总体的均值的区间估计
方差已知:
s
s


ua , x 
ua 
x n 2
n 2

方差未知:
s
s


ta (n - 1), x 
t a (n - 1) 
x 2
2
n
n


对一个正态总体的方差的区间估计:
首先用样本算出样本方差s2 或者样本标
准差s(也有可能题目就给出这二者之一),
根据样本容量n及置信概率1-a, 查2分布
表获得上a/2分位点和上1-a/2分位点, 按
下式给出方差s2的区间估计:
 (n - 1) s 2 (n - 1) s 2 
 2

, 2
  a (n - 1) 1- a (n - 1) 
2
 2

第八章
已知总体X~N(m,s2),
对m进行假设检验,
H0: m=m0, H1:mm0
方差已知:
拒绝域:
x - m0
x - m0
| u |

n  ua
2
s
s/ n
已知总体X~N(m,s2),
对m进行假设检验,
H0: m=m0, H1:mm0
方差未知:
拒绝域:
x - m0
x - m0
| t |

n  t a (n - 1)
2
s
s/ n
已知总体X~N(m,s2),
对s2进行假设检验,
H0: s2=s02, H1:s2s02
2
令
(n - 1) s
2
 
2
s0
拒绝域:
 
2
2
1-a /2
(n - 1)或者  a /2 ( n - 1)
2
2