Transcript 第二章因次分析与π定理

第二章
因次分析与π定理
一 物理量的因次、量度单位和因次式
二 因次和谐原理和因次分析方法
三 π定理及其应用
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
1 因次、量纲的概念
因次及量纲：表征物理量，除了有量的数值外，还有量的种类（或类
别），如长度、时间、质量、力等，人们把表征物理量的种类通称为“因
次”（Dimension）或称为“量纲”。
单位：度量各物理量数值大小的标准，称为单位。 市制、公制、英制、
美制 。
1）长度——米
国际单位
2）时间——秒
3）质量——千克
4）力 ——牛顿
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
2 物理量分类
物理量可分为两大类
1）有因次的:如长度、时间、速度、加速度、
质量、力等，这类物理量要以人为的单位来
表示，其数值大小随着单位的更换而改变；
1m=100cm
物理量
2）无因次的:如坡度、佛汝德数、雷诺数等，
这些量是一个纯数或比值，其数值大小不受
量度单位更换的影响。
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
2、物理量的因次分类
物理量的因次可分为两大类
1）基本因次：它们彼此是相互独立的，即它们中的任何
一个因次不能从其它基本因次推导出来。
因次
力学上通常选择长度（以[L]表示）、时间（以[T]表示）
和质量（以[M]表示）作为基本因次，显然它们是相互独
立的。它们中任一个不能从另外二个推导出来 （例如[L]
不可能由[M]、[T]来组成）。
2）导出因次：这类因次可由基本因次推导出来。
若选择[M、L、T]为基本因次，
则速度因次可表示为： [V]=[L]/[T]=[LT-1]
加速度的因次为：[a]=[V]/[T]=[LT-2]
力的因次为：
[F]=[M][a]=[M LT-2]
可见某一物理量的因次总可以由基本因次推导出来，而且是基本因次幂指数
的乘积，即：
[ y ]  [ M ] [ L] [T ]γ
该式称为因次关系式。
证明过程：见书P32页。
物理量ｙ的性质可由指数αβγ来反映，如均为0，则y为一次无因次纯数，
指数αβγ中有一个不等于0，就可以说ｙ是一个有因次的物理量。
从上式可以导出常见的有因次的物理量
  0,   0,   0
[ y]  [ L]
y为一几何学量
  0,   0,   0
[ y]  [ M ]
y为一运动学量
  0,   0,   0
[ y]  [M ] [ L] [T ]
y为一动力学量
第一节 物理量的因次、量度单位和因次式
如面积是由两个长度的乘积组成的，则它们的因次为长度因次
的平方,[A]=[L2]或写成[A]=[M0L2T0]。
流速因次为[V]= [LT-1] = [M0LT-1]；
力的因次为[F]=[M][a]=[M LT-2]。
常见因次关系详见P34页表2－1
物理量
有因次量
无因次量
导出量
基本量
第二节
因次和谐原理和因次分析方法
1、因次和谐原理
凡是正确反映某一物理现象变化规律的完整的物理方程，
其各项因次都必须是一致的，这称为因次和谐原理。
只有类型相同的物理量才能相加减，即因次相同的物理
量才能相加减，两个不同类型的物理量相加减是没有意义的。
比如，1m+1kg是没有意义的。所以，方程中各项因次都必
须是一致的。
2、因次和谐原理的重要性
利用方程因次和谐特征：（1）可以探求物理方程的结构形
式，（2）检验复杂方程式的正确性，（3）还可以用来导出
模型试验中必须遵循的相似准则。因此，这一原理是因次分
析的重要依据。
2、因次和谐原理的重要性
1. 一个物理方程式在因次上是和谐的，则方程的文字结构形式不随量度单
位的更换而变化。因此因次和谐原理可以用以检验新建方程式或经验公式
的正确性和完整性。
伯努利方程
p v 2
z 
H
r 2g
上式中各项的因次都是长度[L]，所以因次是和谐的。不管方程中各项采用
的单位是什么，方程的形式都不会改变，若同除以任一项变为无量纲方程
式，其形式仍然不会改变。
如果一个方程在因次上不和谐，则要检查方程式是否完整，采用度量单位
是否一致，数学分析过程是否严谨。
2、因次和谐原理的重要性
2. 用因次和谐原理确定物理方程中各物理量的指数。
质量为M、以速度v沿半径为R的圆周运动时其关系式为：
v2
F m
R
利用因次和谐原理可以证明关系式的合理性
各物理量的量纲为：
[F]=[MLT-2]、[m]=[M]、[v]=[MLT-1]、[R]=[L]
根据因次和谐原理，左右两侧的量纲应该和谐 ：
左侧
右侧
[F]=[MLT-2]
v2
[m ]  [M][LT 1 ]2 [L] 1  [MLT 2 ]
R
显然左侧与右侧的因次相同，即可证得：
v2
F m
R
2、因次和谐原理的重要性
3.用因次和谐原理建立某些物理方程。
实际工程中有许多自然现象，直至目前仍尚未找出具体形式的物理
方程。通过观察和试验等只知道有哪些物理量参与作用，那么，利用
因次和谐原理往往可以确定方程式的结构模式。
举例：水平圆管中层流流量Q的计算式的确定。
通过试验知道它与如下参数有关：
圆管半径
单位管长的压差
流体动力粘滞系数
r
p / l

Q  f ( r , p / l ,  )
写出函数关系式：
假设：
Q(
p   
) r 
l
其因次式为：
p 
[Q ]  [
] [ r ] [  ]
l
选择[M,L,T]为基本量纲，则写出两边的量纲表达式：
[M 0 L3T 1 ]  [ML1T 2 ] [ L] [ L] [ML1T 1 ]
 [M   L2    T 2  ]
根据因次和谐原理，方程两侧同类因次的指数必须相同，即：
[M ] :     0
[ L] : 2      3
[T ] : 2    1
联解上列3式得：
  1,   4,   1
从而有
p 4 1
[Q]  [
r  ]
l
写成函数关系式为
pr 4
Qk
l
其中，k为无因次系数，由试验结果分析得：
于是圆管中层流流量公式为：
k

8
 pr 4
Q
8 l
第二节
因次和谐原理和因次分析方法
二、因次分析方法
由因次和用因次和谐原理，可以得到如下认识：
• 1 、自然界中某一物理现象的变化规律，可以用一个完整的物理
方程来描述；
•
2 、一个完整的物理方程式必须符合因次和谐原理；
• 3 、一个完整的物理方程式其文字结构不随人为确定的量度单位
的更换而改变；
• 4 、 因次和谐的条件是方程式中各个变量的基本因次的指数在方
程式两侧彼此相等。
因次分析方法就是建立在上述结论基础上，是用于探求
物理现象的函数关系式的一种数学分析方法。
第二节
因次和谐原理和因次分析方法
二、因次分析方法
因次分析方法有二种：
瑞利（Rayleigh）法——适用于解决较简单问题
π定理——具有普遍性的方法
瑞利方法的实质是应用因次和谐原理来建立物理现象的
函数关系。
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
例： 一弦长为L的单摆,摆端有质量为m的摆球，要求用瑞利法求单摆
的摆动周期t的表达式。
根据单摆现象观测，周期t与弦长l、摆球质
量m为及重力加速度g有关，即：
t  f (l , m, g )
Ｌ
θ
θ
用幂指数乘积来表示这一函数关系，即：
t  f (l  m  g  )
式中：，， 为待定常数。将上式写成因次式得：
图2-1 单摆
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
[t ]  [l  m  g  ]
选择 [ M , L, T ] 为基本因次，根据因次和谐原理，则上式可写成：
[T ]  [ L] [ M ] [ LT 2 ]
根据因次和谐：
[M ] :   0
Ｌ
θ
[ L] :     0
[T ] : 2  1
θ
联立求得上列3式求解得：
1
1
:   ，  0，  
2
2
图2-1 单摆
[T ]  [l
1
2
g
1
2
]t k
l
g
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
由单摆试验得到
k 常数等于2π，则单摆周期的表达式为：
t  2
l
g
这与理论分析结果完全相同。
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
应用瑞利因次分析法探求物理方程式的步骤如下：
1、 找出物理过程的参变量，建立函数关系式（一般采用幂指数乘积形
式）；
2 、写出函数的因次关系式；
3、 选定3个基本因次（一般为：M ,L,T ），按选定的基本因次整理、归
并得出函数的因次关系式；
4、根据因次和谐原理列出因次和谐方程，联立求解出各参变量指数值；
5、将解得的指数值回代到原假定的函数关系式，并加以整理、化简；
6、通过模型试验或现场观测，验证所得的函数表达式的完整性和正确性，
并确定表达式中的待定系数或指数，最后获得描述该物理现象的完整的表达
式。
第二节 因次和谐原理和因次分析方法
二、 因次分析方法
用瑞利因次分析法建立物理现象的函数表达式，最大的优点就是简单
易行，但有一定局限性：
• 1、只能假定物理方程式的模式是参变量幂指数的乘积；
• 2、所建立的方程式正确与否，很大程度取决于参变量的选择是否正确、
完整；
• 3、方程式中的待定系数或某些指数，一般需由模型试验或理论分析
（比较简单的物理过程）求得；
• 4、只有当参变量不大于3个时，方能求解由3个基本因次构成的因次和
谐方程组，求得不大于3个的待定指数，从而建立方程的具体形式。
当待求的物理方程中包含的参变量大于3个时，瑞利法就无能为
力了。这时需采用因次分析的普遍方法——π定理，找出复合
无因次项，方能建立完整的物理方程式。
第三节 π定理及其应用
一、 π定理的基本概念
π定理的全部含意是：
某一物理进程，若有ｎ个物理量参与作用，其中有ｍ个具有因次独立
的基本物理量，则经过处理，这一物理过程可由包含ｎ-ｍ个由这些物理量
组成的无因次准数π的函数关系式来表示。
因次独立的基本物理量的含义：
指任何一个基本物理量的因次不能由其它基本物理量诱导出来，或者更严
格的讲，由基本物理量不可能组成一个无因次的量。例如用质量ｍ，长度l，
时间t三个基本物理量，不管怎样组合均不可能组成一个无因次量。
假设x1, x2 ,x3——是基本量，它们的因次式表示如下：
[ x1 ]  [ M 1 L1 T  1 ]
[ x2 ]  [ M  2 L 2 T  2 ]
[ x3 ]  [ M  3 L3 T  3 ]
则它们是因次独立的(即不能组成无因次量)的条件是上
列因次式中的指数行列式不等于零。
1
2
3
1  1
2  2  0
3  3
第三节 π定理及其应用
一、 π定理的基本概念
π定理的数学解释：
设某一物理过程包含n个物理量x1, x2 ,…，xn，则这一物理
过程可用这些参变量的函数关系式表示：
f ( x1 , x2 ,, xn )  0
若n个参变量中有m个因次独立（m<n） ，则上式可以改写：
f ( x1 , x2 , xm , xm1 , xm 2  xn )  0
x1 , x2 , xm
为基本参变量
xm1 , xm 2 , xn
为其它参变量,其因次可以由基
本量诱导出来
[ xm 1 ]  [ x1 ]1 [ x2 ] 2 ...[ xm ] m
[ xm  2 ]  [ x1 ]1 [ x2 ] 2 ...[ xm ] m
...................................
1
2
[
xm1
] 1
1  2
m
x1 x2 ...xm
[
xm 2
] 1
1
2
m
x1 x2 ...xm
...................................
m
[ xn ]  [ x1 ] [ x2 ] ...[ xm ]
[
xn
] 1
r1
r2
rm
x1 x2 ...xm
某一物理量xi,除了具有因次[xi]外，还有数值大小，而且数值
大小随单位的改变而改变。如果两个物理量的因次之比等于1，
那么他们的物理量因次相同，则其数值之比是一个无因次数。
比如：
x1
[
x1  2m / s, x2  4m / s
x2
] 1
x1 1

x2 2
xm1
 1
1  2
m
x1 x2 ...xm
xm 2
 2
1
2
m
x1 x2 ...xm
 1 ,  2 , nm 均为无因次数
...................................
xm 2
  nm
r1
r2
rm
x1 x2 ...xm
则：n-m个参变量均可用它们同m个基本参变量的复合量表
示，并转换为n-m个无因次数，这些数称为π。
而对于基本参变量：
x1 , x2 , xm
不但因次之比等于1，其数值之比也等于1
[
x1
] 1
1 0
0
x1 x2 ...xm
x1
1
1 0
0
x1 x2 ...xm
...................................
xm
[ 0 0
] 1
1
x1 x2 ...xm
xm
1
0 0
1
x1 x2 ...xm
由此，各参变量组成的函数关系式可以表示为：
f (1,1,1,  1 ,  2  nm )  0
基本量，共m项
或者写为
F ( 1 ,  2  nm )  0
上式物理意义：一个有n个参变量参与作用的物理过程的函数式可
以转换为仅包含若干个无因次数的函数式。
第三节 π定理及其应用
二、π定理在因次分析中的应用
例1
利用π定理建立圆球的粘滞力公式。
设影响圆球在流体中运动(或流体绕圆球运动)时引起的
粘滞阻力FD 与流体的密度ρ，动力粘滞系数μ，球体与流
体的相对速度以及表征球体的特征面积A有关。于是粘滞阻
力的函数关系式可写成：
FD  f (  ,  , v, A)
A
d 2
4
上式可改写成：
f1 ( FD ,  , , v, d )  0
第三节 π定理及其应用
二、π定理在因次分析中的应用
上式共5个变量，选择d 、 V、ρ作为基本变量：
[d ]  [ M 0 L1T 0 ]
[v]  [ M 0 L1T 1 ]
基本因次的指数
行列式为
0
1
0
0
1
 1  1  0
1 3
[  ]  [ M 1L3T 0 ]
0
故所选的基本量是因次独立的，根据π定理，其它两个参变量可用无因
次的π项表示，可得：
1 
2 
FD
 1 v 1 d  1
f 2 (1 ,  2 )  0

  v  d
2
2
2
第三节 π定理及其应用
二、π定理在因次分析中的应用
因 i是无因次的，即[ i ]  [ M 0 L0T 0 ]，则：
对于 1，有[ M 0 L0T 0 ]  [ MLT  2 ] /[ ML3 ]1 [ LT 1 ]1 [ L] 1
即是：
[ M 0 L0T 0 ]  [ M ]11 [ L]131  1  1 [T ] 2 1
根据因次和谐据因次和式等号两等号两侧相同相等，则有：
[ M ]：0  1  1
[ L]：0  1  31  1   1
[T] ：
0  2  1
联立上述三式求解得：1  1，1  2， 1  2。
FD
故 1  2 2
v d

1
同理可推出 2 

vd Re
FD
1
FD
f 2 ( 1 ,  2 )  0  f 2 (
, )0
 f 3 (Re)  C D
1 2 2 Re
1 2 2
v d
v d
2
2
C D 称为阻力系数，它与雷诺数有关，于是得到 圆球的粘滞力表达式
1
FD  C D v 2 d 2 这一结果与理论分析得到阻力公式完全相同。
2
第三节 π定理及其应用
由以上推导可知π定理的涵义：
1、π定理的主要理论依据是一个完整的物理方程式必须遵循因
次和谐原理。
2 、包含有n个变量参与作用的某一物理现象，可用一个由(n-m)
个无因次项组成的函数关系式来表达，其中m为n个参变量中具有
因次独立的基本参变量(
m  n, 一般m )；
3
3 、基本参变量可任意从全部参变量中选择，它们必须是因次
独立的(因次中的指数行列式不等于零)，而且它们包含的基本因次
应能包括n个参变量中所有基本因次。
第三节 π定理及其应用
由以上推导可知π定理的涵义：
4、 每一个无因次π项均可由m个基本量指数乘积与某一个变量的
商或积组合而成，组合的要求是各个基本量的指数得到合理的确定，
最终使所得的各个π项均为无因次量。
5 、某些无因次物理量，本身也可作为π项。
6 、各个π项的自乘及它们之间相互乘除其物理意义不变。因而在
组合π项时，用于和基本量指数乘积或相除的某一个变量，其指数可以
任意选择。
第三节 π定理及其应用
三、π定理的应用步骤
1、 根据对研究对象物理现象的认识，找出影响这一物理现象的主要参变
量。
2、从正确选定的几个参变量中，选出m个基本参变量（必须是因次独立
的）。
3、将由n个因变量的函数关系转换为。
4、根据各π项必须为无因次量的条件，由因次和谐原理求解得出各π相应
的待定指数，并代回各π项得出其表达式。
5、尽量将方程式中各π项转换为常用的相似准数或通用的纯数。
6、将各个π项代回到（n-m）个π项的无因次函数关系式，并整理成表示
某一现象的函数关系式。
7、根据函数表达式拟定实验方案，用实验结果检验所选参变量及表达式，
并确定有关待定系数。
第三节 π定理及其应用
本 章 完 ！