Transcript 第六章玻耳兹曼统计
河南教育学院物理系
第五章指出:定域系统和满足经典极限条件的玻
色(费米)系统都遵从玻耳兹曼分布。按照统计
思想,宏观量是对应微观量的统计平均值,根据
等概率原理,这两类系统玻耳兹曼分布出现的概
率最大,其他分布实际上不出现,所以对这两类
系统,宏观量是玻耳兹曼分布下微观量的统计平
均值。本章根据玻耳兹曼分布讨论这两类系统的
热力学性质。
本章主要内容
玻耳兹曼统计的热力学量表达式
玻耳兹曼统计的统计公式的应用
理想气体的物态方程,理想气体的内能和热容量,
固体热容量的爱因斯坦理论
玻耳兹曼统计的分布公式的应用
麦克斯韦速度分布律,能量均分定律,
两者的应用
§6.1 热力学量的统计表达式
本节根据玻耳兹曼分布推导热力学量的统计表
达式。要解决的问题:宏观量(如:热力学基
本函数)与玻耳兹曼分布的联系。我们根据宏
观量是微观量的统计平均值去寻找联系。
一、内能的统计表达式
内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平
均值
遵从玻耳兹曼分布的系统的内能为
U al l l l e l
l
l
e
l e l
l
本式求和在粒子的能级和简并度知道后就能计算
§6.1 热力学量的统计表达式
为了方便,引入粒子配分函数Z1
Z1 l e l
l
由约束的另一条件知,粒子配分函数满足的
N e l e e Z1
条件为 l
l
即 N e Z1 本式给出N和Z1的关系
U e (
即
) l e l N ( Z1 ) N ln Z1
l
Z1
U N
ln Z1
此式即内能的统计表达式
§6.1 热力学量的统计表达式
二、广义力的统计表达式
1. 外界对系统的广义力
系统在准静态元过程中,当外参量y变化dy时,外
dW Ydy
界对系统的功为
Y是与外参量y对应的外界对系统的广义作用力
例如:系统在准静态元过程中体积变化dV时,外
界的功为–pdV。广义力是压强。
2.广义微观力
粒子能量是外参量的函数,能级εl上一个粒子在
外参量y变化时受到的广义微观力为 y
l
§6.1 热力学量的统计表达式
3. 外界对系统的广义力的统计表达式
广义力是系统中粒子的广义微观力
计平均值
l
y
l
l l 1
Y al l e
e (
) l e
y l
l y
l y
N 1
(
) Z1
Z1 y
即
Y
之和的统
l
N
ln Z1
y
N
ln Z1
y
这是广义力的统计表达式
一个重要特例:pVT系统压强的统计表达式为
p
N
ln Z1
V
§6.1 热力学量的统计表达式
讨论:准静态过程元功和系统微小吸热的物理本质
外界对系统所作的元功
对内能
U al l
l
Ydy dy
l
l
al al d l
y
l
al d l l dal
求全微分,有 dU
l
l
内能的改变可以分为两项,第一项是粒子分布不变
与热力学第一定律和元功的表达式对照知
时由于能级改变而引起的内能变化,第二项是粒子
第一项是在准静态过程中外界对系统所做的功,第
能级不变时由于粒子分布改变所引起的内能变化。
二项是准静态过程中系统从外界吸收的热量。可见,
外界对系统作功是粒子分布不变时由于能级改变而
增加的内能,准静态过程中系统从外界吸收的热量
等于粒子在各能级重新分布所增加的内能。
§6.1 热力学量的统计表达式
三、熵的统计表达式
考虑到熵与系统在可逆过程中吸收
1
dS dQ
的热量有关,微小可逆过程有
T
由热力学第一定律
dS
1
1
dQ (dU Ydy)
T
T
上式说明1/T是đQ的一个积分因子,可以证明β
也是đQ的一个积分因子。即 dQ (dU Ydy )
能写成一个完整微分式。写出该完整微分与上式
比较可得到熵。
可以证明
(dU Ydy ) Nd ln Z1
ln Z1
上式是完整微分式,说明β也是đQ的积分因子
§6.1 热力学量的统计表达式
根据微分方程关于积分因子的理论,取 1
kT
上式中k应是熵S的函数。下面说明其实k与熵S无关
考虑到两个互为热平衡的系统合起来总能量守恒,
这两个系统必有一个共同的β因子(习题6.5),
正好与互为热平衡的系统温度相同一致。所以,β
只能是温度的函数,不可能与熵有关 。
上式中k应是常数。称为玻耳兹曼常数,在将理论
用于实际问题(例如理想气体)时得到k值为
k 1.38 1023 J K 1
dS Nkd ln Z1
ln Z1
S Nk ln Z1
ln Z1
上式是熵的统计表达式,积分时已将积分常数选为零。
§6.1 热力学量的统计表达式
讨论:熵的统计意义---玻耳兹曼关系
根据熵的统计表达式、玻耳兹曼统计中Z1与α的
关系和玻耳兹曼分布公式,可以证明
S k ln
上式称为玻耳兹曼关系,熵是用系统宏观态上出现
的微观状态数来量度的。某个宏观态对应的微观状
态数越多,系统微观上运动的变化就越多端,它的
混乱程度就越大,熵也越大。玻耳兹曼关系给出了
熵的统计意义:熵是系统混乱程度的量度。
注
意
S k ln 中的Ω应是ΩM.B.。上面熵的统计表达式和
统计解释只适用于粒子可分辨的系统(定域系统)
§6.1 热力学量的统计表达式
由于熵与系统的微观状态数有关,所以对于即使满
足经典极限条件的玻色(费米)系统,若 S k ln
仍然成立,则系统的微观状态数应换为 M . B . N !
S Nk ln Z1
ln Z1 k ln N !
S k ln k ln
M .B
N!
四、玻耳兹曼统计统计公式的使用方法
如果求得配分函数Z1,可以求得基本热力学函数内能、
物态方程和熵,从而确定系统的全部平衡性质。
因此,lnZ1是以β、y(对于简单系统即T、V)为变量的
特性函数。
§6.1 热力学量的统计表达式
例如:求以T、V为变量的特性函数的统计表达式
对定域系统
F NkT ln Z1
对满足经典极限条件的玻色(费米)系统
F NkT ln Z1 kT ln N !
玻耳兹曼理论求热力学函数的一般方法是:先
求配分函数,再利用热力学量的统计公式求出
热力学函数。求配分函数的关键是确定出粒子
的能级和能级简并度,利用配分函数的定义式
写出配分函数。
§6.1 热力学量的统计表达式
五、经典统计理论中热力学函数的表达式
配分函数的经典表达式 Z e
h
1
l
l
l
r
0
取Δωl足够小,上式的求和变为积分
Z1 e
l
d
( p ,q ) dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr
e
r
h0
h0r
将配分函数代入内能、物态方程和熵的统计表达式可
以求得基本热力学函数的内能、物态方程和熵
讨论:选择不同数值的h0,对经典统计结果的影响
由内能U、广义力Y的统计表达式知,U、Y只与lnZ1
的偏导数有关,所以与h0的具体选择无关,而熵S及
与lnZ1有关的热力学量的具体数值与h0的具体选择有
关.可见,绝对熵的概念是量子力学的结果。
§6.1 热力学量的统计表达式
例题:
试根据公式
P al
l
l
V
p2
1 2 2
nx n 2y nz2
2m 2m L
2
有
证明对于非相对论粒子
n x,n y,nz 0,1,2,
2U
P
3V
证明:根据题目,处在边长L的立方体内,非相对
论粒子的能量本征值为
1 2 2
l
n x n 2y nz2
2m L
2
n x,n y,nz 0,1,2,
将上式改写为体积的函数
所以
5
l
2
2 l
aV 3
V
3
3V
利用压强公式,有
l aV
P al
l
2
2 2
n n2 n2
,其中a
2
3
l
2
V 3V
2m
al l
l
2U
3V
x
y
z
§6.2 理想气体的物态方程
(掌握计算呀)
一、单原子分子理想气体的物态方程
一般气体满足经典极限条件,遵从玻耳兹曼分
1.求配分函数Z1
布,作为玻耳兹曼统计的最简单应用,本节利用玻
耳兹曼量子统计讨论理想气体的物态方程。在本节
单原子分子理想气体,分子可看成没有结构的质点
末将对气体一般满足经典极限条件作详细分析。
1
2
2
2
(
p
p
p
分子的能量为
x
y
z)
2m
粒子的能量值和动量值准连续,
dxdydzdp x dp y dpz
在微小相体积dxdydzdpxdpydpz
h3
内,分子可能的微观状态数,
( p 2x p 2y pz2 )
1
dxdydzdp x dp y dpz
粒子的配分函数为 Z1 3 e 2 m
h
1
3
h
积分公式
e x dx
2
dxdydz
0
e x dx
2
e
2m
1
2
p 2x
dp x e
2m
p 2y
dp y e
2m
2 m
Z1 V 2
h
3 2
pz2
dpz
§6.2 理想气体的物态方程
2.单原子理想气体的物态方程
p
N
NkT
ln Z1
V
V
玻耳兹曼常数的数值就是将上式与实验的物态方
程 pV nRT 比较得到的。
二、双原子分子或多原子分子理想气体的物态方程
分子的能量除平动动能外,还包括转动、振动等能量。
由于计及转动、振动能量后不改变配分函数Z1对V的
依赖关系,求得的物态方程仍同上式 。
如果应用经典统计理论求理想气体的物态方程,得
到的物态方程与上式完全相同(自己计算一下,看
看配分函数有无差别)。所以,在这个问题上,由
量子统计和由经典统计理论得到的结果是相同的。
§6.2 理想气体的物态方程
三、讨论:气体一般满足 e 1
经典极限条件是 e 1 考虑单原子分子气体
N
利用求出的单原子分子配分函数,代入 e Z
V 2 mkT
e
N h2
32
1
1
对一般气体来说,如果(1)N/V愈小,即气体愈稀
薄;(2)温度愈高;(3)分子质量愈大。经典极
限条件愈易得到满足。(1)、(2)是理想气体条
件。所以理想气体一般满足 e 1
V
1
h
经典极限条件也往往采用右式表示 N
2
mkT
h
h
分子的德布罗意波长为 p 2m
若将ε理解为分子热运动的平均能量,并估
3
n
1
计为πkT ,经典极限条件又可表示为
13
12
§6.3 麦克斯韦速度分布律
一、无外场条件下理想气体分子速度分布
分子速度分布情况用在单位体积内,分布在微小速
度区间的分子数反映。表示为 f (v x , v y , v z )dv x dv y dv z
1. 麦克斯韦速度分布律
对满足经典极限条件的气体系统,在温度为T的平衡
态,在单位体积内,速度在vx —vx +dvx 、 vy—vy
+dvy 、 vz —vz +dvz内的分子数为
m
m 3 2 2 kT ( v 2x v 2y v z2 )
f (v x , v y , v z )dv x dv y dv z n(
) e
dv x dv y dv z
2 kT
速度分布函数满足条件
f (v
x
, v y , v z )dv x dv y dv z n
§6.3 麦克斯韦速度分布律
2.推导过程
l
al e
玻耳兹曼分布的经典表达式为
用玻耳兹曼分布的经典表达式采用分布法推导
h0r
1
在没有外场时,分子质心运能量的经典表达式为
( p x2 p 2y pz2 )
l
2m
(1)分子按动量分布
在体积V内,在dpxdpydpz的动量范围内,分子质
心平动的状态数为
V
3
0
h
dp x dp y dpz
1
( p 2x p 2y pz2 )
V 2 mkT
e
dp x dp y dpz
3
h0
分子数为
参数α由总分子数N的条件定出
V
h03
e
1
( p 2x p 2y pz2 )
2 mkT
dp x dp y dpz N
§6.3 麦克斯韦速度分布律
积分后整理,得
e
N h
V 2 mkT
2
0
32
分子质心在V内,动量在dpxdpydpz范围内的分子数为
1
( p 2x p 2y pz2 )
3
1
N(
) 2 e 2 mkT
dp x dp y dpz
2mkT
(2)分子按速度分布
p x mv x ,
p y mv y ,
pz mv z
代入上式
在体积V内,速度在dvxdvydvz内的分子数为
m 3 2 2mkT ( v 2x v 2y v z2 )
N(
) e
dv x dv y dv z
2kT
m
(v
m
2 kT
所以 f (v x , v y , v z )dv x dv y dv z n(
) e
2kT
3
2
2
2
2
x v y vz )
dv x dv y dv z
速度分布函数满足条件 f (v x , v y , vz )dv x dv y dvz n
§6.3 麦克斯韦速度分布律
(3)分子按速率分布
在速度的球极坐标下,速度元为v2sindvd d,
代替上式的速度元,对θ、φ积分后,
m 32
f (v )dv 4 n(
) e
2kT
m 2
v
2 kT
2
v dv
上式是麦克斯韦速率分布律。速率分布函数满足
条件
m 2
v
m 32
2 kT
4 n(
) e
v 2dv n
0
2kT
§6.3 麦克斯韦速度分布律
麦克斯韦速率分布另一推导方法
分子质心在V内,分子动量大小在p—p+dp内,
分子的微观状态数为 V 4p dp
h
参数α由总分子数N的
p
p 4V
V
2
2
2m
2m
p
dp
经典分布为 e
N
e
4
p
dp
条件定出
0
h3
h3
2
3
0
2
2
0
I ( n) e
积分公式
p2
2m
0
e
x 2
0
1
32
p dp 2mkT
4
2
I (n 2)
x dx , I (n)
0
n
e
N h02
V 2 mkT
32
代入经典分布公式,在V内,在p-p+dp内分子数为
p2
3
1
2
4N (
) e 2 mkT p 2 dp
2mkT
m 3 2 2mkT v 2 2
f (v )dv 4 n(
) e
v dv
从而
2kT
§6.3 麦克斯韦速度分布律
二、三种特征速率
1.最概然速率
速率分布函数有一个最大值,使速率分布函数取最
大值的速率称为最概然速率
表示在这一速率附近单位速率间隔内分子数最多
(即分子具有这个速率的概率最大)
v v m时
d 2mkT v 2 2
(e
v )0
dv
2kT
vm
m
2.平均速率
分子速率的平均值称为平均速率
1
m 3 2 2mkT v 2 3
v vf (v )dv 4 (
) e
v dv
0
0
n
2kT
§6.3 麦克斯韦速度分布律
计算积分 e
m 2
v
2 kT
0
v 3dv
利用积分公式 I (n) 0 x e
n x 2
1
I (3)
I (1)
所以
2 2
1
dx
I ( n 2) , I (1)
2
1 2kT
0 e v dv 2 m
8kT
m 3 2 2mkT v 2 3
v 4 (
) e
v dv
0
m
2kT
m 2
v
2 kT
2
3
3.方均根速率
分子速率平方的平均值的平方根称为方均根速率
m 2
v
1
3
2
3kT
m
2
2
2
2
2
2
kT
v s v v f (v )dv 4 (
) v e
v dv
0
0
n
m
2kT
其中I ( 2v)s
3kT
3
I ( 0) 3 2 , I ( 4) I ( 2) 5 2
m
4
8
§6.3 麦克斯韦速度分布律
三、麦克斯韦速度分布律的应用——碰撞数
以d
dAdt表示在dt时间内,碰到dA面积
在单位时间内碰撞到单位面积器壁上的
上的速度在dv
xdv。
ydvz范围内的分子数
分子数叫碰撞数
这个分子数就是图中斜柱体体积内,
ddAdt fdv x dv y dv z v x dAdt
速度在dvxdvydvz范围内的分子数
所以d v x fdv x dv y dv z
12
dA
x
v
vxdt
dv y dv z v x fdv x
m
n
2kT
0
0
e
mv 2x
2 kT
kT
v x dv x n
2m
1
nv
4
如果容器器壁上有一个小孔,分子就会从小孔逸出,
则单位时间内逸出的分子等于碰到小孔面积上的分子
数。分子从小孔逸出的过程叫泻流。
§6.3 麦克斯韦速度分布律
例题:试根据麦氏速度分布律证明,速度的涨落为
kT
8
(v v )
3
m
2
证明:(v v )2 v 2 2vv v 2 v 2 2v v v 2 v 2 v 2
由麦氏速率分布律已经求出 v 2 v s2 3kT , v 8kT
m
所以
kT
8
(v v )
3
m
2
m
§6.4 能量均分定理
现在根据经典玻耳兹曼分布导出一个重要的定
理—能量均分定理,并用之讨论一些物质系统的
内能和热容量。
一、能量均分定理
对于处在温度为T的平衡态的经典系统,粒子能量
1
(的表达式)中每一个平方项的平均值均等于
kT
2
二、证明过程
粒子的能量表示为粒子的动能和势能之和
即 p q
我们先证明粒子动能中每一项平方的平均值为
1
kT
2
§6.4 能量均分定理
粒子的动能可以表示为广义动量的平方项之和
1 r
即 p a i pi2
2 i 1
dq1 dqr dp1 dpr
经典玻耳兹曼分布为 e
r
h0
1
2
a
p
系统内所有粒子的 2 i i 的平均值为
1
1 1
2
2 dq1 dqr dp1 dpr
ai pi ai pi e
2
N 2
h0r
1 1
2 dq1 dqr dp1 dpr
ai pi e
Z1 2
h0r
1
a i pi2
1
上式积分中有一个积分为 ai pi2e 2 dpi
2
下面先用分部积分方法计算这个积分
§6.4 能量均分定理
1
a i pi2
1
2
2 ai pi e 2 dpi
pi 2
e
2
a i pi2
1
2
1
a i pi2
2
e
dpi
因为ai>0,上式第一项为0
所以
1
1 1
1 1
1
2
dq1 dqr dp1 dpr
ai pi
e
Z
1
2
2 Z1
h0r
2 Z1
2
1
1
1
2
所以 ai pi
kT
2
2 2
同样,可以证明,粒子势能中每一个平方项的平
均值也为 1 kT
2
§6.4 能量均分定理
三、一些物质的内能和热容量
1.单原子分子理想气体
单原子分子只有平动,粒子能量为
1
( p x2 p 2y pz2 )
2m
粒子能量表达式中有三个平方项,根据能均分定理,
在温度为T时,单原子分子的平均能量为
1
3
2
2
2
p x p y pz kT
2m
2
内能和热容量为
U
3
NkT
2
CV
dU 3
Nk
dT 2
C
5
实验表明:理论结果与实验结果符合的很好。但是,
3
5
1.667
C p CV nR Nk Nk Nk
C
3
定压热容量为
2
2
在上面的讨论中将原子看作一个质点,完全没有考虑
原子内电子的运动。原子内的电子对热容量没有贡献
是经典理论所不能解释的,要用量子理论才能解释。
p
V
§6.4 能量均分定理
2. 双原子分子理想气体的内能和热容量
双原子分子的运动有平动、转动和振动,分子能量
表达式为
1
1
1
1 2
2
( p x2 p 2y pz2 )
( p2
p
)
pr u( r )
2
2m
2I
sin
2
如果不考虑原子间的相对运动(分子是完全刚性的),
分子能量表达式中有五个平方项,由此
1
1 2
1
5
2
p x2 p 2y pz2
p
kT
p
2
2m
2I
sin
2
双原子分子理想气体的内能和热容量为
U
5
NkT
2
CV
dU 5
Nk
dT 2
§6.4 能量均分定理
7
C p CV nR Nk
2
Cp
CV
7
1.40
5
实验表明:除低温下的氢气,实验结果与理
论都符合。氢气在低温下的性质经典理论不
能解释。此外,不考虑两原子的相对运动也
缺乏依据。
如果考虑分子内原子间的振动,能均分定理给
出的结果将与实验不符,这一点也是经典理论
不能解释的。
§6.4 能量均分定理
3. 理想固体的内能和热容量
理想固体模型(杜隆—珀缔固体模型):
固体的原子在其平衡位置附近作微振动。假设各
原子的振动是相互独立的简谐振动
1
1
2
2 2
p
m
q
原子在一个自由度上的能量为 q 2m
2
由于每个原子的振动有三个自由度,原子能量中
有六个平方项,所以一个原子的平均能量为
3kT
固体的内能和热容量为
U 3 NkT , CV
dU
3 Nk
dT
§6.4 能量均分定理
这个结果与杜隆、珀蒂在1818年由实验发现的结
果比较(测出定压热容量算出定容热容量),在室
温和高温符合的很好。但在低温范围内,实验发
现固体的热容量随温度降低的很快,当温度趋近
绝对零度时,热容量也趋近于零。这个事实经典
理论不能解释。
此外金属中存在自由电子,如果将能量均分定理
应用于自由电子,自由电子的热容量与离子振动
的热容量有相同的数量级。实验结果是,在3K以
上自由电子的热容量与离子振动的热容量相比,
可以忽略不计。这个事实经典理论也不能解释。
§6.4 能量均分定理
4. 用能均分定理讨论平衡辐射的内能
(1)空窑辐射的电磁场
空窑内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面电
磁波,单色平面电磁波的电场分量可表示为
0e i ( k r t )
其中波矢的三个分量可能值是 k 2L n , n 0, 1, 2,
x
x
x
2
2
k
nz , nz 0, 1, 2,
ky
n y , n y 0, 1, 2, z
L
L
电场有两个偏振方向,这两个偏振方向与波矢方
向垂直,并且相互垂直。单色平面波的磁场分量
2
1
也有相应的规律。波动方程为 2
0
圆频率与波矢的关系为
ck
c 2 t 2
§6.4 能量均分定理
(2)空窑辐射的自由度数
具有一定波矢 k和一定偏振的单色平面波,可以看作
辐射场的一个自由度。它以圆频率ω随时间作简谐变
化,因此相应于一个振动自由度 (粒子化) 。
在体积V内,在dkxdkydkz的波矢范围内,辐射场的
振动自由度数为 2V3 dk x dk y dk z ,在波矢的球坐标下
8
波矢体积元表示为k2sindkd d ,将波矢转化为
圆频率,并对θ、积分,在体积V内,在—
+d的圆频率范围内,辐射场的振动自由度数为
V
D( )d 2 3 2d
c
§6.4 能量均分定理
(3)辐射场的内能
根据能量均分定理,温度为T时,每个振动自由度的
平均能量为
kT
所以,体积V内,在的圆频率—+d范围内平衡
辐射的内能为
U d D( )kTd
V
2
kTd
2 3
c
这个结果是瑞利(1900年)和金斯(1905年)得
到的,称为瑞利—金斯公式
§6.4 能量均分定理
瑞利—金斯曲线
实验曲线
将瑞利—金斯公式的结果与实
验比较,在低频范围二者符合
较好,在高频范围二者有尖锐
歧异,这就是紫外灾难。
V 2
瑞利—金斯公式给出,在有限温度下平衡辐射的总
U U d 2 3 kTd
0
0
c
能量是发散的
实验给出,平衡辐射的能量与热力学温度的四次方
成正比,是一个有限值 U T 4V
根据瑞利—金斯公式,平衡辐射的热容量也是发
散的。平衡辐射不可能与其他物体(例如窑壁)
达到热平衡,这与实际不符。
§6.4 能量均分定理
导致这一荒谬结果的根本原因是:经典电动力学
给出辐射场有无限多个振动自由度,经典统计的
能量均分定理指出每个振动自由度的平均能量为
kT。可见,经典物理存在原则性困难。
综上所述,经典统计的能量均分定理既给出了一些
正确的结论,也有一些结果与实验不符。这些问题
在量子理论中都会得到解决。历史上普朗克首先用
量子概念得到了平衡辐射的正确结论。
§6.5 理想气体的内能和热容量
上节根据经典统计的能量均分定理讨论了理想气
体的内能和热容量,有几个问题没有得到合理的
解释。第一,原子内的电子对气体的热容量为什
么没有贡献;第二,双原子分子的振动在常温下
为什么对热容量没有贡献;第三,低温下氢的热
容量所得结果与实验不符。这些问题都要用量子
理论才能解释。本节以双原子分子理想气体为例
讲述理想气体内能和热容量的量子统计理论
我们知道理想气体在常温下满足经典极限条件,
不管是玻色气体还是费米气体都可以使用玻耳兹
曼统计。求系统内能就要写出分子的配分函数,
为此要知道分子的能级和简并度。
§6.5 理想气体的内能和热容量
在不考虑原子内电子运动时,在一定近似下双原子
分子的能量可以表为平动能 t、振动能V、转动能r
之和。
t
V
r
分子配分函数为 Z1 l e
l
l
e
t
e
e e
t
V
( t V r )
r
t ,V , r
t
t
V
V
V
r
r
可以写为 Z1 Z1t Z1V Z1r
内能为
U N
ln Z1 N ( ln Z1t ln Z1V ln Z1r )
即 U U U U
t
V
r
U
C
定容热容量为
C C
T
V
V
t
V
V
V
CVr
r
§6.5 理想气体的内能和热容量
一、分子平动对内能和热容量的贡献
理想气体分子在宏观容器内运动分子平动动能准
连续,在§6.2求出
2 m
Z V 2
h
32
t
1
因此
3N 3
t
U N
ln Z1
NkT
2 2
t
3
C Nk
2
t
V
上面结果与由经典统计的能量均分定理得到的结
果一致。
§6.5 理想气体的内能和热容量
二、分子振动对内能和热容量的贡献
在一定的近似下双原子分子内两原子的相对振动
可以看成线性谐振子
1
n , n 0 , 1 , 2 ,
2
V
n
V
Z
振子配分函数为 1 e
1
( n )
2
n 0
1
1 x 利用公式
x2 xn
, ( x 1)
1 x
N
N
V
V
U
N
ln
Z
1
因此振动对内能的贡献为
2
e 1
e 2
Z
1 e
V
1
第一项是N个振子的零点能量,与温度无关;第二
项是温度为T时N个振子的热激发能量。
§6.5 理想气体的内能和热容量
振子对定容热容量的贡献为
U
CVV
T
V
kT
e
Nk
kT
2
kT
(
e
1)
V
2
为讨论结果方便,引入振动特征温度V kV
V
T
e
NkV NkV C V Nk V
U
V
V
T
2
2
T
(
e
1)
T
e 1
2
内能和定容热容量表为
V
V
V取决于分子的振动频率,可以用分子光谱数据定出
分子光谱
数据举例
分子
H2
N2
O2
V/103K
6.10
3.34
2.23
分子
CO
NO
HCl
V/103K
3.07
2.69
4.14
§6.5 理想气体的内能和热容量
从上表看,双原子分子的振动特征温度在103量级。
在常温下,T<<V,UV和CVV可以近似为
NkV
U
NkV e
2
V
V
T
V TV
V
CV Nk e
T
2
可见,在常温范围,因为T<<V ,振动自由度对热容
量的贡献接近于零。其原因可以这样理解:
在常温范围双原子分子的振动能级间距ℏ远远大于分
ħ
子热运动能量KT。由于能级分立,振子必须取得
ℏ能
量才有可能跃迁到激发态,表现出热容量。在T<<V
ħ
的情形下,振子取得ℏ的热运动能量而跃迁到激发态
kT
• • • •
的可能性是很小的。因此平均而言,几乎全部振子都
冻结在基态。在温度升高时也几乎不吸收能量。
§6.5 理想气体的内能和热容量
三、分子的转动对内能和热容量的贡献
1.异核双原子分子的转动对内能和热容量的贡献
根据量子理论,分子转动状态用角量子数l和磁量子
数m描述。 2
M l (l 1) 2 , l 0 , 1 , 2 ,
M z m ,
m l , l 1 , 0 , , l
异核双原子分子的转动能级为
l ( l 1) 2
2I
r
l
,
l 0 , 1, 2 ,
可见能级的简并度为(2l+1),因此转动配分函数为
Z1r ( 2l 1)e
l 0
l ( l 1) 2
2 I kT
§6.5 理想气体的内能和热容量
为表示结果和讨论方便,引入转动特征温度r
2
k r
2I
r
l ( l 1)
r
Z ( 2l 1)e
Z
用 r 可以将 1 表示为
l 0
r决定于分子的转动惯量,由分子的光谱实验数据
定出
r
1
分子
H2
分子光谱
数据举例
N2
O2
r/K
85.5
2.86
2.70
分子
CO
NO
HCl
r
T
r/K
2.77
2.42
15.1
在常温范围除氢气外,有 T 1 ,在这种情况下
当l改变时, T l (l 1) 可以看成准连续变量。上面的
求和可以用积分代替。
r
§6.5 理想气体的内能和热容量
令 x l ( l 1)
Z
r
1
T
r
0
r
T
注意到dl=1,有 dx ( 2l 1)
2I
e dx
r 2
x
T
U N
ln Z1r NkT
r
kT
• • •
• • •
CVr Nk
结果与经典统计的能量均分定理的结果一样。
这是因为:
在常温范围内转动能级间距远小于热运动能量
kT,因此转动能级可以看成准连续变量,量子
统计和经典情况相同。
r
T
§6.5 理想气体的内能和热容量
2.同核双原子分子的转动对内能和热容量的贡献
为方便起见只讨论氢问题。
根据量子理论和全同性原理,氢分子的转动状态与
两个氢核的自旋状态有关。计算表明,两个氢核的
自旋平行时,转动量子数l只能取奇数,称为正氢。
两个氢核的自旋反平行时,转动量子数l只能取偶数,
称为仲氢。正氢与仲氢相互转化的概率很小,在通
常实验条件下,正氢占四分之三,仲氢占四分之一。
正氢的转动配分函数
仲氢的转动配分函数
Z1rO
Z1rp
(2l 1)e
l 1, 3,
(2l 1)e
l 0 , 2 , 4 ,
l ( l 1) r
T
l ( l 1) r
T
§6.5 理想气体的内能和热容量
氢的配分函数的对数为
3
1
r
ln Z ln Z1O ln Z1rp
4
4
r
1
氢的转动特征温度为85.4K,在T>>r(高温)时,
氢分子转动能级准连续,用积分代替上面的求和,
有
1
I
2
2 l 0,1, 2
l 1, 3,
l 0 , 2 , 4 ,
U r N
ln Z1r NkT
CVr Nk
与经典统计的能量均分定理一致。
注意:由于氢分子转动惯量小,氢的r较其他气体
的要大些。在较低温下,氢分子的转动能级不能看
成准连续,能量均分定理对氢不适用。
这时,用求和计算出 Z1r ,可以得到与实验符合的结果。
§6.5 理想气体的内能和热容量
四、为什么在一般情况下不考虑原子内电子的运
动对热容量的贡献
如果不考虑能级的精细结构,原子内电子的激发态与
基态能量之差一般在1~10eV,即10-19~10-18J的量级。
电子特征温度高达104~105K。如此大的能量差,在一
般温度下电子不足以靠吸收热运动能量跃迁到激发态。
全部电子都冻结在基态,对热容量没有贡献。
*五、经典统计法求理想气体的内能和热容量
从上面的讨论看到:在玻耳兹曼分布适应的条件下,
在§6.4我们用经典统计的能量均分定理得到了理
如果任意两个相邻的能级差
远小于kT,粒子的能
想气体的内能和热容量。但是,通过计算粒子的配
量可以看成准连续的变量,由量子统计和由经典统
分函数求热力学量是经典玻耳兹曼统计的一般计算
计得到的内能和热容量是相同的。
程序。下面以双原子分子理想气体为例进行计算。
§6.5 理想气体的内能和热容量
将双原子分子的转动看成经典转子,相对振动看
成经典谐振子。
双原子分子的能量为
pr2 1
1
1 2
1
2
2
2
2
2 2
p x p y pz
p
r
p
2
2m
2I
sin
2 2
分子配分函数为 Z1 e ( p,q )
Z1 Z1t Z1V Z1r
写成
Z e
t
1
Z e
V
1
2 2 2 2
pr r
2
p
2m
drdpr
h0
2
x
p 2y pz2
dq1dq2 dqr dp1dp2 dpr
h0r
dxdydzdp x dp y dpz
h03
Z e
r
1
2
1
2
p 2 p
2I
sin
dddp dp
h02
§6.5 理想气体的内能和热容量
积分,得
2m
Z V 2
h0
32
t
1
2
Z
h0
V
1
2
8
I
r
Z1 2
h0
12
2
h 2 2
0
12
2
h0
ln Z1t 3 N 3
U N
NkT
2 2
t
r
V
ln
Z
N
ln
Z
N
r
1
V
1
U
N
NkT
U N
NkT
3
CVt Nk CVV Nk CVr Nk
2
§6.5 理想气体的内能和热容量
例题:表面活性物质的分子在液面上作二维自由运
动,可看做二维理想气体。如果分子是单原子的,
试用量子统计计算温度为T的平衡态,气体的摩尔
内能和摩尔定容热容量,设表面的大小S不变。
解:由于常温下理想气体满足经典极限条件,所以,可
以用玻耳兹曼统计处理。分子的动量、能量准连续。
单原子分子看作质点,其能量为
分子的配分函数为
摩尔内能为
1
p x2 p 2y
2m
2
2
1S p 2x2 mkTp x p y
eexp dp x
Z11 22
2mkT
hh
ln Z1
U m N A kT
N A kT
T
U m
CV , m
N Ak
T V
2
S
dxdydp
2dp
mkT
h2 x y
§6.6 理想气体的熵
本节分别用经典统计和量子统计计算理想气体的熵。
为简单起见,我们只讨论单原子理想气体的熵。
一、经典统计理论计算单原子理想气体的熵
32
2 m
Z1 V 2
经典统计中单原子理想气体的配分函数为
h0
2 m 3
3
3
Z1 Nk ln 2 Nk
S NklnlnVZ1 Nk lnln
2
2
h0 2
2 mk
3
3
Nk ln V Nk ln T Nk 1 ln
2
2
2
h
0
上式给出的熵与h0的数值有关。对h0的不同选择,
熵有不同的相加常数。不是绝对熵。
上式给出的熵不符合广延量要求。这是经典统计理
论的又一个原则性困难。
§6.6 理想气体的熵
二、玻耳兹曼量子统计理论计算单原子理想气体
的熵
理想气体满足经典极限条件,可用玻耳兹曼统计理
论处理。
32
单原子分子的配分函数(§6.2)为
2 m
Z1 V 2
h
S Nk ln Z1
ln Z1 k ln N !
3
3
2 m 3
Nk ln V Nk ln Nk ln 2 Nk Nk(ln N 1)
2
2
h 2
5
V 3
3
2 mk
Nk ln Nk ln T Nk ln
2
N 2
2
h
3
上式给出的熵符合广延性要求,而且是绝对熵,其
中不含任意常数。
§6.6 理想气体的熵
对量子统计熵结论的实验验证方法
将与凝聚相平衡的饱和蒸气看作理想气体,利用物
态方程整理上式
因为
NkT
p
V
所以
V
ln p ln ln k ln T
N
将饱和蒸气的熵记为Svap,凝聚相的熵记为Scon
5
V 3
3
2 mk
将熵式除以Nk与上式相加,整理
S Nk ln Nk ln T Nk ln
3 3 2
2
N
2
2
h
SVap
5
5
5 2 2 m
ln p ln T ln k 2
2
2
h Nk
nL 理论蒸气压
相变潜热与熵变关系为 SVap S con T
Vap
在极低温度下, Scon很小
L
5
5
2 m
ln p
ln T ln k 5 2 2
RT 2
2
h
32
与实验测量
萨库尔—铁
的蒸气压完
全符合。
特罗特公式
§6.6 理想气体的熵
三、单原子分子理想气体的化学势
以μ表示一个分子的化学势,下面用量子统计
理论计算μ。
F
N
T ,V
F NkT ln Z1 kT ln N ! NkT ln Z1 NkT ln N NkT
kT ln
Z1
N
单原子理想气体分子
N
kT ln
V
h2
2 mkT
32
2mkT
Z1 V
2
h
kT ln n
3
N h
V 2 mkT
2
理想气体满足经典极限条件,有
理想气体的化学势是负的。
32
32
1
§6.6 理想气体的熵
例题:计算常温下双原子分子理想气体的转动熵。
解:能级间距kT,能级看成准连续,采用玻耳
兹曼经典统计方法,取h0=h
1 2
1
2
p
p
分子的转动能量为
2
2I
sin
r
分子的转动配分函数为
1
2
h
0
2
0
d d e
1
Z 2
h
r
1
2I
p2
e
dp e
r
2 I sin
2
p2
dddp dp
dp
2 2I
2I
2I sin 2
2 2
d 2
0
h
T
2I
r
r
r
转动熵为
S Nk ln Z1
ln Z1 Nk ln 2 1 Nk ln 1
r
2
2
h
2I
12
12
§6.7 固体热容量的爱因斯坦理论
固体是定域系统,满足玻耳兹曼分布,§6.4我们
根据经典统计的能量均分定理讨论了固体的热容
量,所得结果在高温和室温范围与实验符合,在
低温范围与实验不符。本节我们介绍固体热容量
的爱因斯坦理论,这一理论是将玻耳兹曼量子统
计理论用于定域系统计算出热容量,成功解释了
固体热容量随温度下降的实验事实。
爱因斯坦固体模型:固体中原子的微振动可以看
成3N个振子的振动。且这3N个振子的频率相同。
振子能级为
1
n ( n ) , n 0 , 1 , 2 ,
2
§6.7 固体热容量的爱因斯坦理论
振子配分函数为
Z1 e
n 0
固体的内能为
( n 1 2 )
e 2
1 e
3 N
U 3 N
ln Z1 3 N
2 e
1
上式第一项是3N个振子的零点能量,与温度无关;
第二项是温度为T的3N个振子的热激发能量。
定容热容量为
U
CV
3 Nk
T V
kT
2
e
(e
kT
kT
1) 2
§6.7 固体热容量的爱因斯坦理论
为讨论结果方便,引入爱因斯坦特征温度E
k E
E
C
3
Nk
定容热容量表为
e T
U
V
CV
3 Nk
kT
2
T V
kT
(e kT 1) 2
从中看出,CV随温度的
降低而减少,并且CV作
为E/T的函数是一个普
适函数,对金刚石当选
E=1320K时,理论与实
验符合符合较好。
2
E
eT
E
(e T 1) 2
CV/3R
T/E
§6.7 固体热容量的爱因斯坦理论
下面讨论固体热容量的爱因斯坦理论在高温和
低温范围的极限结果
(1)在高温范围 T E
E
取分母中
e T 1
E
T
CV 3 Nk E
T
E
2
E
eT
E
(e T 1) 2
分子中 e T 1
CV 3 Nk
高温下,固体热容量与能量均分定理的结果一致。
解释是:当T>>E时,振子能级间距ħ远小于热
运动能量kT,振子能量量子化效应可以忽略,能
级看成准连续,经典统计适用。
§6.7 固体热容量的爱因斯坦理论
E
(2)在低温范围,T E C 3 Nk
V
2
E
e
T
1 e
E
T
E T T
CV 3 Nk e
T
2
E
E
eT
E
(e T 1) 2
定容热容量在低温下随温度按指数函数降低,当温
度趋于零时,CV也趋于零。结果与实验定性符合。
热容量随温度趋于零的原因可以这样理解:当温
度趋于零时,振子能级间距ħ远大于热运动能量
kT,振子靠热运动而取得能量ħ跃迁到激发态的
概率是很小的。平均而言几乎全部振子都冻结在
基态。当温度升高时,它们都很难吸收到如此大
的能量而发生跃迁,因此对热容量没有贡献。
但是,爱因斯坦固体热容量理论在定量上与实验符
合的不好。