Transcript 气体分子统计分布率

笫三章
气体分子统计分布率
§1、统计方法简介
§2、麦克斯韦分布律
§3、玻耳兹曼分布律
§4、能量均分定理
§1 统计方法简介
一、统计规律实验
1、掷骰子实验:
A
NA
PA 
N
2、伽尔顿板实验:
伽尔顿板
N 
1
PA 
6
实验分布曲线
统计规律是自然界中关于大量偶然事件的普遍规律。
二、概率及统计规律
1、概率：一定条件下，系列可能发生的事件中发生
某一事件的可能性。
N i ( Ai )
fi  lim
N 
N
i  1, 2,....
N 次实验, 出现 Ai 的次数 Ni
2、统计规律性：
大量热运动分子组成的宏观物体系统，在一定宏观
条件下系统所处的微观状态都是随机的，但每个随
机事件出现的概率是一定的，与随机事件一一对应
的任何量的统计平均值也是一定的。
3、概率归一化

i
Ni
Ni
fi   lim
 lim
1
N
N 
i N  N
归一化条件
4、平均值
物理量的宏观量P是相应微观量 pi 的统计平均值
1
p  lim  Ni pi   pi fi
N  N i
i
统计分布的最直接应用就是求平均值。
§2 麦克斯韦分布律
一、气体分子速率分布函数
1
3
2
 k  mv  kT
2
2
温度公式：
设分子可能的速率值:
v1
v2
v3
取速率区间:
v1 , v2 ,...vi ...
vi vi 1
v
vi  vi 1  vi ,
ΔN i 第i个速率间隔中的分子数占总分子数的百
:
分比或单个分子速率值落在区间内的概率。
N
虽然单个分子的速率取值是偶然的, 但大量分子的
速率满足一定的统计规律。例如温度T一定时, 大
量分子的方均根速率是确定的.
平衡态时 Ni/N是完全确定的,当v0时, Ni/(N v)与
v无关, 仅是v 的连续函数，即速率分布函数。
速率分布函数
形式：
N
1 dN
f (v)  lim

N dv
v 0 N v
物理意义：
速率在 v 附近的单位速率间隔内的分子数占
总分子数的百分比, 或某分子速率出现在v
附近的单位速率间隔内的概率.
性质： 满足归一化条件


0
f (v)dv  1
速率分布函数是概率密度函数，是单位区间上概率的大小。
速率范围v1～ v2内的分子数占总分子数的比率:
v2
N
  f (v)dv
v1
N
与气体热运动速率有关的物理量F(v)的平均值为:
1
F v  
N


0

F v  dN v   F v  f  v  dv
0
已知f(v)是速率分布函数, 说明以下各式的物理意义：
f (v ) dv
Nf (v) dv

v2
v1
vf (v)dv

v2
v1
Nf (v)dv


v1
v 2 f (v)dv
二、麦克斯韦速度分布率
平衡态气体分子的速率及速度分布规律是Maxwell
在1859年发表的论文《气体动力理论的说明》中给
出的。
麦克斯韦速度分布率表达式为
dN  v

m 3/ 2  mv2 / 2 kT
F (v ) 
(
) e
Ndvx dv y dvz
2 kT
x , v y , vz
麦克斯韦速度分布率及速率分布率的推导：
⑴以 dNvx 表示速度分量 vx 在 vx+dvx 之间的粒子数，
用分布函数 g(vx) 表示在单位 vx 区间 dvx 宽度内出
现的概率，则
dN vx
N
同理有
dN v y
N
dN vz
N
 g (vx )dvx
 g (v y )dv y
 g (vz )dvz
⑵假设三个概率是彼此独立的，则粒子同时出
现在 vx ~ vx+dvx ， vy ~ vy+dvy， vz ~ vz+dvz间的
概率为:
dN v
 g (vx ) g (v y ) g (vz )dv x dv y dvz
N
 Fdvx dv y dvz
式中 F  g (vx ) g (v y ) g (vz ) 为速度分布率
（3）由于粒子在各方向运动的概率相等，所以速度分
布与粒子的速度方向无关，即速度分布函数只是速度
大小的函数
v v
2
x
 v y  vz
2
2
速度分布率可以写成
g ( v x ) g ( v y ) g ( vz )  F ( v )  F ( v x  v y  v z )
2
2
要满足这一关系，函数 g (vx ) 应具有
F  ce
Av x 2
 ce
Av y 2
 ce
2
2
2
3 A( v x  v y  v z )
c e
ce
Avz 2
c e
3 Av 2
2
Avx 2
2
的形式，
具有无限大速率的粒子的概率极小，故A应为负值。
令 A=-1/2
,
2
2
2
2
dN v
3  ( vx  v y  vz ) / 
c e
dvx dv y dvz
则
N
分布函数应满足归一化条件，所以

  v 2 /  2

dN v
 vx 2 /  2
 vz 2 /  2
3
y
 N  c  e dvx  e dvy  e dvz  1
利用数学积分公式，可得
C 1
 
2
2
2
2
dN
1

(
v

v

v
)/

x
y
z
v
麦克斯韦速度

e
dv x dv y dvz
N
分布率：
3  3
1、速度空间
dv
vz
三、麦克斯韦速率分布率
(vx , v y , vz )
vx , v y , vz
vz
在半径为v，厚度为 dv、体积为
4 v 2 dv 的球壳内，粒子的速率
v出现在同一速率区间 dv 内的
概率相同。
vy
vx
vy
vx
2
4

v
dv ,得粒子
将速度分布率中 dvx dv y dvz 的换成
在 v 到 v+dv 区间出现的概率
dN v
4
2  v 2 / 2

v e
dv
3
3
N
 
由上式可得速率平方的平均值
3 2
v  
2
2
2、 确定常数α
1
压强微观公式 p  nmv 2
3
3kT
v 
m
2
理想气体状态方程 p  nkT
速率平方的平均值
2kT
 
m
2
3 2
v  
2
2
麦克斯韦速度分布率及速率分布率表达式为：
dNv
m 3/ 2  mv2 / 2 kT
F (v ) 
(
) e
Ndvx dvy dvz
2 kT
dN v
m 3/ 2 2  mv2 / 2 kT
f (v ) 
 4 (
) v e
Ndv
2 kT
四、麦克斯韦分布律的特征
1、适用对象：平衡态的理想气体
2、分布曲线
 m 
f (v)  4 

 2 kT 
32
e
mv 2

2 kT
v
2
f(v)
A
f(vp)
0
面积= dN
N
vp v v+dv
v
面积表示速度在该区间内的分子数占总数的比率
曲线的特点:
a)有极大值vp， 一边无限延伸, 最小值为0 ( v =0时)。
df (v) dv  0  v p  2kT / m  2RT /   1.41 RT / 
b)曲线随温度T变化:
当分子质量相同时, T升高，速率大的分子数增多，
A点右下移, 分布变平坦。
f(v)
AT
1
f(vp1)
f(vp2)
f(vp3)
T1<T2<T3
T2
T3
vp1 vp2 vp3
v
c)曲线随质量m变化:
v p  2kT / m
当温度相同时,粒子质量越大,大速率分子的数量越
少，A点左上移, 分布变陡峭.
f(v)
f(vp1)
f(vp2)
f(vp3)
A
m1
m1>m2>m3
m2
vp1 vp2 vp3
m3
v
例 氢气的温度是300K. 求速率在3000～3010ms–1之间
的分子数与速率在1500～1510ms–1之间的分子数之比。
解：Maxwell速率分布率：
32
 m 
f (v)  4 
 e
 2 kT 
mv 2

2 kT
v2
N1 Nf (v1 ) v1
f (v1 )


N 2 Nf (v2 ) v2 f (v2 )
32
mv12

2 kT
 m 
2
4 
e
v

1
2 kT 

v  v  f (v)  f (v  v)   m 3 2  mv22 2
2 kT
4 
v2
 e
2

kT


v～v+Δv区间内的分子数为：
m ( v12  v12 )
2

v1
2 kT
e
 0.27
2
N  Nf (v )v
v1
五、麦克斯韦速率分布的实验验证
1955年密勒(Miller)和库什(P.Kusch)的实验比较
精确地验证了麦克斯韦速率分布定律。
蒸汽源
O
抽气
检测器

R
D
抽气
密勒-库什实验装置及演示
当园柱体R以角速度ω旋转时，只有速率 v 满足
速率选择条件的原子才能通过细槽。
L 
速率选择条件： 
v 

 v L

改变ω，对不同速率范围内的原子射线测其强度，
就可验证麦克斯韦速度分布率
应用麦克斯韦分布律计算有关问题时常用到的
一些广义函数积分的递推公式

In   e
 ax 2
0
n 1
I n2
x dx 
2a
n
1 
I 0   e dx 
0
2 a

1
 ax 2
I1   e xdx 
0
2a

 ax 2


0
n   x2
xe
dx 积分积分表
六、麦克斯韦分布律的应用
1、平衡态下微观粒子的三种速率
a.最可几速率 vp: 出现概率最大的速率
2kT

m
vp 
b.平均速率
2 RT

v

v   vf  v dv 
0
c.方均根速率

8 T

m
0
2

v2
v   v f v dv  3kT m
2
8 RT
v 
2
3kT

m
三种速率在不同的问题中各有自已的应用
3RT

vp
fv 
v
2
v
v
0
vp : v : v  2 :
2
8

: 3
1.41:1.60 :1.73
2、气体分子碰壁数与泻流
碰壁数(Γ): 单位时间内碰到单位面积容器壁
上的分子数.
yz
单位时间内速度在v～v+dv范围内
碰撞器壁内表面(y-z面)面元dσ
v
的分子数为：
x
dN  vx d nf (v )dv
 m 
= n

 2πkT 
d
3
vx
2
e


1
- m v x2 +v 2y +vz2 / kT
2
v x dv x dv ydvz dσ
单位时间内同dσ碰撞的各种速度的总分子数ΔN为：
3

 m 
ΔN = n 
 dσ  v x e
 2πkT 
0
2
1
- mv x2 / kT
2

dv x  e
1
- mv 2y / kT
2
-

dv y  e
-
利用积分公式
 m 


 2 kT 
 m 


2

kT


1
1
2 
e
1
 mv 2y / kT
2
dv y  1

2 
v e
x
0
1
 mvx2 / kT
2
1 8kT 1 2
dvx  (
)
4 m
1
- mvz2 / kT
2
dvz
1
2
1  8kT 
N  n 
 d
4  m 
得
碰壁数：
N 1
8kT 1

 n
 nv
d 4
m 4
把面元dσ挖掉成一小孔。当小孔很小，以致跑出
的气体分子对容器内气体平衡状态的影响可以忽
略，这样小孔的漏气现象称为泻流. Γ值就是单
位时间内泄漏出单位面积小孔的分子数。
§3 玻耳兹曼分布律
一、气体分子在重力场中按高度的分布
重力场中平衡态理想气体，考虑 z — z + dz 段:
( P  dp) S   gdz  S  p  S
z
z+dz
z
  nm
p+dp
即
dp    gdz  nmgdz
p
两边积分：
0
p0
p  p0e
 nmgz
p0 是 z＝0 时的压强。
由
p  nkT
p
n
kT
p  p0e
 nmgz
 p0e
n  n0e

mg
z
kT

mg
z
kT
等温气压公式
玻尔兹曼分子数
密度分布率
在登山运动和航空驾驶中常通过测压强p来估算高度.
p0 RT p0
kT
Z
ln

ln
mg
p g
p
保守力场中粒子按位置的分布率(玻耳兹曼数密度分
 p ( x , y , z ) kT
布率)：
n( x, y, z )  n0e
在(x,y,z)～ (x+dx,y+dy,z+dz)空间内气体的分子数为：
dN  n(r )dxdydz  n0e
 p ( x , y , z ) kT
dxdydz
一个分子在(x,y,z)～ (x+dx,y+dy,z+dz)的概率为：
dN n0e
f ( r )dxdydz 

N
  p ( x , y , z ) kT
dxdydz
 n(r )dV
V
f ( x, y , z ) 
e
 e
  p ( x , y , z ) kT
  p ( x , y , z ) kT
dxdydz
V
玻尔兹曼位置分布函数（位置概率密度函数）
二、麦克斯韦－玻耳兹曼分布（MB分布）
保守力场中粒子按位置的分布率(玻耳兹曼分布率)：
f ( x, y , z ) 
e
 e
  p ( x , y , z ) kT
  p ( x , y , z ) kT
dxdydz
V
n0  p ( x , y , z ) kT
  p ( x , y , z ) kT
 e
 f 0e
N
而粒子按速度的分布律（麦克斯韦速度分布率）为：
f M v
m 3/ 2
(
) e
2 kT
mv 2

2 kT
 m 


 2 kT 
32
e

k
kT
经典力学中位置和动量（或速度）互相独立，因
此，粒子按速度的分布和按位置的分布就是互相
独立事件，由独立事件的概率乘法法则可知，粒
子按速度及位置的分布律为：
f v ,r   f M  v  f B r 
m 3/ 2 （ k  P ) / kT
m 3/2  / kT
 f0 (
) e
 f0 (
) e
2 kT
2 kT
玻耳兹曼因子
上式称为麦克斯韦－玻耳兹曼分布律，适用于保守
场中的系统。
§4、能量均分定理
一、自由度
确定运动物体在空间位置所需要的独立坐标数目.
气体分子运动自由度：
单原子分子：3个平动自由度, i=3
刚性 i=5
双原子分子： 非刚性 i=6
刚性: i=6
多原子分子：
非刚性: i  3n
二、能量按自由度均分定理
1 2 3
mv   T
理想气体的平均平动能为
2
2
1 2 1 2 1 2 1 2
mv  mv x  mv y  mvz
2
2
2
2
1
在平衡状态下 v  v  v  v 2
3
2
x
2
y
2
z
1 2 1 2 1 2 1
mvx  mv y  mvz   T
2
2
2
2
每个平动自由度上的平均动能都等于kT/2
平衡态时，各个自由度上运动的机会均等且能量均
分，任何一种运动都不比另一种运动更占优势。
能量均分定理：
在温度为T的平衡态下, 物质分子的任何一个
自由度上均分配有kT/2 的平均热运动动能。
1
分子的平均总能量    t  r  2 s   T
2
t：平动自由度数；r：转动自由度数；s：振动自由度数
单原子 刚性双原子 非刚性双原子 刚性多原子 非刚性多原子
i=3
i= 5
i= 7
i= 6
i= ?
三、理想气体的内能与热容
i
i
1mol理想气体的内能： U mol  N A ( 2 kT )  2 RT
i
 mol理想气体的内能： U   RT
2
理想气体的内能是温度的单值函数 U =U(T)
理想气体定容摩尔热容：
CV ,m
Q
dU


dT dT
1
  t  r  2s  R 
2
3
R
单原子分子气体
2
5
R 双原子刚性分子气体
2
例 求在温度为30℃时氧气分子的平均平动动能, 平
均动能, 平均能量以及4.010-3 kg的氧气的内能(常
温下可以认为是刚性分子，不考虑振动能)。
解: 氧分子是双原子分子，平动自由度t=3，
转动自由度r=2。
t
3
21


kT

kT

6.28

10
(J)
平均平动动能 t 2
2
tr
5
k 
kT  kT  1.05  1020 (J)
平均动能
2
2
平均能量
内能
   k  1.05 10 (J)
20
5 M
U   RT  7.87 102 (J)
2 
例 星体周围大气的稳定性。试计算气体在大气中的逃
逸速率与方均根速率之比。其中大气温度 T=290K, 地
球质量Me= 6.0×1024kg, 地球半径Re=6.4×106m.
解: 设无穷远处引力势能为零, 而对于气体分子，其方均根速
在地球表面附近大气层中的
分子具有引力势能为：
率为
M em
Ep  G
Re
分子逃逸条件：
1 2
E p  Ek  mv
2
分子逃逸速率
v逃 
2GM e
v 
2

故两速率之比:
K
v逃
v2
Re
3RT

2GM e 

3Re RT

T
K
v逃

v2

T
气体种类
氢气
氦气
氮气
氧气
二氧化碳
速率之比
5.9
8.3
22.1
23.6
27.7
◆气体的两速率比值愈小表明分子愈容易逃脱地球
引力场作用空间，这是大气层中氢气和氦气成分远
小于氮气和氧气的原因之一．
◆由K的表达式知，由臭氧层破坏形成温室效应及植
被破坏等因素引起的温度升高都会降低地球周围大
气的K值，从而改变大气结构并影响其稳定性，直接
威胁到人类的生存环境。
本章基本要求
1、理解速率分布函数和麦克斯韦速率分布律，并能
导出三种速率的统计值；了解速度分布律的意义；
2、了解玻耳兹曼分布律、玻耳兹曼因子和粒子在重
力场中按高度分布的公式；
3、掌握能量均分定理的意义及其物理基础，能由它
导出理想气体内能公式；