Transcript 第11章气体分子运动论
大学物理 第十一章 气体分子运动论 章节简介 分子运动的统计规律 微观 宏观 麦克斯韦速率分布 热运动 压强，温度 玻尔兹曼分布 能量均分 气体内能 重力场中的压强 最可几速率 真实气体的范德瓦耳斯方程 平均速率 方均根速率 平均自由程 本章对理想气体的微观与宏观关系作了研究，说明了气体 分子运动符合统计规律。（课时数：共3讲，6学时） 大学物理 第二十七讲 理想气体的压强与温度 均分定理与内能 主要内容：状态方程，压强公式，温度公式，均分定理，内能 重点要求：压强的形成的微观机理 难点理解：温度与内能 数学方法：代数运算 典型示例： 课外练习：思考题11.1，习题11.2，11.4，11.7，11.8 大学物理 一、平衡态与理想气体状态方程 1. 平衡态 在没有外界的影响下(与外界无能量和物质的交 换)，经过足够长的时间后，系统的宏观性质不随时 间而变化状态称平衡态。 大学物理 2. 状态参量 描述宏观物理性质和状态的物理量（温度， 压强，体积……..)。 温度 T (单位 K) 体积 V (单位 m3) 压强 P (单位 Pa ) ...... f ( T , P , V ,.....) 0 大学物理 3. 理想气体状态方程 PV P M V RT n N M RT Nm RT N 0 mV nkT 单位体积的分子数 V k＝ R 1 . 38 10 23 J K 1 称玻尔兹曼常数 N0 实际气体能够被看趁成理想气体的条件 压力不太大，温度不太低。 大学物理 动画演示：布朗运动 动画说明： 可调整气体温度， 范围200K-1000K； 显示一个固定分子 的瞬时速度和碰撞次 数； 分子热运动。 思维空间：a. 温度和压强的分子物理学含义。 b. 统计规律的重要性。 c. 气体扩散与均匀分布。 d. 热量的对流与传导。 大学物理 二、理想气体压强和温度的统计意义 1. 理想气体的微观模型 （1） 微观模型 气体分子看成质点； 分子除碰撞外无相互作用； 每个分子看成一完全弹性球。 理想气体可看成大量自由地、无规则运动着的弹性 球分子的集合。 大学物理 （2）统计性假设 平衡态下，平均来说，朝各方向运动的 分子数相同。在各不同方向上，分子速度的 各种平均值相同。 vx v y vz 2 2 vx v y vz 2 大学物理 2. 压强公式 气体对器壁的压强，是大量气体分子对器壁碰 撞的结果。 压强公式推导的步骤： 1. 一个分子碰撞器壁给器壁的冲量； 2. 所有分子碰撞给器壁的总冲量； 3. 总冲量除以时间、面积即得压强。 大学物理 一个速度为 vi 的分子对 dA 面碰撞 y （1）分子 i 碰撞所受的冲量 = – mvix – mvix = –2mvi x dA 器壁受到的冲量 2mvix （2）dt 时间内和dA碰撞的速 度为vi的分子分子数 vixdtdAni o vi z vixdt 速度 vi 的分子在 dt 时间内碰撞 dA,给 dA施加的冲量 = 2mvix2 dtdAni x 大学物理 2mvix2dtdAni （3）对各种速度的分子求和，dA受到的总冲量 2 mv I 2 ix n i dtdA v ix 0 2 mv ix n i dtdA i 压强 P I dtdA mv 2 ix ni i m n i v ix i 2 大学物理 P m n i v ix 2 i 2 2 vx 2 2 n1 v1 x n 2 v 2 x n i v ix n1 n 2 n i n i v ix i n 2 n i v ix i n i i P mn v x 2 2 2 v vx vy vz 2 v 2 2 2 2 vx vy vz 2 P 2 2 vx vy vz 1 3 nm v 2 2 3v x 2 2 大学物理 P 1 nm v 3 2 2 2 3 n n( 1 2 mv ) 2 (3) 3 1 2 m v 分子平均平动功能 2 P是宏观量，是微观量的统计平均值，这说明： 理想气体的压强是一个统计平均结果。 大学物理 3. 温度的统计意义 PV M RT P = nkT 2 P n 3 将 式比较 3 kT 2 气体温度的本质：气体的温度是气体分子平均 平动功能的量度。含有统计的意义。 大学物理 三、能量按自由度均分原理，理 想气体的内能 y (x,y, z) 1. 自由度 x 单原子分子 z y 确定物体在空间位置的独立 坐标数称物体的自由度。 单原子分子自由度为3 i z 刚性双原子分子自由度为5 y (x,y, z) x 双原子分子 (x,y, z) 刚性多原子分子自由度为6 x z 多原子分子 大学物理 2. 能量按自由度均分原理 由于大量分子的频繁碰撞，平衡态时，无论平 动、转动、振动、每个自由度上的能量平均来讲是相 等的为 每个分子的平均动能 i 1 kT 2 Ei i 2 kT 大学物理 3. 理想气体的内能 1mol理想气体的总动能 M克理想气体的内能 N0 E i kT 2 M i 2 i 2 RT (理想气体分子间无相互作用，内能即总动能) RT 大学物理 第二十八讲 麦克斯韦速率分布 平均自由程 主要内容：麦克斯韦速率分布，三种速率，平均自由程 重点要求：速率分布的意义，三种速率 难点理解：速率分布的意义 数学方法：求和到积分 典型示例： 课外练习：思考题11.5，11.6，习题11.10，11.11，11.13 大学物理 动画演示：麦克斯韦速率分布 动画说明： 调节气体温度改变 分子速率分布曲线， 同时改变了方均根速 率和最概然速率； 改变速率取值，可 观察到在200m/s速率 区间内的分子的多寡。 思维空间：a. 最概然速率的位置和物理意义。 b. 平均速率的位置和物理意义。 c. 速度方向的统计分布。 d. 统计分布的物理意义和高低温时的分布特点。 大学物理 一、麦克斯韦速率分布律 1. 气体分子速率的实验测定 l l=R=tR v 2R=vt l 2R o R v 2R 2 v l 2R 2 v v R 大学物理 2. 速率分布的描述，速率分布函数 （1）成绩（分数g）分布的描述 0 0 0 10 1 20 1 30 2 2 40 19 50 60 50 70 18 80 7 90 人数 100 g （2）速率分布的描述 0 v N f v N v f (v ) v v N Nf ( v ) v N dN Nv Ndv f (v ) 称分布函数 v 大学物理 （3）物理意义 dN 表示在平衡状态下，分子速率在 v f (v ) Ndv 附近单位速率间隔的分子数占总分子数的百分率。 （4）性质 f ( v ) dv 1 0 （5）表达式 f ( v ) 4 ( m 2 kT mv 3 ) 2 e 2 2 kT 称麦克斯韦速率分布函数. v 2 大学物理 （6）分布曲线 曲线中影印部分的面积： 总面积： f ( v ) dv 1 归一化 0 f (v) 最可几速率vp df ( v ) f (v)dv 0 dv vp 2 KT m 2 RT 0 dv vp v 大学物理 （7）分布曲线和m，T的关系 同种气体 不同温度： f (v) T1 T2 T2＞T1 0 相同温度 不同气体： f (v) v m1 m2 (m1>m2) 0 v 大学物理 3. 应用 已知分布函数 （1）求百分率 dN f ( v ) dv N v2 f ( v ) dv v1 f (v ) dN Ndv v附近，dv间隔内的分子数占总 分子数的百分率 v1—— v2间的分子数占总分子数 的百分率 （2）求分子数 Nf ( v ) dv v2 v1 Nf ( v ) dv v附近，dv间隔内的分子数 v1—— v2间的分子数 大学物理 （3） v 的平均值计算 f (v) v v dv dN Nf ( v ) dv vdN vNf ( v ) dv 0 v vNf ( v ) dv vf 0 N ( v ) dv 0 v vf ( v ) dv 0 v 2 dv vp v 0 2 f ( v ) dv 8 RT 3 RT v 大学物理 二、平均碰撞频率,平均自由程 z N t l N l v t v z A B 三、平均碰撞频率 先假定其它分子都不动，只有一个分子以平 均相对速率 u 跟其它分子碰撞。 大学物理 z d un 2 · u z · · 2v u 2 d v n 2 d d A · 大学物理 四、平均自由程 v 1 2 d n 2 z kT 2 d p 2 大学物理 第二十九讲 玻尔兹曼分布 真实气体的范德瓦尔斯方程 主要内容：玻尔兹曼分布，重力场中的压强公式，真实气体 重点要求：重力场中压强公式 难点理解：概念代换 数学方法： 典型示例： 课外练习：习题11.17，11.19 大学物理 一、麦克斯韦速度分布律 三维位置空间 dx dydz 三维速度空间 dvxdvydvz m N 2 kT 2 dN m 2 kT 2 3 e 3 2 2 2 m (vx v y vz ) 2 kT dv x dv y dv z Ek e kT dv x dv y dv z 大学物理 二、玻尔兹曼分布律 将分子数按动能的分布推广到保守力场，总 能量 E = Ek + Ep 势能是位置的函数，分子在空间的分布也应 跟位置有关。 大学物理 当系统在保守外场中处于平衡态时， 分子的速度介于： 坐标介于： vx ~ vx+ dvx vy ~ vy + dvy vz ~ vz + dvz x ~ x + dx y ~ y + dy z ~ z+ dz 的分子数 dN C e mv 2 － EP 2 称玻尔兹曼分布律 kT dv x dv y dv z dxdydz 大学物理 dN Ce dN ~ e mv 2 Ep 2 kT E kT 处于能量大的粒子数少 dv x dv y dv z dxdydz 大学物理 实例： 考虑在重力场中 E 1 mv mgz 2 2 dN Ce mv 2 mgz 2 kT dv x dv y dv z dxdydz 在高度为z，单位体积内各种速度的分子数 n dN dxdydz Ce mv 2 mgz 2 kT dv x dv y dv z 大学物理 考虑在重力场中 n Ce mv 2 mgz 2 kT dv x dv y dv z (4v2dv=dvxdvydvz) C 4 v e 2 mv 2 e 2 kT mgz 0 C( 2 kT m 3 ) 2 e mgz kT kT dv 大学物理 n C( 2 kT 3 2 ) e mgz kT m z = 0 n0 C ( 2 kT 3 ) 2 m P nkT n 0 kTe z = 0 P P0 e mgz kT P0 = n0 kT mgz kT P0 = 105 Pa , 升高10m T = 273.15K 大气压下降133Pa 大学物理 玻尔兹曼分布律对所有经典粒子所构成的系 统都成立，是经典统计力学的一条重要规律。 在量子统计中应用爱因斯坦——玻色分布和 费米——狄拉克分布。 大学物理 三、范德瓦尔斯方程 ——分子间的相互作用对气体宏观性质的影响 分子力 实际上，气体分子是由电子和带正电的原子核组成，它们之 间存在着相互作用力，称为分子力。 对于分子力很难用简单的数学公式来描述。在分子运动论中， 通常在实验基础上采用简化模型。 大学物理 1. 力心点模型 假定分子之间相互作用力为有心力，可用半经验 公式表示 f s t （st) r r r ：两个分子的中心距离 、、 s、t ：正数，由实验确定。 r r0 —— 斥力 r r0 —— 引力 r R —— 几乎无相互作用 R称为分子力的有效作用距离 R= r0 ——无相互作用 r0称为平衡距离 大学物理 f 当两个分子彼此接近到 r r0时斥力迅速增大， 阻止两个分子进一步靠 近，宛如两个分子都是 具有一定大小的球体。 R r 0 d 2. 有吸引力的刚球模型 可简化的认为，当两个分子的中心距离达到某一 值d时，斥力变为无穷大，两个分子不可能无限接 近，这相当于把分子设想为直径为d的刚球，d称 为分子的有效直径。 d~1010m R~几十倍或几百倍d r d时分子间有吸引力 大学物理 若将分子视为刚球，则每个分子的自由活动空间就不 等于容器的体积，而应从vm中减去一个修正值 b。 理想气体状态方程应改为 P（Vm-b）=RT Vm为气体所占容积 VM-b为分子自由活动空间 3 可证明 4 d 6 3 b 4 N A 10 m 3 2 大学物理 3. 范德瓦尔斯方程 （分子间引力引起的修正） 设想：气体中任一分子都有一 个以其为中心，以R为半径的力 作用球，其它分子只有处于此 球内才对此分子有吸引作用。 R R (1) 处于容器当中的分子 平衡态下，周围的分子相对于球对称分布，它们对的引力 平均说来相互抵消。 大学物理 (2) 处于器壁附近厚度为R的表层内的分子 的力作用球被器壁切割为球缺，周围分子的分布不均匀， 使平均起来受到一个指向气体内部的合力，所有运动到器壁 附近要与器壁相碰的分子必然通过此区域，则指向气体内部 的力，将会减小分子撞击器壁的动量，从而减小对器壁的冲 力。这层气体分子由于受到指向气体内部的力所产生的总效 果相当于一个指向内部的压强，叫内压强 Pi。 所以，考虑引力作用后，气体分子实际作用于器壁并由实 验可测得的压强为 P RT Vm b Pi 大学物理 (3) Pi的相关因素 与表面层分子（类似 ） 的数密度 n 成正比 Pi 表面层分子受到内 部分子的通过单位 面积的作用力 Pi n 2 与施加引力的内部分子 的数密度 n 成正比 1 2 m 或 V Pi a 2 Vm 将气体分子视为有吸引力刚球时 a P 2 Vm Vm b RT 1摩尔气体 范德瓦尔斯方程 大学物理 #a、 b由实验确定。 #实际气体在很大范围内近似遵守范德瓦尔斯方 程。 #理论上把完全遵守此方程的气体称为范德瓦尔 斯气体。 范德瓦尔斯等温线 （4） 范德瓦尔斯等温线 由方程 可得 a P 2 Vm V 3 m Vm b RT Pb RT P V 2 m aVm P ab P 0 大学物理 在P-V图上可得一族等温线，叫做范德瓦尔斯等温线。 （5) 与实际气体等温线比较 曲线形状与实际气体等温线极为相似，表明范德瓦尔斯 方程能很好的说明实际气体（包括转化为液体后）的性 质。 不同之处在于实际气体BC段为一平行于V轴的线段，范德瓦 尔斯气体等温线则在相应部分弯曲。 其中FE段，P则V，不可能实现；BE和FC段为亚稳态；BE： 过饱和蒸汽（缺少凝结核），FC：过热液体（缺少汽化 核）。