Transcript 流体力学4
第四章 流体动力学基础
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
流体的运动微分方程
元流的伯努利方程
总流的伯努利方程
总流的动量方程
理想流体的无旋流动
第一节
流体的运动微分方程
连续性微分方程是控制流体运动的运动
学方程,还需建立控制流体运动的动力学方
程这就是液体的运动微分方程。这就是流体
的运动微分方程这就是液体的运动微分方程。
一、理想流体运动微分方程
在运动的理想流体中,取微小平行六面
体(质点),正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行
于x,y,z坐标轴(图4—1)。设六面体的中心点
o‘,速度压强p,分析该微小六面体x方向
的受力和运动情况。
1.表面力:理想流体内不存在切应力.只有
压强x方向受压面(abcd面和a‘b’c‘d’面)形心
点
图4—1连续性微分方程
的压强为:
pM
1 p
2 x
1 p
2 x
p
pN p
dx
dx
(4—1)
(4—2)
受压面上的压力为:
质量力:
PM p M dydz
(4—3)
PN p N dydz
(4—4)
(4—5)
F Bx X dxdydz
由牛顿第二定律
[( p
1 p
2 x
dx
dxdydz
Fx m
) -( p
du
dt
x
du x
dt
得:
1 p
2 x
dx ) ] dydz
+ X dxdydz
化简得:
X
Y
Z
1
1
1
p
x
p
y
p
z
du
x
dt
du
du
y
(4—6)
dt
z
dt
将加速度项展成欧拉法表达式 :
X 1 px utx u x uxx u y uyx u z uzx
u y
u y
u y
u y
1 p
Y y t u x x u y y u z z
u z
u z
u z
u z
1 p
Z z t u x x u y y u z z
用矢量表示为:
f
1
p
u
t
u u
(4—7)
(4—8)
上式即理想流体运动微分方程式,又称欧拉运动
微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式,因此是
控制理想流体运动的基本方程式。
1755年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中
建立了欧拉运动微分方程式,及上一节所述的连续性
微分方程式。对于理想流体的运动,含 u x , u y , u z 有和
p四个未知量,由式(3—30)和式(3—36)组成的基本
方程组,满足未知量和方程式数目一致,流动可以求
解。因此说,欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠
定了理想流体动力学的理论基础。
第二个角标表示应力的方向,则法向应力
p xx p yy p zz
进—步研究证明,任一点任意三个正交面上的法向应力之和都
不变,即
p xx p yy p zz p p p
(4—9)
据此,在粘性流体中,把某点三个正文面上的法向应力的
平均值定义为该点的动压强以p表示:
p xx p yy p zz
p 1
(4—10)
3
如此定义,粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数
p p x, y, z, t
(4—11)
2.应力和变形速度的关系
粘性流体的应力与变形速度有关,其中法向应力与线变形
速度有关,切应力则与角变形速度有关。
流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应
力的平均值,同某一平面上的法向应力有一定差值,称为附加
法向应力,以 p ' xx , p ' yy , p ' zz表示,它是流体微团在法线方向
上发生线变形(伸长或缩短)引起的。
p xx p p xx p 2 uxx
u y
p yy p p yy p 2 y
u z
p
p
p
p
2
zz
z
zz
(4—12)
切应力与角变形速度的关系,在简单剪切流动中符合牛顿
内摩擦定律
u
du
dy
将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动,得出
yz
zy
zx xz
xy yx
u z
u x
y
z
u y
x
u y
u z
u x
z
x
y
(4—13)
3.粘性流体运动微分方程
采用类似于推导理想流体运动微分方程式(4—6)的方
法,取微小平行 六面体,根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应
力)表示的运动微分方程式,并以式(4—12)、式(4—13)代人整
理,使得到粘性液体运动微分方程:
X 1 p 2 u u x u u x u u y u u z
x
x x
y y
z z
x
t
u y
u y
u y
u y
2
1 p
Y y u y t u x x u y y u z z
u z
u z
u z
u z
2
1 p
Z
u
u
u
u
z
x x
y y
z z
z
t
f
用矢量表示为
2
2
1
p u
2
u
t
(4—14)
u u
(4—15)
2
2 2 2
x
y
z
式中:
——拉普拉斯算子。
自欧拉提出理想流体运动微分方程以来,法国工程师纳维
(Claude.Louis.Marie.Henri. Navier,1785.2.10~1836.8.21,法国力
2
学家、工程师 )、英国数学家斯托克斯(Stokes 1819~1903 )等人
经过近百年的研究,最终完成现在形式的粘性流体运动微分方
程,又称为纳维—斯托克斯方程(简写为N—S方程)。
N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力
(压力和粘性力) 的相平衡。由N—S方程式和连续性微分方程式
组成的基本方程组,原则上可以求解速度场和压强场p,可以说
粘性流体的运动分析,归结为对N—S方程的研究。
[例4—1] 理想流体速度场为 u x ay , u y bx , u z 0 , a , b
为常数。试求:(1)流动是否可能实现;(2)流线方程;
(3)等压面方程(质量力忽略不计)
[解] (1)由连续性微分方程 u x u y u z 0
x
y
满足连续性条件,流动是可能实现的。
dx
dy
(2)由流线方程
得:
ux
uy
dx
dy
ay
bx
bxdx aydy
z
积分得流线方程
bx ay c
a,b同号,流线是双曲线a,b异号,流线是圆。
(3)由欧拉运动微分方程式,不计质量力:
u x
1 p
x u y y abx
u y
1 p
ux
aby
y
x
2
2
将方程组化为全微分形式:
1 p
p
(
dx
dy ) ab ( xdx ydy )
x
y
1
dp ab ( xdx ydy )
积分,得
x y
2
p ab
2
令p=常数 即得等压面方程
x y c
2
2
等压面是以坐标原点为中心的圆。
2
c'
第二节
元流的伯努利方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组,只有特定
条件下的积分,其中最为著名的是伯努利(Daniel Bernoull,
1700~1782,瑞士科学家)积分。
X 1 p u u x u u y u u z
x x
y y
z z
x
u y
u y
u y
1 p
Y y u x x u y y u z z
u z
u z
u z
1 p
Z
u
u
u
x x
y y
z z
z
(4—16)
由理想流体运动微分方程式
X
Y
Z
p
1
1
1
x
p
y
(4—17)
y
dt
z
x
dt
du
p
du
du
z
dt
各式分别乘以沿流线的坐标增量dx,dy,dz,然后相加,得:
( Xdx Ydy Zdz )
1
p
dx
x
p
y
dy
p
z
dz
du
dt
x
dx
du
dt
y
dy
du
dt
z
dz
(4—18 )
1.引人限定条件:
①.作用在流体上的质量力只有重力:X=Y=0,Z=-g;
( Xdx Ydy Zdz ) gdz
②.不可压缩,恒定流: C ,
1
p
x
dx
p
y
dy
p
z
dz
1
dp d
p
p p x, y, z
(4—19)
(4—20)
③.恒定流流线与迹线重合:dx=uxdt,dy=uydt,
dz=uzdt
则
u x2 u y2 u z2
dx
dy
dz d
dt
dt
dt
2
du x
du y
du z
(4—21)
将式(4—19) (4—20) (4—21)带入式(4—18)
dx
x
p
积分得:
gz
p
即:
z
或:
p1
( Xdx Ydy Zdz )
1
z1
p
p
y
g
2
u1
2g
p
du y
du x
du z
dz
dx
dy
dz
z
dt
dt
dt
2
u
(4—22)
2 C
dy
2
u
2g
(4—23)
C
z2
p2
2
u2
2g
(4—24)
上述理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分,所得式
称为伯努利方程,以纪念在理想流体运动微分方程建立之前,1738年
瑞士物理学家和数学家伯努利根据动能原理提出式,用于计算流动向
题的著名方程 。
由于元流的过流断面积无限小,所以沿流线的伯努利方程就是元
流的伯努利方程。推导该方程引入的限定条件,就是理想流体元流伯
努利方程的应用条件,归纳起来有:理想流体;恒定流动;质量力中
只有重力;沿元流(流线);不可压缩流体。
1.物理意义式
p
u
p
z
(4—23)中的前两项 z , g 、
和
的物理意义,
g
2g
在第二章第三节中已说明,分别是单位重量流体具有的比位能压能或
比势能;单位重量流体具有的动能。
2
2
三项之和 z
是单位重量流体具
g
2g
有的机械能,式(4—23)则表示理想流体的
恒定流动,沿同一无流(沿同一流线)。单
位重量流体的机械能守恒。伯努利方程又
称为能量方程。
2.流体意义
p
u
式(4—23)各项的流体力学意义为:z是位
置水头,
p
g
压强水头;两项之和 Hp
u
2
z
是测压管水头,2 g是流速水头,能够直接
p
图4—2水头线
g
量测,量测原理在随后的例题中说明。三项之和
H z
p
g
u
2
2g
称为总水头.式(4—23)则表示理想流体的恒定流动,沿同一元流
(沿同一流线)各断面的总水头相等.理想流体的水头线是水平线
(图4—2)。
3.几何意义
式(4—23)各项的几何意义是不同的几何高度:z
p
是位置高度, 测压管高度。总结如下:
项目
z
p
z
p
2
u
2g
z
p
2
u
2g
物理意义 单位位能 单位压能
单位势能
单位动能
单位总能量
或比位能 或比压能
或比势能
或比动能
总比能
几何意义 位置高度 测压管高度 势能高度
流体意义 位置水头 压强水头
测压管水头
流速水头
总水头
式中o点的压强水头,由另—根测压管量测,
于是测速管和测压管中液面的高度差,就是A
点的流速水头,该点的流速:
u
2g
p ' p
2 gh 0
(4—27)
根据上述原理,将测速管和测风管组合
成测量点流速的仪器,图4—4所示,与迎流
孔(测速孔)相通的是测速管,与侧面顺流孔
(测压孔或环形窄缝)相通的是测压管。考
虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在粘性效
应,以及皮托管队员流场的干扰等影响,引
用修正系数C:
u C
g
2g
p ' p
g
C
2 gh 0
图4—4 毕托管构造
录像
式中C是修正系数.数值接近于1.0,由实验测定。
【例4-3】 有一贮水装置如图(4-5)所示,水池足够大,当阀
门关闭时,压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开,水从管
中流出时,压强计读数是0.6个大气压强,试求当水管直径d=12cm
时,通过出口的体积流量(不计流动损失)。
【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程
H
pa
g
0 0
p a 0 .6 p a
g
2
V2
2g
当阀门关闭时,根据压强计的读数,
应用流体静力学基本方程
p a gH p a 2 . 8 p a ,
求出H值:
H
2 .8 p a
g
2 . 8 98060
9806
28 mH 2 O
图4—5
所以管内流量:
V2
qV
0 .6 p a
2 g H
g
4
0 . 6 98060
2 9 . 806 2 . 8
20 . 78 m / s
9806
d V 2 0 . 785 20 . 78 0 . 235 m
2
3
/s
三、粘性流体元流的伯努利方程
实际流体具有粘性,运动时产生流动阻力,克服阻力作功,使流
体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此,粘性流体流
动时,单位重量流体具有的机械能沿程减少,总水头线是沿程下降。
自19世纪30年代以来,人们从大量经验事实中,总结出一个重
要结论。能量可以从一种形式转换成另一种形式,既不能创造、也
不能消灭,总能量是恒定的,这就是能量守恒原理。
因此,设为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1—1运动至
过流断面2—2的机械能损失,称为元流的水头损失,根据能量守恒
原理,便可得到粘性流体元流的伯努利方程
z1
p1
2
u1
2g
z2
p2
2
u2
2g
水头损失 h w ' 也具有长度的量纲。
hw '
第三节
总流的伯努利方程
上一节的最后得到了粘性液体元流的伯努利方程式(4—29),为
了解决实际问题,还需要将其推广到总流中去。
一、渐变流及其性质
在推导总流的伯努利方程之前,做为方程的导出条件,将流动
区分为渐变流和急变流。凡质点的迁移加速度(位变加速度)很小,的
流动,或者说流线近于平行直线的流动定义为渐变流,否则是急变
流(图3—35)。显然,渐变流是均匀流的宽延,所以均匀流的性质,
对于渐变流都近似成立,主要是:
1.渐变流的过流断面近于平面。面上各点的速度方向近于平行;
2.恒定渐变流过流断面上的动压强
按静压强的规律分布,即:
p
z c (4—30)
由定义可知,渐变流没有准确的界定
标准,流动是否按均匀流处理,所得结果
能否满足以工程要求的精度而定。
二、总流的伯努利方程
图4—7急变流和渐变流
设恒定总流,过流断面1—1、2—2为渐变流断面,面积为
A1,A2(图4—8)。在总流内任取元流,过流断面的微元面积、位置高
度、压强及流速分别为dA1,z1,p1,u1; dA2,z2,p2,u2 。
由元流的伯努利方程:
z1
p1
2
u1
2g
z2
p2
2
u2
2g
hw '
以乘上式即是单位时间通过元流两过流断面的能量关系
z
1
p1
2
u1
2g
dQ z
2
p2
2
u2
2g
dQ
h w ' dQ
(4—31)
总流是由无数元流构成的,上式对总流过流断面积分.便得
到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系
z
A1
1
p1
u dA
1
1
2
u1
2g
u 1 dA 1 z 2
p2
u
dA 2
2
A2
A2
A1
分别确定三种类型的积分
z udA
①.第一类积分:
p
A
因所取过流断面是渐变流断面
z
p
c
2
u2
2g
u 2 dA 2 h w aQ(4—32)
'
Q
z udA
p
A
②.第二类积分:
2
u
2g
z
p
Q
(4—33)
udA
A
各点的速度不同,引入校正系数,积分按断面平均速度v计算:
2
(4—34)
u
v
u
3
dA
Q
u
2 g udA 2 g
2g
3
2
A
A
——流速分布不均匀动能校正系数,
2 g dA
A
3
v
2g
dA
3
u dA
A
3
v A
式中 是为校正以断面平均速度计算的动能与实际功能的差异而
A
引入的校正系数,值取决于过流断面上的流速分布情况,分布均
匀的流动。 1 . 05 ~ 1 . 10 通常取 1
③第三类积分:
h w dQ
'
Q
积分式 h w dQ 单位时间总流由1—1至2—2的械能损失。现在定
'
Q
义 h w '为总流单位重量流体由1—1至2—2断面的平均机械能损失,称
总流的水头损失
'
h
w dQ h w Q
(4—34)
Q
将(4—32)、(4—33)、(4—34)代人式(4—31)
2
p2
p1
v1
z 1
Q
Q
Q z 2
2g
v 22
2g
Q h w Q
(4—35)
两断面间无分流及汇流,Q1=Q2=Q,并以 gQ 2 除上式,得
z
1
p1
2
u1
2g
dQ z
2
p2
2
u2
2g
dQ
hw
(4—36)
2. 伯努利方程的适用条件
式(4—37)即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努
利方程推广为总流的伯努利方程,引入了某些限制条件,
也就是总流伯努利方程的适用条件包括:
⑴.不可压缩流体恒定流;
⑵.质量力只有重力;
⑶不可压缩流体(以上引自粘性流体元流的伯努利方程);
⑷.所取过流断面为渐变流断面;
⑸.两断面间无分流和汇流;
⑹.两断面间无能量的输入或支出;
⑺.不存在相对运动。
3. 伯努利方程的方法步骤
式(4—36)是能量守恒原理的总流表达式。下面举例说明伯努利
方程的应用
⑴.断面选择 通常选择未知量所在的断面和已知量最多的断面,它们
都必须是渐 变流断面;
⑵.代表点选择 无压流一般选择自由液面,有压流一般选在管道中心;
⑶.位置基准面选择 习惯选择在过各代表点最低者的水平面。位置准
面选择对结果无影响;
⑷.压强基准面选择 液体一般选取相对压强;气体一般选取绝对压强。
压强准面选择对结果无影响;
⑸.列伯努利方程 对于初学者,应该分项列出,哪怕是零,也应该写
出。但一般只用符号代替,而不代入具体数值,以
便推导出未知量的计算公式;
⑹.解伯努利方程 求解出题目中所要求的未知量;
⑺.给出答案 给出正确的答案
[例4—3] 用直径d=100mm的水管从水箱引水(图4—9)。水箱水面
与管道出口断面中心的高差H=4m保持恒定,水头损失 h w =3m
水柱。试求管道的流量。
图4—9管道出流
[解] 这是一道简单的总流问题,应用伯努利方程:
z1
p1
2
v1
2g
z2
p2
2
v2
2g
hw
求解的关键是“三选”:选基准面、计算断面和计算点。为
便于计算,选通过管道出口断面中心的水平面为基准面0—0((图
4—9)。计算断面应选在渐变流断面,并使其中一个已知量最多,
另一个含待求量。技以上原则本题选水箱水面为1—1断面,计算
点在自由水面上、运动参数z1=H,p1=0 (相对压强), v1=0 。选管道
出口断面为2—2断面,以出H断面的中心运动参数z2=0,p2=0, v2待
求。将各量代人总流伯努利方程:
H
v2
录像1
v 22
2g
hw
取
2
1 . 0 得:
2 g ( H h w ) 4 . 43 m / s
录像2
录像3
四、总流伯努利方程应用的修正
伯努利方程是古典水动力学应用最广的基本方程。应用伯努
利方程要重视方程的应用条件,切忌不顾应用条件,随意套用公
式,要对实际问题做具体分析,灵活运用。下面结合三种情况加
以讨论。
1.气体的伯努利方程
总流的伯努利方程式(4—36)是对不可
压缩流体导出的,气体是可压缩流体,但
是对流速不很大(<60m/s),压强变化不
大的统,如工业通风管道、烟道等,气流
在运动过程中密度的变化很小,在这样的
图4—10恒定气流
条件下,伯努利方程仍可用于气流。由于
气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级,在用相对压强进
行计算时,需要考虑外部大气压在不同高度的差值。
设恒定气流(图4—10)、气流的密度为 外部空气的密度
为 a ,过流断面上计算点的绝对压强 P 1 abs , P 2 abs 。
列1—1和2—2断面的伯努利方程式:
z1
p1
2
v1
z2
2g
p2
2
v2
2g
hw
1 2 1
(4—38)
进行气流计算,通常把上式表示为压强的形式
v1
z 1 p 1 abs
2
v 2
2
2
z 2 p 2 abs
2
pw
(4—39)
p w gh w
式中pw为压强损失
将式(4—39)中的压强用相对压强p1,p2表示,则:
(4—40)
p 1 abs p 1 p a
(4—41)
p 2 abs p 2 p a a z 2 z 1
式中 p a 为 z 处的大气压,p a a z 2 z 1 为高程
压,代人式(4—37),整理得:
2
v
2
v
p 1 2 a z 2 z 1 p 2 2 p w
1
2
1
z
2
(4—42)
处的大
(4—43)
v 12
v 22
这里p 1 , p 2 称为静压; 2 , 2 称为动压。
a g 为单位体积气体所受有效浮力, z 2 z 1 为气体沿
浮力方向升高的距离,乘积 a g z 2 z 1 为1—1断面相对于2—2
断面单位体积气体的位能,称为位压。
式(4—42)就是以相对压强计算的气流伯努利方程。
当气流的密度和外界空气的密度相同 a ,或两计算点的高
度相同 z 1 z 2 时,位压为零,式(4—42)化简为:
p1
v12
2
式中静压与动压之和称为全压
p2
v2
2
2
pw
(4—44)
。
当气流的密度远大于外界空气的密度( a ),此时相当
于液体总流,式(4—43)中 a 可忽略不计,认为各点的当地大气
压相同,式(4—43)化简为:
p1
v1
2
2
z 2 z1 p 2
除以 g ,即
z1
v1
2
p1
2g
z2
p2
v2
2
2g
pw
v 22
2g
hw
(4—45)
(4—46)
由此可见,对于液体总流来说,压强 p 1, p 2 不论是绝对压强,
还是相对压强,伯努利方程的形式不变。
2.有能量输入或输出
总流伯努利方程式(4—37)是在两过流断面问除水头损失之外,
在无能量输入或输出的条件下导出的。当面过流断面间有水泵、
风机(图4—11)或水轮机(图4—12)等流体机械时,存在能量的输入
或输出。
此种情况,根据能量守恒原理,计入单位重量流体经流体机
械获得或失去的机械能,
式(4—29)便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程式:
z1
p1
v2
2
2
1 v1
2g
H z2
p2
2
hw
(4—47)
式中:+H——表示单位重量流体通过流体机械(如水泵)获得的机械
能,对于水泵称为水泵的扬程;
-H ——表示单位重量流体给流体机械(如水轮机)的机械
能,又称为水轮机的设计水头。
图4—11有能量输入的总流
图4—12有能量输出的总流
3.两断面间有分流或汇流
总流的伯努利方程式(4—36),是
在两过流断面间无分流和汇流的条件下
导出的。而实际的供水供气管道沿程多
有分流和汇流.这种情况式(4—36)是否
还能用呢?对于两断面间有分流的流动
(图4—13),设想1—1断面的来流,分为
两股(以虚线划分)分别通过2—2、3—3
断面。
对 1' 1' (1—1断面中的一部分)和2—2
断面列伯努利方程,其间无分流:
z1 '
p1 '
g
2
v1
2g
z2
p2
g
2
v2
2g
h w 1 ' 2 (4—48)
图4—13沿程分流
因所取1—1断面为渐变流断面。面上各点的势能相等,则:
P'
P1
(4—49)
Z 1'
Z1
g
g
如1—1断面流速分布较为均匀,
'2
v1
2
v1
2g
Z 1'
故
Z1
'2
P1 '
g
p1
g
v1
Z1
2g
v
P1
g
2
则:
2g
(4—50)
2
v1
2g
(4—51)
2
1
Z2
2g
P
2
g
v2
h w1 2
2g
近似成立。同理可得:
Z1
P1
g
2
v1
2g
Z3
P3
g
2
v3
h w1 3
(4—52)
2g
由以上分析,对于实际I程中沿程分流的总流,当所取过流断面为渐
变流断面,断面上流速分布较为均匀,并计人相应断面之间的水头
损失。
第四节
总流的动量方程
总流的动量方程是继连续性方程式、伯努利方程式(4—36)之
后的第三个积分形式基本方程,它们在流体力学及水力学中习惯
地被称为三大方程,下面由动量原理,推导总流的动量方程。
一、总流的动量方程
设恒定总流,取过流断面Ⅰ-Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ为渐变流断面,面
积为以过流断面及总流的例表面围成的空间为控制体(图3—14)。
控制体内的流体,经dt时间,由Ⅰ—Ⅱ运动到Ⅰ—Ⅱ位置。
在流过控制体的总流内,任取元流1—2,断面面积dA1,dA2,点
流速为 u 1, u 2 ,dt时间,元流动量的增量
d K K 1 2 K 1 2 K 1 2 K 2 2 t dt K 1 1 K 1 2 (4—53)
'
dK K
22
'
'
'
'
K 1 1 ' K 1 2 K 2 2
'
'
'
K
1 1
'
K 1' 2
'
(4—54)
dt时间,总流动量的增量,因为过流断面为渐变流断面,各点的
流速平行,按平行矢量和的法则,定义 i 2 为 u 2
本单位向量,i 1 为 u 1 方向的基本单位向量
dK
2 u 2 dtdA 2 u 2 i 2 1 u 1 dtdA 1 u 1 i 1
A1
A2
方向的基
(4—55)
对于不可压缩液体 1 2 ,并引入校正系数,以断面
平均流速v代替点流速 积分得:
d K dt 2 v 2 A 2 v 2 dt v A v 1 dtQ v v
1 1 1
2 2
1 1
F dt
(4—56)
式中 是为校正以断面平均速度计算的动量与实际动量的
差异而引入的校正系数,称为流速分布不均匀动量校正系数:
u dA
(4—57)
2
A
v
2
A
值取决于过流断面上的速度分布,速度分布较均匀的流
动, =1.02~1. 05,通常取 =1.0
由动量原理,质点系动员的增量等于作用于该质点系上的外
力的冲量:
(4—58)
F dt dtQ 2 v 2 1 v 1 F Q 2 v 2 1 v 1
投影式:
F x Q 2 v 2 x 1 v1 x
F y Q 2 v 2 y 1 v 1 y
F z Q 2 v 2 z 1 v 1 z
(4—59)
录像
式(4—58)、式(4—59)就是恒定总流的动量方程。方程表
明,作用于控制体内流体上的外力,等于单位时间控制体流出动
量与流人动量之差。综合推导式(4—47)规定的条件,总流动量方
程的应用条件有:恒定流;过流断面为渐变流断面,不可压缩流
体。
二、动量方程应用举例
【例3—9】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管,弯管两
端与等直径管相连接处的断面1—1上压力表读数
p1=17.6×104Pa ,管中流量qv=0.1m3/s,若直径d1=300㎜,
d2=200㎜,转角=60°,如图4—14所示。求水对弯管作用力F的
大小。
【解】 水流经弯管,动量
发生变化,必然产生作用力F。而
F与管壁对水的反作用力R平衡。
管道水平放置在xoy面上,将R分
解成Rx和Ry两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁
图4—14
为控制面,如图所示,坐标按图示方向设置。
⑴.根据连续性方程可求得:
v1
v2
qv
2
d1
4
qv
4
2
d2
0 .1 4
0 .3
0 .1 4
0 .2
1 . 42 m / s
2
2
3 . 18 m / s
p1
⑵.列管道进出口的伯努利方程
p 2 p 1 v1 v 2
2
2
2 17 .6 10
g
2
v1
2g
p2
g
2
v2
2g
1000 1 . 42 3 . 18
3
2
,则:
2
2 17 .2 10 3 Pa
⑶.所取控制体受力分析,进、出口控制面上得总压力:
P1 p 1 A1 17 . 6 10
P2 p 2 A 2 17 . 6 10
3
0 .3
2
12 . 43 (kN)
4
3
4
0 .2
2
5 . 40 (kN)
壁面对控制体内水的反力Rx、Ry,其方向先假定如图(4—14)所示。
⑷.写出动量方程
选定坐标系后,凡是作用力(包括其分力)与坐标轴方向一
致的,在方程中取正值;反之,为负值。
沿x轴方向
P1 cos P2 R x q V v 2 v 1 cos
R x q V v 2 v 1 cos P2 P1 cos
0 .1 3 . 18 1 .42 cos 60
5 .40 12 .43 cos 60
0 .568 (KN)
沿y轴方向
P1 sin R x q V 0 v 1 sin
R y P1 sin q V v 1 sin
12 . 43 sin 60 0 . 1 1 . 42 sin 60
10 . 88
(KN)
管壁对水的反作用力
R
R
2
X
R
2
Y
0 . 568
2
10 . 88
2
10 . 89
(KN)
水流对弯管的作用力F与R大小相等,方向相反。总流动量方
程是动量原理的总流表达式,方程给出了总流动量变化与作用力
之间的关系。根据这一特点,求总流与边界面之间的相互作用力
问题,以及因水头损失难以确定.运用伯努利方程受到限制的问
题,适于用动量方程求解。
三、动量矩方程
上面对动量定理的推导过程中所用之方法、步骤,对动量矩
定理也完全适用,而所得结果与动量定理完全相似,只要在以上
的相应式个,将动量换成动量短就成为动量矩定理;这里不作重
复的推演。
恒定流动的动量矩定理为:
r V V
Ao u
n
dA
r V V
n
dA
r
i
Fi
A IN
上式表明,在流出面上的流出动
量矩与流入面上的流入动量矩之差等
于外力矩之和。
常见的流体机械中,离心式水
泵、风机都是将其机械能转换为流体
的动能和压能的。水轮机则是利用流
体的动能使叶片机械转动向外输出功
率,其工作原理都是相同的。
图4—15表示水轮机叶轮的两个
叶片所形成的槽道,流体自叶轮外径
r 1 的圆周面流入槽道, 经叶轮
内径的 r 2 圆周面流出槽道,进入
叶轮中心区域的导管沿轴向流出;叶
轮叶片就是在流体流动时获得力矩而
转动向外作功的。
图4—15
(4—60)
假定叶片数目足够多,则叶片间的槽道可近似为一元流动,
各截面上的速度是均匀的。还假定叶轮作等角速 的旋转,
则叶轮个流场虽为不定常,但叶轮中的总体动量矩不随时间变化,
可适用定常的动量矩公式,下面我们来导出水轮机(也称涡轮机)
的动量矩公式。
先选取控制面:半径的 r 1 进口圆周团和半径 r 2 的出口圆周
团之间的流体表面,其中包括各叶片与流体的接触面;
现在分析控制面上的运动情况及受力情况。设流体以相对速
度 v r 经半径 r1 的圆周团流入叶片槽道,由于半径r1 的圆周
速度即牵连速度 V e 1 r1 ,则流体流入槽道的绝对速度为
(4—61)
V 1 V r 1 V e1
设绝对速度为 V 1 与圆周切向夹角为 1 .则其径向分量 Vn 1
和周向分量 Vt 1 的大小分别为:
Vn 1 V 1 sin 1
(4—62)
V t 1= V 1 cos 1
(4—63)
同理,流体在流出半径 r 2 圆周面上的相对速度 Vr 2 ,牵连速
度 V e 2 r 2 ,则绝对速度为
(4—64)
V 2 Vr2 Ve2
设绝对速度为 V 2 与圆周切向夹角为 2 ,则其径向分量 Vn 2
和周向分量 Vt 2 的大小分别为:
Vn 2 V 2 sin 2
(4—65)
(4—66)
V t 2= V 2 cos 2
2
在流量为Q的情况下,流出控制面的动量矩为其切向动量 QV t与半
径 r 2 的乘积,即:
QV t 2 r 2 QV 2 r 2 cos 2
(4—67)
同理,流入控制团的动量矩为其切向动量与半径之乘积,即 :
(4—68)
QV t 1 r 1 QV 1 r 1 cos 1
假定无粘性力作用,则控制面中的两圆周面上的压力合力不
产生力矩,只有叶片对流体的作用力矩。
则根据动量矩定理,(4—64)式减(4—65)式等于外力矩:
M '0 Q V 2 r 2 cos 2 V 1 r 1 cos 1 Q Vt 2 r 2 Vt 1 r 1
(4—69)
根据作用反作用原理,叶片上获得流体所给的作用力矩力
(4—70)
M 0 Q V 1 r 1 cos 1 V 2 r 2 cos 2 Q Vt 1 r 1 Vt 2 r 2
这就是欧拉涡轮方程式,是涡轮机械的基本方程式。叶轮所获得
的功率为
p M 0 Q V 1Ve 1 cos 1 V 1Ve 2 cos 2 Q Vt 1Ve 1 Vt 2Ve 2 (4—71)
当流出叶片槽道的绝对速度 V 2 的方向取半径方向,即 90 时,
则叶轮获得的力矩公式变为
M 0 QV 1 r 1 cos 1 QV t 1 r 1
(4—72)
相应地,叶轮所获得的功率公式为
P QV 1V e1 cos 1 QV t 1V e1
(4—73)
第五节
理想流体的无旋流动
在第三章中,在微团运动分析的基础上,见流体的运动分为有旋流动和无旋
流动。理论研究证明只有不可压缩理想流体,运动初始无旋。严格地说,粘性流
体的运动都是有旋流动,但在实际流动中,多有粘性的影响很小,从静止转入流
动(初始无旋)的情况,诸如通风车间,用吸风装置抽气,工作区内形成的气流;
水库中的静水,因闸门开启形成的闸孔出流或堰流;以及空气或水绕物体流动
时,在边界层外面,广阔区域的流动等,都可视为无旋流动。
一、势函数:
根据曲线积分定理,无旋流的条件式(5—50)是表达式 u x d x u y d y u z d z
成为某一函数的全微分的必要和充分条件
(4—74)
d u x dx u y dy u z dz
d
得:u
x
x
x
,u
dx
y
y
y
dy
,
u grad
z
(4—75)
dz
uz
z
( 4—76)
函数 ( x , y , z ) 仿照应力场势函数,静电场势函数的定义,称为
速度势函数。由此得出,无旋流是有速势的流动,简称势流;
反之,有速势的流动是无旋流,两者含义相同。
将式(4-37)不可压缩流体连续性微分方程 :
u x
x
2
2
x
即:
0
式中
2
u y
y
2
y
2
u z
z
2
z
0
2
2
2
x
2
(4—78)
(4—79)
2
y
2
2
z
2
——拉普拉斯算子
式(4—78)是著名的拉普拉斯方程,满足拉普拉斯方程的函
数是调和函数。所以,调和函数的一切性质,也是速度势函数
拥有的性质。
由以上分析可知,不可压缩流体无旋流动的问题,归结为在
给定的边界条件下,求解拉普拉斯方程,一旦求得速度势 ,
就可由式(4—76)求得流速u ( u x , u y , u z ),解得压强,问题得
到解决。
二、流函数
u y
u x
对于平面运动,有连续性微分方程 x y 0 ,移项得
u y
u x
y 根据曲线积分定理,前式是表达式u x dy u y dx
x
成为某一函数 x , y 的全微分的必要和充分条件
d u x dy u y dx
(4—80)
比较
得
d
ux
x
x
dx
y
dy
uy
(4—81)
y
(4—82)
函数 x , y 称为流函数。由流函数的引出条件可知,凡是不可
压缩流体的平面的流动,连续性微分方程成立,不论无旋流动
或有旋流动,都存在流函数,而只有无旋流动才有流速势,可
见流函数比流速势更具有普遍意义。
1.流函数具有以下性质:
①.流函数的等值线是流线
证明: 流函数值相等 c , d 0 ,由式得流函数等值线方
程 u x dy u y dx 0 则
dx
ux
dy
uy
上式即平面流动的流线方程,故
流函数的等值线是流线,给流线以不同值,便得到族流线给流
函数以不同值,便得到流线族。
②.两条流线的流函数的差值,等于通过该两流线间的单
宽流量:
dq u n dl u x cos n , x u y cos n , y dl
u x dy u y dx u x
dq
dl
u y
dx
dl
dl
d
2
q2
q
dy
d
1
(4—83)
这一性质也可表述为:平面流动中,通过任一曲线的单宽
流量,等于该曲线两端流函数的差值。
③.平面无旋流动的等流函数线(流线)与等势线正交。
证明:对于平面无旋流动,同时存
在流速势函数和流函数,由等流函数线方程
d u x dy u y dx 0
某一点的斜率
uy
dy
q1
1
m1
由等势线方程
2
dx
ux
d u x dx u y dy 0
图4—16流函数
同一点等势线斜率
m2
dy
uy
m1m 2
uy ux
1
u x u y
(4—84)
等流函数线与等势线正交,故等势线也就是过流断面线。
④.平面无旋流动,流函数是调和函数。
证明:因为平面无旋流动
dx
ux
z
则
得
u x
1 u y
2 x
y
u y
x
ux
u x
y
y
2
带入上式,得
x
2
0
,u y
0
2
y
2
x
0
(4—85)
即: 2 0
平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程,是调和函数。
2
2
2
式中 x 2 y 2
——拉朴拉斯算子
x
y
y
x
(4—86)
式即柯西—黎曼条件。满足拉普拉斯方程和柯西—黎曼条
件,是一对共轭调和函数。
录像
三、几种常见的基本平面势流:
拉普拉斯方程在复杂的边界条件下,虽然难以求解,一
些简单的平面势流,其流速势和流函数却不难求得。研究这些
简单的平面势流的意义在于通过简单势流的叠加,往往能组合
成符合某些给定边界条件的复杂流场。
1.均匀直线流
均匀直线流是流场中各点速度大小相等,方向相同的流动,是
一种最简单的平面势。速度场 u x a
速度势 u x dx u y dy ax by
u
x
dy u y dx ay bx
,u
y
b ;
(4—87)
(4—88)
若均匀直线流流速平行于轴
u y 0 , ax , ay(4—89)
若均匀直线流流速平行于轴
(4—90)
u x 0 , by , bx
图4—17均匀直线流
2.源流
如图4—18所示,在平面势流中,源流就是流体从潭点均匀地向各个
方向出流的流动。组成这种流型的线,就是源点所在平面势流中i面
上,从源点0出发的一族射线。
速度场
q
u r 2r
u 0
速度 u r dr u rd
流函数 u r rd u dr
q
2r
dr
qr
2r
q
2
d
ln r
q
2
等势线方程 c , r c
等势线是以o点为圆心的同心圆。
图4—18平面源流
流线方程 c , c ,流线是由o点引出的射线以直角坐标
系表示。
x, y
q
ln
2
x, y
q
2
x
tg
2
y
1 y
x
2
(4—91)
(4—92)
3.汇流
流体从四周沿经向均匀的流入的流动称之为汇流。流入汇
点单位厚度流量称为汇流强度-q。汇流的速度势和流函数的表
达式与源流的相同,符号相反。
q
2 ln r
q
2
以直角坐标系表示:
x, y
q
2
x, y
ln
x
q
tg
2
2
y
1 y
x
(4—93)
2
(4—94)
图4—19平面汇流
4.旋流
流体绕固定点逆时针作圆周运动,且速度与圆周半径成反比的
流动称之为旋流。把坐标原点置于旋流中心,则:
u
r
u
0
速度场
r
2
式中 为不随半径变化的常数,称为旋流强度, 0 。
2
速度势
流函数
2 ln r
等势线方程 c , c 等势线是由o点引出的射线。
流线方程 c , c 流线是以o点为圆心的同心圆。
以直角坐标系表示:
x, y
2
x, y
ln arctan
2
y
(4—95)
x
ln
x y
2
2
(4—96)
5.涡流
流体绕固定点顺时针作圆周运动,且速度与圆周半径成反比的
流动称之为涡流。把坐标原点置于涡流中心,则:
速度场 u r 0 u 2 r
式中 为不随半径变化的常数,称为环流强度, 0 。
2
速度势
流函数 2 ln r
等势线方程 c , r c 等势线是以o点引出的射线。
流线方程 c , c 流线是由o点为圆心的同心圆。
以直角坐标系表示:
x, y
2
x, y
y
ln arctan
x
2
ln
x
2
y
2
(4—97 )
(4—98)
四、势流叠加原理
因为描述平面无旋流动的拉普拉斯方程是线性方程,几
个平面无旋流动的流速势与流函数相叠加,得到新的流速势和
流函数,仍满足拉普拉斯方程和柯西—黎曼条件,由此得到新
的平面无旋流动。
证明1:设两个基本平面势流,速度势函数和流函数分别是
1, 1, 2 , 2 满足:
2
2
2
2
0
2 0
0
0
2
x
y
2
2
2
1
x
2
y
1
2
则: x
2
1
2
y
2
2
2
2
1
2
2
2
x
2
2
2
2
2
2
y
2
x
2
x
2
同理:
2
;得: x 2
2
x
2
2
y
2
y
0
1
2
y
2
2
1
2
1
1
2
令 1 2
2
1
2
y
x
2
2
0
x
2
2
2
y
2
2
y
0 (4—99)
(4—100)
(4—101)
(4—102)
2.证明2:
由柯西—黎曼条件
1
x
则
1
x
得
1
1
y
y
2
x
x
1
x
x
2
1
y
y
2
2
y
y
2
y
(
y
ux
y
1
x
x
2
2
x
)
(4—103)
y
uy
y
2
同理
速度场
1
x
1
x
1
y
(4—104)
x
2
y
2
x
u x1 u x 2
u y1 u y 2
(4—105)
(4—106)
3.均匀直线流与源的叠加:
下面讨论均匀直线流与源的叠加。设无穷远处均匀直线速
度 U 0 ,平行于 x 轴,为简便其间,把点源放在坐标原点。
已知:均匀直线流的速度势和流函数,
1 U 0 x U 0 r cos ; 1 U 0 y U 0 r sin
源流的速度势和流函数
q
2 2 ln r
(4—107)
2
q
2
(4—108)
叠加后的流动
1 2 U 0 r cos
1
2
U 0 r sin
q
2
q
2
ln r
(4—109)
(4—110)
速度场:u r r U
驻点坐标:
由 u 0 得 0 或
由 u r 0 得rs
0
cos
q
2r
; u
1
r
U 0 sin
q
; 0 时,rs 0不可能;
cos
2U 0
故驻点坐标为:
所以,
q
2
rs
驻点的流线方程为:
3
,
;
2
2
,
r y
rs x s
q
2 U 0 cos。
U 0 r cos
q
2
q
4U 0
q
2U 0
0 , 2 r ∞,流线以 y
q
为渐进线。
4U 0
q
2
注意到通过驻点的流线在驻点一分为二,见整个流动分为两
个区域:这条流以内是源的流区;以外是均匀来留的流区。如用同
一形状的固体边界代替这条流线,流线图形不会因此而不同。设
想“内区”固化,则这种固体的形状称为半体,半体相当于桥墩,
闸
墩前半部。故均匀直线流和源流的叠加,表示了半体的绕流运
动 ,叠加后的速度势和流函数就是半体套流动的解。