Transcript 流体力学4

第四章 流体动力学基础
第一节
第二节
第三节
第四节
第五节
流体的运动微分方程
元流的伯努利方程
总流的伯努利方程
总流的动量方程
理想流体的无旋流动
第一节
流体的运动微分方程
连续性微分方程是控制流体运动的运动
学方程，还需建立控制流体运动的动力学方
程这就是液体的运动微分方程。这就是流体
的运动微分方程这就是液体的运动微分方程。
一、理想流体运动微分方程
在运动的理想流体中，取微小平行六面
体(质点)，正交的三个边长dx,dy,dz,分别平行
于x,y,z坐标轴(图4—1)。设六面体的中心点
o‘，速度压强ｐ，分析该微小六面体ｘ方向
的受力和运动情况。
1.表面力：理想流体内不存在切应力．只有
压强ｘ方向受压面(abcd面和a‘b’c‘d’面)形心
点
图4—1连续性微分方程
的压强为：
pM

1 p
2 x
1 p
2 x
p 
pN  p 
dx
dx
（4—1）
（4—2）
受压面上的压力为：
质量力：
PM  p M dydz
（4—3）
PN  p N dydz
（4—4）
（4—5）
F Bx  X  dxdydz
由牛顿第二定律
[( p 
1 p
2 x
dx
  dxdydz

Fx  m
) -( p 
du
dt
x
du x
dt
得：
1 p
2 x
dx ) ] dydz
+ X  dxdydz
化简得：
 X 


Y 

Z 


1

1

1

p
x
p
y
p
z

du
x
dt

du

du
y
（4—6）
dt
z
dt
将加速度项展成欧拉法表达式 :
 X  1 px  utx  u x uxx  u y uyx  u z uzx

u y
u y
u y
u y

1 p
Y    y   t  u x  x  u y  y  u z  z

u z
u z
u z
u z
1 p
 Z    z   t  u x  x  u y  y  u z  z
用矢量表示为：
f 
1

p 
u
t


 u  u
（4—7）
（4—8）
上式即理想流体运动微分方程式，又称欧拉运动
微分方程式。该式是牛顿第二定律的表达式，因此是
控制理想流体运动的基本方程式。
1755年欧拉在所著的《流体运动的基本原理》中
建立了欧拉运动微分方程式，及上一节所述的连续性
微分方程式。对于理想流体的运动，含 u x , u y , u z 有和
ｐ四个未知量，由式(3—30)和式(3—36)组成的基本
方程组，满足未知量和方程式数目一致，流动可以求
解。因此说，欧拉运动微分方程和连续性微分方程奠
定了理想流体动力学的理论基础。
第二个角标表示应力的方向，则法向应力
p xx  p yy  p zz
进—步研究证明，任一点任意三个正交面上的法向应力之和都
不变，即
p xx  p yy  p zz  p   p   p 
（4—9）
据此，在粘性流体中，把某点三个正文面上的法向应力的
平均值定义为该点的动压强以p表示：
 p xx  p yy  p zz 
p  1
（4—10）
3
如此定义，粘性流体的动压强也是空间坐标和时间变量的函数
p  p x, y, z, t 
（4—11）
2.应力和变形速度的关系
粘性流体的应力与变形速度有关，其中法向应力与线变形
速度有关，切应力则与角变形速度有关。
流动中某点的动压强是过该点三个相互正交平面上法向应
力的平均值，同某一平面上的法向应力有一定差值，称为附加
法向应力，以 p ' xx , p ' yy , p ' zz表示，它是流体微团在法线方向
上发生线变形(伸长或缩短)引起的。
 p xx  p  p xx  p  2  uxx

u y

 p yy  p  p yy  p  2   y

u z

p

p

p

p

2


zz
z
 zz
（4—12）
切应力与角变形速度的关系，在简单剪切流动中符合牛顿
内摩擦定律
  u
du
dy
将牛顿内摩擦定律推广到一般空间流动,得出
    
yz
zy


 zx   xz  

 xy   yx  



u z

u x
y

z
u y
x

u y

u z

u x
z
x
y


（4—13）

3．粘性流体运动微分方程
采用类似于推导理想流体运动微分方程式（4—6）的方
法，取微小平行 六面体，根据牛顿第二定律建立以应力(包括切应
力)表示的运动微分方程式，并以式(4—12)、式(4—13)代人整
理，使得到粘性液体运动微分方程：
 X  1 p    2 u  u x  u u x  u u y  u u z
x
x x
y y
z z
 x
t

u y
u y
u y
u y

2
1 p
Y    y    u y   t  u x  x  u y  y  u z  z

u z
u z
u z
u z
2
1 p
Z




u


u

u

u

z
x x
y y
z z
 z
t
f 
用矢量表示为

2

2
1

 p   u 
2

u
t

（4—14）

 u  u
（4—15）
2
  2  2  2
x
y
z
式中：
——拉普拉斯算子。
自欧拉提出理想流体运动微分方程以来，法国工程师纳维
(Claude.Louis.Marie.Henri. Navier，1785.2.10~1836.8.21，法国力
2
学家、工程师 )、英国数学家斯托克斯(Stokes 1819~1903 )等人
经过近百年的研究，最终完成现在形式的粘性流体运动微分方
程，又称为纳维—斯托克斯方程(简写为N—S方程)。
N—S方程表示作用在单位质量流体上的质量力、表面力
(压力和粘性力) 的相平衡。由N—S方程式和连续性微分方程式
组成的基本方程组，原则上可以求解速度场和压强场p,可以说
粘性流体的运动分析，归结为对N—S方程的研究。
[例4—1] 理想流体速度场为 u x  ay , u y  bx , u z  0 , a , b
为常数。试求：（1）流动是否可能实现；（2）流线方程；
（3）等压面方程(质量力忽略不计)
[解] (1)由连续性微分方程  u x   u y   u z  0
x
y
满足连续性条件，流动是可能实现的。
dx
dy
(2)由流线方程

得：
ux
uy
dx
dy
ay

bx
bxdx  aydy
z
积分得流线方程
bx  ay  c
a,b同号，流线是双曲线a,b异号,流线是圆。
(3)由欧拉运动微分方程式，不计质量力：
u x
 1 p
    x  u y  y  abx


u y
 1 p

 ux
 aby
   y
x
2
2
将方程组化为全微分形式: 

1 p
p
(
dx 
dy )  ab ( xdx  ydy )
 x
y
1

dp  ab ( xdx  ydy )
积分，得
x  y
2
p    ab
2
令p=常数 即得等压面方程
x y c
2
2
等压面是以坐标原点为中心的圆。
2
 c'
第二节
元流的伯努利方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分
理想流体运动微分方程式是非线性偏微分方程组，只有特定
条件下的积分，其中最为著名的是伯努利(Daniel Bernoull，
1700～1782，瑞士科学家)积分。
 X  1 p  u u x  u u y  u u z
x x
y y
z z
 x

u y
u y
u y

1 p
Y    y  u x  x  u y  y  u z  z

u z
u z
u z
1 p
Z


u

u

u

x x
y y
z z
 z

（4—16）
由理想流体运动微分方程式
 X 


Y 

Z 


p
1

1

1


x
p
y
（4—17）
y
dt

z
x
dt
du

p
du
du
z
dt
各式分别乘以沿流线的坐标增量dx，dy，dz，然后相加，得：
( Xdx  Ydy  Zdz ) 
1


p
dx 
x
p
y
dy 
p
z
dz


du
dt
x
dx 
du
dt
y
dy 
du
dt
z
dz
（4—18 ）
1.引人限定条件：
①．作用在流体上的质量力只有重力：X=Y=0,Z=-g;
( Xdx  Ydy  Zdz )   gdz
②.不可压缩，恒定流：  C ,
1


p
x
dx 
p
y
dy 
p
z

dz 
1

dp  d
 
p

p  p x, y, z 
（4—19）
（4—20）
③.恒定流流线与迹线重合：dx=uxdt，dy=uydt，
dz=uzdt
则
 u x2  u y2  u z2
dx 
dy 
dz  d 

dt
dt
dt
2

du x
du y
du z




（4—21）
将式（4—19） （4—20） （4—21）带入式（4—18）

dx 
x
p
积分得：
 gz 
p
即:
z
或:
p1
( Xdx  Ydy  Zdz ) 
1

z1 
p

p


y
g

2
u1
2g

p
du y
du x
du z
dz

dx 
dy 
dz
z
dt
dt
dt
2
u
（4—22）
 2 C
dy 
2
u
2g
（4—23）
C
 z2 
p2

2

u2
2g
（4—24）
上述理想流体运动微分方程沿流线的积分称为伯努利积分，所得式
称为伯努利方程，以纪念在理想流体运动微分方程建立之前，1738年
瑞士物理学家和数学家伯努利根据动能原理提出式，用于计算流动向
题的著名方程 。
由于元流的过流断面积无限小，所以沿流线的伯努利方程就是元
流的伯努利方程。推导该方程引入的限定条件，就是理想流体元流伯
努利方程的应用条件，归纳起来有：理想流体；恒定流动；质量力中
只有重力；沿元流(流线)；不可压缩流体。
1.物理意义式
p
u
p
z

(4—23)中的前两项 z ,  g 、
和
的物理意义，
g
2g
在第二章第三节中已说明，分别是单位重量流体具有的比位能压能或
比势能；单位重量流体具有的动能。
2
2
三项之和 z 
是单位重量流体具

g
2g
有的机械能，式(4—23)则表示理想流体的
恒定流动，沿同一无流(沿同一流线)。单
位重量流体的机械能守恒。伯努利方程又
称为能量方程。
2.流体意义
p
u
式(4—23)各项的流体力学意义为：z是位
置水头，
p
g
压强水头；两项之和 Hp
u
2
 z 
是测压管水头，2 g是流速水头，能够直接
p
图4—2水头线
g
量测，量测原理在随后的例题中说明。三项之和
H  z 
p
g

u
2
2g
称为总水头．式(4—23)则表示理想流体的恒定流动，沿同一元流
(沿同一流线)各断面的总水头相等．理想流体的水头线是水平线
(图4—2)。
3.几何意义
式(4—23)各项的几何意义是不同的几何高度：z
p
是位置高度，  测压管高度。总结如下：
项目
z
p

z
p

2
u
2g
z 
p


2
u
2g
物理意义 单位位能 单位压能
单位势能
单位动能
单位总能量
或比位能 或比压能
或比势能
或比动能
总比能
几何意义 位置高度 测压管高度 势能高度
流体意义 位置水头 压强水头
测压管水头
流速水头
总水头
式中o点的压强水头，由另—根测压管量测，
于是测速管和测压管中液面的高度差,就是A
点的流速水头，该点的流速：
u 
2g
p ' p

2 gh 0
（4—27）
根据上述原理，将测速管和测风管组合
成测量点流速的仪器，图4—4所示，与迎流
孔(测速孔)相通的是测速管，与侧面顺流孔
（测压孔或环形窄缝）相通的是测压管。考
虑到粘性流体从迎流孔至顺流孔存在粘性效
应，以及皮托管队员流场的干扰等影响，引
用修正系数C：
u  C
g
2g
p ' p
g
 C
2 gh 0
图4—4 毕托管构造
录像
式中C是修正系数．数值接近于1.0，由实验测定。
【例4-3】 有一贮水装置如图（4-5）所示，水池足够大，当阀
门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管
中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm
时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。
【解】 当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程
H 
pa
g
 0  0 
p a  0 .6 p a
g
2

V2
2g
当阀门关闭时，根据压强计的读数，
应用流体静力学基本方程
p a   gH  p a  2 . 8 p a ，
求出Ｈ值：
H 
2 .8 p a
g

2 . 8  98060
9806
 28  mH 2 O 
图4—5
所以管内流量：
V2 
qV 
0 .6 p a

2 g  H 
g


4

 

0 . 6  98060 

2  9 . 806   2 . 8 
  20 . 78  m / s 
9806



d V 2  0 . 785  20 . 78  0 . 235 m
2
3
/s

三、粘性流体元流的伯努利方程
实际流体具有粘性，运动时产生流动阻力，克服阻力作功，使流
体的一部分机械能不可逆地转化为热能而散失。因此，粘性流体流
动时，单位重量流体具有的机械能沿程减少，总水头线是沿程下降。
自19世纪30年代以来，人们从大量经验事实中，总结出一个重
要结论。能量可以从一种形式转换成另一种形式，既不能创造、也
不能消灭，总能量是恒定的，这就是能量守恒原理。
因此，设为粘性流体元流单位重量流体由过流断面1—1运动至
过流断面2—2的机械能损失，称为元流的水头损失，根据能量守恒
原理，便可得到粘性流体元流的伯努利方程
z1 
p1


2
u1
2g
 z2 
p2


2
u2
2g
水头损失 h w ' 也具有长度的量纲。
 hw '
第三节
总流的伯努利方程
上一节的最后得到了粘性液体元流的伯努利方程式(4—29)，为
了解决实际问题，还需要将其推广到总流中去。
一、渐变流及其性质
在推导总流的伯努利方程之前，做为方程的导出条件，将流动
区分为渐变流和急变流。凡质点的迁移加速度(位变加速度)很小，的
流动，或者说流线近于平行直线的流动定义为渐变流，否则是急变
流(图3—35)。显然，渐变流是均匀流的宽延，所以均匀流的性质，
对于渐变流都近似成立，主要是：
1．渐变流的过流断面近于平面。面上各点的速度方向近于平行；
2．恒定渐变流过流断面上的动压强
按静压强的规律分布，即：
p
z    c （4—30）
由定义可知，渐变流没有准确的界定
标准，流动是否按均匀流处理，所得结果
能否满足以工程要求的精度而定。
二、总流的伯努利方程
图4—7急变流和渐变流
设恒定总流，过流断面1—1、2—2为渐变流断面，面积为
A1,A2(图4—8)。在总流内任取元流，过流断面的微元面积、位置高
度、压强及流速分别为dA1,z1,p1,u1; dA2,z2,p2,u2 。
由元流的伯努利方程：
z1 
p1


2
u1
2g
 z2 
p2


2
u2
2g
 hw '
以乘上式即是单位时间通过元流两过流断面的能量关系
z
1


p1

2
u1
2g
 dQ  z
2

p2

2

u2
2g
 dQ
 h w '  dQ
（4—31）
总流是由无数元流构成的，上式对总流过流断面积分．便得
到单位时间通过总流两过流断面的总能量关系
 z
A1
1

p1

 u dA  
1
1
2
u1
2g

 u 1 dA 1  z 2 
p2

 u
dA 2  
2
A2
A2
A1
分别确定三种类型的积分
 z   udA
①．第一类积分： 
p

A
因所取过流断面是渐变流断面
z
p

c
2
u2
2g
 u 2 dA 2  h w  aQ（4—32）
'
Q
 z   udA

p

A
②．第二类积分：
2
u
2g


 z 

p 
 Q
 

(4—33)
 udA
A
各点的速度不同，引入校正系数，积分按断面平均速度v计算：
2
(4—34)
u
v
u
3

dA

Q
u
 2 g  udA   2 g
2g
3
2
A
A
 ——流速分布不均匀动能校正系数，


 2 g  dA
A

3
v
2g
 dA


3
u dA
A
3
v A
式中  是为校正以断面平均速度计算的动能与实际功能的差异而
A
引入的校正系数，值取决于过流断面上的流速分布情况，分布均
匀的流动。  1 . 05 ~ 1 . 10 通常取   1
③第三类积分： 
h w  dQ
'
Q
积分式  h w  dQ 单位时间总流由1—1至2—2的械能损失。现在定
'
Q
义 h w '为总流单位重量流体由1—1至2—2断面的平均机械能损失，称
总流的水头损失
'
h
 w  dQ  h w  Q
(4—34)
Q
将(4—32)、(4—33)、(4—34)代人式(4—31)
2
p2 
p1 


 v1
 z 1 
  Q
 Q 
Q   z 2 

 


2g

 v 22
2g
 Q  h w Q
(4—35)
两断面间无分流及汇流，Q1＝Q2＝Q，并以  gQ 2 除上式，得
z
1

p1


2
u1
2g
 dQ  z
2

p2


2
u2
2g
 dQ
 hw
（4—36）
2. 伯努利方程的适用条件
式(4—37)即粘性流体总流的伯努利方程。将元流的伯努
利方程推广为总流的伯努利方程，引入了某些限制条件，
也就是总流伯努利方程的适用条件包括：
⑴.不可压缩流体恒定流；
⑵.质量力只有重力；
⑶不可压缩流体(以上引自粘性流体元流的伯努利方程)；
⑷.所取过流断面为渐变流断面；
⑸.两断面间无分流和汇流；
⑹.两断面间无能量的输入或支出；
⑺.不存在相对运动。
3. 伯努利方程的方法步骤
式(4—36)是能量守恒原理的总流表达式。下面举例说明伯努利
方程的应用
⑴.断面选择 通常选择未知量所在的断面和已知量最多的断面，它们
都必须是渐 变流断面；
⑵.代表点选择 无压流一般选择自由液面，有压流一般选在管道中心；
⑶.位置基准面选择 习惯选择在过各代表点最低者的水平面。位置准
面选择对结果无影响；
⑷.压强基准面选择 液体一般选取相对压强；气体一般选取绝对压强。
压强准面选择对结果无影响；
⑸.列伯努利方程 对于初学者，应该分项列出，哪怕是零，也应该写
出。但一般只用符号代替，而不代入具体数值，以
便推导出未知量的计算公式；
⑹.解伯努利方程 求解出题目中所要求的未知量；
⑺.给出答案 给出正确的答案
[例4—3] 用直径d＝100mm的水管从水箱引水(图4—9)。水箱水面
与管道出口断面中心的高差H＝4m保持恒定，水头损失 h w ＝3m
水柱。试求管道的流量。
图4—9管道出流
[解] 这是一道简单的总流问题，应用伯努利方程：
z1 
p1


2
v1
2g
 z2 
p2


2
v2
2g
 hw
求解的关键是“三选”：选基准面、计算断面和计算点。为
便于计算，选通过管道出口断面中心的水平面为基准面0—0((图
4—9)。计算断面应选在渐变流断面，并使其中一个已知量最多，
另一个含待求量。技以上原则本题选水箱水面为1—1断面，计算
点在自由水面上、运动参数z1=H,p1=0 (相对压强), v1=0 。选管道
出口断面为2—2断面，以出H断面的中心运动参数z2=0,p2=0, v2待
求。将各量代人总流伯努利方程：
H 
v2 
录像1
 v 22
2g
 hw
取 
2
 1 . 0 得：
2 g ( H  h w )  4 . 43 m / s
录像2
录像3
四、总流伯努利方程应用的修正
伯努利方程是古典水动力学应用最广的基本方程。应用伯努
利方程要重视方程的应用条件，切忌不顾应用条件，随意套用公
式，要对实际问题做具体分析，灵活运用。下面结合三种情况加
以讨论。
1.气体的伯努利方程
总流的伯努利方程式(4—36)是对不可
压缩流体导出的，气体是可压缩流体，但
是对流速不很大(＜60m／s)，压强变化不
大的统，如工业通风管道、烟道等，气流
在运动过程中密度的变化很小，在这样的
图4—10恒定气流
条件下，伯努利方程仍可用于气流。由于
气流的密度同外部空气的密度是相同的数量级，在用相对压强进
行计算时，需要考虑外部大气压在不同高度的差值。
设恒定气流(图4—10)、气流的密度为  外部空气的密度
为  a ，过流断面上计算点的绝对压强 P 1 abs , P 2 abs 。
列1—1和2—2断面的伯努利方程式：
z1 
p1


2
v1
 z2 
2g
p2


2
v2
2g
 hw
1   2  1
（4—38）
进行气流计算，通常把上式表示为压强的形式
 v1
 z 1  p 1 abs 
2
v 2
2
2
  z 2  p 2 abs 
2
 pw
（4—39）
p w   gh w
式中pw为压强损失
将式(4—39)中的压强用相对压强p1,p2表示，则：
（4—40）
p 1 abs  p 1  p a
（4—41）
p 2 abs  p 2  p a   a  z 2  z 1 
式中 p a 为 z 处的大气压，p a   a  z 2  z 1 为高程
压，代人式(4—37)，整理得：
2

v
2
v
p 1  2   a    z 2  z 1   p 2  2  p w
1
2
1
z
2
（4—42）
处的大
（4—43）
 v 12
 v 22
这里p 1 , p 2 称为静压； 2 , 2 称为动压。
  a    g 为单位体积气体所受有效浮力，  z 2  z 1  为气体沿
浮力方向升高的距离，乘积   a   g  z 2  z 1  为1—1断面相对于2—2
断面单位体积气体的位能，称为位压。
式（4—42）就是以相对压强计算的气流伯努利方程。
当气流的密度和外界空气的密度相同    a ，或两计算点的高
度相同 z 1  z 2 时，位压为零，式（4—42）化简为：
p1 
 v12
2

式中静压与动压之和称为全压
p2 
v2
2
2
 pw
（4—44）
。
当气流的密度远大于外界空气的密度(    a )，此时相当
于液体总流，式(4—43)中  a 可忽略不计，认为各点的当地大气
压相同，式(4—43)化简为：
p1 
 v1
2
2
   z 2  z1   p 2 
除以  g ，即
z1 
 v1
2
p1


2g

z2 
p2


v2
2
2g
 pw
 v 22
2g
 hw
（4—45）
（4—46）
由此可见，对于液体总流来说，压强 p 1, p 2 不论是绝对压强，
还是相对压强，伯努利方程的形式不变。
2.有能量输入或输出
总流伯努利方程式(4—37)是在两过流断面问除水头损失之外，
在无能量输入或输出的条件下导出的。当面过流断面间有水泵、
风机(图4—11)或水轮机(图4—12)等流体机械时，存在能量的输入
或输出。
此种情况，根据能量守恒原理，计入单位重量流体经流体机
械获得或失去的机械能，
式(4—29)便扩展为有能量输入或输出的伯努利方程式：
z1 
p1

v2
2

2
 1 v1
2g
 H  z2 
p2


2
 hw
（4—47）
式中：+H——表示单位重量流体通过流体机械(如水泵)获得的机械
能，对于水泵称为水泵的扬程；
-H ——表示单位重量流体给流体机械(如水轮机)的机械
能，又称为水轮机的设计水头。
图4—11有能量输入的总流
图4—12有能量输出的总流
3.两断面间有分流或汇流
总流的伯努利方程式(4—36)，是
在两过流断面间无分流和汇流的条件下
导出的。而实际的供水供气管道沿程多
有分流和汇流．这种情况式(4—36)是否
还能用呢?对于两断面间有分流的流动
(图4—13)，设想1—1断面的来流，分为
两股(以虚线划分)分别通过2—2、3—3
断面。
对 1' 1' (1—1断面中的一部分)和2—2
断面列伯努利方程，其间无分流：
z1 '
p1 '
g

2
v1
2g
 z2 
p2
g
2

v2
2g
 h w 1 '  2 （4—48）
图4—13沿程分流
因所取1—1断面为渐变流断面。面上各点的势能相等，则：
P'
P1
（4—49）
Z 1'
 Z1 
g
g
如1—1断面流速分布较为均匀，
'2
v1
2
v1

2g
Z 1'
故
Z1
'2
P1 '

g
p1
g
v1
 Z1
2g

v
P1
g
2
则：
2g
（4—50）
2

v1
2g
（4—51）
2
1
 Z2
2g
P
2
g

v2
 h w1  2
2g
近似成立。同理可得：
Z1
P1
g
2

v1
2g
 Z3
P3
g
2

v3
 h w1  3
（4—52）
2g
由以上分析，对于实际I程中沿程分流的总流，当所取过流断面为渐
变流断面，断面上流速分布较为均匀，并计人相应断面之间的水头
损失。
第四节
总流的动量方程
总流的动量方程是继连续性方程式、伯努利方程式(4—36)之
后的第三个积分形式基本方程，它们在流体力学及水力学中习惯
地被称为三大方程，下面由动量原理，推导总流的动量方程。
一、总流的动量方程
设恒定总流，取过流断面Ⅰ－Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ为渐变流断面，面
积为以过流断面及总流的例表面围成的空间为控制体(图3—14)。
控制体内的流体，经dt时间，由Ⅰ—Ⅱ运动到Ⅰ—Ⅱ位置。
在流过控制体的总流内，任取元流1—2,断面面积dA1,dA2，点
流速为 u 1, u 2 ，dt时间，元流动量的增量
d K  K 1  2  K 1 2 K 1  2  K 2  2 t  dt  K 1 1  K 1  2  （4—53）
'
dK  K
22
'
'

'
'

 K 1  1 '  K 1  2  K 2  2
'
'
'
  K
1 1
'
 K 1'  2
'

（4—54）
dt时间，总流动量的增量，因为过流断面为渐变流断面，各点的
流速平行，按平行矢量和的法则，定义 i 2 为 u 2
本单位向量，i 1 为 u 1 方向的基本单位向量
 dK




    2 u 2 dtdA 2 u 2  i 2     1 u 1 dtdA 1 u 1  i 1




 A1

 A2

方向的基
（4—55）
对于不可压缩液体  1   2   ，并引入校正系数，以断面
平均流速v代替点流速  积分得：


d K   dt  2 v 2 A 2 v 2   dt  v A v 1   dtQ  v   v
1 1 1
2 2
1 1

 F dt

（4—56）
式中  是为校正以断面平均速度计算的动量与实际动量的
差异而引入的校正系数，称为流速分布不均匀动量校正系数：
 u dA
（4—57）
2


A
v
2
A
 值取决于过流断面上的速度分布，速度分布较均匀的流
动， ＝1.02～1. 05，通常取 ＝1.0
由动量原理，质点系动员的增量等于作用于该质点系上的外
力的冲量：
(4—58)
 F dt   dtQ  2 v 2   1 v 1  F   Q  2 v 2   1 v 1
投影式：
  F x   Q   2 v 2 x   1 v1 x 



  F y   Q  2 v 2 y   1 v 1 y 

  F z   Q   2 v 2 z   1 v 1 z 


(4—59)
录像
式(4—58)、式(4—59)就是恒定总流的动量方程。方程表
明，作用于控制体内流体上的外力，等于单位时间控制体流出动
量与流人动量之差。综合推导式(4—47)规定的条件，总流动量方
程的应用条件有：恒定流；过流断面为渐变流断面，不可压缩流
体。
二、动量方程应用举例
【例3—9】 水平放置在混凝土支座上的变直径弯管，弯管两
端与等直径管相连接处的断面1—1上压力表读数
p1=17.6×104Pa ，管中流量qv=0.1m3/s，若直径d1=300㎜，
d2=200㎜，转角=60°，如图4—14所示。求水对弯管作用力F的
大小。
【解】 水流经弯管，动量
发生变化，必然产生作用力F。而
F与管壁对水的反作用力R平衡。
管道水平放置在xoy面上，将R分
解成Rx和Ry两个分力。
取管道进、出两个截面和管内壁
图4—14
为控制面，如图所示，坐标按图示方向设置。
⑴.根据连续性方程可求得：
v1 
v2 
qv


2
d1
4
qv

4

2
d2
0 .1  4
  0 .3
0 .1  4
  0 .2
 1 . 42  m / s 
2
2
 3 . 18  m / s 
p1
⑵.列管道进出口的伯努利方程
p 2  p 1   v1  v 2
2
2
 2  17 .6  10
g
2

v1
2g

p2
g
2

v2
2g
 1000  1 . 42  3 . 18
3
2
，则：
2
 2  17 .2  10 3  Pa 
⑶.所取控制体受力分析，进、出口控制面上得总压力：
P1  p 1 A1  17 . 6  10
P2  p 2 A 2  17 . 6  10
3


 0 .3
2
 12 . 43 （kN）
4
3


4
 0 .2
2
 5 . 40 （kN）
壁面对控制体内水的反力Rx、Ry，其方向先假定如图(4—14)所示。
⑷.写出动量方程
选定坐标系后，凡是作用力（包括其分力）与坐标轴方向一
致的，在方程中取正值；反之，为负值。
沿x轴方向

P1 cos   P2  R x   q V v 2  v 1 cos 



R x   q V v 2  v 1 cos   P2  P1 cos 
 0 .1  3 . 18  1 .42 cos 60

  5 .40  12 .43 cos 60

  0 .568 (KN)
沿y轴方向
P1 sin   R x   q V 0  v 1 sin 

R y  P1 sin    q V v 1 sin 
 12 . 43 sin 60  0 . 1  1 . 42 sin 60


 10 . 88
(KN)
管壁对水的反作用力
R 
R
2
X
 R
2
Y

  0 . 568 
2
 10 . 88
2
 10 . 89
(KN)
水流对弯管的作用力F与R大小相等，方向相反。总流动量方
程是动量原理的总流表达式，方程给出了总流动量变化与作用力
之间的关系。根据这一特点，求总流与边界面之间的相互作用力
问题，以及因水头损失难以确定．运用伯努利方程受到限制的问
题，适于用动量方程求解。
三、动量矩方程
上面对动量定理的推导过程中所用之方法、步骤，对动量矩
定理也完全适用，而所得结果与动量定理完全相似，只要在以上
的相应式个，将动量换成动量短就成为动量矩定理；这里不作重
复的推演。
恒定流动的动量矩定理为：
  r  V V
Ao u
n
dA 
  r  V V
n
dA 
 r
i
 Fi 
A IN
上式表明，在流出面上的流出动
量矩与流入面上的流入动量矩之差等
于外力矩之和。
常见的流体机械中，离心式水
泵、风机都是将其机械能转换为流体
的动能和压能的。水轮机则是利用流
体的动能使叶片机械转动向外输出功
率，其工作原理都是相同的。
图4—15表示水轮机叶轮的两个
叶片所形成的槽道，流体自叶轮外径
r 1 的圆周面流入槽道， 经叶轮
内径的 r 2 圆周面流出槽道，进入
叶轮中心区域的导管沿轴向流出；叶
轮叶片就是在流体流动时获得力矩而
转动向外作功的。
图4—15
(4—60)
假定叶片数目足够多，则叶片间的槽道可近似为一元流动，
各截面上的速度是均匀的。还假定叶轮作等角速  的旋转，
则叶轮个流场虽为不定常，但叶轮中的总体动量矩不随时间变化，
可适用定常的动量矩公式，下面我们来导出水轮机(也称涡轮机)
的动量矩公式。
先选取控制面：半径的 r 1 进口圆周团和半径 r 2 的出口圆周
团之间的流体表面，其中包括各叶片与流体的接触面；
现在分析控制面上的运动情况及受力情况。设流体以相对速
度 v r 经半径 r1 的圆周团流入叶片槽道，由于半径r1 的圆周
速度即牵连速度 V e 1  r1 ，则流体流入槽道的绝对速度为
(4—61)
V 1  V r 1  V e1
设绝对速度为 V 1 与圆周切向夹角为  1 ．则其径向分量 Vn 1
和周向分量 Vt 1 的大小分别为：
Vn 1  V 1 sin  1
(4—62)
V t 1＝ V 1 cos  1
(4—63)
同理，流体在流出半径 r 2 圆周面上的相对速度 Vr 2 ，牵连速
度 V e 2  r 2 ，则绝对速度为
(4—64)
V 2  Vr2  Ve2
设绝对速度为 V 2 与圆周切向夹角为  2 ，则其径向分量 Vn 2
和周向分量 Vt 2 的大小分别为：
Vn 2  V 2 sin  2
(4—65)
(4—66)
V t 2＝ V 2 cos  2
2
在流量为Q的情况下，流出控制面的动量矩为其切向动量  QV t与半
径 r 2 的乘积，即：
 QV t 2  r 2   QV 2 r 2 cos  2
(4—67)
同理，流入控制团的动量矩为其切向动量与半径之乘积，即 ：
(4—68)
 QV t 1  r 1   QV 1 r 1 cos  1
假定无粘性力作用，则控制面中的两圆周面上的压力合力不
产生力矩，只有叶片对流体的作用力矩。
则根据动量矩定理，(4—64)式减(4—65)式等于外力矩：
M '0   Q V 2 r 2 cos  2  V 1 r 1 cos  1    Q Vt 2 r 2  Vt 1 r 1 
(4—69)
根据作用反作用原理，叶片上获得流体所给的作用力矩力
（4—70）
M 0   Q V 1 r 1 cos  1  V 2 r 2 cos  2    Q Vt 1 r 1  Vt 2 r 2 
这就是欧拉涡轮方程式，是涡轮机械的基本方程式。叶轮所获得
的功率为
p  M 0   Q V 1Ve 1 cos  1  V 1Ve 2 cos  2    Q Vt 1Ve 1  Vt 2Ve 2  （4—71）
当流出叶片槽道的绝对速度 V 2 的方向取半径方向，即   90 时，
则叶轮获得的力矩公式变为
M 0   QV 1 r 1 cos  1   QV t 1 r 1
（4—72）
相应地，叶轮所获得的功率公式为
P   QV 1V e1 cos  1   QV t 1V e1
（4—73）

第五节
理想流体的无旋流动
在第三章中，在微团运动分析的基础上，见流体的运动分为有旋流动和无旋
流动。理论研究证明只有不可压缩理想流体，运动初始无旋。严格地说，粘性流
体的运动都是有旋流动，但在实际流动中，多有粘性的影响很小，从静止转入流
动（初始无旋）的情况，诸如通风车间，用吸风装置抽气，工作区内形成的气流;
水库中的静水，因闸门开启形成的闸孔出流或堰流；以及空气或水绕物体流动
时，在边界层外面，广阔区域的流动等，都可视为无旋流动。
一、势函数：
根据曲线积分定理，无旋流的条件式（5—50）是表达式 u x d x  u y d y  u z d z
成为某一函数的全微分的必要和充分条件
（4—74）
d   u x dx  u y dy  u z dz
d 
得：u
x


x

x
，u
dx 
y


y

y
dy 
，
u  grad 

z
（4—75）
dz
uz 

z
（ 4—76）
函数 ( x , y , z ) 仿照应力场势函数，静电场势函数的定义，称为
速度势函数。由此得出，无旋流是有速势的流动，简称势流;
反之，有速势的流动是无旋流，两者含义相同。
将式（4-37）不可压缩流体连续性微分方程 ：
u x
x
 
2
2
x


即：
   0
式中 
2
u y
y
 
2
y
2
u z


z
 
2
z
 0
2
2


2
x
2

（4—78）
（4—79）

2
y
2


2
z
2
——拉普拉斯算子
式（4—78）是著名的拉普拉斯方程，满足拉普拉斯方程的函
数是调和函数。所以，调和函数的一切性质，也是速度势函数
拥有的性质。
由以上分析可知，不可压缩流体无旋流动的问题，归结为在
给定的边界条件下，求解拉普拉斯方程，一旦求得速度势  ，
就可由式（4—76）求得流速u ( u x , u y , u z )，解得压强，问题得
到解决。
二、流函数
u y
u x
对于平面运动，有连续性微分方程  x   y  0 ，移项得
u y
u x
   y 根据曲线积分定理，前式是表达式u x dy  u y dx
x
成为某一函数   x , y  的全微分的必要和充分条件
d   u x dy  u y dx
（4—80）
比较
得
d 
ux 

x

x
dx 

y
dy
uy  
（4—81）

y
（4—82）
函数  x , y  称为流函数。由流函数的引出条件可知，凡是不可
压缩流体的平面的流动，连续性微分方程成立，不论无旋流动
或有旋流动，都存在流函数，而只有无旋流动才有流速势，可
见流函数比流速势更具有普遍意义。
1.流函数具有以下性质：
①．流函数的等值线是流线
证明： 流函数值相等  c , d   0 ，由式得流函数等值线方
程 u x dy  u y dx  0 则
dx
ux

dy
uy
上式即平面流动的流线方程，故
流函数的等值线是流线，给流线以不同值，便得到族流线给流
函数以不同值，便得到流线族。
②.两条流线的流函数的差值，等于通过该两流线间的单
宽流量：


dq  u n dl  u x cos  n , x   u y cos  n , y  dl

 u x dy  u y dx  u x
 dq
dl
 u y 
dx
dl
dl
 d
2
q2
q 
dy

 d

 1
（4—83）
这一性质也可表述为：平面流动中，通过任一曲线的单宽
流量，等于该曲线两端流函数的差值。
③.平面无旋流动的等流函数线（流线）与等势线正交。
证明：对于平面无旋流动，同时存
在流速势函数和流函数，由等流函数线方程
d   u x dy  u y dx  0
某一点的斜率
uy
dy
q1
1
m1 
由等势线方程
2

dx
ux
d   u x dx  u y dy  0
图4—16流函数
同一点等势线斜率
m2 
dy
 
uy
m1m 2
uy  ux 

  1

u x  u y 
（4—84）
等流函数线与等势线正交，故等势线也就是过流断面线。
④.平面无旋流动，流函数是调和函数。
证明：因为平面无旋流动
dx
ux
z
则
得
u x
1  u y
 

2  x
y
u y
x
ux 
u x

y

y
 
2
带入上式，得
x
2
 0
,u y  


  0


 
2
y
2

x
 0
（4—85）
即： 2  0
平面无旋流动的流函数满足拉普拉斯方程，是调和函数。
2
2


2
式中    x 2   y 2
——拉朴拉斯算子



x
y 



 
 
y
x 


（4—86）
式即柯西—黎曼条件。满足拉普拉斯方程和柯西—黎曼条
件，是一对共轭调和函数。
录像
三、几种常见的基本平面势流：
拉普拉斯方程在复杂的边界条件下，虽然难以求解，一
些简单的平面势流，其流速势和流函数却不难求得。研究这些
简单的平面势流的意义在于通过简单势流的叠加，往往能组合
成符合某些给定边界条件的复杂流场。
1．均匀直线流
均匀直线流是流场中各点速度大小相等，方向相同的流动，是
一种最简单的平面势。速度场 u x  a
速度势    u x dx  u y dy  ax  by
 
u
x
dy  u y dx  ay  bx
，u
y
 b ;
（4—87）
（4—88）
若均匀直线流流速平行于轴
u y  0 ,   ax ,  ay（4—89）
若均匀直线流流速平行于轴
（4—90）
u x  0 ,   by ,   bx
图4—17均匀直线流
2．源流
如图4—18所示，在平面势流中，源流就是流体从潭点均匀地向各个
方向出流的流动。组成这种流型的线，就是源点所在平面势流中i面
上，从源点0出发的一族射线。
速度场
q
u r  2r
u  0
速度    u r dr  u  rd  

流函数    u r rd   u  dr 

q
2r
dr 
qr
2r
q
2
d 
ln r
q
2

等势线方程   c , r  c
等势线是以o点为圆心的同心圆。
图4—18平面源流
流线方程  c ,   c ，流线是由o点引出的射线以直角坐标
系表示。
 x, y  
q
ln
2
 x, y  
q
2
x
tg
2
 y
1 y
x
2
（4—91）
（4—92）
3．汇流
流体从四周沿经向均匀的流入的流动称之为汇流。流入汇
点单位厚度流量称为汇流强度-q。汇流的速度势和流函数的表
达式与源流的相同，符号相反。
q
   2  ln r
  
q
2

以直角坐标系表示：
 x, y   
q
2
 x, y   
ln
x
q
tg
2
2
 y
1 y
x
（4—93）
2
（4—94）
图4—19平面汇流
4.旋流
流体绕固定点逆时针作圆周运动，且速度与圆周半径成反比的
流动称之为旋流。把坐标原点置于旋流中心，则：

u

r
u

0
速度场
r

2
式中 为不随半径变化的常数，称为旋流强度，  0 。
  2 
速度势
流函数
  2 ln r
等势线方程   c ,   c 等势线是由o点引出的射线。
流线方程   c ,   c 流线是以o点为圆心的同心圆。
以直角坐标系表示：
 x, y  

2
 x, y  
ln arctan

2
y
（4—95）
x
ln
x  y
2
2
（4—96）
5.涡流
流体绕固定点顺时针作圆周运动，且速度与圆周半径成反比的
流动称之为涡流。把坐标原点置于涡流中心，则：
速度场 u r  0 u   2 r
式中 为不随半径变化的常数，称为环流强度，  0 。
  2 
速度势
流函数    2 ln r
等势线方程   c , r  c 等势线是以o点引出的射线。
流线方程   c ,   c 流线是由o点为圆心的同心圆。
以直角坐标系表示：
 x, y  

2
 x, y   
y
ln arctan
x

2
ln
x
2
 y
2
（4—97 ）
（4—98）
四、势流叠加原理
因为描述平面无旋流动的拉普拉斯方程是线性方程，几
个平面无旋流动的流速势与流函数相叠加，得到新的流速势和
流函数，仍满足拉普拉斯方程和柯西—黎曼条件，由此得到新
的平面无旋流动。
证明1：设两个基本平面势流，速度势函数和流函数分别是
 1, 1,  2 , 2 满足：
2
2
 2
 2
 
 
 
 
 
 

 0
 2  0

 0

 0

2
x
y
2
2
2
1
x
2
y
 1
2
则： x
2

 1
2
y
2
2
2
2
1
2

 2
2
x

2
2
2
2
 2
2
y
2
x
 
2

x
2
 
 
同理：
2
；得： x 2 
 
2
x
2

 
2
y
2
y
 0
 1 
2
y
2
2
1
2
 1

1
2
令   1   2
2
1
2
y
x
2
 
2

 0
x
2
2

 
2
y
2
2
y
 0 （4—99）
（4—100）
（4—101）
（4—102）
2．证明2：
由柯西—黎曼条件
 1
x
则

 1
x
得
 1
 1
y
y

 2
x

x
 1


x
x
 2
1
y
y


 2
 2
y
y
 2
y
 (
y
ux 


y
 1
x

 

x
2
 2
x
)
（4—103）
y

uy 

y
 2

同理
速度场
 
 1
x

 


 1
x
 1
y
（4—104）
x


 2
y
 2
x
 u x1  u x 2
 u y1  u y 2
（4—105）
（4—106）
3．均匀直线流与源的叠加：
下面讨论均匀直线流与源的叠加。设无穷远处均匀直线速
度 U 0 ，平行于 x 轴，为简便其间，把点源放在坐标原点。
已知：均匀直线流的速度势和流函数，
 1  U 0 x  U 0 r cos  ；  1  U 0 y  U 0 r sin 
源流的速度势和流函数
q
 2  2  ln r
（4—107）

2

q
2

（4—108）
叠加后的流动
   1   2  U 0 r cos  
 1 
2
 U 0 r sin 

q
2
q
2
ln r

（4—109）
（4—110）

速度场：u r   r  U
驻点坐标：
由 u   0 得  0 或
由 u r  0 得rs 
0
cos  
q
2r
； u 

1 
r 
 U 0 sin 
 
q
；   0 时，rs  0不可能；
cos 
2U 0
故驻点坐标为：  
所以， 
 

q
2
rs 
驻点的流线方程为：
3
，
；
2
2
 
，
r  y 
rs   x s 
q
2  U 0 cos。

U 0 r cos 

q
2
q
4U 0
q
2U 0
  0 , 2  r  ∞,流线以  y 
q
为渐进线。
4U 0
 
q
2
注意到通过驻点的流线在驻点一分为二，见整个流动分为两
个区域：这条流以内是源的流区;以外是均匀来留的流区。如用同
一形状的固体边界代替这条流线，流线图形不会因此而不同。设
想“内区”固化，则这种固体的形状称为半体，半体相当于桥墩，
闸
墩前半部。故均匀直线流和源流的叠加，表示了半体的绕流运
动 ，叠加后的速度势和流函数就是半体套流动的解。