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习题六 1. 判断下列流场是否有旋？并分别求出其流线、计算oxy平面的单
位圆周上的速度环量。 

ex e y
[解] 计算旋度

 


rot V   V
x y
u
v
dx dy dz
计算流线




柱坐标
e
ez
r
1 

uk

  ijk
r r
z
x j
ur
w
dr

 
ur
u
v
w
Γ   u rd   V  e rd
速度环量
r 1

re


ru

ez

z
uz
rd dz

u
uz
r 1

2
0

V
r 1


 ( sin ex  cos e y )d
2
   u sin   v cos  r 1d
0
（1）
u c v w0
（3） u 
cx
x2  y2
（5）
ur 
v
cos 
r2
（2）
cy
x2  y2
u 
u  cy v  cx w  0
w  0 （4）u  
sin 
r2
cy
x2  y2
v
cx
x2  y2
uz  0 （ 柱坐标 ）
（ c 为常数 ）
w  0（ c 为常数 ）
习题六 2. 求下列流场的涡量场及涡线：

[解] 计算涡量
ex



   V 
x
u
dx
dy
dz
计算涡线


x  y z

ey

y
v
柱坐标


er re
1  

r r 
ur ru

ez

uk
  ijk
z
x j
w
dr rd
dz


 r 
z
（1）

  


V  xyzr , r  xe x  ye y  ze z
（ c 为常数 ）
（2）
u  c x2  y 2 v  w  0
（ c 为常数 ）
（3）
u  y  2 z, v  z  2 x, w  x  2 y
（4）
vr  0
v 
r2

Γo
(1-e 4t )
2r

ez

z
uz
vz  0
（ 柱坐标 ）
习题六
3. 已知流体通过漏斗时其柱坐标形式的速度分布为

v  0,

 r

 v r  0,


1
v  r ,
v z  0,
0ra
2
1 a2
v  
,
v z  0,
ra
2
r
（ 柱坐标 ）
试求：该速度场的涡量场，并指出有旋和无旋流动的区域。
[解] 计算涡量
柱坐标


er re
 1  

r r 
ur ru

ez

z
uz



1
r






1

r




er

r
0

er

r
0

re


r 2
2

ez


 e z r
z

re


a 2
2

ez

0
z
(0  r  a )
0
0
(r  a)
习题六
4. 给定柱坐标系下的平面流动
a2
vr  V (1  2 ) cos 
r
试求：沿任一封闭曲线
a2
k
v  V (1  2 ) sin  
r
r
r  a 的速度环量。
[解] 计算环量
Γ 
r a
u rd
a2
k
  [V (1  2 ) sin   ]rd
r a
r
r

02
 2k
(2aV sin   k )d
vz  0
a, k ,V
为常数
习题六 5. 不定常运动速度场
u  u0 (1 
a
求其涡量场


) e
0
 2
d  
[解] 计算涡量


   V
uk
x j
 u
 e z
y
 
a   2
 ez [u0 (1 
)  e d ]
y
 0
  ijk

 e z u0
 a
2 t
y2

e 4t
y
2 t
vw0
习题六
6. 若流体在平面环形区域 R1 < r < R2 中涡旋为一常数，而在环形
区域以外的区域上流体是静止的。设：圆 r =R1 和 r =R2 是流线，而且在流
线 r =R1 上的流体流速为V，在流线 r =R2 上的流体流速趋于零。试证流动
的涡量值为

2 R1V
R12  R22
[证] 按Stokes公式：
ds  ( 
R 
rR
rR
1
2
2

r  R1


)V  dl
  0rd   Vrd
r  R2
2

0
R r  R
VR1d
 2VR1
ds  
1
2
r  R1
( R22

R12 )

2 R1V
R12  R22
R1
R2
习题六
8. 证明以下速度场：
u  ky v  kx w  c  2k 2 ( x 2  y 2 )
（ k c 为常量 ）
所确定的运动中，涡矢量与速度矢量方向相同，并求出涡量与速度间的数量关系。
[证] 按旋度计算式计算涡量场，确定涡量与速度之间的数量关系。



ex e y ez

     w v  u w  v u
 ex (  )  e y (  )  ez (  )
   V 
x y z
y z
z x
x y
u
v
w



 4k 2 y
4k 2 x
 ex (
)  ey (
)  e z 2k
2 c  2k 2 ( x 2  y 2 )
2 c  2k 2 ( x 2  y 2 )
x
2k

u
c  2k 2 ( x 2  y 2 )
y
v

x  y z
2k



u
v
w
c  2k 2 ( x 2  y 2 )
2k
c  2k 2 ( x 2  y 2 )


z
2k

w
c  2k 2 ( x 2  y 2 )
2k
c  2k 2 ( x 2  y 2 )

V
习题六 9. 不可压缩流体在无界流场中有一对方向相反、强度相等为的线
涡，分别置于（ 0, h ）和（ 0, -h ）两点。这时有无穷远速度为的均匀来流
V 恰好使得这两个涡线停滞不动。求其流线方程。
（0, h）
V
线涡 Γ (0, h)
∞
Γ
[解] 点涡 (0, h ) 和 (0, -h )相互感生的速度场使得相应
点涡位置的速度为 -V∞ ，确定Γ 强度，再作叠加。
O
  0   h   t 感生的速度场
-Γ
（0, -h）





(
y

h
)
e

x
e
Γ h 0 2  0 2  12 dt
1
Γh
x
y
V( 0,h ) 
rot 



4
2 x 2  ( y  h) 2
x 2  ( y  h) 2  ( z  t ) 2





Γ
(

2
h
)
e
Γ h ( y  h)ex  xe y  - h
x
 V ex
V(0,h) (0,h)  
Γ h  4hV
2
2
2
2

(

2
h
)
2 x  ( y  h) x0, y  h
线涡 Γ (0,h)   0
  h   t 感生的速度场



( y  h)ex  xe y
V( 0,  h )  Γ h
2 x 2  ( y  h) 2



Γ h ex
 V ex
V( 0,  h ) (0, h)  -
4h
Γ h  4hV
总速度场

VT  V [2h


( y  h)e x  xe y
x  ( y  h)
2
2
 2h


( y  h)e x  xe y
x 2  ( y  h) 2

 ex ]


2h( y  h)
2h( y  h)
VT  V [ 2
 2
 1]ex
2
2
x  ( y  h) x  ( y  h)
 2hV x[

1
1

]
e
y
x 2  ( y  h) 2 x 2  ( y  h) 2

x 4  y 4  4hx 2 y  4h 2 x 2  8h 2 y 2  5h 4 
VT  V
ex
2
2
2
2
[ x  ( y  h) ][ x  ( y  h) ]
流线方程

8h 2 xy
 V 2
e
y
2
2
2
[ x  ( y  h) ][ x  ( y  h) ]
2
x 4  y 4  4hx 2 y  4h 2 x 2  8h 2 y 2  5h 4 8h xy


dx
dy



Γ h 0 2  0 2  12 dt
1
V( 0,h ) 
rot 

4
x 2  ( y  h) 2  ( z  t ) 2


Γh
ez dt

 

4
x 2  ( y  h) 2  ( z  t ) 2

 Γ h 
1

•
(
) ez dt



2
2
2
4
x  ( y  h)  ( z  t )



x
e

(
y

h
)
e

(
z
t
)
e
 Γ h  x
y
z 

•
e dt

2
2
2 32 z


4
[ x  ( y  h) ( z  t ) ]
( y  h)ex  xe y
 Γ h 

•
dt

2
2
2 32


4
[ x  ( y  h)  ( z  t ) ]

 
 Γh
dt

[( y  h)ex  xe y ]
•
 [ x 2  ( y  h) 2  ( z  t ) 2 ]3 2
4
 
 Γh
tz

[(•y  h)ex  xe y ]
2
2
2
2
2
4
[
x

(
y

h
)
]
x

(
y

h
)

(
t

z
)


Γ h ( y  h)e x  xe y

2 x 2  ( y  h) 2
t 
t 