Transcript 离散数学18（几种典型的代数系统6.）

离散数学
武夷学院数学与计算机系教授
张廷枋
18
L/O/G/O
第六章 几种典型的代数系统
6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
1. 分配格
（1）定义：设 L,，
 是由格 L, 
所诱导的代数系统，若对 a, b, c  L 都有
a  b  c  a  b  a  c ,
a  b  c  a  b  a  c
L,  为分配格。
则称
例：
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第六章 几种典型的代数系统
6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
1. 分配格
（2）定理：设 L,  是一个分配格，
那么对于 a, b, c  L ，如果有
a  b  a  c 且 a  b  a  c 成立
则必有 b  c 。
证明：
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第六章 几种典型的代数系统
6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
1. 分配格
（3）每一个链是分配格。
分配格的子格是分配格。
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
2. 模格
（1）定义：设 L,  是一个格，由它
 ，如果对于
所诱导的代数系统为 L,，
a, b, c  L ，当 b  a 时，有
a  b  c  b  a  c
则称
L,  为模格。
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
2. 模格（与模不等式对应的等价定义）
（1）定义：设 L,  是一个格，由它
 ，如果对于
所诱导的代数系统为 L,，
a, b, c  L ，当 a  c 时，有
a  b  c  a  b  c
则称
L,  为模格。
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
2. 模格
（2）定理：分配格是模格。
（但模格不一定是分配格）
证明：
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
3. 有界格
（1）全上界（全下界）定义：
设 L,  是一个格，如果存在元素
a  L 对于 x  L 都有 x  a
（或 x  a ），则称 a 为格 L,  的
全上界（全下界），记为 1（0）。 有时
又称为格的最大元（最小元）。
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
3. 有界格
（2）定理：一个格 L,  若有
全上界（全下界），则是唯一的。
证明：
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
3. 有界格
（3）定义：若格 L,  有全上界
和全下界，则称格 L,  为有界格。
例：
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三、几种特殊格
3. 有界格
（4）定理：设 L,  是一个有
界格，则对 a  L ，必有
a  1  1, a 1  a，
a  0  a , a  0  0.
证明：
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6.6 格与布尔代数
3. 有界格
（4）由上一定理知：
对有界格 L,  ，必有 a  L
a  1  1, a 1  a，
a  0  a , a  0  0.
此说明 0 是运算  的幺元，又是运算 
的零元；1 是运算  的幺元，又是运算 
的零元。
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
3. 有界格
（5）补元的定义：
设格 L,  是有界格，a, b 是 L
中的两个元，若
a  b  1, a  b  0
则称 a 是 b 的补元，或 b 是 a 的
补元，或称 a 和 b 互为补元。
例：
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
3. 有界格
（5）补元的定义：
一般地说，有界格中的元素不一
定有补元，一个元素有补元也不一定
是唯一的。0 和 1 互为补元。
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
4. 有补格
（1）定义：在一个有界格中，如
果每个元素都至少有一个补元素，则
称此格为有补格。
例：
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
4. 有补格
（2）定理：设 L,  是有界格
且是分配格，a  L ，若 a 在 L 中
有补元，则必是唯一的。
证明：
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6.6 格与布尔代数
5. 有补分配格（布尔格）
（1）定义：如果格 L,  既是
有补格又是分配格，则称此格为有补
分配格。
有补分配格又称为布尔格。
例：
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6.6 格与布尔代数
5. 有补分配格（布尔格）
（2）一元代数运算“补”的定义
根据上一定理，有补分配格中每一个元
素有且仅有一个补元，于是，若 L,  是有
补分配格， L,, 是它诱导的代数系统，
则可在 L 中定义一种“补”的一元代数运
算
a a
L
“ a”，对
中的任意一个元素 L，
, 表
L,,,,0,1 诱
示
的补元。这样由有补分配格
导的代数系统可记为
，
0,1
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6.6 格与布尔代数
三、几种特殊格
5. 有补分配格（布尔格）
（3）定理：设 L,,,,0,1 是
有补分配格 L,  诱导的代数系统，
则对 a, b  L 有
a   a ,
a b  a b
a b  a b
证明：
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第六章 几种典型的代数系统
作业：P153, 习题六
6.28、6.29
• 预习：第6章 §6.6.4
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谢谢！
Thank you!
L/O/G/O