Transcript 第五章 格与布尔代数 主要内容 格的定义与性质 格的定义 格的性质 子格、格同态与格的直积 子格 格同态、完备格 格的直积 特殊的格 分配格、有补格、布尔格 第一节 格的定义与性质 一、格的定义 1. 偏序集定义 格中的运算, 格 与导出的代数系统 的对应关系 2. 实例：n 的正因子格、幂集格、子群格 下面的偏序集都不是格 二、格的性质 1. 对偶原理 对偶命题： 设 P 是由格中元素,,,=,,等表示的命题， 若将 P 中的,,,分别替换成,,,得到的命题 * 称为 P 的对偶命题，记作 P . 实例： P: ab=ba * P ：ab=ba 性质：(p*)*=P 对偶原理：如果 P 对于一切格为真，则.

第五章 格与布尔代数
主要内容
格的定义与性质
格的定义
格的性质
子格、格同态与格的直积
子格
格同态、完备格
格的直积
特殊的格
分配格、有补格、布尔格
第一节 格的定义与性质
一、格的定义
1. 偏序集定义
格中的运算,
格<L,>与导出的代数系统<L,,>的对应关系
2. 实例：n 的正因子格、幂集格、子群格
下面的偏序集都不是格
二、格的性质
1. 对偶原理
对偶命题：
设 P 是由格中元素,,,=,,等表示的命题，
若将 P 中的,,,分别替换成,,,得到的命题
*
称为 P 的对偶命题，记作 P .
实例：
P:
ab=ba
*
P ：ab=ba
性质：(p*)*=P
对偶原理：如果 P 对于一切格为真，则 P*也对一切格为真.
2．格中的基本不等式和等式
aa
a  b ,b  c  a  c
a  b  a, a  b  b
a  a  b, b  a  b
a  b ,a  c  a  b  c
a  b ,a  c  a  b  c
a  b ,b  a  a  b
3. 格中的基本等价条件
ababaabb
①
②
③
证：①②
aa, ab aab
aba
②③
bab
a=abb, bb, abb
③①
aab=b
4．格中 和 适合交换律、结合律、幂等律、吸收律
证：
(1) ab 是{a,b}的下界，
ba 是{b,a}的下界,
{a,b}={b,a}ab=ba
(2) (ab)caba,
(ab)cabb,
(ab)cc  (ab)cbc
(ab)ca(bc)
同理，a(bc) (ab)c
所以，a(bc) = (ab)c
引理：<S,*,o>是具有两个二元运算的代数系统.
如果*,o 运算满足交换，结合，吸收律，
则 (1) *,o 满足幂等律
(2) a*b = a  aob = b
证 (1) a*a = a*(ao(a*a)) = a
同理，aoa = a
(2) a*b = a*(aob) = a
aob = (a*b)ob = b
定理 设<S,*,o>是具有两个二元运算的代数系统，
若*和 o 运算满足交换、结合、吸收律，
则可以适当定义 S 上偏序，使得<S,>构成格，
且<S, >导出的代数系统就是<S,*,o>.
证明思路
(1) 利用运算 o 或*定义 S 上的二元关系 R
(2) 证明 R 为 S 上的偏序
(3) 证明<S,R>构成格
(4) 证明对于格中任意两个元素 x,y
xy=xoy, xy=x*y
证 (1) 定义二元关系 R, aRbaob=b,
(2) R 为偏序：
a  a  a  aRa
aRb, bRa  a  b  b , b  a  a  a  b
aRb, bRc  a  b  b , b  c  c
 a  c  a  ( b  c )  ( a  b ) c  b  c  c
将 R 记作,
(3) aob 为{a,b}的上界
a  ( a  b )  ( a  a ) b  a  b  a  a  b
b(ab) a(bb) ab b  ab
a  b为 最 小 上 界 ：
假 设c为 上 界 ， 则
（a  b )  c  a  ( b  c )  a  c  c  a  b  c
同理，a*b 是{a,b}的最大下界.
等价定义
设<L,,>是具有两个二元运算的代数系统，
如果,满足交换、结合、吸收律，则称<L, ,>是格.
实例：
<Sn,gcd,lcm>
x,ySn,
gcd(x,y)=gcd(y,x), lcm(x,y)=lcm(y,x)
gcd(x,gcd(y,z))=gcd(gcd(x,y),z)
lcm(x,lcm(y,z))=lcm(lcm(x,y),z)
gcd(x,lcm(x,y))=x, lcm(x,gcd(x,y))=x
x|ylcm(x,y)=y
<Sn,|>与<Sn,gcd,lcm>是同一个格
5．格的不等式
（1）保序不等式 ab,cd  acbd, acbd
（2）分配不等式 a(bc)(ab)(ac), a(bc)(ab)(ac)
（3）模不等式 ab a(cb)(ac)b
a  c  a  b
证：
（1）
acbd
a  c  c  d
a  a  b
（2）
  a  (a  b)  (a  c )
a  a  c
b  c  b  a  b
  b  c  (a  b)  (a  c )
b  c  c  a  c
a  (b  c )  (a  b)  (a  c )
（3）a(cb)(ac)(ab) = (ac)b
aa(cb) (ac)b b
格中没有分配律的实例
5.2 子格、格同态、格的直积
一、子格
定义：L 中关于 和 运算封闭的非空子集.
注意：子格元素在原来格中求最大下界和最小上界.
L(G)是格但一定不是 P(G)的子格，以 Klein 四元群为例.
二、同态与同构
f:L1L2，x,yL1，
f(xy) = f(x)f(y)
f(xy) = f(x)f(y)
格同态的性质：
1. 格同态具有保序性
定理 1
f 是格 L1 到 L2 的同态，则a,bL1,
a  b  f(a)  f(b)
证：
ab
aba
 f (a  b)  f (a )
 f (a )  f (b)  f (a )
 f (a )  f (b)
注意：f(a) f(b)不一定推出 a  b.
2. 定理 2
f 为双射，f 为 L1 到 L2 的同构当且仅当
a,bL1, ab  f(a)f(b)
证明 必要性是显然的.只证充分性.
a  a  b, b  a  b
 f (a )  f (a  b ), f (b )  f (a  b )
 f (a )  f (b)  f (a  b)
f ( a )  f ( b )  L2
 d  L1 ( f (d )  f (a )  f (b ))
f (a )  f (d ), f (b)  f (d )  a  d , b  d
 a  b  d  f (a  b)  f (a )  f (b)
 f (a )  f (b)  f (a  b)
同理 f(a)f(b)=f(ab)
三、完备格
1. 定义 设 L 是格，若对 L 的任何子集 S，
S 的最大下界S, 最小上界S 存在，则 L 是完备格.
注意：S 可以是空集
x 是的下界  a(axa)
x 是的上界  a(aax)
前件为假，L 中任何元素都是的上界和下界，
取 L 最大元为，最小元为
2. 条件：L 为偏序，任意子集 SL, S (或S) 存在.
3. 实例：有限格一定完备
幂集格一定完备
格的理想格完备
理想：I 是格 L 的非空子集，如果满足下述条件则称为理想.
a,bI, abI,
aI, xL, xa  xI
子格：{a},{b},{c},{d},{a,b},{a,c},{a,d},{b,d},
{c,d},{a,b,d},{a,c,d},{a,b,c,d}
理想：{a},{a,b},{a,c},{a,b,c,d}
注意：理想是子格，但是子格不一定是理想.
理想格：I(L)：L 的所有理想的集合关于包含关系构成格
I0(L)=I(L){}
理想格不一定完备，但是 I0(L)是完备格.
任何格 L 都可嵌入完备格 I0(L), 即与 I0(L)的子格同构.
四、格的直积
定义：格的积代数
实例：LL, LLL,
由较小的代数系统构造较大代数系统的一般性方法
5．3 特殊的格---模格、分配格、有界格、有补格、布尔格
一、模格
1． 定义：L 为格，若a,b,cL,
ab  a(cb)=(ac)b
则称 L 为模格.
实例：钻石格为模格，五角格不是模格
模格---模律：ab  a(cb)=(ac)b
格---模不等式：ab  a(cb)(ac)b
2. 充要条件：
(1) L 为模格当且仅当 L 不含有与五角格同构的子格.
充分性：假设 L 不是模格，则存在 a,b,cL, 使得
a<b, a(cb)<(ac)b,
取 5 个元素 x, y, z, u, v 如下：
证明思路： ux<yv
ucv
xc=yc=u，xc=yc=v
u,x,y,z,v 两两不等，构成 L 的 5 元子格
(2)
L 为模格当且仅当a,b,cL, ab,
ac=bc, ac=bc  a=b
证：
“” 若不是模格，则存在子格与五角格同构，必有
则与条件矛盾.
“”设 L 为模格，a,b,cL, ab, ac=bc, ac=bc
a = a(ac)
吸收
= a(bc) = a(cb)
= (ac)b
模律
= (bc)b = b
二、分配格
1．定义：设 L 为格，若a,b,cL 有
a(bc) = (ab)(ac) 或
a(bc) = (ab)(ac)
则 L 为分配格.
注：在任何格中两个分配不等式是等价的.
例如
a(bc)=(ab)(ac)  a(bc)=(ab)(ac)
证
(ab)(ac)
= ((ab)a)((ab)c)
= a((ac)(bc))
对的分配律
吸收律、对的分配律
= (a(ac))(bc) = a(bc) 结合律，吸收律
反之，同理可证.
2．判别定理
(1) 设 L 为模格，L 为分配格当且仅当
若a,b,cL 有
(ab)(bc)(ca) = (ab)(bc)(ca)
注：一般格成立不等式
(ab)(bc)(ca)  (ab)(bc)(ca)
(2) 设 L 为模格，L 为分配格当且仅当 L 不含有与钻
石格同构的子格.
(1)的证明
证：
“” a,b,cL
a(bc) = a(ab)(bc)(ca) （吸收律）
= ((ab)((bc)(ca)))a
= (ab)(((bc)(ca))a )
（等式替代）
（模律 aba）
= (ab)(((ca)(bc))a )
= (ab)(ca)(bca)
= (ab)(ac)
（模律）
“”
(ab)(bc)(ca)
= [((ab)b)((ab)c)](ca)
= [b(ac)(bc)](ca)
(分配律)
(吸收、分配律)
= (b(ac))(ca)
(吸收律)
= (bc)(ba)(acc)(aca)
(分配律)
= (ab)(bc)(ca)
(交换、幂等律)
(2) 设 L 为模格，L 为分配格当且仅当 L 不含有与钻石格同构的
子格.
“”
假设 L 不是分配格，则a,b,cL 使得
(ab)(bc)(ca) < (ab)(bc)(ca)
令
u = (ab)(bc)(ca)
v = (ab)(bc)(ca)
x = u(av)
y = u(bv)
z = u(cv)
则可以证明 u,v,x,y,z 构成钻石格.
注：所有的链为分配格，4 元以下的格为分配格.
三、有界格与有补格
1. 全下界 0 和全上界 1
全上界是格的最大元，全下界是格的最小元
2. 有界格
有界格的定义
有界格的表示： <L,,,0,1>
有限格一定有界，无限格不一定（幂集格有界）
3．有界格的性质：
(1) a1=a, a0=a,
a1=1, a0=0,
(2) 对偶命题： 如果有 0,1，则 0 与 1 互换.
4. 补元定义及实例
0 与 1 互补
其他元素：有的有补元，有的没有补元，有的有多个补元
5. 补元性质：
有界分配格中的元素 x 如果存在补元，则是唯一的补元.
6. 有补格定义：每个元素都有补元的有界格
四、 布尔格—布尔代数
1．定义---有补分配格
实例：幂集格
2．布尔代数的等价定义
定理 设<B,,,,a,b>是代数系统，其中,为二元运
算, 为一元运算，a,b 为 0 元运算. 如果满足以下算律：
交换律
x*y=y*x, xoy=yox
分配律
x*(yoz)=(x*y)o(x*z)
xo(y*z)=(xoy)*(xoz)
同一律
xb=x, xoa=x
补元律
xx=a, xox=b
则<B,, , ,a,b>构成布尔格.
证明思路：由 b,a 分别为*和 o 运算的单位元，
证 b 和 a 恰为 o 和*运算的 0 元
吸收律、结合律
（1）xob = (xob)* b = (xox)*(xob)
证：
= xo(x*b) = xox = b
x*a = (x*a)oa = (x*a)o(x*x)
= x*(aox) = x*x = a
（2）证吸收律
xo(x*y)=(x*b)o(x*y) = x*(boy) = x*b = x
x*(xoy)=(xoa)*(xoy) = xo(a*y) = xoa = x
（3）证结合律
命题：xoy=xoz, xoy=xoz  y=z
xoy=xoz, xoy=xoz
 (xoy)(xoy) = (xoz)(xoz)
 (xx)oy = (xx)oz  aoy = aoz  y =z
xo(x(yz)) = x
xo((xy)z) = (xo(xy)) (xoz) = x(xoz) = x
xo(x(yz))= xo((xy)z)
xo(x(yz))=( xox)(xo(yz))=b(xo(yz))=xo(yz)
xo((xy)z)=( xo(xy))(xoz)=((xox)(xoy))(xoz)
=(b(xoy))(xoz)= (xoy)(xoz)= xo(yz)
xo(x(yz))= xo((xy)z)
<B,,o>构成分配格，可定义偏序使得，o 分别表示求下界和上界运算.
由同一律知道 a 为全下界，b 为全上界.
由补元律知道x 就是 x 的补元. 因此 B 构成布尔格.
3. 性质
（1）双重否定律 a  a
（2）D.M 律
a  b  a  b, a  b  a  b
（3）等价条件 1
abab0ab1
abaabb
主要证明 a  b  a  b  b  b  0
a  a  1  a  (a  b)  a  b
（4）等价条件 2 a  b  b  a
ababbabbabbba
4．布尔代数的同态
定义 B1,B2 为布尔代数，f:B1B2, 若
f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
f ( x)  f ( x)
则称 f 为 B1 到 B2 的同态。
同态判定：三个等式仅需要两个，其中等式 1 和 2 不独立.
证明
f ( x  y )  f ( x )  f ( y ), f ( x )  f ( x )
 f ( x  y)  f ( x)  f ( y)
f ( x  y)  f ( x  y)
 f ( x  y)  f ( x  y)
 f ( x)  f ( y)  f ( x)  f ( y)
 f ( x)  f ( y)
5．有限布尔代数的结构
（1）有限布尔代数的表示定理：
设 B 是有限布尔代数，
A 是 B 的全体原子的集合，则 B 与 P(A)同构.
小于 b 的原子为 a1,a2,…,ak，那么映射 f 满足：
b=a1a2…ak
f(b)={a1,a2,…,ak}
可以证明 f：BP(A)为同构映射
（2）任何有限布尔代数元素数为 2n.
（3）任何有限布尔代数 B 都存在 n 使得 B 同构于{0,1}n.
6．小有限格的枚举