Transcript 第三章 群 主要内容 群的定义与性质 子群 循环群 变换群和置换群 群的分解 正规子群和商群 群的同态与同构 群的直积 第一节 群的定义与性质 一、群的定义 1． 定义与实例 2． 等价定义 3． 相关术语 二、群的性质 1． 幂运算规则 2． 群方程有唯一解 3． 消去律 4． 运算表的置换性质 5． 元素的阶的性质 三、习题分析.

第三章 群
主要内容
群的定义与性质
子群
循环群
变换群和置换群
群的分解
正规子群和商群
群的同态与同构
群的直积
第一节 群的定义与性质
一、群的定义
1． 定义与实例
2． 等价定义
3． 相关术语
二、群的性质
1． 幂运算规则
2． 群方程有唯一解
3． 消去律
4． 运算表的置换性质
5． 元素的阶的性质
三、习题分析
一、群的定义
1．可以将群看成代数系统<G,o,-1, e>
实例：<Z,+>,<Zn,>,Klein 四元群，置换群.
2．等价定义：<G,o>, o 可结合，若存在右单位元 e，且每个元
素 a 相对于 e 存在右逆元 a’，则 G 是群。
证明：证 e 为左单位元。aG,
ee=e (e 为右单位元)
 e(aa’)=(aa’) (ea)a’=aa’
 ea = a (右乘 a’的右逆元)
证 a’为 a 的左逆元，即 a=(a’)’=a’’
a’’=ea’’ = (aa’)a’’=a(a’a’’) = ae =a
3．群的术语：
平凡群：只含单位元的群 {e}
交换群---Abel 群
有限群与无限群
群 G 的阶：G 的基数，有限群记为|G|
元素 a 的 n 次幂
e

a n   a n 1 a
 ( a 1 ) m

n0
n0
m   n, n  0
元素 a 的阶 |a|
使得 ak=e 成立的最小正整数 k
说明：有限群的元素都是有限阶，为群的阶的因子；
反之，元素都是有限阶的群不一定是有限群.
二、群的性质
1． 幂运算规则
-1
-1
(a ) =a
-1
-1
-1
(ab) =b a
anam=an+m
(an)m=anm
若 G 为 Abel 群，则(ab)n=anbn
说明：证明用到逆元的定义和唯一性；
等式 3 和 4 的证明使用归纳法并加以讨论
等式 2 可以推广到有限个元素之积.
2．方程 ax=b 和 ya=b 在群 G 中有解且有唯一解.
-1
证: a b 是 ax=b 的解.
假设 c 为解，则
c = ec = (a-1a)c =a-1(ac) = a-1b
说明：此性质可以用于定义群.
设 G 是半群，如果对任意 a,bG，方程 ax=b 和 ya=b 在 G 中有解，
则 G 为群.
证：找右单位元和任意元素的右逆元.
任取 bG,方程 bx=b 的解记为 e.
aG,yb=a 的解记为 c,即 cb = a.
ae = (cb)e = c(be) = cb =a
e 为右单位元。
aG, 方程 ax=e 有解，得到 a 的右逆元.
3．消去律 ab= ac b=c, ba = ca b=a
说明：消去律也可以定义群
设 G 是有限半群，且不含零元.若 G 中成立消去律，则 G 是群.
证：设 G={a1=e,a2,…,an}，任取 aiG，
aiG ={aiaj |j=1,2,…,n}
由封闭性, aiGG, 假设|aiG|<n, 则存在 j,k 使得 aiaj=aiak,
根据消去律，aj=ak, 矛盾. 所以 aiG=G.
任取 ai,aj, ai,ajG  ajaiG  方程 aix=aj 有解
同理，方程 yai=aj 有解.G 是群.
注：<Z5,>不是群，因为有 0；<Z+,>也不是群，无限.
4．有限群 G 的运算表中每行、每列都是 G 的置换.
aG=G 和 Ga=G
说明
运算表的行列构成置换的不一定是群，反例：
思考：
3 元集上的不同的二元运算有多少个？
3 元集上二元运算表有多少个，使得每行每列能够构成置换？
3 元集上有多少个不同的运算表代表群？
3 元集上同构的群有多少个？
5．G 为群，aG, 且|a|=r, 则
（1）ak =e  r | k
（2）|a|=|a-1|
（3）若|G| = n, 则 rn.
证 （1）充分性. ak = arl =(ar)l=el = e
必要性. k=rl+i, lZ, i{0,1,…,r-1}
 e = a = a
k
rl+i
= a
i
 i=0  r | k
（2）(a-1)r=e  |a-1| 存在, 令|a-1|=t, 则 t|r. 由于逆元是相对的，
因此 r|t.
（3）假设 r>n, 令 G’={e,a,a2, …, ar-1}, 则 G’中元素两两不同，否
则与|a|=r 矛盾. 从而|G’|>n，与 G’G 矛盾.
关于群性质的证明题

关于阶的几个重要结果
(1) | a | 1 或 2  x  x 1
( 2) | a || a 1 |, | ab || ba |, | a || bab1 |
r
( 3) | a | r | a |
(t , r )
t
(4) | a | n, | b | m , ab  ba | ab | | [n, m ],
若( n, m )  1, | ab | nm
证明留作思考题.

证明元素的阶相等或求元素的阶的方法
证|x|=|y|：
令|x|=r, |y|=s,
验证(x)s=e  r|s ,
验证(y)r=e  s|r
求|x|：
n
找到 x =e, 分析 n 的因子.

证明群的一些基本性质的方法
工具---幂运算规则、结合律、消去律、群方程的解
2
例 1 设 G 为群，若xG x =e, 则 G 为 Abel 群。
证 x,yG,
分析：
xy = (xy)
2
x =e  x=x
-1
-1
-1
= y x
=yx
-1
幂运算规则
例 2 若群 G 中只有唯一 2 阶元，则这个元素与 G 中所有
元素可交换。
证 设 2 阶元为 x, yG,
-1
|yxy |=|x|=2  yxy
-1
分析： |yxy |=|x|
-1
=x  yx =xy
例 3 若 G 为偶数阶群，则 G 中必存在 2 阶元.
证
-1
若xG,|x|>2，则 xx
-1
由于|x|=|x |, 大于 2 阶的元素成对出现，总数
有偶数个.
G 中 1 阶和 2 阶元也有偶数个.由于 1 阶元只有
单位元，因此 2 阶元有奇数个，从而命题得证.
-1
分析：|x|=|x |,
x2=e  x=x-1
t
例 4 G 为群，aG， |a|=r, 证明|a |= r/(t,r)
t
证 令|a |=s,
(t,r)=d  t=dp,r=dq  r/(t,r)=r/d=q
只要证 s=q
t
t r/d
r t/d
p
(a )q=(a ) =(a ) =e =e
s|q
(a ) =e  a =e  r|ts  q|ps
t s
ts
q|s （p,q 互素）
分析：相互整除
k
|a|=r, a =e 当且仅当 r|k
例 5 设 G 为有限群，x,yG, y 为 2 阶元，xe,
且 x2y=yx, 求|x|
解：
x y=yx  yx y=x
2
2
 (yx2y)(yx2y)=x2
 yx4y=x2 =yxy
 x =x  x =e
4
3
 |x|=3
k
分析： 关键是导出关于 x =e 的等式.
根据 xk=e  |x|| k，
幂运算规则, 结合律，消去律，
|x|=2  x=x-1,
第二节 子群
主要内容
一、子群定义
二、子群的判别
三个判别定理
三、重要子群的实例
元素 a 生成的子群<a>
集合 B 生成的子群<B>
群的中心 C
正规化子
-1
共轭子群 xHx
子群的交
第二节 子群
一、定义
设 G 为群, H 是 G 的非空子集，若 H 关于 G 中运算构成群，则
称 H 为 G 的子群，记作 HG.如果子群 H 是 G 的真子集，则称为真
子群，记作 H<G.
说明：子群 H 就是 G 的子代数.
假若 H 的单位元为 e’, 且 x 在 H 中相对 e’的逆元为 x’, 则
xe’=x = xe  e’=e
xx’ = e’ =e = xx-1  x’=x-1
二、判定
定理 1
G 是群，H 是 G 的非空子集，则
-1
HG  a,bH, abH; aH,a H
证 充分性. 只需证明 eH
-1
H  aH  aH, a H  eH
定理 2 G 是群，H 是 G 的非空子集，则
-1
HG  a,bH, ab H
证 充分性. H  bH
-1
bH bb H  eH
a, aH  ea-1H a-1H
-1
-1 -1
a,b, a,bH a,b H a(b ) H  abH
定理 3 G 是群，H 是 G 的有限非空子集，则
HG  a,bH, abH
-1
证 充分性. 只需证明 aH, a H
不妨设 ae, 令 S={a,a2,…,ak,…},
则 SH, 必有 ai =aj, i<j, 因此 aj-i=e, a-1=aj-i-1，a-1H,
三、重要子群的实例
1．生成子群 <a>={ak | kZ}
2. B 生成的子群 G 为群，BG，B 非空，令
S={H|HG,BH}
则SG, 称为 B 生成的子群，记作<B>.
 B  {a1e1 a2e2 ...anen | n  Z  , i  1,2,...,n, ai  B, ei  1}
3．中心
C={a|aG,xG(ax=xa)}
4．正规化子
N(a)={x|xG, xa=ax}
N(H)={x | xG, xHx-1=H}
5．共轭子群
HG, xG
xHx-1 = {xhx-1 | hH}
6．子群的交
H,KG, 则
(1) HKG
(2) HKG  HKKH
证明 2
 B  {a1e1 a2e2 ...anen | n  Z  , i  1,2,...,n, ai  B, ei  1}
证
令 T= {a1e1 a2e2 ...anen | n  Z  , i  1,2,...,n, ai  B, ei  1}
BT, TG, 因此<B>T. 下面证明 T<B>。
a1e1 a 2 e2 ...a n en  T  a i  B  a i 1  B
 a i   B   a i 1   B  a1e1 a 2 e2 ...a n en   B 
证明 3 C 为子群
C 非空.
任取 x,yC，对于任意 aG 有
(xy-1)a=x(y-1a)=x(a-1y)-1=x(ya-1)-1
=x(ay-1)=(xa)y-1=(ax)y-1=a(xy-1)
证明 4
-1
设 H 是 G 的子群，令 N(H)={x|xG, xHx =H}，则 N(H)是 G 的子群
N(H)非空.
x,yN(H),
yHy = H  yH = Hy  y Hy=H
． (xy-1)H(xy-1)-1 = x(y-1Hy)x-1 = xHx-1 = H，
-1
-1
xy-1N(H)
证明 6
设 H,KG, 则
（1） HKG
（2） HKGHKKH
证（2） 假若h(hH,hK), k(kK,kH)，
则 hkH，否则 k=h-1(hk)H,矛盾。同理 hkK, 从而 hkHK。
但是 h,kHK, 与 HKG 矛盾。
注：设 A,BG，定义
AB={ab|aA,bB},
则（1）ABG  AB=BA.
（2）ABG  AB=<AB>
证（2）AAB,BAB  ABAB  <AB>AB
ab,
abAB aA,bBa,bABa,b<AB>ab<AB>
例 Klein 四元群 G={e,a,b,c},<a>={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}
<a><b>={e,a,b,c}
<{a,e}{b,e}> = <{a,b,e}>={e,a,b,c}
四、子群格
G 为群，S={H|HG},偏序集<S,>构成格，称为 G 的子群格
Klein 四元群，Z12 的子群格.
第三节 循环群
一、定义
1． 定义
G=<a>={ak | kZ}, aG
2． 生成元的阶与循环群 G 的阶的关系
3． 实例：<Z,+>, <Zn,>
二、生成元
数论符号：
(n,r): n 与 r 的最大公约数  u,vZ (un+rv=(n,r))
(n,r)=1, n 与 r 互质（互素） u,vZ (un+rv=1)
nr
[n,r]: n 与 r 的最小公倍数  [ n, r ] 
( n, r )
定理 1 G=<a>是循环群
（1）若 G 是无限循环群，则 G 的生成元是 a 和 a-1;
（2）若 G 是 n 阶循环群，则 G 有(n)个生成元，
当 n=1 时 G=<e>的生成元为 e；
当 n>1 时，r(rZ+r<n)，ar 是 G 的生成元(n,r)=1.
证：
（1）a 是生成元，<a-1>G,
任取 alG, al=(a-1)-l<a-1>  G<a-1>
假设 b 为生成元，b=aj, a=bt,
a=bt=(aj)t=ajt  ajt-1=e 若 jt-10 与 a 为无限阶元矛盾,
因此 j=t=1 或 j=t= 1
（2）n=1 结论为真.n>1
(n,r)=1 u,vZ(un+rv=1)  a=aun+rv =(ar)v ar 为生成元
ar 为生成元
n
r ( n,r )
(a )
 e | a r | |
n
n
 n|
 ( n, r )  1
( n, r )
( n, r )
三、子群
定理 2
G=<a>是循环群，那么
(1)G 的子群也是循环群
(2)若 G 是无限阶的，则 G 的子群除了{e}外也是无限阶的
(3)若 G 是 n 阶的，则 G 的子群的阶是 n 的因子，
对于 n 的每个正因子 d, 在 G 中有且仅有一个 d 阶子群.
证明思路：(1) 子群 H 中最小正方幂元 am 为 H 的生成元
m
(2)若子群 H=<a >有限，ae, 则推出|a|有限.
(3)H=<am>,|H|=|am|,(am)n=e.从而|am|是 n 的因子.
(4)<an/d>是 d 阶子群，然后证明唯一性.
证（1）设 H 是 G=<a>的子群，不妨设 H{e}.
取 H 中最小正方幂元 am ,<am>H.
对于任意整数 i,i=lm+r, r{0,1,…,m-1}
aiH  ar=ai(am)-lH  r=0  ai<am>
H<am>
（2）设 H 为 G 的子群，若 H{e}, 必有 H=<am>, am 为 H
中最小正方幂元.
假设|H|=t, 则(a ) =e  a =e，与 a 为无限阶元
矛盾.
m
t
mt
（3）设 G={e,a,…,an-1}，H={e}命题显然成立.
m
m
若 H{e},必有 H=<a >,a 为 H 中最小正方幂元. 设
|H|=|am|=d,
(am)n=(an)m=e  |am||n  d|n
n
 a d
(4) 设 d|n，则 H
 是 G 的 d 阶子群.
m
m
假若 H’=<a >也是 G 的 d 阶子群，其中 a 为最小正方
幂元.则
a md  e  n | md 
n
n
|mm  t
d
d
H’H, |H’|=|H|=d  H’=H
n
 a m  (a d ) t
H
例 1 (1) <Z12,>,
生成元为与 12 互质的数：1,5,7,11
12 的正因子为 1,2,3,4,6,12，
子群：<0>,<1>, <2>,<3>, <4>, <6>
(2) G=<a2>为 12 阶群，
生成元为 a2, a10, a14, a22
G 的子群：<e>, <a2>, <a4>,<a6>, <a8>, <a12>
(3) <a>为无限循环群，
生成元为 a, a-1；
i
子群为<a >，i=0,1,2,…；
(4) G=<Z,+>
生成元：1,-1
子群 nZ, n=0,1,…,
第四节 变换群与置换群
主要内容
一、变换群
二、n 元置换群
置换的表示
置换的乘法和求逆运算
置换群的实例
一、变换群
A 上的变换：
f:AA
A 上的一一变换： 双射 f:AA,
A 上的一一变换群：E(A)={f|f:AA 为双射}
关于变换乘法构成群
A 上的变换群 G： GE(A)
实例：G 为群，aG，令 fa:GG, fa(x)=ax，则 fa 为一一变换.
H={fa|aG}关于变换乘法构成 G 上的变换群.
H E(G)
例如
G={e, a, b, c}，
fe={<e,e>,<a,a>,<b,b>,<c,c>}
fa={<e,a>,<a,e>,<b,c>,<c,b>}
fb={<e,b>,<a,c>,<b,e>,<c,a>}
fc={<e,c>,<a,b>,<b,a>,<c,e>}
H={fe, fa, fb, fc}
可以证明 H 同构于 G.
思考：怎样证明 H 同构于 G
与独异点的表示定理进行比较
二、n 元置换群
1. A 上的 n 元置换：|A|=n 时 A 上的一一变换
2. 表示法
(1) 置换的表示法：令 A={1,2,…,n},
 1
2
...
n 

  

(
1
)

(
2
)
...

(
n
)


(2) 不交轮换的分解式：=12…t , 其中1,2, …,t 为不交轮换
k 阶轮换
( i1i2 ...ik )  { i1 , i2 ,  i2 , i3 ,.... ik 1 , ik ,  ik , i1 }
 { x , x | x  {1,2,...,n}  {i1 , i2 ,...,ik }}
同一轮换可以用不同元素作为首元素：(i1i2…ik) =(i2i3…iki1)
不交的轮换1,2 之间可以交换次序：12=21
(3) 对换分解式：
对换 (i j) =(j i)
(i1 i2…ik)=(i1ik)(i1ik-1)…(i1i2)
定理 1
任何 n 元置换都可以表成不交的轮换之积，并且表法是唯一的.
唯一性：=12…t, =12…l  {1,2,…,t}={1,2,…,l }
证明思路
(1) 可以表成不交的轮换之积
设使 A={1,2,…,n}中的 r 个元素发生变化，对 r 归纳.
取第一个轮换1=(i1i2…ik), =11 , 1, 1 不交.
对1 使用归纳假设.
(2) 唯一性. 假设
=12…t,
=12…l.
令 X={1,2,…,t}, Y={1,2,…,l}
任取jX, j=(i1i2…im), m>1, sY 使得
i2=j(i1)=(i1)=s(i1)
因此 i2=(i1)也在s 中出现。类似证明 i1,i2,…,im 必依次出现在s 中.
如果s 中含有其它元素 u,，必有(im)=u, 则(im)=u,(im)=i1，矛盾.
从而j=s. XY, 同理 YX.
轮换指数： 1C1 ( ) 2C2 ( )...nCn ( ) ，
Ck(): k-轮换的个数
1  C1 ( )  2  C2 ( )  ...  nCn ( )  n
1 2 3 4 5 6 7 8

  (1 5 7) (4 8) 轮换表示
 5 2 3 8 7 6 1 4
3
1
1
0
0
0
0
0
3
1
1
指数为 1 2 3 4 5 6 7 8 =1 2 3
不同指数的个数是如下方程的非负整数解的个数
x1 + 2x2 + … + nxn = n
例如：A={1,2,3},
1=(1), 2=(1 2), 3=(1 3),
4=(2 3), 5=(1 2 3), 6=(1 3 2)
轮换指数
13：1；
1121：2,3,4；
31：5,6
任意轮换都可以表成对换之积
对换可以有交
表法不唯一，但是对换个数的奇偶性不变
1 2 3 4 5 6 7 8

  (1 5 7) (4 8)  (17)(15)( 48)  (57)(17)( 48)
 5 2 3 8 7 6 1 4
奇置换、偶置换
奇置换：表成奇数个对换之积
偶置换：表成偶数个对换之积
奇置换与偶置换之间存在一一对应，因此各有 n!/2 个
例如: A={1,2,3}上的 6 个置换中奇置换为(12), (13), (23);
偶置换为：(1), (123),(132).
2. 置换的乘法与求逆
置换的乘法：函数的合成
例如：8 元置换=(132)(5648)，=(18246573), 则
=(15728)(3)(4)(6)=(15728)
=(1)(28734)(5)(6)=(28734)
置换求逆：求反函数
=(132)(5648)，
-1
 =(8465)(231),
令 Sn 为{1,2,…,n}上所有 n 元置换的集合.
Sn 关于置换乘法构成群，称为 n 元对称群.
Sn 的子群称为 n 元置换群.
例 3 元对称群 S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}
3 元交代群 A3={(1),(123),(132)}
元素的阶
k 阶轮换(i1 i2…ik) 的阶为 k
=12…l.是不交轮换的分解式，则
||=[|1|,|2|,…,|l|]
子群
平凡子群{(1)},Sn
n 元交代群 An
例如 S3,
|(1)|=1, |(12)|=|(13)|=|(23)|=2,|(123)|=|(132)|=3
子群：<(1)>, S3, <(12)>, <(13)>, <(23)>, A3=<(123)>
三、实例
1．Calay 定理：每个群 G 都与一个变换群同构.
推论：每个有限群都与一个置换群同构
2．D4，44 的方格图形，在空间旋转、翻转.
D4={(1)(2)(3)(4),(1234),(13)(24),(1432),
(12)(34),(14)(23),(13)(2)(4),(24)(1)(3)}
D4  S4