Transcript 第七节 群的同态与同构 一、同态定义 f 为 G1 到 G2 的同态当且仅当 f:G1G2, 且x,yG1，f(xy)=f(x)f(y) 实例: (1) 整数加群 的自同态： fc(x)=cx，c 为给定整数 (2) 模 n 加群 的自同态： fp(x)=(px)modn, p=0,1,…,n-1 (3) G1= ,G2= ,G1 到 G2 的满同态 f:ZZn, f(x)=(x)modn 说明：如果将群看成代数系统 ，则同态 f.

第七节 群的同态与同构
一、同态定义
f 为 G1 到 G2 的同态当且仅当
f:G1G2, 且x,yG1，f(xy)=f(x)f(y)
实例:
(1) 整数加群<Z,+>的自同态：
fc(x)=cx，c 为给定整数
(2) 模 n 加群<Zn,>的自同态：
fp(x)=(px)modn, p=0,1,…,n-1
(3) G1=<Z,+>,G2=<Zn,>,G1 到 G2 的满同态
f:ZZn, f(x)=(x)modn
说明：如果将群看成代数系统<G,o,-1,e>，则同态 f 满足：
f(e1)=e2
f(x-1)=f(x)-1
二、同态性质
同态保持元素的性质
1．f(e1)=e2
2．f(x-1)=f(x)-1
3．f 将生成元映到生成元
4．|f(a)| 整除 |a|，同构条件下，|f(a)|=|a|
同态保持子代数的性质
1．H G1 f(H) G2
2．H⊴ G1,f 为满同态⇒f(H)⊴ G2
同态核的性质, kerf = {x | xG, f(x)=e2}
1．kerf={e1}  f 为单同态
2．
（1）kerf⊴ G1
（2）a,bG1, f(a)=f(b) akerf = bkerf
同态基本定理
（1）H 为 G 的正规子群，则 G/H 是 G 的同态像
（2）若 G’为 G 的同态像（f(G)=G’）
，则 G/kerf G’.
证明同态核的性质 2 ．
（1）kerf⊴ G1
（2）a,bG1, f(a)=f(b)  akerf = bkerf
证：
（1）显然 kerf 非空. a,bkerf,
f(ab-1) = f(a)f(b)-1 = e2e2-1=e2  ab-1kerf
kerf 为 G1 的子群，下面证明正规性.
gG1, akerf,
f(gag-1) = f(g)f(a)f(g-1) = f(g)f(g-1) = f(e1)=e2
（2）f(a)=f(b)  f(a)–1f(b)=e2  f(a-1b)=e2
-1
 a bkerf  akerf=bkerf
说明：群同态基本定理是代数系统同态基本定理的实例.
（1）G/H 是群 G 的商代数，
（2）kerf 是 G1 的正规子群,
a  b  f(a)=f(b)  akerf = bkerf
f 导出的关系产生的同余类就是 kerf 的陪集，G/=G/kerf
三、自同态与自同构
EndG：G 的自同态的集合
AutG：G 的自同构的集合
InnG：G 的内自同构的集合
-1
fx：GG, fx(a)=xax
关系：
EndG 为独异点
AutG 为群
InnG 为 AutG 的正规子群
IG=fe 属于 InnG
证明 InnG 是 AutG 的正规子群（主要步骤）
f y 1  f y  1
f y 1 ( a )  b  f y (b )  a  a  yby 1
 b  y 1ay  f y 1 (a )  b
f x , f y  InnG , 证明 f x f y 1  f xy1  InnG
f x f y 1 (a )  f x ( f y 1 (a ))  f x ( f y 1 (a ))  f x ( y 1ay)
 xy 1ayx1  ( xy 1 )a ( xy 1 ) 1  f xy1 (a )
  AutG , f x  InnG ,
f x 1 (a )   ( f x ( 1 (a )))   ( x 1 (a ) x 1 )
  ( x ) ( 1 (a )) ( x 1 )   ( x )a ( x ) 1  f ( x ) (a )
f x 1  InnG
例 2 G={e,a,b,c}
AutG = {(e),(ab),(ac),(bc),(abc),(acb)} 全部双射函数
InnG = {(e)}
只含恒等映射
-1
fx(a)=xax = a
EndG = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}AutG
1(e)=1(a)=e, 1(b)=1(c)=a,
2(e)=2(a)=e, 2(b)=2(c)=b,
3(e)=3(a)=e, 3(b)=3(c)=c,
4(e)=4(b)=e, 4(a)=1(c)=a,
5(e)=5(b)=e, 5(a)=5(c)=b,
6(e)=6(b)=e, 6(a)=6(c)=c,
7(e)=7(c)=e, 7(a)=7(b)=a,
8(e)=8(c)=e, 8(a)=8(b)=b,
9(e)=9(c)=e, 9(a)=9(b)=c,
10: f(a)=f(b)=f(c)=e
令 :GInnG
(x)=fx,
证明 为满同态
(xy)=(x)o(y)
 ( xy)(a )  f xy (a )  ( xy)a( xy) 1  x( yay1 ) x 1
 f x ( f y (a ))  f x  f y (a )   ( x )   ( y )(a )
为满射
ker = {x| xG,(x)=fx=IG} = C
xker  xG, fx(a)=a (aG)
 xG, xa=ax (aG)
 xC
结论：G/CInnG
3.8 群的直积
一、内直积
G 为群，K,L 是 G 的子群，
f:KLKL, f(<k,l>) =kl
如果 f 为同构，则称 G 是 K 和 L 的内直积，记作 G=KL.
实例：Z6 = AB, A={0,3}, B={0,2,4} AZ2, BZ3,
二、内直积存在的充分必要条件
定理：G 为群，K,L 是 G 的子群，则 G= KL 当且仅当以下条件成立：
（1）K,L 正规子群
（2）KL={e}
（3）G=KL
证明：略
推论：G 为 pq 阶循环群，p,q 为素数，K,L 分别为 p,q 阶子群，则 G=KL
G 为 p1 p2 … pr 阶循环群，p1,p2,…,pr 为不相等的素数，则
G=G1G2…Gr, 其中 Gi 为 pi 阶子群
有关群的证明问题
规范证明的主要内容：
集合和二元运算构成群
群 G 的给定子集 H 构成子群
群 G 的给定子群是正规的
f 是群 G1 到 G2 的同态映射
证明群 G1 同构于 G2
证明群 G1 不同构于 G2
比较灵活的证明
群的基本性质的证明
元素相等的证明（交换性）
与数的相等或者整除相关的证明
子集相等的证明
一、规范证明
1．证明群: 验证下述条件之一
(1)
(2)
(3)
(4)
封闭性、结合律、单位元、每个元素有逆
封闭性、结合律、右单位元、每个元素有右逆
封闭性、结合律、方程有解
封闭性、有限、无零元、消去律
2．证明 H 是 G 的子群：判定定理
前提：H 是 G 的非空子集 (进行验证)
验证下述条件之一
(1) x,yH, xyH, x H.
-1
(2) x,yH, xy H
(3) H 有限，x,yH, xyH
-1
3．证明子群 N 的正规性
验证下述条件之一：
-1
(1) gG, nN,gng N
-1
(2) gG, gNg =N
(3) |N|=t,N 是 G 的唯一的 t 阶子群
(4) [G:N]=2
4．证明 f 是 G1 到 G2 的同态
(1) 验证 f:G1G2（注意是否需要验证良定义性）
(2) 验证x,yG1, f(xy)=f(x)f(y)
5．证明 G1 同构于 G2
(1) 证明 f:G1G2 是同态
证明 f:G1G2 是双射 (满射+单射或者 kerf={e})
(2) 同态基本定理：其中一个群是商群
例：H,K 是 G 的正规子群，则 HK,HK 也是 G 的正规子群,
且 H/HK  HK/K
证明：先证明 HK 为子群,HK 为正规子群（略）
令 f:HHK/K, f(h)=Kh,
f(h1h2)=Kh1h2=Kh1Kh2 =f(h1)f(h2)
任取 Khk 属于 HK/K,
Khk = Kk’h’ = Kh’,
存在 h’ 使得 f(h’) = Kh’ = Khk. f 为满同态.
kerf={h|hH,Kh=K}={h|hH,hK}=HK,
由同态基本定理 H/HK  HK/K .
6. 证明群 G1 不同构于 G2
反证法
例
证明不存在<Q*,>到<Q,+>的同构.
证
假设存在同构 f:Q*Q,
则 f(1)=0,
0 = f(1) = f((1)(1))
= f(1)+f(1) = 2f(1)，
从而 f(1) = 0
与 f 的单射性矛盾.
二、灵活证明
1．群的基本性质的证明 （略）
证明有关元素的运算等式
证明元素的阶相等
证明交换性
2．和 Lagrange 定理有关的证明
与群相关的数量结果
证明数的整除或者相等
证明群的其他性质
3．与同态性质相关的证明
证明数的整除或者相等（与 Lagrange 定理联系）
证明集合相等
证明群的其他性质
2．Lagrange 定理
数量结果：
| G || H | [G : H ]
| G || H | | G / H |
| a | | | G |, a  G
f : G  G' 是满同态 | G'| | | G | 且 | G'|| G / ker f |
| G | n, p | n, G为Abel群  G中含p阶元
| a | [G : N (a )]
A, B是G的子群， A, B有限，则 | AB |
| A|| B |
| A B|
证明 设 A, B是G的子群， A, B有限，则 | AB |
证：(1) 在 AB 上定义二元关系 R
| A|| B |
| A B|
<x,y>R<u,v>  xy=uv
(2) 证明 R 为等价关系（略）
(3) 令 X=[<a,b>]={<x,y> | <a,b>R<x,y>}
-1
f : XAB, f(<x,y>)=a x
(4) f 为 X 到 AB 函数. <a,b>R<x,y>  ab=xy  by =a xAB
-1
f 单射. f(<x,y>)=f(<u,v>)  a x=a u  x=u
-1
-1
x=u,y=v  <x,y>=<u,v>
f 满射. cAB, <ac,c b>X,
-1
-1
-1
f(<ac,c b>)=a ac=c
|X|=|AB|,有|AB|个<x,y>使得 xy 相等，
即
|A||B|=|AB|=|AB| |AB|
-1
与 Lagrange 定理相关的证明
(1) 证明整除:
例 G 为 n 阶群，aG, | a | k , C 为中心，|C|=c,
则 k|(n/c).
证：|ā| = [G:N(a)] ,
故 k = [G:N(a)];
C N(a)
|C|||N(a)|，
c||N(a)|, 即|N(a)| = c s
|G| = [G:N(a)] |N(a)|，
n = k cs
命题得证.
n/c = ks
(2) 确定子群或商群的阶
例 H1,H2 为 r,s 阶子群，(r,s)=1, 则 H1H2={e}
(3) 证明群的性质
例 证明 p2 阶的群为 Abel 群
证 取 C, 则|C|=p 或 p2. （根据群方程，|C|>1）
若 |C|=p2, 得证
若 |C|=p, 作 G/C, 则|G/C|=p, G/C=<Cb>,
x , y  G ,
Cx  G / C  Cx  Cb i  xb i  C  x  c1b i ,
同理 y  c2 b j
xy  c1b i c2 b j  c1c 2 b i b j  c1c 2 b i  j ,
yx  c2 b j c1b i  c2 c1b j  i
xy  yx
3．与正规子群以及同态性质相关的证明
重要结果：
f ( xy)  f ( x ) f ( y )，
f (e )  e，
f ( x 1 )  f ( x ) 1
G交换  f (G )交换，
G循环  f (G )循环
H  G  f ( H )  f (G ),
H正规，满同态  f ( H )正规
ke r f是正规的
Ha  Hb  ab1  H
与同态性质相关的证明：
(1) 证集合相等
-1
例 f 为同态, 则 f (f(a))=akerf ,对一切 aG1.
-1
-1
xf (f(a))  f(x)=f(a)  f(a) f(x)=e2
 f(a-1x)=e2  a-1xkerf  xakerf
(2) 与 Lagrange 定理结合证整除
例 设 G1=<a>, G2=<b>为 m,n 阶群，证明
G2 是 G1 的同态像  n|m
证“” 定义 f(ai)=bi,
a i  a j  m | (i  j )  n | (i  j )  bi  b j
f (a i a j )  f (a i ) f (a j）
f 为满射
“”，f 是 G1 到 G2 的满同态, G2  G1/kerf,
n=|G2|=|G1/kerf| , |G1/kerf| | m  n|m.
(3) 同态性质的应用
例 设 H 为 G 的子群，N 为 G 的正规子群.
若(|H|,[G:N])=1，证明 H 是 N 的子群.
证 令 g:GG/N 为自然同态，
则 g(H) G/N
因此 |g(H)| | [G:N] ,
|g(H)| | |H|
(|H|,[G:N])=1 |g(H)|=1
g(H)={N}
xH  xN=g(x)=N  xN