Transcript 第五节 群的分解 主要内容 陪集及其性质 Lagrange 定理 Lagrange 定理的应用 共轭关系与共轭类 群的分类方程 一、陪集及其性质 1． 陪集定义 G 为群，HG, aG, 右陪集 Ha = {ha | hH} 2． 实例： S3, H={(1),(12)} H(1)=H(12) H(13)=H(132)={(13),(132)} H(23)=H(123)={(23),(123)}

第五节 群的分解
主要内容
陪集及其性质
Lagrange 定理
Lagrange 定理的应用
共轭关系与共轭类
群的分类方程
一、陪集及其性质
1． 陪集定义 G 为群，HG, aG,
右陪集 Ha = {ha | hH}
2． 实例：
S3, H={(1),(12)}
H(1)=H(12)
H(13)=H(132)={(13),(132)}
H(23)=H(123)={(23),(123)}
3. 性质：G 为群，H 是 G 的子群，
(1) He=H
(2) aHa
(3) HaH
-1
(4) aHb  Ha=Hb ab H
(5) 在 G 上定义二元关系 R, aRb  ab-1H，则 R 为等价关系，
且[a]R = Ha
(6) a,bG, HaHb= 或 Ha=Hb，Ha=G
证明要点
(4) aHb  a=h’b  b=h’ a
-1
haHa  ha=hh’bHb, hbHb  hb=hh’ aHa
(5) b[a]  aRb  ab-1R  Ha=Hb  bHa
说明：左陪集：aH={ah | hH}
-1
abH  aH=bH  a bH
-1
二、lagrange 定理
1． 引理 H 的左陪集和右陪集数相等
f: TS, f(Ha)=a-1H,
T,S 分别为右陪集与左陪集的集合
f 的良定义性：
Ha=Hb  ab H  (a ) b H  a H=b H  f(Ha)=f(Hb)
2． H 在 G 中的指数[G:H]：H 在 G 中的右（或者左）陪集数
-1
3． 定理：
-1
-1
-1
-1
-1
|G|=|H| [G:H]
证明：令 G 的不同的陪集为 Ha1,Ha2,…,Har,
|G|=|Ha1|+|Ha2|+…+|Har|=|H|r=|H|[G:H]
说明：适用于有限群，逆不一定为真.
4． 推论：
(1) 群的元素的阶是群的阶的因子.
证明：构造子群<a>，|<a>|=|a|.
(2) 素数阶群一定是循环群.
证明：|G|=p, p>1, 存在非单位元 a, |<a>|的阶等于 p.
三、Lagrange 定理的应用
例 1 6 阶群必含 3 阶元.
|a|=6, 则 a2 为 3 阶元.
若没有 6 阶元.如果没有 3 阶元，则 a2=e, G 为 Abel 群，
{a,b,ab,e}为子群，与 Lagrange 定理矛盾.
例 2 6 阶群在同构意义上只有 2 个.
含 6 阶元是循环群
不含 6 阶元，则含 3 阶元 a,
2
2
取 c{e,a,a }, 则 c,ac,a c 两两不等（消去律）
2
2
令 G={e,a,a ,c,ac,a c}
证明 G={e,a,a2,c,ac,a2c}同构于 S3.
2
2
c  c,ac,a c (消去律)
c2  a2,a （反证法）
2
c = e
ca  e,
2
ca  a,a ,c (消去律)
ca  ac 否则|ac|=6;
ca = a2c
可以得到运算表，与 S3 同构
类似可以证明：10 阶群只有 2 个，4 阶群只有 2 个，
即循环群和 Klein4 元群.
五、群的分类方程
1．共轭关系定义
aRb  a = xbx-1 (xG)
共轭关系是等价关系.
2.实例：
G={e,a,b,c}, 共轭关系是恒等关系.
Sn，共轭类的轮换结构相同（一般置换群不一定）
3．性质
(1) aC 
a  {a }
y  a  x ( x  G , y  xax 1 ) 
x ( x  G , y  axx 1 )  y  a  y  {a }
（2）N(a)={x|xG, xa=ax}
N(a)≤G
| a | [G：N ( a )]
xax 1  yay 1  ax 1 y  x 1 ya
 x 1 y  N ( a )  xN (a )  yN (a )
4.群的分类方程
G 为群，C 为中心，G 中至少含两个元素的共轭类有 k 个，
a1,a2,..,ak 为代表元素，则
|G|=|C|+[G:N(a1)]+[G:N(a2)]+ … +[G:N(ak)]
证明：|C|=l, C={ak+1, ak+2, …,ak+l}
G  a1  a2  ... ak  {ak 1 }  {ak  2 }  ... {ak  l }
| G | [G : N (a1 )]  [G : N (a2 )]  ... [G : N (ak )] | C |
s
例 3 |G|=p , p 为素数，则 p| |C|.
证明
|G|=|C|+[G:N(a1)]+[G:N(a2)]+…+[G:N(ak)]
对于 i=1,2,…,k,
[G:N(ai)]是|G|的因子，|G|=ps,
[G:N(ai)]=pt 或者 [G:N(ai)]=1
[G:N(ai)]=1  ai ={ai} aiC，矛盾
p | [G:N(ai)]  p| |C|
第六节 正规子群与商群
主要内容
正规子群及判定
定义
判别定理
判别法
商群
定义及其实例
性质
一、 正规子群及其判定
1． 定义，实例
2． 判定定理： NG, 则下述条件等价
（1） N 是 G 的正规子群
（2） gG, gNg-1 = N
（3） gG, nN, gng-1N
证明要点：
(1)(2) gN=Ng  gNg-1=N
-1
-1
(2)(3) gng gNg =N
(3)(1)
ngNg  nN,g-1G  g-1ngN  nggN
gngN  nN,gG  gng-1N  gnNg
3． 判定方法
（1） gG, nN, gng-1N
（2） |N|=t, N 是 G 的唯一 t 阶子群。
（3） 指数为 2 的子群
实例 An 是正规子群
二、商群
1． 定义
G/H={Ha|aG}
HaHb=Hab
说明：
 良定义性质：
Ha=Hx, Hb=Hy  Hab=Hxy
 商群 G/H 就是商代数：
aRb  Ha=Hb  ab H
aRb, cRd  acRbd
-1
aRb  a Rb
-1
-1
2．性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子
保持群 G 的性质：交换性，循环性等.
例1
G 为有限 Abel 群，|G|=n, p | n, 则 G 中有 p 阶元.
证明思路：(1) n=2 为真
(2) 假设对一切 m<n 为真，证明对于 n 为真.
设|G|=n, 取 aG, ae, 寻找 p 阶元.
① p 整除|a|, 则 a |a|/ p 为 p 阶元.
② p 不整除 |a|, 令 H=<a>, 构造 G/H, |G/H|=m, p 整除 m.
G/H 中有 p 阶元 Hb, 导出 b 与 a 的关系
(Hb)p=H  bpH bp=at
|a|
证明 b 为 p 阶元
(b ) = (a ) = e  (b ) =e b 的阶为 1 或 p，
假若 b|a|的阶为 1，则 b|a|=e (Hb)|a|=H,与 p 不整除|a|矛盾.
p
|a|
t
|a|
|a|
p
|a|