Transcript 第六章：域

第三章 域
主要内容
域的定义、性质、子域
域的特征、同构和素域
有限域的乘法群
有限域的结构
第一节 域的定义与性质
一、域
1．域的定义
定义 1 设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足以下条件:
（1）<R,+>构成交换群，
（2）<R*,·>构成交换群，R*表示 R 中的非 0 元素集，
（3）·运算关于+运算适合分配律，
则称<R,+,·>是一个域.
通常称+运算为域中的加法，·运算为域中的乘法.
域中加法单位元记作 0，乘法单位元记作 1.
对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x.
1
对任何非零元素 x，称 x 的乘法逆元为逆元，记作 x .
定义 一个环 Ｒ叫做一个除环，若
１、Ｒ至少包含一个不等于零的元；
２、Ｒ有一个单位元；
３、Ｒ每一个非零的元都有逆元。
除环的性质
1、除环没有零因子
2、除环的特征只能为零或者素数。
一个交换除环叫做一个域。（考虑两个定义的等价性）
2．域的实例
（1）
有理数集、
实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成域。
（2）设 Z＝{0,1,...,p－1}，和分别表示素数模 p 的加法和乘
法，则<Zp,,>构成域；特别的考虑 p=2.
在域 F 中，如果 F 的元素的个数无限，那么 F 叫做无限域；否
则叫有限域，也叫 Galois 域。
二、子域
定义 2 设 R 是域，S 是 R 的非空子集. 若 S 关于域 R 的加法和乘法也构
成一个域，则称 S 为 R 的子域.
实例：有理数域是实数域的一个子域。
第二节 域的特征
一. 域的特征
框架 I （直接考虑环，在第二章我们已讲过）
定义 3 若（任意的）环 R 的元素对加法有最大的阶 n，则
称 n 为环 R 的特征。 如果环 R 的元素对加法无最大阶，
则称环 R 的特征为零。
定理 1 设 R 是无零因子环，|R|﹥1，则
（1）
、 R 中所有非零元素对加法的阶相同；
（2）
、 若 R 的特征有限，则必为素数。
证 1）若 R 中所有非零元素的阶为零，则证毕。否则，存在非零元素
a 的阶为 n，则在 R 中任取 b ≠ 0，有 a（nb） =（n a）b = 0. 因为 R
是无零因子环，所以 nb = 0。即|b|是 n 的因子。
不妨设|b|=m，于是（m a）b= a（mb） = 0. 即 n|m。综上|b|=n。
2）如果 R 的特征 n=s t，s，t﹥1。
2
那么 sa，ta ≠ 0，然而（sa）
（ta）=na =0，与 R 是无零因子环矛盾。
注意：域是无零因子环（域的特征只能为 0 或素数）
。
定理.2 设 R 是含幺环，则单位元 1 在加法群中的阶就是环的特征。
证 若单位元 1 的阶为无限，则 R 的特征为零证毕。否则，若单位元
的阶为 n，那么对任意非零元素 a，有
n a =（ n1） a= 0 a= 0. 即 n 是 R 非零元素的最大阶。
定理.3 设 R 是环，令
M={n| n∈N, 任意 a ∈R, na=0} ,
如果 M 为空集，则 R 的特征为零，否则, M 中最小的正整数是环
R 的特征。
框架 II
定义 4 设 F 是域，则单位元 1 在加法群中的阶就是环的特征。
定理.4 域的特征为 0 或者一个素数。
定理 5 设 F 是域，令
M={n| n∈N, 任意 a ∈F, na=0} ,
如果 M 为空集，则 F 的特征为零（对任意的 a ∈F 与任意的正整数
n，na 不等于 0 ）
；否则，M 中最小的正素数 p 是 F 的特征。
二、域的同构
定义 5 如果在域 F 和 K 之间可以建立一个同态双射，那么那么我们说 F 和 K 同构。
定理 6 设 F1 和 F2 是域，：F1→F2 是一个同构，那么 把 F1 的 0 映射到 F2
1
1
的 0，把 F1 的 1 映射到 F2 的 1，而且(-a)=-(a)；（a ）=(a) .
证明：课堂练习。
定理 7 设 F1 和 F2 是域，：F1→F2 是一个同构，那么这两个域的特征一样。
证明：如果 F1 特征为 0，对任意正整数 m， m 1 不为 0。那么由定理 6，( m 1)
也不为 0。也就是说，对任意正整数 m，m ( 1) 不为 0。于是 F2 特征为 0。
如果 F1 特征为 p，那么 p 1=0。由定理 6，( p 1) = p ( 1)=0。所以 F2 特征不为 0，
且是一个整除 p 的素数。于是 F2 特征为 p。
三、素域
定义 5 如果域 F 中不含真子域，则称 F 是素域。
定理 6 如果素域 F 的特征为零，则 F 与有理数域 Q 同构；否则 F 与 Zp 同构。
证明：略。
推论：有限域 K 的特征为一个素数。
证明：（域和其素域的特征一样。）
反设有限域 K 的特征为 0，如果 K 本身是一个素域，那么 K 与 Q 同构，与 K 有
限矛盾。如果 K 不是素域，考虑其素域 K’，注意 K 与 K’的单位元一样，那么其
特征也一样，那么 K’与 Q 同构，矛盾。
第三节 有限域的乘法群

定理：有限域的乘法群是一个循环群。
方法 I
引理 1
G 为群，a∈G 且 |a| = r. 设 k 是整数，则
k
|a |= r / (k, r).
证: 令(k, r)=d, 于是 r=du, k=dv, (u,v)=1.
首先
k u
rv
r v
(a ) = a = (a ) = e.
k t
其次 如果 (a ) = e, 我们有 r| kt, 那么 u | vt,
k
也就是 u | t. 这就证明了|a |= r / (k, r).
推论： G 为 r 阶循环群，a 是它的一个生成元，那么对于任意的整
k
数 k，a 是生成元当且仅当(k, r)=1.
引理 2
设 G 为群，a,b∈G，且 ab = ba. 如果 |a| = n，|b| = m，且 n 与 m
互质，证明 |ab| = nm.
证 设 |ab| = d. 由 ab = ba 可知
nm
(ab)
n m
m n
m n
= (a ) (b ) = e e = e
从而有 d | nm.
d d
d
d
又由 a b = (ab) = e 可知 a = b
d n
n d
d
d
d
d
, 即 |a | = |b | = |b |. 再根据
d
a ) = (a ) = e = e
d
d
d
得 |a | | n. 同理有 |b | | m. 从而知道 |a | 是 n 和 m 的公因子.
d
d
因为 n 与 m 互质，所以 |a | = 1. 这就证明了 a = e, 从而 n | d.
同理可证 m | d，
即 d 是 n 和 m 的公倍数. 由于 n 与 m 互质，
必有 nm|d.
综合前边的结果得 d = nm. 即 |ab| = nm.
引理 3
设 G 为有限 Abel 群，假定 G 中元素的最大的阶是 n，那么任
意 G 中一个元素的阶是 n 的因子.
证 设 |a| = n.设 b 是 G 中任意一个元素，|b|=m。如果 m 不整除 n，那
么必然存在一个素数 p 满足
e
n = p k;
f
m = p l;
f>e,
p 与 k，l 互素。
e
f
由引理 1 我们知道又由 a^{ p }是一个 k 阶元素；b^{ l}是一个 p 阶
f
e
f
元素；而且 (k, p )=1. 那么 a^{ p } b^{ l} 就是一个 p k 阶的元素。
这与 n 是最大的阶矛盾。
定理
有限域 F 的乘法群 F*是一个循环群。
证 设 F 的元素个数为 q，那么 F*是一个 q-1 阶的交换群。于是由引
理 3，F*中一定有一个最大阶的元素 a，且令|a| = n.
k
于是 a
（k=0,1…, n-1）是 F*两两不同的元素。即 q-1≥n.
另一方面，由于 F*任意元素的阶都是 n 的因子，那么 F*任意元素都满
n
足方程 x –e=0；但是由多项式理论我们知道该方程最多有 n 个解。即
n≥q-1. 于是 q-1=n.
那么 F* 必然是由 a 所生成的一个循环群。
推论：有限域的乘法群一共有(q-1)个生成元，它们称为有限
域的本原元.
证明：略
方法 II
引理 1 设有限域 F 的元素个数为 q，那么对任意 F*的元素 a 有
a
q-1
= e.
证: 有限群中元素的阶必然是群的阶的因子。
引理 2 设有限域 F 的元素个数为 q，F 是 E 的一个子域。那么对任
q
意元素 a∈E，如果 a =a 则有 a∈F .
q
证: 首先由引理 1 我们知道 F 中的任意元素都是 x –x 的解。而且
q
q
x –x 在 E 中最多只有 q 个解。于是 F 中的全部元素就是 x –x 的
全部解。于是结论显然。
定理
有限域 F 的乘法群 F*是一个循环群。
证 设 F 的元素个数为 q，那么 F*是一个 q-1 阶的交换群。而且我们
知道每个元素的阶都是 q-1 的因子。令 d 是 q-1 的一个正因子，于是我
们有
 d |q 1 (d )  q  1
这里 (d ) 表示 F*中阶为 d 的元素的个数。如果 (d ) >0, 那么就有一个元
素的阶为 d，不妨设为 a。考虑由 a 生成的 d 阶循环子群<a>，该群中每
d
d
d
个元素都满足 x –e。此外，对任意的 d 阶元素 b 是 x –e 的解。但是 x –e
最多有 d 个解。那么 b 必然是<a>的元素。即 F*所有的 d 阶元素在<a>
中，而且有 (d ) 个。
于是我们证明了 (d ) =0 或者 (d ) =  (d ) 。由数论中的结果
 d |q 1 (d )  q  1 .
我们有: 对任意的 d|q-1, (d ) = (d ) .特别的， (q 1) =  (q 1) 。这说明了
存在元素的阶为 q-1, 所以 F*是一个循环群，且本原元的个数为  (q 1) 。
第四节 有限域的结构
定理：如果有限域F的特征为p, 那么F中元素的数目
为p的方幂。
 定理*：如果Fq 是F的一个子域，元素的个数为q，
那么F中元素的个数为q 的方幂。

定理*的证明：令 Fq = F1 。如果 F = F1 ，那么 F 就是一个包含 q 个元素的有
限域。定理成立。如果 F  F1 ，那么存在一个元素 e 2  F \ F1 ，令
F2  {a1  a 2 e2 : a1 , a 2  F1 } ，我们可以证明 F2 中的恰好有 q 个元素。否
2
则由 a1  a 2 e 2  b1  b2 e2 ，我们可得到 e2  F1 （如果 a 2  b2 ），矛盾。当
a 2  b2 ，马上就有 a1  b1 。
2
如果 F = F2 ，那么 F 就是一个包含 q 个元素的有限域。否则存在一个元素
e3  F \ F2 ，令 F2  {a1  a 2 e 2  a 3 e3 : a1 , a 2 , a 3  F1 } ，类似我们可证明
3
F3 中的恰好有 q 个元素。依次类推，假如 F 就是一个包含 N 个元素的有限
域，而且 q
n
N q
n 1
。我们就得到了一个序列
Fi  {a1  a 2 e2  ...  a i ei : a1 ,..., a i  F1 }, 1  i  n 。
如果 F  Fn ，那么类似的可以构造 Fn 1 是 F 的子域，然而 Fn 1 的元素个数
为q
n 1
，矛盾。所以 F  Fn ，即 F 就是一个包含 q 个元素的有限域。
n
Remark：用向量空间的定义来证明。如果把 F 看成 Fq 的向量空间。定义数
量乘法： Fq  F  F : ( a,  )  a 。由于 F 是有限的，那么 F 的维数 n 就
是有限的。考虑 F 的一组基{  i , 1  i  n }，任意一个 F 的元素都可被这组
基{  i , 1  i  n } 线性表出。于是 F 就是一个包含 q 个元素的有限域。
n
如果 F 的特征为一个素数 p，那么考虑 F 的素域就恰好只有 p 个元
素，应用定理*，我们就可以得到定理。