Transcript 第五章：环

第二章 环
主要内容
环的定义、性质、子环、环同态
整环
模 n 剩余类环
除环
理想、商环
环上的多项式环
唯一分解整环
第一节 环的定义与性质
一、环的定义
1．环的定义
定义 1 设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算. 如果满足以下条件:
（1）<R,+>构成交换群，
（2）<R,·>构成半群，
（3）·运算关于+运算适合分配律，
则称<R,+,·>是一个环.
通常称+运算为环中的加法，·运算为环中的乘法.
环中加法单位元记作 0，乘法单位元（如果存在）记作 1.
对任何元素 x，称 x 的加法逆元为负元，记作x.
若 x 存在乘法逆元的话，则称之为逆元，记作 x1.
交换环、非交换环、有限环、无限环的定义（请思考）。
2．环的实例
（1）整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘
法构成环，分别称为整数环 Z，有理数环 Q，实数环 R 和
复数环 C.
（2）n(n≥2)阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成
环，称为 n 阶实矩阵环.
（3）集合的幂集 P(B)关于集合的对称差运算和交运算构成环.
（4）设 Z＝{0,1,...,n－1}，和分别表示模 n 的加法和乘法，
则<Zn,,>构成环，称为模 n 的整数环.
二、环的运算性质
定理 1 设<R,+,·>是环，则
（1）a∈ R，a0 = 0a = 0
（2）a,b∈ R，(a)b = a(b) = ab
（3）a,b,c∈ R，a(bc) = abac， (bc)a = baca
（4）a1,a2,...,an,b1,b2,...,bm∈ R (n,m≥2)
n
m
n m
i 1
j 1
i 1 j 1
(  ai ) (  b j )    ai b j
证 只证（1）、（2）和（4）
（1）a∈ R 有
a0 = a(0+0) = a0+a0
由环中加法的消去律得 a0=0. 同理可证 0a=0.
（2）a,b∈ R，有
(a)b+ab =(a+a)b = 0b = 0
ab+(a)b =(a+(a))b = 0b = 0
因此(a)b 是 ab 的负元.
由负元的惟一性可知(a)b = ab，同理可证 a(b) = ab.
（4）证明思路：
用归纳法证明a1,a2,...,an 有
n
n
i 1
i 1
( ai )b j   ai b j
同理可证, b1,b2,...,bm 有
m
m
j 1
j 1
ai (  b j )   ai b j
于是
n
m
n
m
i 1
j 1
i 1
j 1
n
m
( ai )(  b j )   ai (  b j )    ai b j
i 1 j 1
例
在环中计算(a+b)3, (ab)2
解
(a+b) = (a+b)(a+b)(a+b)
3
2
2
= (a +ba+ab+b )(a+b)
3
2
2
2
2
3
= a +ba +aba+b a+a b+bab+ab +b
(ab) = (ab)(ab)=a baab+b
2
2
2
三、子环
1．子环的定义
定义 2 设 R 是环，S 是 R 的非空子集. 若 S 关于环 R 的加法和乘法也
构成一个环，则称 S 为 R 的子环. 若 S 是 R 的子环，且 SR，则称 S
是 R 的真子环.
实例：整数环 Z，有理数环 Q 都是实数环 R 的真子环.
{0}和 R 也是实数环 R 的子环，称为平凡子环
2．子环的判定定理
定理 2 (子环判定定理)
（1）a,b∈ S，ab∈ S
（2）a,b∈ S，ab∈ S
则 S 是 R 的子环.
证明略
设 R 是环，S 是 R 的非空子集，若
例（1）整数环<Z,+,·>，对于任意给定的自然数 n，
nZ = {nz | z∈ Z}是 Z 的非空子集，且nk1, nk2∈ nZ 有
nk1nk2 = n(k1k2)∈ nZ
nk1·nk2 = n(k1nk2)∈ nZ
根据判定定理，nZ 是整数环的子环.
（2）考虑模 6 整数环<Z6,,>，
{0}, {0,3}, {0,2,4}, Z6 是子环.
其中{0}和 Z6 是平凡的，其余的都是非平凡的真子环.
3. 环与子环的单位元
设 S 是 R 的一个子环，当 R 有单位元时，S 不一定有；当 S 有单位元
时，R 不一定有；即使两者都有单位元，此两单位元也不一定相同。
1、考虑 R为整数环<Z,+,·> ，S 为偶数环<2Z,+,·> 。
2、考虑 R为偶数环<2Z,+,·>， S为零环。
3、考虑实数环 R，S为零环，两个环的单位元不同。
如何给出其他的一些构造？
四．环的同态
1. 定义
定义 3 设 R1 和 R2 是环 ：R1→R2,若对于任意的 x,y∈ R1 有
(x+y) = (x)+(y
(xy) = (x) (y)
成立，则称是环 R1 到 R2 的同态映射，简称环同态.
可以定义环的单同态、满同态和同构.
2. 实例
例
设 R1 = <Z,+,·>是整数环，R2 = <Zn,,>是模 n 的整数环. 令
：Z→Zn，(x) = (x)mod n
则x,y∈ Z 有
(x+y) = (x+y)mod n = (x)mod n  (y)mod n = (x)  (y)
(xy) = (xy)mod n = (x)mod n  (y)mod n =  (x)   (y)
是 R1 到 R2 的同态，是满同态.
第二节 整环
一、整环
1．交换环、含幺环、无零因子环、整环的定义
定义 4 设<R,+,·>是环，
（1）若环中乘法·适合交换律，则称 R 是交换环.
（2）若环中乘法·存在单位元，则称 R 是含幺环.
（3）若a,b∈ R，ab=0  a=0∨ b=0，则称 R 是无零因子环.
（4）若 R 既是交换环、含幺环，也是无零因子环，则称 R 是整环.
理解左（右）零因子。如果是交换环，则如果 a 是左零因子，那么
也是右零因子。请举出 a 仅为左零因子的环的例子。
2．交换环、含幺环、无零因子环、整环的实例
（1）整数环 Z、有理数环 Q、实数环 R、复数环 C 都是交换环、含幺
环、无零因子环和整环.
（2）令 2Z={2z | z∈ Z}，则<2Z,+,·>构成交换环和无零因子环. 但不是含
幺环和整环.
（3）设 nZ, n2, 则 n 阶实矩阵的集合 Mn(R)关于矩阵加法和乘法构成
环，它是含幺环，但不是交换环和无零因子环，也不是整环.
（4）<Z6,,>构成环，它是交换环、含幺环，但不是无零因子环和整
环. 23=32=0，2 和 3 是零因子.
注意：对于一般的 n, Zn 是整环当且仅当 n 是素数.
3．无零因子环的充分必要条件.
定理.3 设 R 是环，R 是无零因子环当且仅当 R 中的乘法适合消去律.
即a,b,c∈ R，a≠0，有
ab = ac  b = c
和 ba = ca  b = c
证 充分性. 任取 a,b∈ R，ab = 0 且 a ≠ 0.
由 ab = 0 = a0 和消去律得 b = 0. 这就证明了 R 是无零因子环.
必要性. 任取 a,b,c∈ R，a ≠ 0，由 ab = ac 得 a(bc) = 0，
由于 R 是无零因子环，a ≠ 0，必有 bc = 0，即 b = c. 左消去律
成立. 同理可证右消去律也成立.
4. 环的直积
例 设 R1, R2 是环， <a,b>,<c,d>∈ R1×R2，令
a,b> + <c,d> = <a+c,b+d>
a,b> · <c,d> = <ac,bd>
则 R1×R2 关于+和·运算构成一个环，称为环 R1 和 R2 的直积，
记作 R1×R2.
若 R1 和 R2 是交换环和含幺环，则 R1×R2 也是交换环和含幺环.
若 R1 和 R2 是无零因子环，那么 R1×R2 不一定是无零因子环.
例如: Z3 和 Z2 是无零因子环, 消去律在 Z3 和 Z2 中都是成立的,
但 Z3×Z2 就不是无零因子环。
由<2, 0> · <0, 1> = <0, 0> = <2, 0> · <0, 0>，<2, 0> 
可得: <0, 1> = <0, 0>, 显然这是错误的。
<0, 0>和消去律
5. 环的特征
定义 5 若（任意的）环 R 的元素对加法有最大的阶 n，则
称 n 为环 R 的特征。 如果环 R 的元素对加法无最大阶，
则称环 R 的特征为零。
有限环的特征必定有限。
定理.4 设 R 是无零因子环，|R|﹥1，则
（1）
、 R 中所有非零元素对加法的阶相同；
（2）
、 若 R 的特征有限，则必为素数。
证 1）若 R 中所有非零元素的阶为零，则证毕。否则，存在非零元素
a 的阶为 n，则在 R 中任取 b ≠ 0，有 a（nb） =（n a）b = 0. 因为 R
是无零因子环，所以 nb = 0。即|b|是 n 的因子。
不妨设|b|=m，于是（m a）b= a（mb） = 0. 即 n|m。综上|b|=n。
2）如果 R 的特征 n=s t，s，t﹥1。
那么 sa，ta ≠ 0，然而（sa）
（ta）=na2=0，与 R 是无零因子环矛盾。
定理.5 设 R 是含幺环，则单位元 1 在加法群中的阶就是环的特征。
证 若单位元 1 的阶为无限，则 R 的特征为零证毕。否则，若单位元
的阶为 n，那么对任意非零元素 a，有
n a =（ n1） a= 0 a= 0. 即 n 是 R 非零元素的最大阶。
定理.6 设 R 是环，令
M={n| n∈N, 任意 a ∈R, na=0} ,
如果 M 为空集，则 R 的特征为零，否则, M 中最小的正整数是环
R 的特征。
证： 作业
定理.7 设 R 是交换环，特征是素数 P，则对 R 中任意元素 a,b 有
（a+ b）p =ap+bp,
证：由定理 6 可以容易得出。
第三节 模 n 剩余类环

定义6（同余）整数a关于模正整数m同余于整数b，是指
m∣a－b, 并写a≡b（mod m） 。
整数模m同余类共有m个，他们分别为mk+0, mk+1,
mk+2,…mk+(m-1); k∈z，每一个算一类，每一类都可以
选一个代表元，一般选这一类中的最小的非负整数。于
是称[0],[1],[2],…[m-1]为标准完全剩余系。
定义7：模 n 的剩余类环Ｒ＝｛模 n的剩余类｝，规定 R中的加法和乘
法如下：
[a]  [b]  [a  b]
[a][b]  [ab]
如何证明 R 是一个环？：首先证明加法和乘法的定义是与代表元的选择无关。
封闭性是显然的。然后证明R关于加法是一个Abel群，关于乘法是一个（含幺，
可交换）半群。然后证明分配律成立
定理8：R中非零元如果与n互素，则为可逆元；否则为零因子。
证明：数论中互素的充要条件 （m,n）=1 等价于am+bn=1。
思考题：R 中所有可逆元是否构成一个群？其阶是多少？
（群论的应用中我们讲过）
更一般的，一个含幺环的全体可逆元对乘法构成群，成为环的乘群。
Euler 定理：n 是正整数，（a,n）=1, 则 a φ(n）=1
数论中可以用既约剩余系的概念证明，这里我们可以用群的概念证明。
第四节 除环
定义 一个环Ｒ叫做一个除环，若
１、Ｒ至少包含一个不等于零的元；
２、Ｒ有一个单位元；
３、Ｒ每一个非零的元都有逆元。
除环的性质
1、除环没有零因子
2、除环的特征只能为零或者素数。
一个交换除环叫做一个域。（我们将在下一章详细讨论）
Gauss 整环
Z [i]  {a  bi | a, b  Z }
是一个含幺元的整环，而且其所有的可逆元的全体是 {1,  i}.
证明：含幺元的整环容易证明（按照复数加法构成一个Abel 群，单位元
为0；按照复数乘法构成一个含幺(1)半群；分配律成立；可换环；无零因
子环(即证明(a+bi)(c+di)=0,如果a,b 不为0，那么c=d=0). ）
其次，1，-1，i，-i 都可逆。然后再证明不存在其它的逆元。否
则，如果存在 uv=1, 那么|u| 2=1。即u 只能为1，-1，i，-i 。
环的分类：
环
有单位元环
交换环
无零因子环
（非零元素可逆）
除环
整环
域
第五节 理想
定义8 环 R 的一个非空子集 U 叫做一个理想子环（理想），若
1、 a, b U  a  b U
2、 a U , r  R  ra, ar U
显然： 只包含零元的集合，是R的理想，称为R的零理想。
R自己也是R的理想，称为R的单位理想。
这两个理想称为平凡理想。
只有平凡理想的非零环，称为单环
定理9 除环R 中只有零理想和单位理想。
证明： 设 U 是 R 的一个理想，且不是零理想，则由
1
0  a  U 得 a a  1 U
所以对任意 b  R, b 1  b  U
所以 R  U
注：理想对除环和域没有用处。
思考题
1 一个理想必然是一个子环（考虑定义）
2 一个子环一定是一个理想吗？
考虑 整数环 Z 与环 R={a+b 2 |a, b  Z } 的关系。
3 与正规子群类似，理想的理想不一定是原环的理想，即理想不
具有传递性 （请举出反例，作业）
4 在正规子群中，如果 H⊴G，H≤R≤G，那么 H⊴R；
在理想中，有没有这个结果？即 H 是 G 的理想，同时 H 是
R 的子环，R 是 G 的子环，那么 H 是 R 的理想。
例： N是循环环 R的一个理想 当且仅当 N 是 R的一个子环。
证明：必要性是显然的。下面证明 充分性：
设 a 是加法群的生成元，于是任意的 n ∈N, r ∈R，我们有
n=sa，r=ta，a2=ua。 那么
nr=(sa)(ta)=(st) a2=(stu) a=(tu)n ∈N. 而且R是可换环。
主理想
设 R 是一个环，任意的 a∈R，则 R 中包含 a 的理想是
存在的(为什么？)。考虑所有R中包含a的理想的交，可
以证明它仍然是 R 的一个理想，而且是 R 中包含 a 的最
小理想，记为 (a), 称为 R 的由 a 生成的主理想。
推广：由 a1 , a2 ,…, am 生成的理想。
下面我们考察主理想（a）中的元素是什么？首先a∈(a)，于是对
任意的整数n，na ∈(a)；其次，对 R中任意元素x，y来说， xa∈(a),
ay ∈(a); 此外，对任意R中元素 xi，yi， xiayi ∈(a). 于是(a) 至少包括
所有这些元素的和：
na +xa +ay +(x1ay1 +x2ay2 +…+xmaym )
这里 n 是任意的整数，m 是任意的正整数。
这里的求和不是把所有的元素相加，而是求出所有可能的和。
然后利用理想的定义证明：
na +xa +ay +(x1ay1 +x2ay2 +…+xmaym )
是R的一个理想。那么（a）={na +xa +ay +(x1ay1 +x2ay2 +…+xmaym )}

如果R是可换的，那么(a)={na+ra| r ∈R；n ∈Z}

如果R有单位元，那么(a)={ x1ay1 +x2ay2 +…+xmaym | m ∈Z}

如果R是可换、有单位元，那么(a)={ ra | r ∈R}
定理10：如果 R 是含幺元的交换环，那么 Ra 是 a 生成的主理想。
作业







如果环R中任何元素a都满足a2=a，那么R是可换的并且
a+a=0。
设R中有单位元，如果对R中元素a，b满足a+b=ab,且（1-a）
在R中有逆元，那么ab=ba。
循环环必然是可换的，其子环也是循环环。
写出Z8的可逆元和零因子；再写出其所有子环。
环中任意个理想的交仍然是一个理想。
证明：环R的中心必然是其一个交换子环。
环R的中心一定是R的理想吗？为什么？
素理想
定义9：交换环R 的素理想I: xyIx I 或 yI .
*理想具有吸收率：任意 x I， y R，我们有 xyI 与 yxI 。那么会不会有
x R， y R，而 xyI 与 yxI 的情况？
例：R 是偶数环， <4> ={4k| k Z}, 那么， <4> 是不是 R 的理想？是不是R
的素理想？（课堂练习）
注意：2﹒6= 12  <4>, 但是2，6 都不属于<4>。 这也回答了上面的问题* 。
例：R 是偶数环，p 是奇素数， <2p> ={2kp| k Z}, 证明 <2p> 是R 的素理想。
例 整数环 Z 的全部素理想是：{0}，Z，以及所有素数
生成的理想 (p) 。
证明：首先， {0}，Z，以及所有素数生成的理想 (p) 是 Z的素
理想。因为整数环 Z 的理想都是主理想（为什么？考虑循环环
的理想，作业！）。考虑合数 n= uv， 因为uv  (n), 然而，u，
v 都不是 (n) 中的元素 （注意 Z 是一个可换的含幺环）。所
以，(n) 不会是 Z的素理想。
极大理想
定义10： R 的极大理想I: I  R, 且不存在理想 J 满足：
I  J  R.
注意：与素理想不同，R不一定要求可换；R本身不可能是一个极大理想。
例 I 是整数环 Z 的极大理想当且仅当以 I 是素数生成的理想 (p) 。
证明：如果 I= (p) ，存在理想 J 满足 I  J  Z。令 J= (n) ，于是
p∈ (n)，即 n|p 。于是n=1，p。所以I 是整数环 Z 的极大理想。
反过来，如果I 是整数环 Z 的极大理想，令I= (n) 。如果n=uv，那
么I  (u) Z. 矛盾。
结论：在Z中，除平凡理想外，素理想就是极大理想。但一般环中不一定
成立。
商环


设 I 是R的一个理想，那么 I 也是 R 的一个加法子群；于是
也是R的一个加法正规子群。
考虑R关于I 的加法陪集{a+I | a R}，陪集加法定义为：
(a+I ) + (b+I) =(a+b)+I
很显然，陪集按照这种运算可以构成一个Abel群。
下面我们给出一种新的乘法运算：
(a+I )﹒(b+I) =(ab)+I
可以证明乘法运算与代表元选择无关 （怎么证明？）

设 I 是R的一个理想， {a+I | a R} 对于陪集的加法和乘法构
成一个环，称为R关于I 的商环，记为R/I。而且 R 可以和 R/I
之间存在一个自然的映射 f：a→ a+I （容易证明f 是一个关
于加法和乘法的同态满射）

类似于群的同态基本定理，我们可以得到环的同态基本定理，
由于课时原因，我们略去不讲。
下面我们利用商环给出素理想和极大理想的判定法则：
定理11：设 I 是交换环 R 的一个理想，那么设 I 是R的一个素
理想当且仅当 商环 R/I 无零因子。
证明：如果I 是R的一个素理想，那么对R/I 任意的元素[a]=a+I， [b]=b+I，
如果 [a][b]= [0]，于是有[ab]=[0]，即有ab ∈ I。于是a ∈ I 或者b ∈ I，也就
是说[a]= [0] 或者[b]= [0]。所以R/I无零因子。
反过来， R/I无零因子，令ab ∈ I 。于是[ab]=[0]，即[a][b]= [0]。那么就
有[a]= [0] 或者[b]= [0]， 也就是a ∈ I 或者b ∈ I， 则I 是R的一个素理想。
定理12：设 I 是环 R 的一个理想，那么设 I 是R的一个极大
理想当且仅当 商环 R/I 是单环。
证明：如果I 是R的一个极大理想， 考虑 R 到 R/I 的自然映射 f：a→ a+I ，
设 K* 是R/I 的一个非零理想。于是f -1(K* )=K 是 R 的理想。注意 [0] ∈ K* ，
于是I  K（注意[0] 的逆象构成的集合为 I）。因为{[0]}  K*，所以
I  K。但I 是R的一个极大理想，所以K =R。于是K* =f(K)=f(R)= R/I .
反过来， 如果 R/I 是单环，设K 是 R 的一个理想， 且 I  K。 于是 K /I是
R/I 的一个理想，而且是一个非零理想（再次强调R/I 中的零元素是 I）。而
R/I 是单环，那么K /I= R/I 。任意 r ∈ R，存在k ∈ K 满足 r+I = k+I ，那么
r-k ∈ I  K。 于是r ∈ K。 即有 R=K。所以 I 是R的一个极大理想。
第六节 环上的多项式环

设R 是一个含幺环， x 是一个符号（或称文字），ai R ，形式表达式
an x n  an1 x n1 
 a1 x  a0
称为R上未定元为x的多项式环，记为R [x]。（按照环的定义去证明）
1、 R 不一定是数域。
2、如何证明 R是R [x] 的子环？
定理13：设R 是一个含幺环， R是整环等价于R [x] 也是整环。
证明：只需证 R 中无零因子等价于R [x] 也没有零因子。然后考虑零因子的
等价条件是： a, b不为0，那么ab 也不为零。
|
第七节 唯一分解整环





本节我们只考虑整环(可换、无零因子、含幺)。
设a，b R ，如果存在c R ，使得 a = bc 成立，则称a被b整除，
b 是 a 的因子，并且使用记号ba；如果不存在整数c使得a = bc成
立，则称a不被b整除。
在 R 中，如果a = b§成立， 其中§是 R 的一个单位(可逆元素)，
则称 a 与 b 相伴； a 与 b 互为相伴元。易证 a 与 b 相伴 等价于a
与 b 相互整除。
显然，每个元素 a 都有平凡因子：单位及其 a 的相伴元。非平凡
因子称为真因子。
例题： 求Gauss 整环 中5 的所有真因子。

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

设 aR, 若a  0，且不为单位，如果a 只有平凡因子，则称a是不
可约元；否则称 a 为可约元。
设 pR, 若p  0，且不为单位，如果 p|ab 就必有 p|a 或者p|b 成立，
那么 p 称为素元。（在整数环中 不可约元与素元一样）
唯一分解：设aR, 如果存在不可约元 p1, p2, , pk 及不可约元 q1,
q2, , qr 使得 a = p1 p2  pk = q1 q2  qr ，那么 k=r， 而且在调整
次序后， pi 与qi 相伴。
定理14：整环中素元一定是不可约元。
证明：设 pR 是素元， a 是 p 的任意一个因子。令 p=ab。注意
p|ab，所以 p|a 或者p|b。 如果p|a， 则 p和a 相伴；如果p|b， 则 p
和 b相伴, 于是 a 是单位。所以，p 只有平凡因子。
注意！！ 该定理的逆定理不一定成立。
例如9=3.3=(2+ 5 i)(2- 5 i)



定义11： 如果 R 中每个不是零和单位的元素都能唯一分解，则
称 R 是唯一分解整环。
定理15: R 是唯一分解整环，则 p 是素元当且仅当p 是不可约元。
证明：只证充分性。如果 p 是不可约元，且 p|ab。令ab=pc。
如果 a ， b中有单位或零元，则p|a 或者p|b 。 下面假设a ， b中
无单位或零元。注意 R 中无零因子，所以c不为零或单位，否
则pc是不可约元（不可约元与单位的乘积仍然是不可约元）且
有真因子a，b， 矛盾。由于R 是唯一分解整环，于是a，b，c都
可以唯一分解；
a = p1 p2  pk ； b = q1 q2  ql ； c = u1 u2 um
即有 pu1 u2 um = p1 p2  pk q1 q2  ql 。有唯一分解定义知，p
与某个 pi 或 qi 相伴。于是p|a 或者p|b。

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主理想整环：如果 R 中的每一个理想都是一个主理想。
定理16: 主理想整环是唯一分解整环。
该定理的证明需要两个引理，由于课时原因我们略去相关的
证明。
该定理的逆命题不成立: 例如整数环上的多项式环Z[x]是一
个唯一分解整环,然而不是主理想整环.
欧氏环R ：如果R满足
（i）有一个从R的非零元集到非负整数集的映射ф存在。
（ii）给定了R的一个不等于零的元a，R的任何元b都可以写成b= q a+r（ q ,
r∈R）的形式，其中r=0或ф(r)<ф(a).
例如：整数环是欧氏环 （如何给出对应的映射？）
定理17：欧氏环R一定是一个主理想整环。
证明：设 I 是 R 的一个理想。如果I 是零理想，显然是主理想。 否则，考
虑 I 所有非零元素在映射ф下的像集(它是非负整数集的一个子集)，该集
中必定有一个最小者，记为ф(a)， 这里a∈I. 那么对任意 b ∈I， 存在q，r
使得 b=qa+r ，其中r=0或ф(r)<ф(a). 注意 r=b-qa ∈I, 如果r不为零，与ф(a)
为最小矛盾。 于是r=0 即 b=qa。 于是 I 包含于 <a>， 反过来<a> 包含于I。
于是 I = <a>。 也就是说，R的任意理想都是主理想。

注意：该定理的逆命题也不一定成立！
推论： 欧氏环是唯一分解整环。 （欧氏环主理想整环唯一分解整环）
作业
1、循环环的理想都是主理想。
 2、证明：在环 {a+b 5 i| a,b 是整数}中，元素
2+ 5 i 不能整除3。

习题课
一、本章的主要内容及要求
1． 主要内容
环的定义及其运算规则
子环
环的同态
交换环、含幺环、无零因子环、整环
2．要求：
判别给定代数系统是否为环、交换环、含幺环、无零
因子环、整环
了解环的运算性质, 能进行环中的运算.
能判别环的子集是否为子环.
能判别映射φ是环 R1 到 R2 的同态映射.
二、练习
1．在整数环中定义∗ 和◇两个运算, a,b∈ Z 有
a∗ b = a+b1, a◇b = a+bab.
证明<Z, ∗, ◇>构成环
证 a,b∈Z 有 a∗b, a◇b∈Z, 两个运算封闭.
结合律 任取 a,b,c∈Z
(a∗b)∗c = (a+b1)∗c = (a+b1)+c1 = a+b+c2
a∗(b∗c) = a∗(b+c1) = a+(b+c1)1 = a+b+c2
(a◇b)◇c = (a+bab)◇c = (a+bab)+c(a+bab)c
= a+b+c (ab+ac+bc)+abc
a◇(b◇c) = a◇(b+cbc) = a+(b+cbc)a(b+cbc)
= a+b+c (ab+ac+bc)+abc
1 为∗运算的单位元. 2a 为 a 关于∗运算的逆元.
∗运算满足交换律, 所以 Z 关于*运算构成交换群, 关于◇
运算构成半群.
◇关于∗运算满足分配律.
a◇(b∗c) = a◇(b+c1) = a+(b+c1)a(b+c1)
= 2a+b+cabac1
(a◇b)∗(a◇c) = (a+bab)+(a+cac)1
= a+b+a+cabac1 = 2a+b+cabac1
<Z, ∗,◇>构成环.
2
2. 设<R,+,·>是环, a,b 为环中任意元素, 计算(a+b) (ba).
解
(a+b)2 (ba)
2
2
= (a +ab+ba+b )(ba)
= a b+ab +bab+b a ababa b a
2
2
3
3
2
2


3. 设 A   a b  a, b, c  Z  ,


 0 c 

A 关于矩阵加法和乘法构成环.

 0 0 
证明 B  
 x  Z  是 A 的子环.

 0 x 
给出 A 到 B 的一个同态映射 f.
证
0 0

 B, B 非空.
0 0
0 0
0 0
, y  
 ,
任取 B 中元素 x  
0 a
0 b
xy, xyB，根据子环判定定理, B 是 A 的子环.
令
f :A B
 a b  0 0
   

f  
 0 c  0 c 
则 f 是 A 到 B 的同态映射.
4. 判断下列集合和给定运算是否构成环、整环和域,
如果不构成, 说明理由.
（1）A = {a+bi | a,b∈Q}, 其中 i2= 1, 运算为复数加法和乘法.
（2）A={2z+1 | z∈Z}, 运算为实数加法和乘法
（3）A={2z | z∈ Z}, 运算为实数加法和乘法
（4）A={x | x≥0 ∧ x∈Z}, 运算为实数加法和乘法.
（5） A  {a  b 4 5 | a, b  Q} , 运算为实数加法和乘法
解 （1）是环, 是整环, 也是域.
（2）不是环, 因为关于加法不封闭.
（3）是环, 不是整环和域, 因为乘法没有么元.
（4）不是环, 因为正整数关于加法的负元不存在, A 关于加法不构
成群.
（5）不是环, 因为关于乘法不封闭.