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非标准分析 ——经典数学的一种延伸
逻辑学
12硕
吕相洋
第二次数学危机
在17世纪晚期，形成了无穷小演算——微积分这门学科。牛顿和
莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：创立了朴
素的微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运
算……由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题
的重要工具。
18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而
不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、
微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意
性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数
及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。
在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严
重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理
？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第
二次数学危机。
消失的量的灵魂
f ( x)  x 2
(2  ) 2  2 2 2 2  2 * 2  2  2 2
f ' (2) 

 4  4


前面被作为非零项除掉的“无穷小”在后面又被视
为0而略去了，牛顿（莱布尼茨）的无穷小到底是什么，
贝克莱戏称为“消失的量的灵魂”
•
直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础
。波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级
数展开及求和；柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量出发
，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷
小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的
变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在
这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现
在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极
限的基础上。
•
19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立
了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，
从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。
在严格化后的微积分理论中，无穷小不再
是一个固定的量，而是以零为极限的变量。
f ( x)  x 2
(2  ) 2  2 2
f ' (2)  lim  0

2 2  2 * 2  2  2 2
 lim 0

 lim 0 4    4
但古典极限理论的较为繁复，而在工程
师、物理学家、化学家的语言中使用“瞬
时”、“微元”这样的不够精确的概念并
没有影响的结果的正确性。
实无穷的复活——逻辑学家的意外发现
（一阶逻辑广义完全性定理）如果形式语言L的一个语句集
是一致的，那么这个语句集有一个模型。
（紧致性定理）如果L的语句集K的任意有穷子集一致，那么
K一致。
设实数域R是K的一个模型， H为以下无穷个语句所组成的
集合 : r < w, r取遍所有实遍所w为一个新的个体常量。
由紧致性定理 : M  K  H存在模型，选取其中一个，记为* R，
显然，w  *R  R，从而* R是R的真超集。
由于R的每个非零元素都有乘法逆元，
根据转换原理（随后将证明），
* R中的每个非零数也都有
有乘法逆元，由于w大于所有实数，所以对每个r  R, r  0,
1 / w  r , 于是对每个r  R, r  0, | 1 / w | r
具有这种性质的* R中的数，称为无穷小。
当然，
* R中有无限多个无穷大，如w  1,2 w
也有无限多个无穷小，如m是无穷小，那么2m，
3m也是。
挪威逻辑学家Skolem最先发现描述自
然数集的计数公理（如一阶Peano公理）不
仅以自然数为其“标准”模型，他由此否
定自然数集N，而R.robinson把skolem的思
想开拓到实数域，为无穷小演算奠定了严
格的逻辑基础，它兼容算术的非标准模型，
因此他称这一课题为非标准分析，其开拓
性的工作，具有不可磨灭的历史功绩。
• 可以认为，NSA实际上是对标准分析进行
“理想元素”的添加，如前所述，无穷大
与无穷小并非不可思议，NSA的第一个功
绩便是延续数学史上扩张数系的研究。
• 令人奇怪的是，在直线上塞进无理数之后，
扩充实数系的工作被忽视了长达百余年。
回忆从有理数Cauchy序列构造实数的Cantor理论，设Q N 是全体
有理数Cauchy序列{a n }nN 所成的集，并设 是Q N 上的等价关系
其定义为：
{a n }nN  {b n }nN  lim n (an  bn )  0
实数集乃是所有等价类所成的集R  Q N / , 为了定义R上的代数运算，
命  an ,  bn  分别表示{a n }nN ，
{b n }nN 所在等价类，
定义加法和乘法：
 an    bn  an  bn ,  an  *  bn  an * bn 
R上的序关系定义如下：
如果存在  Q , 使an  bn  对于充分大的n成立，则  an  bn 
最后通过嵌入：a  a, a, a,  
则Q恒等于R上的一个子集。
效仿上述过程，由R N 来构造 * R, 在R N 上定义了某种等价关系
之后，等价类全体* R上的加法和乘法类似定义，再通过嵌入
映射使R等同于* R的一个子集。
关键在于在R N 上定义何种等价关系，剖析一下Cantor的实数
理论，在由Q构造R的过程中，人们关心的只是极限，于是必须
将尽可能多的收敛到R的同一点（实数）的序列归入同一类，
这是并没有考虑序列渐进性态的差异，例如：
1
1
{ }和{ 2 }都等同于实数0，但它们的收敛速度不同。因此人们
n
n
要发展Cantor的构造思想，仅仅区分序列极限是不够的，还需要
更精细的等价类划分。
一些失败的尝试
余有穷等价关系 S ,即如果两个序列除有限项外皆相同，
则两序列相等，换句话说，化为同一等价类。
但是容易验证，R N /  S 有零因子，例如：
{an }  {1,0,1,0,1}，
{b n }  {0,1,0,1,0,}
R N /  S 不能构成域。
在逐步的探索中，由Edwin Hewitt于1948年创造的构造超实
数域 * R的超幂方法，已获得广泛认同，用超幂方法既构造了丰
富的点集，又保有良好的代数性质。
定义 设u是I上的一个非主超滤，命R N 表示全体实数序列所成
的集，设{a n }, {b n }  R N , 如果
{n | a n  b n }  u，则称{a n }和{b n }u相等，或几乎处处相等。
记为：
{a n }  u {b n }
由超滤的性质，容易验证， u 为R N 上的等价关系，且成功的排除了
零因子，再注意到：
1 1
 2 }  {1} u
n n
可以看出，
 u 可能是我们所期望的等价关系，事实上以 u 划分R N
{n |
的元素的等价类，在新的代数结构里避免了Cantor实数构造方
法的粗造性，会产生“相当多”的新元素，以后将证明，它保有
R的很多良好的代数性质，同时也将具有某些新性质，于是有
一下定义：
定义 按照  u 将R N的等价类的全体记为* R，即
* R  R N / u
称 * R为超实数系或R的非标准扩张。
{x n }  R N 所在的等价类
记为  x n  或xu ,*R的元素叫做超实数，特别的，
* N  N N /  u 的元素叫做超自然数。
试看嵌入映射*：R  *R,*R的代数性质以及* R的元素特征。
定义 对于任意r  R, 约定把r看作R N中的常序列，即
r  {r , r , r } 规定 *（r） *r ,*r表示常序列r  {r , r , r }
的等价类。
称 *：R  *R为R到 * R中的自然嵌入映射。
定义（集的自然嵌入） 如果A  R, 则规定

A  {* a | a  A}, 则称 A的元素为* R的标准实数，特别，称

N的元素为* R中的标准实数。
定理
*
R是R的真扩张。
证明：在R N中命xn  {n},由于u是非主超滤，所以不存在a  R,
*  a  x , 可见 R  *R，即* 为真嵌入映射。
在R N 上定义  ，
*以及序关系，使代数结构 * R成为一个线性有序域。
定义 设  x ,  y ,  z  *R，规定
 x    y  z  是指{n  N | x n  y n  z n }  u
 x · y  z  是指{n  N | x n ··yn  z n }  u
 x  y  是指{n  N | x n  y n }  u
在补充了运算以及序关系后容易验证，
* R是一个线性有序域
且自然嵌入映射* 是R到 R的保序同构。
鉴于  线性有序化* R，可以对* R中的元素引进绝对值的定义。
  x , 如果  x  0 
定义 * | x | 
  x , 如果  x  0 
为了区分* R和R中的元素，称x  *R  R为非标准实数，
称n  *N  N为非标准自然数。
为叙述的简便，在不至产生误解的情况下，我们简化一些记号，
例如* ，
* , N简记为  ， ，N。
定义（无穷大和无穷小）
设a  *R, 如果对每个r  R, 成立a  r , 则称a为正无穷大，例如 {1,2,3} 
如果对每个r  R, 成立a  r , 则称a为负无穷大。
设a  *R, 如果对每个r  R, 均有 | a | r , 则称a为无穷小，
1
记为a  0，例如  { } 
n
定义 设x, y  *R
如果x  y ∽ 0，则称x和y无限小接近，并记作x ∽ y.
x的单子（monad）是指m( x)  { y  *R | x ∽ y}
如果x  y是有限数，则称x和y有限接近，并记作x  y.
x的星系（galaxy）是指G（x） { y  *R | x  y}
例如，为超自然数，则，  3，  n彼此有限接近，而
 / n与不是有限接近的。
容易验证，
∽ 和  为 * R上的等价关系。
单子（monad）是leibniz的哲学名词，在法语里称为halo, 即
x被模糊的云雾所围绕。m(0)作为全体正负无穷小所成的集合，
确乎没有边界。
事实上，m(0)有上界，但没有上确界。若不然，设a是m(0)的
上确界，设a  m(0),由无穷小定义易见a  2a  m(0), 矛盾。
另一方面，如果a  m(0),则a / 2是m(0)的一个上界限，但a / 2  a,
a便不是上确界了，矛盾。
定理
（1）全体有限超实数所成的集G（0）是 * R的一个序子环，也就是说，
有限数的和、差以及成绩仍是有限数。
（2）全体无穷小集m(0)是 * R的一个子环。
（3）m(0)是G (0)的一个理想，这就是说，无穷小与有限数的乘积仍是
无穷小。
我们只证（1），设s, t  G (0), r  R , 且 | s | r/2,| t | r/2,则 | s  t | r
r2
| s - t | r,| st |
4
推论 任意两个单子m( x), m( y )不是相等，便是相交。
有限超实数基本定理 每个有限超实数x无限接近于唯一的一个
r  R, 也就是说，不是x  r , 便是x ∽ r , 因此，每个有限超实数均
可唯一地表示为一个标准实数与一个无穷小之和。
证：设x  *R是有限的，命
D1  {r1 | r1  R, r1  x}, D2  {r2 | r2  R, r2  x}
则D1 , D2作为 R中的一个Dedekind分割决定了唯一的r  R, 可证
x∽r
即证 | x  r | 为无穷小，若不然，便存在  R ，满足 | x  r | 。
当x  r时，x  ＞r  /2,这与r由D1 , D2决定矛盾（小于x的实数一定小于r）
同样，当x＜r时，r 

2
 r    x, 亦导致同样的矛盾。
设x  *R为有限数，称满足r ∽ x的唯一标准实数r为x的标准部分，
记作st ( x)  r , 映射G（0） R叫做标准部分映射。
定理 标准部分映射st是G（0）到R的保序环同态，即对于x, y  G（0），
st ( x  y )  st ( x)  st ( y )
st ( xy)  st ( x) st ( y )
st ( x  y )  st ( x)  st ( y )
当x  y时，st ( x)  st ( y )
非标准模型
•
NSA的应用应竟可能涵盖经典数学的所有研究对象，而经典数学的
定义都是用的集合论语言。所以我们先引入足以包括经典数学所有研
究对象的标准结构——超结构。
•
从超结构出发，用纯粹的集合论方法构造其对应的超幂型非标准模
型，则得到的非标准模型涵盖经典数学。从而可将经典数学置于NSA
体系下研究。
定义（超结构） 命E为任一非空集（比如测度空间或拓扑空间的基本点集），
并假定X  E  R, 归纳定义累积幂集Vn ( X )如下：
V0 ( X )  X
Vn 1 ( X )  Vn ( X )  P(Vn ( X ))
V (X ) 
n
V ( X )称为X上的超结构
nN
V ( X )的元素叫做V ( X )的实体，
V0 ( X )  X的实体也叫做V ( X )的个体，
称Vn ( X )  Vn 1 ( X )(n  1)中的实体具有秩n.
这样定义论域，我们就不需要高阶量词了，此外我们约定，X中的元素
即V ( X )的个体是所谓的“原子”，即如果x  X , 则对所有y  V ( X ),
yx
超结构的某些性质
•
•
•
•
•
•
•
•
∅为实体
每个Vn(X)为实体
实体的元素为实体
实体的子集为实体
实体的幂集为实体
V(X)的有限子集为实体
实体的有序n元组及Cartesian积为实体
n元关系和n元函数，其定义域和值域为实体者，
它们本身亦为实体。
实体的例子
R上的  ， ，
*，
 等关系为实体；
R 2为实体，因为如果x, y  R, 则（x, y） {{ x}, {x, y}}  P( x).
于是（x, y） V2 ( X ), 从而R 2  V3 ( X )  V ( X ), 又定义域为D  R
的任意实值函数可看做有序实数对所成的集合，所以它属于
V3 ( X ), 进而泛函属于V（
6 X）
拓扑也为实体，如R上的通常拓扑乃是R的全体开子集所成的族。
代数运算可看做函数，所以是实体。


举这些例子无非是说明这一集论结构对于经典分析学而言是够用
的框架，但这并非说对任意基本点集X （E  R）
, 在其上建立
V（X）即可包容所有研究对象，我们的基本思想是，按照现代数
学的观点，所有数学对象都可最终定义为集，从而数学各分支
都可以嵌入到集论结构当中，为了特定的研究目的，可以相应
选定特定的基本点集。
常见实体的非标准扩张
先前我们用非主超滤u得到R的非标准扩张* R  R N /  u , 并定义了
嵌入映射*：R  *R，运算* ，
* ，
*  及绝对值函数* | · | ，
可以将这种超幂构造方法推广到超结构V ( X ),鉴于V ( X )的累积构造
稍微复杂些，为了便于理解，先考虑某些实体的扩张。
函数与关系的扩张
设f为R上的一个k元函数，即
f : R  R  R  R
则 * f定义为：
* f (*x1 , * x k )  * y  {n  N | f ( x1n ), f ( xnk )  yn }  u
很明显，当且仅当f (r1 ,  rk )  r时，
* f (*r1 , * rk )  *r
所以* f确乎是f的扩张。
同样，可以扩张R上的n元关系P到 * R上的一个关系* R
R的子集的扩张
设E  R，E相当于R上的一个一元关系，于是
* x  *E  {n  N | xn  E} u
即 * E  { x  *R | {n  N | xn  E} u}, 从而 * E  E
例如设E  (0,1],由子集扩张的定义，
* E将含有除* 0以外的
所有正无穷小，于是(0,1]  *(0,1]
有了实体的扩张，再通过构造映射*：V ( X )  V (*X ),即可建立
标准模型与非标准模型的联系。构造过程分两步：
①构造V（X）的有界超幂V ( X ) N /  u
②把V ( X ) N /  u 映入另一个超结构V (*X )
定义（有界实体序列） 设A  {A1 , A 2  A n , }是V（X）的一个
实体序列，如果存在某个n, 使得每个Ai  Vn ( X ),则称实体序列A
有界。记满足条件的最小自然数为该序列的秩。对于V ( X ) N 中
的等价类  A  ，记该等价类中秩最小的元素的秩为 A  的秩。
定义（有界超幂） V ( X ) N /  u { A | A  的秩有穷}
定义（超幂中的u ） V ( X ) N /  u 中的属于关系u 定义为：
 A u  B  是指{n  N | A n  B n }  u
显然，存在V ( X )到V ( X ) N /  u 的自然嵌入映射，记为e。
定理 存在嵌入映射
M：V ( X ) N /  u  V (*X )
满足以下两个条件：
①对于V ( X ) N /  u 中秩为0的元素，M是“恒等”映射。
②对于V ( X ) N /  u 中秩大于0的元素, 有
M（  A  ） {M（  B  ）| B u  A }
证明是构造性的，通过对  A  的秩施归纳。
自然嵌入映射e和嵌入映射M的重要性质
①e和M都是单射；
②e把X映入 * X，M则把 * X映满 * X
③A  B  e( A)  e( B);  A u  B  M ( A )  M ( A )
定义（映射*）规定映射
*：V ( X )  V (*X )
为*  M  e
形式语言及其解释
有了（非）标准模型后，引进一阶形式语言（方便起见，用超
结构中的元素确定L的常词）及其解释，即可建立V ( X )和V (*X )
的命题之间的关系并探讨内实体、外实体等等重要概念。
定义（* 转换） 设V ( X )满足，先在V ( X )内对做出解释I ,
然后在的每个被解释的常项上加上 *，则得到的 * 转换 * 
例如：语句（半形式化语言）
[ y  R） y  y  x]]
（x  R） [ x  0 （
是说凡是实数不是负数便是某个实数的平方，其 * 转换为
[ y  *R） y *  y*  x]]
（x  *R） [ x*  *0 （
超结构的超幂扩张示意图
Los定理
定义（有界公式）如果一个公式的每个量词总在以下形式中
出现：
x[(x  A)  [ ]]
x[(x  B)  [ ]]
其中A、B为L的常词，则称这一公式为有界的。
（Los定理）设（x1 , x2  xn）是L的一个有界公式，其中
x1 , x2  xn为仅有的自由变元，又设  A1 ,   An V ( X ) N /  u ,
则在V (*X )中
* （M ( A1 ), M ( An )）
成立的充要条件是
{k  N |  (A1 (k), A n (k))在V（X）中成立}  u
归纳证明的关键步骤：
假定对于（
1 x, x1 , ，xn）定理真，对于x1，
先证  ，设 * ( M ( A1 ), M ( An ))
 *((x  B)1 )(x, M ( A1 )  M ( An ))
在V (*X )中成立，即设(x  B) * 1 ( x, M ( A1 )  M ( An ))在V (*X )中
成立，那么如果存在某个M ( A )  B，使得* 1 ( M ( A ), M ( A1 )  M ( An ))
在V (*X )，根据假设，
{k  N | (A (k), A n (k))在V（X）中成立}  u，由超滤对超集的
封闭性，
{k  N | (A1 (k), A n (k))在V（X）中成立}  u
次证  ，设T  {k  N | (A1 (k), A n (k))在V（X）中成立}  u, 对于每个k  T ,选取
某个A(k),对于k  T ,命A(k)为B中任意实体，如此构造出A，则  A V ( X ) N /  u ,
则{k  N | A(k) B  1 (A1 (k), A n (k))在V（X）中成立}  u,由归纳假设，
( M ( A)  B  *1 ( M ( A1 )  M ( An ))在V（* X）成立，从而：
(x  B) * 1 ( x, M ( A1 )  M ( An ))在V（* X）成立。
推论（转换原理） 设是超结构V ( X )的一个陈述，如果在形式语言L
中是有界语句，则在V ( X )中成立的条件是其* 转换 * 在V (*X )成立。
证 由于没有自由变元，由Los定理，
* 在V (*X )成立的充要条件是
S  {n  N | 成立}  u,由于在V ( X )中iff
S  N , 所以* 真等价于真。
转换原理的基本运用
① * R不是Archim edes有序的，而是* Archim edes的。
R的Archim edes性可表达成语句：
(x  R )(y  R )(n)[n  N  x  ny]
其 * 转换：
(x  *R )(y  *R )(n)[n  *N  x  ny]
在V (* X )中成立。
y
)
x
由转换原理，R上的基本代数运算规则在 * R上成立，
②f ' ( x)  st (
例：f ( x)  x 2
(2  ) 2  2 2 2 2  2 * 2  2  2 2
f ' (2) 

 4 ∽4



③（Olivier定理）如果正项单调递减级数 an收敛，则nan  0
1

非标准证明：
0 ∽  an  [ w / 2]aw  wa w ∽ 0 （w  *N  N）
w/ 2
• 上述仅仅是非标准分析NSA的几个最最基
础的应用。事实上，NSA可以覆盖经典数
学的近乎全部分支，经典数学的很多成果
运用NSA方法可以异常简便的得到。
• 除了作为研究标准数学的工具，NSA本身
对无穷的引入，亦开辟了数学、哲学研究
的广阔新天地。
NSA尚未被广泛认可和应用的原因
• 一些人认为，对于经典数学而言，NSA能够得到的结果标准方法应该
也都能得到，而大家已经习惯了经典方法。
• 不同于有理数、实数、复数的扩充。非标准数系的扩充本身是不同构
的（尽管这不影响我们得到一些很好的结果），而且尚未找到很好的
几何、物理模型。
• 一些数学工作者对逻辑领域成果的忽视。
算数从整数开始，继而通过添加有理数和负数以及
无理数等，逐次扩大了数系，但在实数之后，下一个
自然扩张，即添加无穷小，竟被完全忽略了，在微积
分发明长达三百年之后，第一个严格的无穷小理论始
发起来，我认为，在未来的世纪里，后代将会把这一
延误看作一件咄咄怪事。
未来的分析学将是某种NSA!
——哥德尔
that's all,thank you!