Transcript 代数结构小结 第一部分 代数系统一般概念 一、代数系统 1．主要内容 （1）构成代数系统的成分 非空集合-----载体 集合上的二元运算和一元运算：封闭性 公理-----运算的性质 （2）二元运算的表示----表达式、运算表 （3）二元运算的性质----算律 交换、结合、幂等、消去 分配、吸收 （4）特异元素-----单位元、零元、幂等元、逆元 2．要求 （1）熟悉运算的表示法 （2）判断给定集合和运算能否构成代数系统 （3）判断给定二元运算的性质 （4）求出二元运算的特异元素 （5）了解同类型和同种代数系统的概念 3．注意：对于带参数的集合要进行讨论 二、构造代数系统 1． 主要内容---子代数、积代数和商代数 （1）子代数 定义：非空子集，关于原代数系统的运算（含 0 元运算）封闭 性质：保持所有的算律和代数常数，与原代数系统是同种的 平凡子代数 （2）积代数 定义：V1V2 性质：能保持算律(除消去律外)和代数常数，是同类型的 （3）商代数 运算定义：同余类[a]*[b]=[ab] 性质：能保持算律(除消去律以外)和代数常数，是同类型的 注意：良定义的验证 2．要求 （1）判断代数系统的子集是否构成子代数 （2）求出给定代数系统的子代数 （3）求出给定代数系统的积代数 （4）判断关系是否为同余关系 （5）求出给定代数系统的商代数 （6）掌握子代数、积代数、商代数与原代数系统的关系 三、代数系统之间的关系-----同态与同构 1．主要内容 （1）同态映射定义 f (o( x1 , x2 ,...,xk ))  o( f ( x1 ),

代数结构小结
第一部分
代数系统一般概念
一、代数系统
1．主要内容
（1）构成代数系统的成分
非空集合-----载体
集合上的二元运算和一元运算：封闭性
公理-----运算的性质
（2）二元运算的表示----表达式、运算表
（3）二元运算的性质----算律
交换、结合、幂等、消去
分配、吸收
（4）特异元素-----单位元、零元、幂等元、逆元
2．要求
（1）熟悉运算的表示法
（2）判断给定集合和运算能否构成代数系统
（3）判断给定二元运算的性质
（4）求出二元运算的特异元素
（5）了解同类型和同种代数系统的概念
3．注意：对于带参数的集合要进行讨论
二、构造代数系统
1． 主要内容---子代数、积代数和商代数
（1）子代数
定义：非空子集，关于原代数系统的运算（含 0 元运算）封闭
性质：保持所有的算律和代数常数，与原代数系统是同种的
平凡子代数
（2）积代数
定义：V1V2
性质：能保持算律(除消去律外)和代数常数，是同类型的
（3）商代数
运算定义：同余类[a]*[b]=[ab]
性质：能保持算律(除消去律以外)和代数常数，是同类型的
注意：良定义的验证
2．要求
（1）判断代数系统的子集是否构成子代数
（2）求出给定代数系统的子代数
（3）求出给定代数系统的积代数
（4）判断关系是否为同余关系
（5）求出给定代数系统的商代数
（6）掌握子代数、积代数、商代数与原代数系统的关系
三、代数系统之间的关系-----同态与同构
1．主要内容
（1）同态映射定义
f (o( x1 , x2 ,...,xk ))  o( f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xk ))
（2）同态映射的分类及其符号表示 ，
（3）同态映射的基本性质

同态像中保持运算的性质
---交换、结合、幂等、分配、吸收律

同态像中保持特异元素---单位元、零元、逆元

同态保持子代数

同态映射导出同余关系

同态基本定理
2．要求
（1）判断函数是同态或同构映射
（2）判断同态映射的类型（满同态、单同态、同构）
（3）证明两个代数系统同构或者不同构
（4）掌握同态的性质
（5）熟悉同态基本定理
（6）熟悉典型的同态映射实例
自然同态、典型代数系统的自同态等
第二部分 典型的代数系统
一、半群与独异点
1．主要内容
（1）半群与独异点的定义及其实例
（2）幂运算性质
（3）子半群与子独异点
（4）积半群与积独异点
（5）半群与独异点的同态映射
2．要求
（1）判断或证明代数系统为半群或独异点
（2）证明半群或者独异点的性质----利用结合律和幂运算规则
（3）判断子集是否构成子半群和子独异点
（4）判断映射是否构成同态或者同构
二、群
1．主要内容
（1）群的定义、实例与术语（有限群、无限群、平凡群、交换群
或 Abel 群、群的阶、元素的幂、元素的阶）
（2）群的基本性质
幂运算规则、消去律、群方程有解、元素阶的性质
（3）子群的判别定理
（4）陪集的定义及其性质
（5）拉格朗日定理及其应用
（6）正规子群的判别定理和方法
（7）商群的定义和实例
（8）群同态映射的定义及其性质
（9）循环群的生成元和子群
（10）置换群
2．要求
（1）判断或者证明代数系统是群
（2）群的基本性质及其简单证明题
（3）证明 G 的子集构成子群，求 G 的子群格
（4）熟悉陪集的定义和性质
（5）掌握拉格朗日定理及其推论的应用
（6）会判别和证明子群的正规性
（7）掌握商群的概念及其性质
（8）掌握同态映射的定义及其性质，证明同态或者同构
（9）会求循环群的生成元及其子群
（10）熟悉 n 元置换的表示法、置换乘法以及 n 元置换群.
（11）了解群的直积
（12）了解同态基本定理及其应用
三、环与域
1． 主要内容
（1）环的定义及其运算规则
（2）子环的定义及判别
（3）交换环、含幺环、无零因子环、整环和域
（4）理想及商环的定义
2．要求
（1）判别或者证明给定代数系统是否为
环、交换环、含幺环、无零因子环、整环、除环和域
（2）了解环的运算性质, 能进行环中的运算
（3）能判别或者证明子集是否为子环、子域
（4）能判别或者证明映射 是环 R1 到 R2 的同态映射.
（5）了解理想及其商环的概念及其实例
四、格与布尔代数
1．主要内容
（1）格的两个等价定义
偏序集定义、代数系统定义及其关系
（2）格的性质---对偶原理、算律以及不等式
（3）子格定义及其判定
（4）格的同态与同构
同态定义、性质
（5）特殊格的定义、性质及其判定
模格、分配格、有界格、有补格
（6）布尔代数定义与性质、同态以及有限布尔代数的结构
2．要求
（1）能够判别给定偏序集或者代数系统是否构成格
（2）能够确定一个命题的对偶命题
（3）能够证明格中的等式和不等式
（4）能判别格 L 的子集 S 是否构成子格
（5）判断或者证明格的同态、同构
（6）能够判别给定的格是否为模格、分配格、有补格
（7）能够判别或者证明布尔代数
（8）证明布尔代数中的等式或进行化简