Transcript 李雅普诺夫稳定性理论

第
四
章
动态系统的稳定性分析
本章内容：
1 稳定性基本概念
2 李雅普诺夫意义下的稳定性
3 李雅普诺夫第一法
4 李雅普诺夫第二法
5 线性定常系统渐近稳定性判别法
第一节
李雅普诺夫稳定性定义
一、稳定性基本概念
1. 平衡状态： xe
 f ( xe , t )  0
xe  系统的平衡状态
a. 线性系统
A非奇异：
A奇异：
x  Ax
x  Rn
Axe  0  xe  0
解唯一,平衡点只有
一个
Axe  0  有无穷多个xe
b. 非线性系统
x  f ( xe , t )  0  可能有一个或多个xe
例：
x1  x1
x2  x1  x2  x
3
2
x1  0
令




0
xe  
1 0
x2  0
0 
xe3   
1

0
xe2   
 1
2. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的
邻域内不存在别的平衡状态。
说明：
(1)
系统不一定都存在平衡点；
(2)
但系统也可能有多个平衡点；
(3)
平衡点多数在状态空间的原点，可通过适当
的坐标变换移到原点（针对孤立平衡点）；
(4)
稳定性问题都是相对于某个状态而言的，对
多平衡点问题需针对各状态讨论。
二、李雅普诺夫意义下的稳定性
定义4-2：系统x  f ( x, t )平衡状态xe的H邻域为
x  xe  H , H  0,  为2范数(欧几里德范数)
即 x  xe 
x1  xe1 2  x2  xe2 2    xn  xen 2
说明：
(1) 考虑的是平衡状态的邻域
(2) 利用2范数定义该邻域，实质为一超球体
(3) 若状态空间为2维的，则平衡状态的邻域为以该状态
为圆心，半径为H的圆
二、李雅普诺夫意义下的稳定性
定义4-2（续）
类似地, 定义球域S ( ), S ( ).
在H邻域内, 对任意0    H , 均有：
(1) 如果对应于每一个S ( ), 存在一个S ( ), 使得当t  
时, 始于S ( )的轨迹不脱离S ( ),则平衡状态xe  0称为在
Lyapunov意义下是稳定的。对于 , 有 ( , t0 )即与 , t0
有关。如果与t0无关, 则此平衡状态称为一致稳定的
平衡状态 — —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t  t0时, 系统受扰动, 平衡状态受破坏, 产生对应初始状态
x0 , 当t  t0后, 运动状态x(t )会发生变化。
若无论多么小球域S ( ),总存在一个球域S ( ),当
x0  S ( )时, x(t )轨线不会超出S ( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。
实际上，工程中的李氏稳
定是临界不稳定
S ( ) S ( )
B 无摩擦，
Xe
等幅振荡
A
定义4-3(渐近稳定)
若系统不仅是Laypunov意义下的稳定, 且有 lim x(t )  xe
t 
则称xe是渐近稳定的。若 ( , t0 )   ( )与t0无关, 则称
一致渐近稳定。
几何意义
S ( )
S ( )
物理意义
Xe
A
球受外力离开
平衡点,存在摩
擦力时,小球最
终静止在A点。
定义4-4(大范围渐近稳定)
若对任意x0都有 lim x(t )  xe , 则称xe是大范围渐近稳定。
t 
又称全局稳定。
S ( )
S ( )
Xe
必要条件：只有
一个平衡点。
定义4-5(不稳定)
对任意给定实数  0, 不论多么小, 至少有一个x0 ,当
x0  xe   , 则有 x(t )  xe   , 则称xe不稳定。
Xe
对概念的几点说明：
(1) 若系统渐近稳定，则对于x’=Ax而言，A特征值
应均有负实部。
(2) 若系统大范围渐近稳定，则其必要条件是在整个
状态空间中只有一个平衡点。
(3) 除非S ( )对应于整个状态平面, 否则这些定义只能应用
于平衡状态的邻域。
对概念的几点说明：
(4) 对于图(d),轨迹离开S ( ),说明平衡状态不稳定, 却不说明
轨迹趋于无穷远处。轨迹还可能趋于S ( )处的某一极限环。
(线性定常系统不稳定, 则不稳定平衡点附近出发的轨迹将
趋于无穷远; 但对非线性系统, 这一结论不成立)
(5)线性系统渐近稳定等价于大范围渐近稳定。对非线
性系统,一般只考虑吸引区为有限定范围的渐近稳定。
第二节
李雅普诺夫间接法
思想：李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2 ,, n
或者说系统极点来判断系统稳定性。
一、线性定常系统的稳定性
 x  Ax

 xe  0是一个平衡点
线性定常系统的稳定性判别定理：
(1)李氏稳定
A的约当标准形J中，实部为0的特
征值所对应的约当块的维数是一维的，其余特征值
均有负实部。
(2)渐近稳定
(3)不稳定
A的特征值均具有负实部。
A的特征值中至少有一个有正实部。
说明：
(1)劳斯判据依然适用。
(2)状态稳定(内部的稳定)与BIBO稳定(输出稳定性)。
解释：
J  P1 AP A~J 考察e Jt即可看出e At的有界性
例1：
0 0 
J1  

0 - 1
李氏稳定
0 1 
J2  

0
0


不稳定
0 0
J3  

0 0
李氏稳定
0 0 
A  J1  

0
1


e
At
1 0 

-t 
0 e 
1 0   x10   x10 
x ( t )  e x0  

   -t
-t  
 0 e   x20   e x20 
李氏稳定
x(t )有界
At
0 1 
A  J2  

0 0
e
At
1 t 


0
1


1 t   x10   x10  tx20 
x(t )  e x0  





x20 
0 1  x20  
At
t  时, x10  tx20    x(t )  
不稳定
例2：
0 6 - 2
x  
x   u

1 - 1   1 
y  0 1x
求A的特征值：det   I  A     1  6     2   3  0
不稳定
得A特征值： 1  2, 2  3
二、非线性系统的稳定性
非线性系统的稳定性一般是局部的。用间接法判
断时，应在平衡点处先线性化。
非线性系统x  f ( x, t )在xe附近线性化：
f
x  T
x
xe
高阶导数项
x  xe   R(x)
f
令 x   x  xe , A  T
x
xe
 f1
 x
 1
 f 2
  x1


 f n
 x1
f1
f1 

x2
xn 

f 2
f 2 

x2
xn 



f n
f n 

x2
xn 
xe
.
则 x  x ( xe常数)
.
x  Ax
判别定理：
(1) A 的所有特征值均有负实部, 则xe是渐近稳定的,
与R( x)无关.
(2) A 的特征值至少有一个有正实部, 则xe是不稳定的,
与R( x)无关.
(3) A 的特征值至少有一个实部为0, 则xe的稳定性
与R( x)有关, 不能由A来决定.
说明： (1) x 不一定为0.
e
(2)并不是对所有的非线性系统都可用间接法判别;
(3) 此方法只能判定xe局部稳定与否, 不能判定范围.
例： x  0.5x  2 x  x 2  0
 x1  x2
令 x1  x

2

x2  x
 x2  0.5 x2  2 x1  x1
 x1  0
平衡点 
 x2  0
 x1  0
和

 x2  0
f1
f2
 x1  2

 x2  0
0
- 2
即 xe1    xe2   
0
0
在 xe1 处
f
A1  T
x
线性化：
x  xe1
1 
 0


2
2
x
0.5
1


两个负实根，渐近稳定
xe1
1 
0


2
0.5


在 xe2 处
线性化：
f
A2  T
x
x  xe2
0 1 
 

2
0.5


2  0.5  2  0
有一个正实根，不稳定
例：
 x1  x1  x1 x2

 x2   x2  x1 x2
 x1  0
平衡点 
 x2  0
0
1
即 xe1    xe2   
0
1
 x1  x1  x1 x2

 x2   x2  x1 x2
在 xe1 处
f
A1  T
x
线性化：
x  xe1
 1-x2 -x1 


x
1

x
1
 2
其特征值 1  1, 2  1
所以，系统在 xe1 处不稳定
在 xe2 处
线性化：
f
A2  T
x
x  xe2
0 -1


1
0


其特征值 1  j, 2   j
实部为0，不能由A来判断稳定性
xe1
1 0 


0
1


第三节
李雅普诺夫直接法
李氏直接法通过找一个能量函数V(x)来判断系统
的稳定性。如果V(x)能量减小，系统可能稳定；V(x)
增大，则系统不稳定。但并不是所有的系统都可以
找到能量函数。
一、函数的定号性
设x是n维向量, V ( x)是标量函数.对x  0, V ( x)  0, 当x  0
有 : (1) V(x)  0 V(x)正定；
(2)V(x)  0 V(x)半正定；
(3)V(x)  0 V(x)负定;
(4)V(x)  0 V(x)半负定.
 x1 
例： x   
 x2 
V ( x)  x12  x22  0 正定
x12  x22
V ( x) 
 0 正定
2
2
1  x1  x2
V ( x)  x12  0 半正定
 x1  0, x2  0
V ( x)  x1  x2 2  0 半正定 x1  x2 


V ( x)   x12  x22  0 负定
V ( x)  x1  x2 2  0 半负定
二、二次型
 p11
p
21
T

V ( x)  x Px   x1 x2 xn 


 pn1
 p11 x12  p12 x1 x2  p13 x1 x3  
p1n   x 1 



p22 p2 n   x2 
 
 
pn 2 pnn   xn 
p1n x1 xn 
p12
p22 x22  p21 x2 x1  p23 x2 x3 
 p2 n x2 xn 
pnn xn2  pn1 xn x1  pn 2 xn x2 
 pn ( n 1) xn xn 1
P为实对称矩阵, pij  p ji
例： V ( x)  2 x12  4 x1 x2  5 x22  6 x32  8 x2 x3
 2 2 0
 xT 2 5 4  x
0 4 6
V(x)的定号性完全由P来确定。
希尔维斯
特判据
P的正负判定：通过P的主子式的正负来判断。
P的顺序主子式：
P1  p11, P2 
p11 p12
p21 p22
p11 p12  p1n
,  , Pn 
p21 p22  p2 n

pn1 pn 2  pnn
(1) 若Pi  0, 则P是正定的  V ( x)正定;
 Pi  0 i  1,2, ,n-1
(2) 若
, 则P半正定  V ( x)半正定;
 Pn  0
 0 i为偶数
(3) 若Pi 
则P  0, 负定  V ( x)负定;
 0 i为奇数
 0 i为偶数

(4) 若Pi  0 i为奇数 则P半负定  V ( x)半负定
 0 i  n 

例： V ( x)  2 x 2  6 x x  7 x 2  6 x 2  4 x x
1
1 2
2
3
1 3
2 3 2 
 xT 3 7 0  x
2 0 6
P1  2  0
2 3
P2 
50
3 7
2 3 2
P3  3 7 0  2  0
2 0 6
∵P的顺序主子式都大于0
∴P是正定的 ∴V(x)正定
例：
V ( x) 
2 x12
 8x1x2 
x22
2 4
x 
x

4 1 
T
2 4
P1  2  0, P2 
 14  0
4 1
不定
例：
V ( x) 
 x12
 2 x1x2  4 x22
 1 1 
x 
x

 4 4
T
1 1
P1  1  0, P2 
30
4 4
负定
Lyapunov直接法通过构造能量函数来判断，建
立在用能量分析稳定性的基础上。
能量>0
能量=0
能量=0
能量>0
例： 如图所示机械系统：弹簧K，阻尼器B，质量M
B
y
M y
选择M位移y和
速度y为状态变量
K
 x1  y
则
 x2  y
 x1  x2


K
B
x2   x1 
x2

M
M

1 2
1
系统能量 : 弹簧 K中势能 Kx1  M动能 Mx 22
2
2
1 2 1
用V(x)表示系统的能量： V ( x)  Kx1  Mx 22
2
2
显然, 在运动中( x1  0, x2  0)V ( x)  0, 能量以热能形式
耗散在阻尼器中, 耗散速率为：
V ( x)  Bx1x2  Bx22
∴ V(x)随时间减小，从而运动的轨迹也将随时间增
大而趋于坐标原点。
∴ 坐标原点是渐近稳定。
Lyapunov直接法就是利用V ( x)和V ( x)的正负来判别
稳定性。
定理4-2： n阶系统为x  f ( x, t ),平衡状态为xe  0, 若
存在标量函数V ( x)满足 :
(1) V ( x)对所有x都有一阶连续偏导数;
(2) V ( x)是正定的,即V ( x)  0;
dV ( x)

(3) V ( x) 
, 若有：
dt
(a ) V ( x)半负定, 即V ( x)  0, 则xe李氏稳定;
(b) V ( x)负定, 即V ( x)  0, 则x 渐近稳定;
e
(c) V ( x)半负定, 即V ( x)  0, 但V ( x)不恒为0, 则xe 渐近稳定;
(d ) 对(b)或(c),当 x  , 有V ( x)  , 则xe大范围渐近稳定;
(e) V ( x)正定, 即V ( x)  0, 则x 不稳定.
e
对李氏函数的讨论：
(1) V(x)是一正定标量函数，且对x具有一阶连续偏导。
(2) 对于一给定系统，若V(x)可找到，那么通常是非唯一
的，但这并不影响结论的一致性。
(3) V(x)的最简单形式是二次型函数 V ( x)  xT Px ，其中P
为实对称方阵，它的元素可以是定常的，可以是时变的，
但V(x)并不一定都是简单的二次型。
(4) V(x)函数只表示系统在平衡状态附近某邻域内局部运动的
稳定情况，但丝毫不能提供邻域外运动的任何信息。
(5) 由于V(x)构造需要技巧，因此Lyapunov第二法主要用
于那些使用别的方法无效或难以判断其稳定性的问题，
如高阶非线性系统或时变系统。
(6) 只有V(x)可判稳定性时，才称其为李氏函数。


例：  x1  x2  ax1 x12  x22

2
2


x


x

ax
x

x
1
2 1
2
 2
解：
 x1  0
先求平衡点
 x2  0

取V ( x)  x12  x22
判稳定性。

xe  0 唯一
显然是正定的,且
有连续一阶偏导

V ( x)  2 x1 x1  2 x2 x2  2a x12  x22

2
(1) a  0时,V(x)  0 负定  xe 渐近稳定
且当 x  ,V ( x)    是大范围渐近稳定
(2) a  0时,V(x)  0 李氏稳定
(3) a  0时,V(x)  0 正定  xe不稳定
x2
x0
x2
x2
x0
x12  x22  C0  V ( x0 )
x12

x22
 C1
x(t )
x(t )
x(t )
0
x1
x0
0
x1
0
x1
x12  x22  C2
(a)
(b)
(c)
(a) V(x)  0时, 能量不断减小。因不断减小，
 渐近稳定
(b) V(x)  0时, 能量不断增大。因不断增大，
 不稳定
(c) V(x)  0时, 能量不变, 始终在圆上运动。
例： x   0 1 x
- 1 0 


判稳定性。
(1) 特征根  j 李氏稳定
(2) V(x)  x12  x22
V ( x)  2 x1 x2  2 x1 x2  0  李氏稳定
cost sin t 
(3) 方程的解为x(t )  
x0

- sin t cost 
x(t )  x0 不随时间改变  李氏稳定
状态与平衡
点的距离
始终位于圆上
x0
x(t )
xe  0
x1
例： x   0 1 x 判稳定性。
- 1 -1


解：
 x1  x2  0
先求平衡点
 x2   x1  x2  0
 x1  x2
(*)

 x 2   x1  x2
 A  0  xe  0唯一
(1) 构造V ( x)  2x12  x22  0 正定，有连续偏导数
V ( x)  4 x1x2  2 x1x2  2 x22  4 x1x2  2 x22 不定.
无法判别
(2) 构造 V ( x)  x12  x22  V ( x)  -2x22  0 半负定
李氏稳定
x

0
的任意值

1
令V ( x) 
0 
非零解
 x2  0
代入方程(*)中
 x1  0
x1  0

0   x1
使V ( x)  0的解不是方程的非零解
-2x22
 xe是渐近稳定的，又x  时，V (x)  
是大范围渐近稳定的
(3)


1 2
2 2
构造 V ( x) 
x1  x2  2 x12  x22 正定，连续偏导数

2 

 x

 x  0
V ( x)  x12  x22 2 x1 x1  2 x2 x2   2 x1 x1  x2 x2
2
1

2
2
xe渐近稳定
x  时，V (x)   大范围渐近稳定
由上例可以看出：关键是寻找合适的李氏函数。
例：  x1  x2

 x 2  1  x1 x2  x1
解：
 x1  0
求平衡点 
 x 2  0
判稳定性。
 x1  0
(唯一 )

 x2  0
构造V ( x)  x12  x22  0 正定，有连续偏导数
V ( x)  2 x1x1  2 x2 x2  2 x22 1  x1 
(a) x1  1时，V ( x)  0 李氏稳定
(b) x1  1时，V ( x)  0 李氏稳定，又
 x1  0

V ( x)  0 时，
不是状态方程的非零解

 x2  0
 xe为渐近稳定
(c) x  1时，V ( x)  0 不稳定
1
说明：系统的稳定域在单位圆内。
例：  x1  kx 2 k  0 判稳定性。

 x 2   x1
解：
 x1  kx2  0
先求平衡点
 x2   x1  0
 A  0  xe  0唯一
构造V ( x)  x12  kx22  0 正定，有连续偏导数
V ( x)  2x1 x1  2kx2 x2  2kx1 x2  2kx1x2  0
V ( x)在任意x值上均可保持为零，则是李氏稳定，
但不是渐近稳定。
二、克拉索夫斯基方法(构造李氏函数的方法)
定理4-3：
f
系统x  f ( x, t ), 平衡点xe  0。取F ( x)  T
x
若x(t ), 有F * ( x)  F ( x)  Fˆ ( x)  0, 则xe 渐近稳定,
且有李氏函数V ( x)  f * ( x, t ) f ( x, t ).
进一步：当 x  时, 有V ( x)  , 则是大范围渐近稳定.
注：F * ( x), f * ( x, t )分别为F ( x), f ( x, t )的共轭转置.
证明：
取V ( x)  f * ( x, t ) f ( x, t )  0
df ( x, t ) f ( x, t ) dx

有f ( x, t ) 

  F ( x ) f ( x, t )
T
dt
dt
x
V ( x)  f * ( x, t ) f ( x, t )  f * ( x, t ) f ( x, t )
 F  f * f  f *  F  f   f * F * f  f * F  f


 f * ( x, t ) F * ( x)  F ( x) f ( x, t )
当F * ( x)  F ( x)  0时, 有V ( x)  0, 则xe是渐近稳定的，
且V ( x)  f *  f是Lyapunov函数。
说明:
(1)这种方法并不适用于所有系统;
(2) V ( x)  f *  f有可能是Lyapunov函数。
(3) 对线性定常系统x  Ax，A是非奇异的实数矩阵，
Fˆ  AT  A, x  0唯一。
若Fˆ  0, 则x 大范围渐近稳定
e
（充分条件）
e


2
2
例：  x1  x2  x1 x1  x2

2
2


x


x

x
x

x
1
2 1
2
 2
解：
平衡点xe  0唯一


判稳定性。
2
2


3
x

x
1  2 x1 x2 
f
1
2
F ( x)  T  

2
2
x
 1  2 x1 x2  x1  3x2 
2
2



6
x

2
x

4
x
x
1
2
1
2
T
Fˆ  F  F  

2
2
  4 x1 x2  2 x1  6 x2 
求Fˆ的顺序主子式：
Fˆ  6x2  2x2  0
1
1
2




Fˆ2  6 x12  2 x22 2 x12  6 x22  16 x1 x2  12 x12  x22
 Fˆ  0
 此系统在xe  0处是渐近稳定的。
V ( x)  f f 
T
x12

x22


x12


2 2
x2
当 x  时，V (x)  
此系统是大范围渐近稳定的。
0

2
0
例：线性定常系统
解：
-1 1 判稳定性。
x  
x

2 - 3
 A  0 xe  0唯一
- 2 3
T
ˆ
F  A  A

3
6


Fˆ1  2  0
Fˆ2  12  3  3  0
F  0 此系统在xe  0大范围渐近稳定
三、李雅普诺夫方程
线性定常系统判别稳定性的充要条件。
x  Ax
V ( x)  xT Px
P应为正定实对称矩阵
则 V ( x)  x T Px  xT Px  xT AT Px  xT PAx


 xT AT P  PA x   xT Qx
当Q  0时，V ( x)  0, 则系统大范围渐近稳定。
李氏方程：AT P  PA  Q
任意确定一正定矩
阵Q，则可求出P
 P  0, 则xe  0是大范围渐近稳定。
定理4-4：
线性定常系统x  Ax渐近稳定的充要条件：
正定对称矩阵Q, 若存在一正定对称矩阵P，
满足AT P  PA  Q, 且有李氏函数V ( x)  xT Px。
说明：
(1) Q只要正定即可, 通常取Q  I .
(2) Q  0也满足, 只要x  Ax的非零解不使V ( x)  0即可.
(3) 用MAT LAB解李氏函数方程：P  Lyap( AT , Q)
判P  0 ?
(4) 与从A特征值分布分析稳定性相联系, 该定理实质
是x  Ax中矩阵A特征值均具有负实部的充要条件.
例：线性定
常系统
 0 1
x  
x

- 1 -1
判稳定性。
解： xe  0唯一
令 QI
 p12  p21
A P  PA   I
0 - 1  p11 p12   p11 p12   0 1
1 0
1 - 1   p p    p p  - 1 - 1   0 1

  21 22   21 22  



T
2 p12  1

有 p11  p22  p12  0
 2 p  2 p  1
22
 12
 p11  3 2

 p12＝p21  1 2
p 1
 22
3
2
P  
1
 2
1
2

1

3
P1   0
顺序主子式
2
3 1
P2    0
2 4
P  0
3 2
 xe大范围渐近稳定，且有 V ( x)  x1  x1 x2  x22
2
说明：线性定常系统用李氏方程判稳定性并不一
定方便，但提供了一种思维方式。
例：如图所示控制系统，欲使系统渐稳，试确定增益
K取值范围。
R
-
K
s 1
x3
1
s2
x2
1
s
x1
解：写出状态方程：
 x1  x2

 x 2  2 x2  x3
 x   Kx  x  KR
1
3
 3
设R＝0(不影响稳定性)
平衡状态xe  0
 x1   0 1 0  0 
 x    0 - 2 1  x  0  R
 2 
  
 x3  -K 0 - 1  K 
0 0 0 


选Q  0 0 0 半正定对称阵
0 0 1 
即V ( x)  xT Qx  x2  0
3
 x1  0

2

若 V ( x)   x3  0 则 x2  0不是状态方程的非零解
x  0
 3
即由x3  0
x3  0 即 Kx1  x3  0  x1  0
又由x1  0
x1  0  x2  0 即x1  x2  x3  0
 V ( x)  0只有x1  x2  x3  0的情况
 Q的选取也保证了系统的大范围渐近稳定
 p11 p12 p13 
设P＝ p21 p22 p23 
 p31 p32 p33 
由AT P  PA  Q, 求得：
 K 2  RK

6K
0 

 12  2 K 12-2 K

2
K 
 6K
P＝
12-2 K
12-2 K 12-2 K 


K
6 
 0

12-2 K 12-2 K 
12  2K  0
由P正定，所以 
K  0
0 K 6