Transcript 9．3 Burnside 引理 一、不变置换类和轨道 1． 不动置换类：设 N={1,2,…,n}, G 为 N 上置换群， Zk = {|G,(k)=k} 称 Zk 为 k 的不动置换类。 可以证明 Zk 是 G 的子群. 2． N,G.

9．3 Burnside 引理
一、不变置换类和轨道
1． 不动置换类：设 N={1,2,…,n}, G 为 N 上置换群，
Zk = {|G,(k)=k}
称 Zk 为 k 的不动置换类。
可以证明 Zk 是 G 的子群.
2． N,G 定义如上，R 是 N 上的二元关系，x,yN,
xRy  (G, (x)=y)
kN, Ek={l | lN, kRl}
称 Ek 为 k 的轨道.
可以证明 R 为 N 上等价关系，且 k 的轨道就是 k 的等价类.
例1
N={1,2,3,4}
G={1,2,3,4,5,6,7,8}
1=(1)
2=(1 2 3 4)
3=(1 3)(2 4)
4=(1 4 3 2)
5=(1 2)(3 4)
6=(1 4)(2 3)
7=(1)(3)(2 4)
8=(2)(4)(1 3)
Z1= Z3={1,7}, Z2=Z4={1,8}
E1=E2=E3=E4={1,2,3,4}
S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},
Z1={(1),(23)}, E1={1,2,3},
|S3|=6, |Z1|=2, |E1|=3, 6=23.
1． 定理 1 N={1,2,…,n}, G 为 N 上置换群，
则kN, |Zk||Ek|=|G| .
证：Zk 是子群，根据 Lagrange 定理
|G|= |Zk| [G:Zk]
下面证明[G:Zk]=|Ek|.
令 S 是 Zk 的所有左陪集的集合，
定义 f: SEk, f(Zk)=(k)，
良定义及单射性：
Zk=Zk  -1Zk  -1(k)=k
 -1((k))=k  (k)=(k)
满射性：tEk,G，使得(k)=t,
因此 f(Zk)= (k)=t.
二、Burnside 引理
1. 设 N={1,2,…,n}, G 是 N 上置换群.
令 G={1,2,…,g},
c1(k)是k 的轮换表示中 1-轮换的个数，
M 为不同的轨道个数，则
1 g
M
c1 (  k )

| G | k 1
证：c1(k)是k 的作用下保持不变的 N 中元素数。做下表
N
G
1
2
…..
n
c1(k)
1=(1)
2
S11
S21
S12
S22
…..
…..
S1n
S2n
c1(k)
c1(k)
.
。
。
。
g
合 计
.
.
.
.
.
.
.
.Sg1
|Z1|
Sg2
|Z2|
…
..
Sgn
|Zn|
c1(k)
g
n
k 1
j 1
 c1 ( k )   | Z j |
g
g
n
n
g
n
 c1 ( k )    Skj    Skj   | Z j |
k 1
k 1 j 1
j 1k 1
1 g
1 n
c1 ( k ) 
|Zj |


| G | k 1
| G | j 1
j 1
n
1
| E |  M
j 1
j
{ i1 , i2 ,...,i l }  E i1  E i2  ...  E il
il
1
| E i1 | l 且 
1
j  i1 | E j |
2. 例 1 用 2 色涂色 22 方格棋盘，则方案数为 16
作用在 16 个方案上的置换群 G={1,2,3,4},
1=(1)
2=(1) (2) (3 4 5 6) (7 8 9 10) (11 12) (13 14 15 16)
3=(1) (2) (3 5) (4 6) (7 9) (8 10) (11) (12) (13 15) (14 16)
4=(1) (2) (6 5 4 3) (10 9 8 7) (11 12) (16 15 14 13)
1
M  (16  2  4  2） 6
4
1
8
若加上旋转，则有 8 个置换， M  (16  2  4  2  4  4  8  8)  6.
例2
3 个顶点的不同构的图的个数
G= {1,2,3,4,5,6}
1=(1)
2=(1) (2) (3 4 5) (6 7
3=(1) (2) (3 5 4) (6 8
4=(1) (2) (3 5) (4) (6
5=(1) (2) (4 5) (3) (6
6=(1) (2) (3 4) (5) (7
1
M  (8  2  2  4  4  4） 4
6
注意：验证封闭性.
8)
7)
7) (8)
8) (7)
8) (6)
0度
120 度
240 度
翻 180 度
翻 180 度
翻 180 度
例 3 涂色立方体使得各个面颜色不同的方案数。
解：以过一对面的轴旋转 0 度：
1个
旋转 90 度，270 度：
6个
旋转 180 度：
3个
以过一对顶点的轴旋转 120 度，240 度： 8 个
以过一对棱的的轴旋转 180 度：
|G|=24,
M=1/24  6! =30
6个
三、Polya 定理
1. 定理 1 设 N= {1,2,…,n},
令 G={1,2,…,g}为 N 上置换群,
用 m 种颜色涂色 N 中的元素，
c(k)是 k 的轮换表示中轮换的个数，
则在 G 作用下不同的涂色方案数为
1 g c( k )
M
m

| G | k 1
证明：使用 Burnside 引理。
证明思路
(1)证明 G  {  k |  k  G}
(2)证明 G 与 G 同构
(3)证明 c1 (  k )  m c( k )
1 g c ( k )
(4)证明 M 
 c1 (  k )  | G |  m
| G | k 1
k 1
1
g
(1)
G 为作用在物体集 N={1,2,…,n}上的群，
R={1,2,…,m}为颜色集合.
kG, 导出涂色方案的置换 k，即 k(f)=fk.
例如 k=(1 2 3 4) 是棋盘的 90 度旋转，则
k=(f1) (f2) (f3 f4 f5 f6) (f7 f8 f9 f10)
(f11 f12) (f13 f14 f15 f16)
可以证明所有导出的置换构成方案集合 RN 上的置换群
G ={k | kG}.
(2) 证 G G . 令 ：G G , (k)=  
1
k
 f k 1 , 则  为同构.
 k , l  G , ( k l   t ), f  R N
 ( k l )( f )   ( t )( f )  f t 1  f ( k l ) 1  f l 1 k 1
 ( k )   ( l )( f )   ( k )(( ( l )( f ))  f l 1 k 1
 ( k )   ( l )
 f  R N , f k 1  f l 1
  k 1   l 1   k   l
若不然，存在 i 使得 k-1(i) l-1(i),
设计涂色使得 f(k-1(i)) f(l-1(i)), 与 fk-1= fl-1 矛盾.
k G ，存在 k G 使得 (k )=fk = k
-1
-1
(3) 证 c1 (  k )  m c( k )
k=(  … ) (  … ) … (  … )
属于同一个轮换的文字涂同色的方案在 k 作用下不变；
属于同一个轮换的文字不涂同色，则相邻的文字不同色，
那么在 k 作用下变成不同的方案.
因此，在在 k 作用下不变的方案数就是属于同一个轮换
的文字涂同色的方案数，即 c1 (  k )  m c( k ) .
(4) 代入 Burside 引理得
1 g c ( k )
M
 c1 (  k )  | G |  m
| G | k 1
k 1
1
g
区别：Burnside 引理的群作用于方案集合，
Polya 定理的群作用于元素的集合，要简单的多.
n
如果有 n 个元素，m 种颜色，将有 m 种方案.
2. 应用
例4
考虑例 1，群 G= {1,2,3,4}
1= (1) (2) (3) (4)
旋转 0 度
2= (1 2 3 4)
旋转 90 度
3 = (1 3) (2 4)
旋转 180 度
4 = (1 4 3 2)
旋转 270 度
1
M =
(24 + 21+ 22+ 21) = 6
4
例5
p
Fermat 小定理：设 p 为素数，则 p|(n -n)
证：考虑 p 个珠子的手镯，用 n 种颜色的珠子穿成.
考虑旋转，则
G={1,2,…,p}
1=()()…()
2=(  … )
…
p=(  … )
1 p
1 p
1
M  [n  ( p  1)n ]  ( n  n  pn)
p
p
p | ( n p  n)
四、带权的 Burnside 引理和 Polya 定理
1．术语
设物体集 D={1,2,…,n},
颜色集 R={c1,c2,…,cm},
着色方案 f:DR,
n
方案的权 w( f )   w ( f ( i ))
i 1
SR 是所有方案的集合，S 的清单 W   w( f )
D
注：清单的含义
f S

反映方案数： 令 w(ci)=1, i=1,2,…,m.

反映方案的全体：令 w(ci)=ci,i=1,2,…,m.

反映每类方案的情况：
2．关于清单的定理
定理 2
D
设 D={1,2,…,n}, R={1,2,…,m}, S=R , 则
W=[w(1)+w(2)+…+w(m)]
n
证：上述展开式中的项为
w(i1)w(i2)…w(in)
对应于方案 f(j)=ij 的权，j=1,2,…,n，
其中 i1,i2, …, in 遍取所有的可能，
正好对应了所有的方案.
定理 3
设 D={1,2,…,n}, R={1,2,…,m},
{D1,D2,…,Dk}是 D 的划分，如果每个划分块着同色，即
S={f|f:DR,tl(i(t,lDi)f(t)=f(l))}
那么着色方案的清单为
W  [ w (1)| D1 |  w ( 2)| D1 |  ...  w ( m )| D1 | ] 
[ w (1)| D2 |  w ( 2)| D2 |  ...  w ( m )| D2 | ] 
...
[ w (1)| Dk |  w ( 2)| Dk |  ...  w ( m )| Dk | ]
证：上述展开式中的项为
w ( i1 )| D1 | w ( i2 )| D2 | ...w ( ik )| Dk |
对应于 D1 中的物体着 i1 色，D2 中的物体着 i2 色，…,
Dk 中的物体着 ik 色，i1,i2,…,ik 遍取所有的可能.
因此上述公式对应了所有方案的清单.
例6
5 个骰子 d1,d2,…,d5，
如果 d1,d2,d3 的点数一样，d4,d5 的点数一样，
总点数等于 19，有多少种方案？
解：令 D1={1,2,3}, D2={4,5},
i
w(i)=x , i=1,2,…,6.
W=[(x1)3+(x2)3+…+(x6)3][(x1)2+(x2)2+…+(x6)2]
X19 次方的系数为 2，即(x3)3(x5)2, (x5)3(x2)2.
对应于方案：d1=d2=d3=3,d4=d5=5
d1=d2=d3=5,d4=d5=2
3. 带权的 Burnside 引理和 Polya 定理.
定理 4：D 是物体集，R 是颜色集，S 是方案集，
G 是 S 上的置换群， | G |=g,
对于任意着色方案 f, f 的权记作 w(f), 且同一轨道的方案的
权都相等.
设关于 G 的轨道为 E1,E2,…,El,
定义轨道的权为 w( Ei )  w( f ) , i=1,2,…,l.
f Ei
对于任意  k  G , w( k ) 是在  k 作用下保持不变的着色方案
的权之和，则不同轨道的权之和为
l
 w( E i ) 
i 1
1
g
 w( k )
| G | k 1
证
w( k ) 代表了在  k 作用下保持不变的着色方案的权之和，
f,w(f)在
1
g
 w ( k )
出现的次数
| G | k 1
是 G 中使得 f 保持不变的置换个数|Zf|,
|G|
1 g
将 | Z f |
代入
 w ( k ) 得
|Ef |
| G | k 1
 w( f ) w( f )

1
2

 ...

 | E f1 | | E f 2 |

而在同一轨道上的任何方案的权就等于轨道的权，
上式中在同一轨道上的所有的项相加就得到这个轨道的权，
因此整个式子正好是所有轨道的权之和.
定理 5 带权的 Polya 定理
设 D={1,2,…,n}是物体集，R={1,2,…,m}是颜色集，
G={1,2,…,g}是 D 上的置换群，
fRD, w(f)是 f 的权，
则所有不同着色方案的轨道的权之和为
1 g c1 ( k ) c2 ( k )
w1
w2
...w n cn ( k )

| G | k 1
w1  w (1)  w ( 2)  ...  w ( m )
w 2  w (1) 2  w ( 2) 2  ...  w ( m ) 2
...
w n  w (1) n  w ( 2) n  ...  w ( m ) n
证明略.
例7
四个珠子穿项链，如果颜色有 b, g, r 三种，
问 2 个 b, 1 个 g, 1 个 r 的方案有几种？
解：
G:
() () () ()
1
14
(   )
2
4
( ) ( )
3
2
( ) () ()
2
2112
1
2
1
W  [(b  g  r )4  2(b 4  g 4  r 4 )1
8
 3(b 2  g 2  r 2 ) 2  2(b 2  g 2  r 2 )1 (b  g  r ) 2 ]
 ...  2b 2 gr  ...
有 2 种方案.
例8
求 3 个顶点的所有的无向图.
考虑正三角形的边作为图的边，
如果黑色（a）为有边，白色（b）代表无边.
G：13
1个
31
2个
2111 3 个
1
P  [(a  b) 3  2(a 3  b 3 )  3(a 2  b 2 )(a  b)]
6
 a 3  b 3  a 2 b  ab2
五、置换群作用下的涂色问题实例
1．正三角形
6 个置换
群 G：
（关于顶点或关于边涂色）
恒等置换
() () ()
1个
中心旋转 120 度或 240 度
()
2个
顶点与对边重点连线做轴翻转 180 度
() ()
3个
2. 正 6 边形
G：
（关于顶点或边涂色）
旋转 0 度：
12 个置换
() () () () () ()
1个
旋转 60 或 300 度：
(     )
2个
旋转 120 或 240 度：
(  ) (  )
2个
旋转 180 度：
( ) ( ) ( )
1个
过一对边中点的轴翻转 ( ) ( ) ( )
3个
过一对顶点的轴翻转
() () ( ) ( )
3个
3．正四面体
G
12 个置换
关于顶点或面涂色
恒等置换
() () () ()
1个
(  ) ()
8个
( ) ( )
3个
以过顶点和面中点直线为轴
120 度或 240 度（兰色，4 个）
以过对棱中点直线为轴（橙色，3 个）
翻转 180 度
关于棱涂色
恒等置换
() () () () () ()
1个
以过顶点和对面中点直线为轴
120 度或 240 度（兰色，4 个）
(  ) (  )
8个
以过对棱中点直线为轴（橙色，3 个）
翻转 180 度
() () ( ) ( )
3个
4．立方体
关于面涂色的群 G：
恒等置换
24 个置换
() () () () () ()
1个
以一对面中心为轴（蓝色，3 个）旋转 90 度或 270 度
() () (   )
以一对面中心为轴（蓝色，3 个）旋转 180 度
6个
() () ( ) ( )
以一对棱中心为轴（橙色，6 个）翻转 180 度
3个
( ) ( ) ( )
以一对顶点为轴（绿色，4 个）翻轴 120 或 240 度
6个
(  ) (  )
8个
关于顶点涂色的群：
恒等置换
() () () () () () () ()
以一对面中心为轴（蓝色，3 个）旋转 90 度或 270 度
(   ) (   )
以一对面中心为轴（蓝色，3 个）旋转 180 度
( ) ( ) ( ) ( )
以一对棱中心为轴（橙色，6 个）翻转 180 度
( ) ( ) ( ) ( )
以一对顶点为轴（绿色，4 个）翻轴 120 或 240 度
() () (  ) (  )
1个
6个
3个
6个
8个
关于棱涂色的群：
恒等置换
() () () () () () () () () () () () 1 个
以一对面中心为轴（蓝色，3 个）旋转 90 度或 270 度
(   ) (   ) (   )
6个
以一对面中心为轴（蓝色，3 个）旋转 180 度
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3个
以一对棱中心为轴（橙色，6 个）翻转 180 度
() () ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6个
以一对顶点为轴（绿色，4 个）翻轴 120 或 240 度
(  ) (  ) (  ) (  )
8个
5．正八面体
G:
24 个置换
恒等置换
1个
过一对顶点的轴（蓝色）
3个
旋转 90 度，270 度
2*3 =6 个
旋转 180 度
1*3 = 3 个
过一对面的轴（橙色）
旋转 120 度或 240 度
过一对棱的轴（绿色）
翻转 180 度
4个
2*4 = 8 个
6个
1*6 = 6 个
注意封闭性
例：2 种颜色涂色顶点，求不同的方案数.
G:
(1)
L1
(1) (2 3) (4 7) (5 6)
L2
(4 5)
L3
(6 7)
L1,L2
(2 3) (4 7 5 6)
L1,L3
(2 3) (4 6 5 7)
L2,L3
(4 5) (6 7)
L1,L2,L3
(2 3) (4 6) (7 5)
1
M  [27  2  24  2  26  2  23  25 ]  42
8