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预测与决策分析
Forecasting and Decision Analysis
陈振
河南农业大学信息与管理科学学院
管理科学系
13683807788，[email protected]
多目标决策分析




在现实中，有许多决策问题需要考虑多个目标。要满
足两个以上目标的决策，我们称之为多目标决策。
确定新产品开发策略，必须考虑企业的投资能力、市
场引力、潜在获利、营销能力、风险程度等。
一个国家的经济既要求能够持续发展，又要求有一定
的发展速度，同时还要求能各部门协调的健康发展。
一个人选购外衣，要权衡式样、尺寸、颜色、质地、
价格等。总之，无论是大的决策还是小的决策，都可
能涉及多个目标的问题。
多目标决策特点



目标之间的不可公度性。目标之间的不可公度性
是指各个目标之间没有一致的衡量标准，难于进
行相互比较。
目标之间的矛盾性。多目标问题之间常常是相互
矛盾的，要提高一个目标的值，常常要以牺牲另
外一些目标的值为代价。
决策人偏好的差异性。决策人的偏好不同、决策
也不同。决策人对风险的态度，或者说，对某一
个目标的偏好不同，都会影响决策的结果。
多目标决策两个基本要素


决策单元。在多目标决策过程中，决策人，决
策分析人员和计算机等结合起来构成决策单元，
其主要作用是：收集并处理各种信息，制定决
策规则，作出决定等。
目标和属性集。人们所要达到的目的称为目标，
为了具体化，便于计算和度量，常把总目标分
解为中目标，小目标。为了衡量目标达到的程
度，常采用一定的评价标准，称为目标的属性，
对属性的要求是易于测量和理解。
多目标决策问题两个基本原则
1．化多为少原则
在实际问题中，决策目标数越多，选择标准就越多，比较和选择各种不同方案就越困难。因此，应将
目标化多为少，即在满足决策的前提下，尽量减少目标的个数。我们通常的做法有如下几种：
（1）剔除那些不必要和从属性的目标。通过分析认为不必要和从属性的目标应剔除。如果决策的各目
标中，包括两个对立而无法协调的目标，经过决策者权衡之后，在必要时，就应牺牲其中的一个。
（2）合并类似目标。
多目标决策问题由于目标之间有明显的客观联系，故可以把类似的几个目标合并为一个目标来解决。
（3）把次要目标列为约束条件。根据各个目标的重要性，分清主次关系，把本质的主要目标列为目标，
而把其余的非主要、非本质的列为约束条件。
（4）构成综合、目标。我们可以把几个目标，通过同度量、平均或构成函数的办法构成一个综合目标。
用模式表示为： P  f ( p1 , p2 , , pn ) ，其中，P 表示综合目标， p1 , p2 , , pn 表示子目标。
2．目标排序，
所谓目标排序，就是决策者根据目标的重要程度排成一个次序，最重要的目标排在第一位，在选择方
案时，必须先达到重要目标后才能再考虑下一个目标，然后再进行选择，做出决策。
多目标决策问题的分类




多目标决策问题可分为有限个方案多目标决策问题和无限个方案多
目标决策问题，后一类称为多目标规划问题。
有限个方案多目标决策问题，又可以分为两类，一个是多个目标、
多种方案之间的优化决策。还有一类是，虽然只有一个目标，但评
价这一个目标有多种标准的，多种方案之间的优化决策。后一种又
称为多属性决策(multiple attribute decision making)，又称为多准则
决策(multi-criteria decision making) 。
多目标规划(multi-objective programming)指无限个方案多目标决策。
在多目标决策中(第一类)，有限个方案一般事先是知道的，然后根
据多个准则去选择最优的方案。而在多目标规划中，在给定的约束
范围内方案数目是无限的，因而事先不能一个一个列举出来，各方
案的属性值也是一个连续变化量。因此决策过程就是一个逐步寻优、
确定最优方案的过程。
多目标决策问题的价值函数
定义（价值函数）一实值函数 V 称为 X 上的价值函数，如果当 x  y 当且仅当
V（x）  V（y）。
我们研究多属性价值函数的存在性，设优先序  是方案集 X 上的一个弱序，即满足
（1）对  x，y，z  X，若 x  y，y  z，有 x  z；
（2）对  x，y  X，有 x  y 或者 y  x。
方案集 X 可以划分为可数个无差异类。我们说方案集 X 中的方案 x 和 y 在同一无差异
类，当且仅当 x  y 和 y  x。
定理（价值函数的存在性）如  是 X 上的一弱序，且 X 的无差异类集是可数的，则存
在一 X 上的价值函数。
非劣解的概念
定义（非劣解）对于一个多目标决策问题的解来说，如果不存
在另外一个可行解，在任何一个目标上均不劣于该解的相应目标
值，且至少在某个目标上优于该解，则称该解为该多目标决策问题
的非劣解。
下面我们给出一种求解非劣解的办法――加权法：
求解加权和问题：
n
max

i 1
wi fi (x1， x2，…，xn)
s.t x  X
步骤一：分别优化每一个目标，即令权(w1，w2,，…，wn)分别
为(1，0，…，0)，
（0，1，0，…，0）
，…，(0，0，…，1)，求解加
权和问题，得原问题非劣解集的“极端点”
；
步骤二：逐步改变权，使用一事先规定的步长，每个权从 0 改
变到它的上限，对每组权分别求解加权和问题，产生原问题得非劣
解；
步骤三：从所求得的解中排除劣解。
有限个方案多目标决策


多属性决策问题，也称为有限个方案的多目标
决策问题，如：某人拟从n处房屋中选购一所作
为自己的住处，某企业欲从n个地点中选择一处
建立新厂。
在选择住房时要考虑到多个因素，如价格，使
用面积，距工作地点的距离，设备，环境等，
因此这是一个多目标决策问题。这类问题的特
点是对各备选方案进行评价，排定各方案的优
先次序。
多属性决策问题决策矩阵
用 X ＝ {x1, x2, …，xm}记可供选择的行动方案的集合，用 Yi = {yi1,yi2,…yin}记第 i 个行
动方案的各属性值，其中 yij 表示第 i 个方案的第 j 个属性的值。若用目标函数来表示属性，
则属性 yij 为
yij = fj (xi)，i=1，2,…，m；j=1，2，…，n
各方案的属性值可用矩阵表示，这个矩阵称为决策矩阵，它提供了分析决策问题的基本信息。
决策矩阵
行动方案
属性
y1
y2
…
yn
x1
x2
y11
y21
y12
y22
…
…
y1n
y2n





xm
ym1
ym2
…
ymn
决策矩阵规范化


在这个决策矩阵中，如果采用原来的属
性值，往往不便于进行分析，这是由于
各属性所采用的量纲不同，且在数值上
可能有很大的差异，因而常常需要把各
属性的值进行规范化，即把各属性的值
统一变化到【0，1】范围内。
往往采用下列变换方式进行规范化：
决策矩阵规范化
1. 向量规范化
m
y
令 Zij ＝ yij
i 1
2
ij
这种变换把所有属性值均化为无量纲的量，且均处于【0，1】范
围内，但这种变换是非线性的，有时不便于属性间的比较。
2. 线性变换
如果目标是效益值（属性值越大越好）
，可令
Zij ＝
y ij
max y ij
i
由于 max y ij 是决策矩阵第 j 列的最大元素，我们就有 0  Zij  1
i
如果目标是成本值（属性越小越好）
，可令
Zij ＝ 1－
y ij
max y ij
也有 0  Zij  1
i
决策矩阵规范化
3. 其他变换
对于效益，令
y ij  min y ij
Zij ＝
i
(max y ij )  (min y ij )
i
i
对于成本，令
max y ij  y ij
Zij ＝
i
(max y ij )  (min y ij )
i
i
这种变换能把属性的最大值或最小值统一为 0 和 1，
但是这种变换不成比例。
筛选方案的几种方法
如果在决策问题一开始所拥有的行动方案太多，那么就应该采取一定的方法进行筛选，以减少进一步分
析中所拥有的方案的数量。
1. 优选法
这是根据非劣解概念进行筛选的方法。如果方案 A 和 B 相比较，方案 A 的某个属性值优越于方案 B，
且方案 A 在其他属性值上均不劣于方案 B，则我们应当认为方案 A 是优于方案 B 的，方案 B 被筛选掉，留
下了方案 A；如果方案 A 与另一个方案 C 比较，方案 A 劣于方案 C，则筛选的结果是留下方案 C。
采用这一方法使得我们可以留下那些非劣方案。
2. 满意法
对每个属性规定一个最低可以接受的值，即规定 yij  yj0 ,j=1,2, …，n。要求方案的每个属性的值都必须
超过这个最低值，只要有一个属性的值达不到要求，该方案就被剔除。
采用该方法进行筛选，如果标准值规定的太低，会使留下的方案数目太多，达不到筛选
的目的；而如果标准值规定的太高，又会使留下的方案数目太少；一个比较可行的方式，是采用迭代的方法
逐步提高标准值。
3. 分离法
如果我们对方案的每个属性值规定一个最低标准值，但是并不要求所有的属性值均达到这个标准，而只
是要求有一个属性值达到要求就可以了。如果用来选拔人才，则有一技之长的人被保留下来。如果在决策问
题一开始所拥有的行动方案太多，那么就应该采取一定的方法进行筛选，以减少进一步分析中所拥有的方案
的数量。
多属性决策的简单加性加权法
在某些情况下可以采用简单加性加权法对方案进行排队，该方法是较为常用的多目
标决策方法之一。在知道了各目标的权之后，对每个方案求各属性值的加权和。例如对
第 i 个方案，我们有：ui = wizi1+w2zi2+…+wmzim, i=1，…，n。
这里 wk, k=1,…, m 是第 k 个属性的权，而 zij, j=1,2,…，m 是第 i 个方案的第 j 个属
性值。我们求得 u1,u2,…,us，再做比较，选择 ui 最大的那个方案作为最优方案。
权是目标重要性的数量化表示，决策者可以按目标的重要程度给各个目标赋予不同
的权重值，但在目标较多的情况下，这种直接赋值难于进行，一般来说是把各目标进行
两两对比，但这种对比可能不够准确或者前后不一致。例如决策者认为第一目标重要性
是第二目标的 2 倍，又认为第二目标重要性是第三目标的 3 倍，但他并不认为第一目标
的重要性是第三目标的 6 倍。因此，需要采用一定的方法把目标之间两两重要性对比的
结果综合起来确定一组权系数，常有下列两种方法：
最小二乘法
首先，决策者把 m 个目标 f1,f2, …，fm 的重要性进行两两对比，根据组合原理共需比较
m(m-1)/2 次，把 fi 对 fj 的相对重要性记为 aij，这里 aij  wi/wj, wi,wj 分别表示目标 fi 和 fj 的权重，
则两两对比的结果的判断矩阵可表示为
f1
f2
…
fm
f1
f2
a11
a21
a12
a22
a1m
a2m



fm
am1
am2
…
…
…
…

amm
最小二乘法
 a11
a
A=  21
 
 a m1
a12  a1m   w1 / w2
a 22  a 2 m   w2 / w1



   
a m 2  a mm   wm / w1
w2 / w2  w1 / wm 
w2 / w2  w2 / wm 


 
wm / w2  wm / wm 
其中
（1）aij > 0 (i , j = 1, 2,…,m)；
（2）aij = 1/ aji (i , j = 1, 2,…,m)；
（3）aii = 1 (i= 1, 2,…,m)；aij 通常取 1，2，…，9 及其倒数。1―9 的标度含义为：
1 表示 fi 与 fj 同样重要；3 表示 fi 比 fj 稍微重要；5 表示 fi 比 fj 明显重要；7 表示 fi
比 fj 重要得多；9 表示 fi 比 fj 极端重要。而当处于相邻的判断之间时，依次取值 2，
4，6，8；
m
（4）
a
i 1
m
ij
=(
w
i 1
i
m
)/ wj，当

i 1
m
wi = 1 时，

i 1
aij = 1/ wj。
最小二乘法
一般来说，决策者对 aij 的估计不够准确或者前后不一致，
则各等号应为近似号，权系数的取值应使得总体上的误差最小，
即求使得：
m
min z=
m
  (a
ij
i 1
wj – wi )2
j 1
m

wi = 1
i 1
wi ≥ 0
取最小值的 w。
(i=1，2，…，m)
特征向量法
如果决策者在对目标的重要性进行两两对比，没有不准确及前后不
一致的情况时，
 w1 / w2
w /w
1
Aw =  2
 
 wm / w1
w2 / w2  w1 / wm 
w2 / w2  w2 / wm 


 
wm / w2  wm / wm 
 w1 
w 
 2 =m
  
 wm 
 w1 
w 
 2
  
 wm 
此时权系数向量是判断矩阵 A 的最大特征根 m 的特征向量，
因此可先求出 A 的最大特征根 max ，再求
Aw= max w
的解 w，即为权系数向量。
特征向量法
用这种方法求权系数时，需要进行一致性检验，其方法是：
（1） 计算一致性指标 C.I
C.I = ( max - m)/ (m-1) ( m 为矩阵 A 的阶数)
（2） 计算一致性比例 C.R
C.R = C.I / R .I
其中, R .I 表示平均随机一致性指标，其值如表所示。
m
1
2
3
4
5
6
7
8
9
R .I
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
当 C.R< 0.10 时，可以为两两对比的判断矩阵 A 的估计基本一致，可以接受，可求得 w 作
为权系数向量。
当 C.R  0.10 时，说明两两对比的判断矩阵 A 的估计不够一致，需要重新调整 A 的取值。
简单加性加权法举例
例
设某人拟购买房屋一栋，从 4 所房屋中选择他最满意的一栋。房屋的合意程度用 5
个目标去衡量，即价格，使用面积，距工作地点的距离，设备，环境，设所有目标均可
以量化，则得到如表所示的判断矩阵：
属
x1
x2
x3
x4
f1
(价格)
3.0
2.5
1.8
2.2
f2
（使用面积）
100
80
50
70
性
f3
（距离）
10
8
20
12
f4
(设备)
7
3
5
5
f5
（环境）
7
5
11
9
这 5 个目标中使用面积，设备和环境都是效益型指标，越大越好，价格和距工作地
点的距离则为成本型指标，越小越好。
简单加性加权法举例
首先求权，设决策人对属性做成对比较后得两两比较判断矩阵为
价格 面积 距离 设备 环境
价格
A=
面积
距离
设备
环境
1 1 / 3 1 / 2 1 / 4 1 / 5 
3 1

2
1
1
/
2


 2 1 / 2 1 1 / 2 1 / 2


4
1
2
1
1


5 2
2
1
1 
注意到这个矩阵中各元素虽然满足 aij = 1/aji,
i，j=1, …，n
但并不总满足 aij =aikakj,
i，j，k = 1, …，n
简单加性加权法举例
采用权的最小平方法，由此求得权向量
wT＝ [ 0.0682,0.2113,0.1177,0.2767,0.3261]
采用第三类变换把决策矩阵规范化，得到：
1.000 0.833 1.000 0.333
 0


0
0 
 0.417 0.600 1.000
A＝ 
1.000
0
0
0.500 1.000


 0.667 0.400 0.667 0.500 0.677


由此得到四个方案的加权和的值分别为 u1＝0.6946，u2＝0.2728，
u3＝0.5327，u4＝0.5644，因此由简单加性加权法将推荐第一个方案。
层次加性加权法/层次分析法
层次加性加权法又称为层次分析法（AHP）, 其首要问题是确定各层次的目标
体系。所谓分层，就是根据研究目标之间的内在联系和因果关系，将总目标逐步分
解为多层次的目标体系。以购买房屋问题为例来加以说明。
购买房屋是总的目标是房屋的合意程度，根据实际情况，这一总目标又可以分
解为五个子目标即价格，使用面积，距工作地点的距离，设备，环境，这可作为第
二级，第三级目标有四所房屋，这一级各方案（目标）相对于总目标的优先次序必
须通过第二级加以推导。
假设第二级五个目标相对于总目标的权系数向量为(w1,w2,…，w5)，用 w2i(3j)
表示第三级第 j 个目标（方案）对于第二级第 i 个目标的重要性。则第三级第 j 个
5
目标对于第一级目标的重要性应当是 w11(3j)=

i 1
wi w2i(3j), (j=1,2,3,4)
层次加性加权法/层次分析法
第一级
房屋的合意性
w1
w2
第二级
价格
w3
距离
面积
w21(31) w22(31)
w4
w5
设备
环境
w23(31) w24(31) w25(31)
第三级
y1
y2
y3
y4
层次加性加权法/层次分析法
令 w2i(3j) = b ij( 2) ,
5
则 w11(3j)=

wi bij
(j=1,2,3,4)
i 1
即
 w11 (31 ) 
 b11( 2 )


 ( 2)
 w11 (3 2 ) 
 b12
=
 w1 (3 ) 
 
1
3


 b ( 2)
 w1 (3 ) 
 14
 1 4 
b21( 2 )
b22( 2 )

b24( 2 )
 b51( 2 )   w1 
( 2)   w 
 b52   2 
    
 
 b54( 2 )   w5 
简记作 W3 = B2 W2 ＝ B2B1W1（这里 W1＝1）
层次加性加权法/层次分析法
在一般情况下，取第(k+1)级的第 r 个目标，对于第（k-1）级第 p 个目
标的相对重要性为：
w ( k 1) p ((k  1) r ) ＝
w
kq
((k  1) r )w( k 1) (k q )
q
（其中 k q 表第 k 层的第 q 个目标）
，这就是用（k+1） r 对于 k q 的重要
性乘以 k q 对于（k-1） p 的重要性，累加起来，表示（k+1） r 对于（k-1） p
的重要性。
如果考虑的是第(k+1)级和第 k 级目标，则类似于上面的推导，有，
Wk+1= Bk Wk= BkBk-1Wk-1=…= BkBk-1…B2W2= BkBk-1…B2B1W1
层次加性加权法/层次分析法
第(k-1)级
……
第k级
……
第(k+1)级
……
第 P 个目标
…
W(k-1)p(kq)
第 q 个目标
…
Wkq((k+1)r)
…
第 r 个目标
层次加性加权法/层次分析法
考虑前面的决策问题，我们已经求得第 2 级各目标相对于总目标的相对重要性
矩阵（即权向量）为：
B1＝[0.0682,0.2113,0.1177,0.2767,0.3261],而第 3 级各元素相对于第 2 级各目标
的相对重要性矩阵（即规范化的决策矩阵）
1.000 0.833 1.000 0.333
 0


0
.
417
0
.
600
1
.
000
0
0


B2＝ 
1.000
0
0
0.500 1.000


 0.667 0.400 0.667 0.500 0.677


则第 3 级各元素（房屋）相对于总目标的相对重要性权向量为：
w3=B2B1w1=[0.6946,0.2728,0.5327,0.5644]，因此应做出决策选择第一栋房屋，与简单加
性加权法的结论一致。