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内容简立
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群的定义与性质
子群与商群
子群、陪集、子群的指数、不变子群、商
群
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同态与不变子群
同态与商群、同态基本定理
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特殊的群
循环群、变换群、置换群、置换的运算
群的定义
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定义1.非空集上有一个代数运算(乘法)且满足
(1)每a、bG, ab  G (封闭律)
(2) (ab)c=a(bc)
(结合律)
(3)存在单位元e使ea=ae=a,且对每a有a-1使a-1a=
a-1a=e,则G称为群.
群的阶|G|,无限群,有限群,交换群,非交换群
例 (1) 整数加群(Z,+)
(2)方程 x n -1=0 的根组成一个n阶乘群.
消去律、有限群另一定义
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定理2.2.1每个群仅有一个单位元.
证 若e,e’都是单位元,则e’=e’e=e.
定理2.2.2群中每个元仅有一个逆元.
定理2.2.3每个群满足左、右消去律:
(3’)若ax=ay,则x=y；若xa=ya则x=y.
有限群另一定义(定理2.3.1) 非空有限集若满足
条件(1)(2)(3’)则G上一个群.
证 记G={a1,a2,…an},由(3’) G={a1a,a2a,…a n a},
故a=aia,同样 a=aai, ai=e.也有aja=e, aj=a-1.
群同态
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定义 两个群之间影射:G  H使(ab)
= (a) (b)则称为群同态.
定理2.4.1 若:G H是两个乘法代数系统的同
态,如G是群则H也是群,因此是群同态.
证 由群的定义立得.
定理2.4.2 若:G  H是群同态,则e是G的单位
元时(e)是H的单位元,且 (a) -1=(a -1).
例 Z是整数加群,Zn是整数模n剩余类加群,则
:a  [a]是加群同态Z~Zn.
变换群
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本节重点 可自然地定义变换的乘法，且这种
乘法满足结合律，由此定义变换群.
定义 设,:SS是集合S上的两个变换,定义
(a)=((a)),aS,则还是S上的变换.若也
是S上的变换,则()= ().恒等变换记为:
(a)=a.
定理2.5.1 设G是集合S上若干变换作成的集合,
且恒等变换G,若G对变换的乘法成为一个群,
则G每元都是S上的一一变换.称G为S上的变换
群.若S是有限集,G也称S上的置换群.
例 欧氏空间的平移群与旋转群.
•定理2.5.3(Cayley) 每个群都同构于一个变换群.
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证 设G是一个群,对每xG定义一个右乘变换
x:GG使g gx,则x(g1)= x(g2),当且仅当
g1x=g2x,当且仅当g1=g2 (右消去律),故x是一一
变换.记G*={x| xG},则G*是一个变换群,:G
G* 使(x)= x是群同构GG*.(是一一)
注.Cayley定理说明变换群与置换群的重要性.
置换群
本节重点
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置换的乘法运算
n个文字置换的两种表法:
表法1
 1 2 3 4 5
1 2


=  2 1 4 5 3
=  4 3

表法2 =(12)(345), =(1423)
3 4 5

1 2 5
 1 2 3 4 5  1 2 3 4 5  1 2 3 4 5
=  2 1 4 5 3  4 3 1 2 5 =  3 4 2 5 1
=(12)(345)(1423)=(13245)
置换群（续）
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注.表法2要点:=(i1i2is)(j1j2 jt) ,不同括号
内可由文字不相交,每个括号称为一个循环,长
为1的循环略去不写,恒等置换记为1.
例 n次对称群Sn,阶为n!.
S4={1,(12),(13),(14),(23),(24),(34),(123),(132),
(124),(142),(134),(143),(234),(243),(12)(34),
(13)(24),(14)(23),(1234),(1243),(1324),(1342),
(1423),(1432)}
定理2.6.2 每个n元置换都能表为文字不相交的
循环之积.
置换群（例题）
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例1
=  1 2 3 4 5 6 


 2 1 3 5 6 4
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=  1 2 3 4 5 6 


5 6 3 1 4 2
=(12)(456), = (154)(26), =(16)(25), =(16)(24)
-1 =(12)(465)(154)(26)=(16425)
例2 证明Sn的每个元都可以表为若干个形如
(12),(13),(14),…(1n)的2-循环之积.
证 看任一个循环(i1i2…it),若1{i1,i2, …,it},则
(i1i2…it)=(1i1)(1i2)…(1it) (1i1),若1{i1,i2, …,it},则(1
i2…it)=(1i2)…(1it).
例3 (1234)(56)=(12)(13)(14)(15)(16)(15)
(123)(456)=(12)(13)(14)(15)(16)(14)=(12)(13)(45)(46)
循环群
要点 循环群是由一个元素生成的最简单的群.
• 定义 群G如果仅含某一个元a的方幂,则G称为
由a生成的循环群,记为G=(a),G的阶也称为a的
阶.
• 例1. 整数加群Z是一个无限循环群,生成元为1.
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2 .整数模n剩余类加群Zn也是循环群,生成元
是[1],阶为n.
• 定理2.7.1 循环群或同构于整数加群或同构于
整数模n剩余类加群.
• 证 设G=(a).作影射:ZG使i  ai .若 |a|无限,
则是群同构ZG.若|a|=n,则(kn)=1, 是群同
构Zn G.
子群
重点 子集是子群三个充分必要条件.
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定义 群G的子集H如果在G的乘法之下也成为一个群,
则H称为G的子群,记为HG.
例 偶数加群是整数加群的子群.对称群S3 S4.
定理2.7.1 设H是群G的非空子集,则H是子群当且仅当
(1)a,bHab H (2)aHa-1
定理2.7.2 设H是群G的非空子集,则H是子群当且仅当
a,bHa-1b H.
定理2.7.3 设H是群G的有限非空子集,则H是子群当且
仅当a,bHab H.
证 必要性显然,下证充分性.因为这时H满足条件
(1)(2)(3’),由定理2.3.1是子群.
子群(续) 生成元集
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定义 设G是一个群,SG.记G的全体包含S的
子群的交为(S),称为S生成的子群.特别地,若
(S)=G,则称S是G的生成元集.循环群是由一个
元素生成的群.
例 S4=((123),(1234))
证 (123)-1=(132),(132)(1234)=(14),
(1234)-1(14)(1234)=(12),(123)(1234)=(1324),
(1324)-1(14)(1324)=(13),
故((123),(1234))=((12),(13),(14))= S4.
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子群的陪集
重点 陪集分解
•定义 设H是G的子群，a∈G，把子集aH=
{ah│h∈H} 称为H在G中的左陪集，注意a∈aH，
同样把Ha= ah│h∈H 称为右陪集.
引理 设H≤G，a，b∈G若aH∩bH≠φ则aH=bH.
证 若x∈aH∩bH则x=ah1=bh2，h1，h2∈H，于是
a=bh2h1－1∈bH，aH bH.同样bH aH，因此aH=bH.
定理2.9.1 设H≤G，则H在G中左陪集个数等于右
陪集个数。记这种共同的个数为│G：H│，称为
子群H在G中的指数.
子群与陪集(续)
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证 由引理G分解为互不相交的左陪集的并集
G=a1H+…+asH(加号代表并集符号),这一等式
称为左陪集分解.容易证明每aiH=Hai－1,因此
G=Ha1－1+…+Has－1.于是G共含s个左陪集，同
时G也共含s个右陪集，因此│G：H│=s.
定理2.9.2(Lagrange)如果G是有限群，H≤G则
│G│=│G:H│·│H│，特别地│H││G│.
证 由H在G中的左陪集分解G=a1H+…+asH得
│G│=s·│H│=│G:H│·│H│
子群与陪集(例)
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证明阶为pm(p为素数)的群一定包含一个
p阶群.
证 取1aG.因|G|=pm,由Lagrange定理
|a|= ps,
sm.只要a1,则有| a p |=p.
s1
同态与不变子群
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重点 不变子群是一类特重要的子群,由不变子
群可以构造商群。
定义 若H≤G且对每a∈G有aH=Ha,则H称为G
的不变子群，记为H△G表示。
定理2.10.1-2 设N是G的子群,则下面三个条件
等价
(1)N△G
(2)每a∈G，aNa－1=N
(3)每a∈G，n∈N有ana－1∈N
定理2.10.3 若N△G，则G/N={ aN│a∈G} 在陪
集的乘法之下成为一个群,这个群称为商群.
例 整数模n剩余类加群实际上是商群Zn=Z/(n).
同态与不变子群（续）
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重点 本节四个定理指出了群同态、不变子群、
商群三者的密不可分的关系。
定理2.11.1 每个群G必与它的任何商群G/N同态。
证 命φ(a)=aN,则φ:GG/N是群同态。
定理2.11.2 反过来若有群同态φ:G～ G，则同态
核K={x∈G│φ(x)= （G的单位元）}△G
e
且 G G/K。
证 φ(xy-1)= x  y-1= e, 故核K是子群,进一步K是
正规子群。(x)=xK,则是群同构。
同态与不变子群（再续）
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定理2.11.3 设φ：G～ 是群同态，则
（1）对G每个子群H，H的同态象 =φ(H)也是
G的子群。
（2）G的每个不变子群N的象 =φ(N)也是G的
不变子群。
定理2.11.4 设φ:G～ G是群同态，则
G
（1）G 的子群 的逆象H={x∈G|φ(x)∈ }也是G的
子群。
G
（2）G 的子群 的逆象N={x∈G|φ(x)∈ }也是G的
不变子群 。
同态与不变子群（例）
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例 设两个有限循环群G~H,|G|=m,|H|=n.证明
n | m.
证 记同态核为K,由定理2.11.2 G/KH,故
n=|H|=|G/K| | |G|=m.
注 上面例中,对一般的两个群(不必循环群),只
要有群同态G~H,则总有|H| | |G|.