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§4.2 空间群
4.2.1 平移群
对一维晶体，其晶格常数为a，规定周期性边界条件：
描述晶体性质的任何函数 (x)必须满足：
Φ x Na Φ x
N为有限整数
由于晶体的结构有一个周期a，从而若对它作一个位移
x Tˆl ·x x la
0l N
晶体会和原来完全重合，从而会产生一系列物理现象，显然：
x Tˆl 1 ·Tˆl 2 ·x Tˆl 2 ·Tˆl 1 ·x x l1 l 2 a
即任意两个平移操作是互易的
按周期性条件： TˆN x x Na Ex
TˆN 1 x x a T1 x
E是平移操作中的不变操作
按群的定义，容易证明：操作的集合：E , Tˆ1 , Tˆ2 , TˆN 1
组成一个Abel群，共有N个元素，(阶为N)，每个元素自成一类，
只有一维的不可约表示。
a
,
a
对三维晶体，三个不在同一平面内的基矢 1 2 和a 3 组成一个最
小的元胞（基胞：primitive unit cell）基胞无限重复平移形成的
晶体，周期条件为：Φ r N 1 a 1 Φ r
r N 2 a 2 r
r N 3 a 3 r
定义操作： T n r r n1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 r t n
其中 t n n1 a1 n 2 a 2 n 3 a 3 ( 1 n i N i , i=1,2,3)
称作格矢。
显然：任一个 T m 和另一个 T l 是互易的，而且：
ˆ
ˆ
T m T l T l T m Tˆ m 1 l1 , m 2 l 2 , m 3 l 3
平移操作一共有个 N 1 N 2 N 3，它们构成一个使三维晶格保持不变
的群——平移群，它是Abel群，它的各格矢的端点就是晶格。
4.2.2 空间群
三维晶体都有一个晶格，原子可以在格点上，也可以不在格点
A8
上，如金刚石晶体的原胞图如下：
A7
z
F
2
A8
A
7
z
A5
A6
A5
F3
F6
A6
y
F4
y
A3
A4 F5
A3
F1
A1
A4
x
A2
A1
x
A2
A8
A7
z
F2
其中，在A1~A8立主体构成惯用元胞，
D3
A5
D4 A6
各点有一个碳原子，在六个面心位置
F3
F6
上：F1~F6也各有一个碳原子，在四
y
F4
D1 F
1
D2 A3
个对角线的 处：D1~D4也各有一个
5
A4
4
F1
A1
碳原子。
x
A2
A7
F2
D3
D4 A6
F3
F6
y
F4
D1
D2 A3
F
5
A4
F1
A1
x
A2
z
A5
基胞的三个基矢为：a a i j
1
a2
a3
2
a
j k
2
a
k i
2
A8
显然，以 a 1 , a 2 和 a 3 三基矢构成基胞时，基胞A1F1F4F5F3F6A7F2内
在D1处还有一个碳原子，所以一个基胞内有两个碳原子。
以A1为原点，点群Oh操作可使基矢顶点构成的晶格不变，但
D1D2D3和D4要变。
若作平移变换（操作）
ˆ
T n r r n1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
也可使晶格保持不变，但这个操作不能使任何一个格点搬到D1
点，即不能使晶体结构保持不变。
A8
A7
z
F2
D3
Oh中的中心反演J也不能保持晶体
A5
D4 A6
结构保持不变，∵经过J后，D1原
F3
F6
y
F4
子要搬到另一个原胞中，而另一个
D1 F
D2 A3
5
元胞中该位置本不应有原子，∴J
A4
F1
A
1
不能使晶体结构保持不变。
x
A2
D'1
a
但是中心反演后再作平移操作: i j k
4
就能使D1处的原子搬到A1处，而A1处的原子搬到D1处等等。
∴反演J+平移τ就是一个可以使晶体结构保持不变的操作，不
过这已不是点群操作，而是空间群操作了。
z
A5
A8
D3
F2
A7
D4 A6
F3
F6
y
F4
D1 F
D2 A3
5
A4
F1
A1
x
A2
D'1
晶体的一切空间群操作可以表为：
r Ri i tn r
其中i=1,2,……h，h为空间群的阶，而转动操作（真转动和非真转
动）Ri的集合（i=1,2,…… h'）则构成一个点群，叫做空间群的点
群。
一般用：G R i i t n 表示空间群
F R i
表示空间群的点群。
4.2.3 布拉菲格子（Bravais Lattice）
空间群操作为：r R i i t n r R i r i t n
其中t n 是格矢：n1 a1 n 2 a 2 n 3 a 3
1
ni ni
i 1, 2 ,3
定理：任何空间群都有一个平移群 E t n 作为它的的一个子群，
而且该子群是一个正规子群。
证：① E t n
= g已经包括了空间群的所有N1N2N3个平移对称操
作，它是空间群的一个子群。
② a）
Ri ti
Ri ti
1
R t
1
i
i
Ri ti r Ri ti
1
R
1
i
R
1
i
1
1
1
R i r t i R i R i t i R i r t i
1
R i r t i R i t i r
Rt
b）现设空间群中任一个不属于平移群操作的操作为
是一个旋转操作，则：
R t E tn R t
1
1
1
r R t E tn R R t r
1
1
R t E tn R r R t
1
1
R t R r R t tn
1
1
R R r R t tn t
r R tn
E R tn r g
，R
也是属于N N N 个平移操作的，空间群应是封闭的，
1 2 3
E R tn
E R t n 也应是空间群的操作，但空间群的平移操作已经全部包
含在 E t n 中了，所以 E R t n 和 E t n 必代表同一个平移群，即R
作用在格矢上时，只能将它搬到另一个格矢上去，（周期条件
必须具备）， E R t n 和 E t n 中，各格矢都是同一组N1N2N3个格
矢，只是次序重排了一下。
∴ E R tn E tn
∴平移群是空间群的正规子群
其实，正因为R t n 必须仍是格矢，所以R所属的旋转轴度数只
能是1, 2, 3, 4, 6。
由于点群操作R有一定的性质（Rtn必须是格矢），如果确定
了R所属的点群，就对 t n 及其基矢 a1 , a 2 , a 3 施加了严格的限制，
那么，和可能的三十二个点群配合的基矢或基胞（即可能的晶格
排列）只能有十四种（属七个晶系）叫做14种布拉菲晶格 (
Bravais Lattice )。
点群元素不一定是晶格的对称操作
从已知的点群(32种)出发，分析与之相适合的可能的晶格排
列，即可能的晶格基矢选择，从而对可能的晶格类型进行分类，
得到晶体理论中的七个晶系，十四种布拉伐格子。
空间群的分类：
简单空间群：群中各元都是 R i t n 类型的算符。
非简单空间群：群中的元可以是 R i i t n 类型的算符。
简单空间群的每一个群元可表示为纯平移和点群的纯转动算符
的乘积：
晶系 布拉菲格子 点群数 乘积
R i t n E t n R i 0
3
5
15
立方
2
7
14
四角
由于有些布拉菲格子
4
3
12
正交
同点群的配合不止一种，
2
3
6
单斜
如底心正交布拉菲格子与
1
2
2
三斜
C3v的配合,二度轴可以与
1
5
5
三角
格子的高平行，也可以与
1
7
7
六角
高垂直。简单空间群实际
14
32
61
有73个。
总数
非简单空间群与简单空间群相比增加两类操作：
（1）螺旋操作(Screw Operation)
R 0 n度螺旋：表示绕轴S每转动2/n后，在沿该轴
R L
n
的方向平移R0/n的L倍（L小于n， R0
为沿S轴方向上的格矢）
螺旋操作中旋转必须是正
当转动。螺旋对称总共有
11种（21，31，32，41，42，
43，61，62，63，64，65），
41螺旋操作
（2）滑移操作（Glide Operation)
2度非正当转动接着平移R/n（ n =2和4）组成一个滑移操作
沿a2方向滑移R/2
由于有了不到一个格矢的平移，又出现了157个非简单空间
群。总共有230个空间群。
平移群是空间群的正规子群
空间群的商群：空间群G按平移群T的陪集分解得商群G/T
G T { R 2 2 }T { R 3 3 }T { R p p }T
可以是零矢量
只要知道了空间群G关于平移群T的陪集代表元 { R } （可以
不是唯一的），空间群G就可以确定了。
空间群G的阶g：g=iN= g0N
i为陪集的个数，N为平移群的阶，g0为商群的阶。
4.2.4 晶体空间群实例
氯化钠结构的空间群Oh5（Fm3m）
（面心立方格子）
基矢：晶体学原胞
t1 a i
t2 aj
t3 a k
固体物理学原胞
a
a1 i j
2
a
a2
j k
2
a
a3
k i
2
他们的幂生成面心立方平移群Tf
氯化钠结构的群Oh5是简单空间群，按平移群Tf作陪集分解，
陪集代表元为：
{ E 0}, { R 2 0}, , { R 48 0}, 构成点群Oh
O { E 0}T f { R 2 0}T f { R 48 0}T f
5
h
金刚石结构的空间群Oh7 （Fd3m）
（面心立方格子）
金刚石结构的群Oh7是非简单空
间群，按平移群Tf作陪集分解
时，陪集代表元分成两类：
一类是由Oh群的子群Td群同构
的24个转动所构成的陪集代表
元。这一类代表元中没有非格矢平移出现。
一类是由Oh群余下的24个群元构成的陪集代表元，它们都有
a
一个相同的非格矢平移
i j k
1
4
空间群Oh7按平移群Tf的陪集分解为：
O h { E 0}T f { R 24 0}T f { I 1 }T f { R 48 1 }T f
7
金红石（TiO2）结构的空间群D4h14（P42/mnm)
基矢相互垂直，且 a1 a 2 a 3
不是体心四方格子，而是由两
个四方格子套构而成。布拉菲
格子为简单四方格子。成生四
方格子的平移群T。
D4h14为非简单空间群，空间群
的点群是D4h
具有一个垂直于纸面的二度
轴及水平镜像，所以有点群
D2h的对称性。 D2h是D4h14的
子群，但D4h不是D4h14的子群。
D4h14空间群，按平移群T作陪集分解时，陪集代表元分成两类：
一类是由与D2h群同构的8代表元 (没有非格矢平移出现)。
一类是由D4h群余下的8个群元构成的复合操作，它们包含非格
矢平移： 1
2
a i a
1
2
j a3k
类别
第一类，不包
含非格矢平移
算符
{ E 0};
{C 2 Z 0};
{C ' 2 x 0}({ C 2 y 0}), {C ' 2 y 0}({ C 2 x 0});
{ I 0};
{ IC 2 Z 0}({ h 0});
{ d 1 0}({ IC 2 xy 0}), { d 2 0}({ IC 2 x y 0});
第二类，包含
非格矢平移
{C 4 z }及 {C
1
4z
};
{ S 4 }({ IC 4 z }), { S
1
4
}({ IC
1
4z
});
{C 2 x }及 {C 2 y };
{ v 1 }({ IC 2 y }), { v 2 }({ IC 2 x });
六角密积结构的空间群D6h4（P63/mmc)
简单六角结构固体学原胞基矢为：
a1 c k
a2 ai
a
3
a3 i
aj
2
2
为了实用，定义第四个矢量：
a
3
a4 a2 a3 i
aj
2
2
六角密积格子是由两个简单六角
格子相互移动而套构成的，平
移矢量为：
11
3 c
ai
aj k
2 2
6
2
D6h4的点群是D6h， D6h由12个正当转动和12个非正当转动组
成，共12个类。
D6h4空间群可分成两类：
一类只包括格矢平移。
一类则包括非格矢平移。
D6h4空间群按平移群T 展开，陪集代表元为：
{ E 0}, { R 2 0}, , { R 5 0}, { I }, , { R12 }
类别
第一类，不包
含非格矢平移
算符
{ E 0};
{C 3 Z 0 }, {C
1
0};
3Z
{C 2 y 0}, { C 2 C 0 }, {C 2 D 0};
{ IC 6 Z 0 }, { IC
1
6Z
0 };
{ IC 2 Z 0 };
{ IC 2 x 0}, { IC 2 A 0}, { IC 2 B 0};
第二类，包含
非格矢平移
{C 6 z }, {C
1
6z
};
{C 2 z };
{C 2 x }, {C 2 A }, {C 2 B };
{ I };
{ IC 3 z }, { IC
1
3z
};
{ IC 2 y }, { IC 2 C }, { IC 2 D };
4.2.5 二维空间群
三维
二维
七个晶系
四个晶系
14种布拉菲格子
5种布拉菲格子
晶系
单胞
点群
点群的阶
空间群数
斜形
简单斜形
C1
C2
1
2
2
矩形
简单矩形
有心矩形
C1h
C2v
2
4
4
正方形
简单正方
C4
C4v
4
8
2
六角形
简单六方
C3
C3v
C6
C6v
3
6
6
12
4
总数
5
10
12
10个点群和5种二维布拉菲格子可组成12个简单空间群。由于
六角形晶系中镜面取向不同，可多组成一个简单空间群。二维
简单空间群总数为13个。
二维点阵中，非格矢平移只能在ab面的某直线方向上，可组合
出4个非简单空间群，故二维空间群总共有17个。
§4.3 布洛赫定理
4.3.1 倒格矢
为了讨论方便，引入倒点阵，倒点阵的基矢为 b i i 1, 2 ,3 是由
晶体点阵基矢 a i i 1, 2 ,3 按下列关系式定义的：
a i ·b j 2 ij
i, j = 1, 2, 3
容易验证： b 2 a a
1
2
3
2
a 3 a1
b2
2
a1 a 2
b3
a1 a 2 a 3
在倒点阵中的任意格矢（倒格矢）：
K l l 1 b1 l 2 b 2 l 3 b 3
倒点阵元胞体积为：
3
i 1
li bi
b1 · b 2 b 3
*
l i 0 , 整数
2
a 2 a 3 b 2 2 a 3 a1
b1
a1 a 2 a 3
2
a1 a 2
b3
b1 · b 2 b 3
*
显然： * ( 2 ) 3
证：∵
a 3 a1 a1 a 2
a 3 a1 ·a 2 a1 a 3 a1 ·a1 a 2 a1
a a [ a 3 a1 a1 a 2 ]
∴ * ·b1 · b 2 b3 2 3
2
3
2
3
· a 1 · a 2 a 3
2
3
2
3
3
2
2
2
K l ·t n [ l1
( a 2 a3 ) l2
( a 3 a1 ) l 3
( a 1 a 2 )]
( n1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3 )
2 ( n1l1 n 2 l 2 n 3 l 3 )
3
2
nl
i i
i 1
2 m
m=整数
倒空间的一般矢量
m m m
N
N
k 1 b1 2 b 2 3 b 3 , i m i i , i 1, 2 , 3
2
2
N1
N2
N3
这样对m 的限制是为了使 k k 最大的倒格矢，即将 k 限制在
j
第一BE内。
4.3.2 布洛赫（Bloch）定理
当N ( = N1N2N3)个元胞的晶体满足周期边界条件（或叫玻恩
----卡门边界条）。
平移群各元素为Tn=Tn(n1, n2, n3), n1, n2, n3满足:
(1 n i N i i 1, 2 ,3 )
且 T n r E t n r r t n r n1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
这些元素数构成Abel群，每一个元素自成一类，因此，这
个群的表示必定是一维的。
下面来求这个不可约表示：
先考虑单电子运动的哈密顿量： H
h
2
V r
2
2m
显然， 2 不随操作Tn而变化，函数 V r 在此操作下：
1
T nV r V T n r V r t n V r
因为势场的周期性同晶格周期性应该一样
PTn 和 H 可交换
1
PTn H r HP Tn r H T n r H r t n E r t n
H 的本征函数 r 可作为操作Tn即PTn算符的一维表示的
基，因为表示是一维的，故：
PTn r C n r
即：
1
T n r r t n C n r
令 n1 1, n 2 n 3 0 ，则 n = (1,0,0)， t n a1
则： PT 100 r r a 1 C 100 r
将T(100)对 r 作用N1次：
N1
N1
PT 100 r C 100 r r
∴
P
N1
T 100
E
2 im 1
∴ C 100 exp
N1
∴ C 100 n exp
1
2 im 1 n 1
N1
N1
2
m1
N1
2
对普遍情况： t n n1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
此时 PT n r C n r
m1
m3
m2
C n exp 2 i
n1
n2
n 3
N2
N3
N1
且
Ni
2
又∵
∴
∴
mi
Ni
i 1, 2 ,3
2
m1 m 2
m3
b 3 n1 a 1 n 2 a 2 n 3 a 3
b1
b2
k t n
N
N
N
2
3
1
m 1 n1
m 3 n3
m 2n2
2
N
N
N
1
2
3
(k )
C n exp i k t n D ({ E t n })
PTn r r t n exp i k t n r
PTn r r t n exp i k t n r
r 是 T n 的一维表示的基，平移操作 T n 不改变函数本身，只使
函数与原来函数差一相位因子。
∴一定有： r exp i k r u r
k
其中 u k r u k r t n
PTn r r t n exp i k r u k r exp i k t n
即 u k r 是 r 的周期函数，其周期与晶格周期一致——这就是著
名的Bloch定理，它是固体物理的基础。
Bloch定理告诉我们：
在周期势场中，电子的哈密顿算符的本征函数形式为:
exp i k r u k r ——称为Bloch函数，k 为倒易空间矢量，u k r 为
周期函数。
为了强调矢量 k 即为 r 状态中电子的波矢量，Bloch函数常写
为： k r
电子的本征值也可用 k 来区分或标记，故在周期势场中，波矢量 k
是电子能态本征函数的一个好量子数。
利用波矢 k 标记平移群的不可约表示，还存在非唯一性问题。
当两个波矢 k 与 k 相差任意倒格矢 k 时，即
k k k
则对于任一个平移群 E t n 操作，有：
exp i k t n exp i k t n exp i k t n exp i k t n
=1
3
k l t n 2 n i l i 2 m , m 整数
i 1
说明：虽然Bloch函数是平移群操作Tn的一个一维不可约表示
的基，但不能用Tn的特征标来给波矢 k 分类，因为有许多波
矢值对应于一个特征标。为此，把波矢限定在一个特定区域
内，从而使Tn的特征标的一个值对应于一个波矢。这个k 的
区域称为布里渊区（Brillouin Zone)
定义：当限制 k 的取值范围以保证在此区域内任意两个波矢之差
均小于一个最短的倒格矢时，这样的区域就是第一布里渊
区（BZ），又称为简约区。
BZ区的取法：选择倒易空间任一格点为中心，作这个格点到
与它相邻的其他格点（包括近邻和次近邻）的
连接线，再作这些连接线的垂直平分面，所有
这些垂直平分面便组成一个所谓维格纳—赛茨
元胞（WignerSeitz unit cell），这个元胞就是布
里渊区。
通常，简约区是取相对于 k =
0的对称多面体。
这样，简约区体积为 * ，其中共有N=N1N2N3个不同的波矢k ，
它们可以唯一的标记平移群N个不可约表示。因此，第 k 个不可
约表示可记为：
D
(k )
({ E t n }) exp i k t n
k
E tn
E tn
T D
k
r
相应的特征标为：
E tn
D
k
exp i k t n C n
只要在第一布里渊区内选取波矢k，即可得平移群T的全部不可
约表示。
如要定量地求出本征函数和本征值，仅仅群论是不够的，还要
大量的计算工作，不过，群论方法可大大化简计算。
4.3.3 固体物理中的几个常见关系式
下面从平移对称性角度，证明几个重要关系：
（ⅰ）
tn
exp i k k t n N k , k
这就是平移群不可约表示的正交关系，群论中两个不等价的不
可约表示i和j的矩阵元满足正交关系：
∵
D R D R
i *
j
r
ij
R G
h
其中：h为群的阶，
mi
∴h =N，mi为第i个不可约表示的维数，故 mi=1。
求和遍及所有群元，即
R G
tn
且i k , j k 。表示矩阵都是一维：
k
D
E t n exp i k t n C n
i *
j
exp i k k t n N k , k
D
R
D
∴ r
R
R G
tn
（ⅱ）
k BZ
exp i k t n t s N t
n
,t s
代表平移群特征标的正交关系。
群的特征标第二正交定理为：
R s
i *
h
i
i
RS
hR
其中： h N , h R 为R共轭类中元素数目 ∴ h R 1
R tn , S ts ,i k
（∵Abel群）
且前面已证：
∴
i
k
E tn
exp i k t n
k
t n t s
k *
k BZ
exp i k t n t s N t t
n
s
§4.4 晶体的电子能带结构
4.4.1 一维晶体的自由电子能带
一维的薛定谔方程为：
h
2
d
2
2
2
m
dx
v x k x E k k x
其中V(x), k(x)均满足一维的周期性边界条件,k(x)是Bloch函数。
下面讨论一个最简单的情况： V(x) = 0——即自由电子近似。
显然，此时
k x k k x 0 , k
2
2
2 mE
h
2
, E k
2
h k
2m
2
, k Ae
如对k不加限制，则E(k)为一抛物线 :
能量是k的连续函数。
E(k)
k
ik x
如果加上一维周期性条件的限制，
k a k a Na kNa l 2 ,
k Ae
ik x
l =任意整数，
2 2 2
则一维波矢为： k l 2 , E 2 l h
2
2
N a
E k
ma N
2
h k
2
2m
其中N为一维基胞数，a为晶格常数，k是不连续的，能量也不再
连续，而形成能带。不过此时， E(k)仍是k的单值函数。
如果我们将k值限制在一维布里渊区内，即：
k
a
a
（即要求上面的
同时将能量与波矢的关系改写为：
E k
h
2
k K 2
2m
2
4
其中 K 0 , , ,
a
a
N
2
N
2
）
E k
h
2
2m
k
K
2
其中 K 0 ,
2
a
,
4
,
a
由上式也可以得到原来的所有的电子能级，这相当于将坐标原点
搬到
2
a
,
4
a
，等处，画出许多同样的抛物线，再截取这些抛
物线在第一布里渊区内的线段，这样，我们便得到E(k)是k的多
值函数。如下图所示：
即在第一布里渊区中，也可得到所有的能量值E(k)。正如布里渊
（Brillouin）指出：所有连续区域均可归并在 k 和 k 之
a
间，即Brillouin区中。
a
在布里渊区边界上，情况是不同的，由于实际晶体中V(x)并不等
于零，如将V(x)看成微扰，则在 k n
a
时 n 1, 2 , , E k
曲线将变得比较平缓，高能带和低能带之间产生了所谓“间隙”
。上图中的红线和蓝线相当于实际晶体(有微扰)的情况，黑虚线
相当于自由电子近似模型，从而形成了能量，它是周期势的结果
。
4.4.2 能级的简并度
1．BZ中E n k 的对称性。
设晶体属于空间对称群 t n ，则哈密顿应满足：
1
——（*）
tn H tn H
据定义： t r r t
t s s t ——（Δ）
而且有： t
1
1
1
t
1
t E t n t E t n
由（Δ）式得： E t t t t
n
n
1
t E tn tn t
1
∴ E tn t t E tn
E tn t t E
1
tn
因此
(i)
E tn t
PT n n k r exp i k t n n k r
r t
E
nk
e
ik
1
tn
1
tn
t
nk
nk
r
r
由于对两个矢量作同一正交变换，其标识不变，故有：
k ·
∴
1
tn k
E t n t
1
tn k tn
i k t n
r e
t
nk
nk
r
(ii) 另一方面，在BZ中， k 经操作后，变为 k ，它对应的
r
Bloch函数为：
n , k
由于 k 仍在BZ中，故Bloch定理仍成立：
i k t n
E t n n , k r e
n , k r
E t n t
∴ t
i k t n
r e
t
nk
nk
r
r 具有相同的平移算符本征值：
exp i k t n
r 和
nk
n , k
又∵平移群不可约表示是一维的，所以它们至多差一常数：
n , k r t n , k r 且
3
*
E n k n , k r H n , k r d r
因此
2
1
*
n ,k
r t
n , k r H
*
1
H t
n ,k
3
r d r
3
r d r E
k
n
n ,k
tn
∴
En k En k
——（）
1
H tn H
En k En k
上式可理解为：在每一能带中，如果把能量 E n k 看成BZ中“位
置”的函数，它便具有正点阵点群 0
En k
对称性，此即
的全部
的对称性。
上式也可理解为：对任意波矢 k ，在星（即 k 处）的所有点处
具有相同的能量本征值。
而且上面讨论指明了在 k 的星处的所有点处本征函数是由空间
群的对称操作作用在矢量 k 的本征函数上得到的。
由于BZ具有晶体点阵点群的全部对称性，故可以说BZ具有 0
点群的全部对称性，∴ E n k E n k 反映了BZ区的对称性。
例：前面讲过的一维自由电子， 0 是二阶群，故 k ， k 的能
量相等。
E(k)
k
例：二维正方点阵，BZ如下图正方
形所示（均为正方形）：
保持此正方形BZ不变的点群操作
k
k4
a
k5
a
k3
k6
a
y
k2
k7
2
3
4 mm E , C 4 , C 4 , C 4 , m x , m y , m d , m d
共有8个点群：
E ——恒等操作
k1
C4——垂直于纸面的4次轴
kx
k8
m x , m y ——分别为垂直于 k x , k y 的
a
对称面
m d , m d ——通过正方形两对角线的
对称面
在BZ中，k 1
施以上述点群操作者，它将变到
k1 , k 2 , k 8
这八个点在同一能带中具有相同的能量：
E n k1 E n k 2 E n k 8
BZ中的等能面 E n k Const 具有空间群点群 0 的对称性，这
一事实在能带结构计算中和通过某种测量确定能量值的实验中是
经常被用到的。
k4
a
k5
a
k3
k6
a
ky
k2
k7
k1
kx
k8
a
k
2．E n
的简并度
在单电子问题中，由平移对称性可知：晶体中一个电子的运
动状态由Bloch函数:
Φ k r u k r exp i k r
u k r u k r n a
描述，其相应的能量本征值则应求解方程：
H Φ k , n r E n k Φ k , n r
一般，上式中的 E n k
——（*）
中可能有简并能级存在，设在
能量本征值的简并度为 d n ：
H n , k , j r E n k
n ,k , j
r
j 1, 2 ,3, d n ，则应有 d n 个Bloch函数
个能量 E k 。
k 点第n个
n ,k , j
对应于同一
r
H Φ k , n r E n k Φ k , n r
——（*）
这种情况往往发生在BZ中某些高对称性的点与线上，这时点群
中的某些元素对 k 运算后仍保持 k 不变（或等于 k k n ）。
但这些群元对Bloch函数的作用将产生具有不同对称性的一组函
数，它们同属方程 (*) 式的解，并且具有相同的 k 与能量 E n k ，
这就是 n k j r 的来源。
由于晶体点阵与相应的倒点阵有一一对应的关系，BZ是波矢量
空间中的对称化元胞，它具有倒点阵点群的全部对称性，故可以
说BZ具有 0 点群的全部对称性。
因此，只要分析BZ中的对称性，就可知道 0 点群的阶、类、
表示及维数等，也就知道了能级 E n k 的简并度。
全部对称性，可以证明：“同一晶体的正、倒点阵有相同的点
群对称性，因此，BZ具有晶体点阵点群的全部对称性”。
证明：
设为正点阵点群的对称操作，则 t n 为一个正格矢，由于群中
1
1
必有逆操作 ，所以 t n 也应为一正格矢。
3
据： K n t n 2 n i i 2 m , m 整数
i 1
应有：
1
t n k n 2 m
由于两矢量的点乘对于正交变换是不变的，上式可化为：
t n k n 2 m
∴对于群中任意而言， k n 亦为一倒格矢，表明正、倒点阵具有
相同点群对称性。
为了确定能带 E n k 的简并度 d n ，人们引入 k --波矢群的概念：
定义： k --波矢群：点群 0 中使 k 不变（或变到相差倒格矢的等
效点上去）的那些对称操作元素的集合所构成的群，这些操作满
足条件：
k k K l 1b1 3 b 3 3 b 3
且它们组成一个点群，是 0 的子群。
波矢群不可约表示的维数给出正交基函数的个数，由于同一不可
约表示中各基函数具有相同能量，因此 k --波矢群不可约表示的
维数，就等于 k 点能级的简并度 d n 。
例：两维正方点阵的波矢群：
ky
/a
M
Z
-/a
X /a
kx
-/a
对二维正方点阵，其BZ亦为正方形，如上图，保持BZ不变的点
群对称操作共有8个：
2
4
3
4
E , C 4 , C , C , m x , m y , md , md
其中E为恒等操作，C4为垂直于纸面的4次轴，m x , m y 分别为垂直
于 k x , k y 的对称面， m d , m d 通过正方形两对角线的对称面，这8
个对称操作属于4mm（ C 4 ）。
在BZ中有六个高对称性的点和线：
（1）Г，M，X分别代表位于BZ中心（ k=0），顶角及边界面中
心的点。
（2）Δ，∑，Z分别代表位于ГX，ГM，XM上任一点（但不
包括Г，X，M点）。
/a
ky
-/a
M
Z
X /a
-/a
kx
各点的 k 一波矢群及其不可约表示的维数：
（ⅰ）Г点（ k=0点）
4mm的八个对称操作均保持 k =0不变，故 k =0波矢群即点群
4mm，通常称为Г波矢群，这个群可分为五个共轭元素类：
ky
/a
E ; C 42 ; C 4 , C 43 ; m x , m y ; m d , m d
M
因此共有五个不同的不可约表示，
Z
这些表示的维数 m 应满足：
5
-/a
X /a
kx
m 8
2
-/a
其解只可能是：1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 8 ，说明在Г波矢群中有4个
一维的和1个两维的不可约表示，因此，在Г点 E 0 应有4种单
n
重态和一种双重简并态，即：在Г点可能有能带的二重简并发
生（这一点无须详细计算便可知）。
1
（ⅱ）M点
M点波矢径4mm所有群元作用后仍在四顶角上，由于它们相差为
倒格矢，满足条件 k k k ，因此M波矢群也是4mm点群，群
的阶h 8 与Г波矢群相似，在M点也可能有双重简并能带出现。
（ⅲ）X点
由于X点位于 m y 上，故 m y 操作不改变X，而 m x 和 C 42 操作也
只将X点变换到相差一倒格矢的对边中心，据 k k k ，X波
矢群应由 E , m x , m y C 42 四个元素组成，这个群中各元素自成一个
共轭类，因此有四个一维的不可约表示，
ky
/a
M
说明在X点能带为非简并的。
Z
-/a
X /a
-/a
kx
/a
（ⅳ）Δ、∑、Z点：
这三点都只有两个元素组成波矢群：
Δ波矢群为E， m （Δ位于
y
ky
m上）
y
-/a
∑波矢群为E， m d（∑位于 m上）
d
M
Z
X /a
kx
-/a
Z波矢群为E，m x
（ m x 操作将 Z Z 两者差 2 ，满足 k k k ）
a
这些群中每个元素均自成一类，不可约表示都是一维的，
在Δ、∑、Z点上只有非简并的能带。
（ⅴ）BZ中一般点：
4mm点群中除恒等元素E外，
其它七个操作将使 k 1 变为不
同的波矢 k 2 , k 3 , , k 8 。
波矢群只含单位元素E，
∴能带是非简并的。
∴在两维正方格子的布里渊区
，能带的简并只发生在BZ中
点与顶点M上。
k4
a
k5
a
k3
k6
ky
k2
k7
k1
kx
k8
a
中
的Г
a
三维情况当晶体空间群不包含滑移反映及螺旋轴时，波矢群的
分析可借助于32个点群表，因为每波矢群属于32个点群之一，
只需查出所对应点群表中恒元E的特征标，即可得知波矢群不
n
m 即为表示
可约表示的维数（∵ D E I , x E 1 m而
E
E
E
的维数）从而求得能带
i 1
的简并度。
En k