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第四章 群论在固体物理中的应用
在固体物理中，对晶体的研究占据了相当大的比重。
晶体：“三维空间中的一种规则排列无限重复的原子、分
子、离子或原子集团的集合”。
晶体具有高度的对称性，从而形成了一系列对称群、对称
群对晶体的能级分裂，能带形成等起主导作用。
§4.1 点群
晶体的对称性可以用三种形式的几何变换或操作描述：
平移平移矢量 


 2 

旋转轴
;


 n 


空间群
真转动轴 
点群反演面,中心对称面 — — 镜像反映;

对称中心 — —反常r  r;





旋转各种反演转反轴.

其中，反演+（真）转动  非真转动（转反轴）
2
例：① n重旋转轴——
，n为某些整数
n
n=4
2
n
D
C
O
A
B
对称性的阶等于4=h
（即对称群的阶）
C4
②对称面
h=2
③对称中心


r  r , h  2.
对称中心
④旋转反演轴（转反轴）
——旋转和反演的复合操作
B
A

r
A'是A的转反像
O 
r
A'
以上四种对称要素相应的操作中，空间中至少有一个点保持不动。
定义：由真转动和非真转动的各种组合都可保持一个点（原点）
的位置不动，称之点群操作，它们的集合称为点群。
定义：由平移操作和点群操作的各种组合叫作空间群操作，它
们的集合称为空间群。
注意：严格讲：空间群操作，空间每一点都要动，因此，空间
对称操作只有对无限延伸的物体才能进行。
一般采用周期性边界条件解决此类问题。
4.1.1 晶体点群的对称操作
晶体具有平移对称性，因此，晶体中的点群操作受到严格限制。
晶体中的真转动是绕某一轴正向（逆时针）转动某一角度。
2

n
即 =360º，180º，120º，90º，60º以及它们的组合：
240º，270º，300º。

m|a|
B'
证明 n =1,2,3,4,6

A和B是 a（晶格常数）方向上的两点阵
设绕A点转动角，则B点转到B'点
设绕B点转动角，则A点转到A'点
A'

 |a| 
A
B
∵转动后原子点阵应重合，故 B A是一点阵矢量

即： BA  m a
，m——整数
由图可知：
 


 

m a  a  2 a sin      a  2 a cos 
2

∴
m  1 2 cos 
1 m
cos  
 1, m  3,2,1,0,1
2
2 2 2 2 2 

1  1  m 
∴   cos 
,
,
,
,
  

 2 
 2 3 4 6 1 
2
∴
，n=1,2,3,4,6
n
在非真转动中的角度转动部分也是如此。
4.1.2 立方晶系的群（Cubic Crystal System）
立方晶系的群
T群（T，Td，Th）
O群（O，Oh）
1、O群（Octahedron Group)
正八面体群
A7
对称元素：
3个四度轴：x,y,z轴
z
e
f
c
o
A8
4个三度轴：oA1，oA2，oA3，oA4轴
A3
A6
d
A5 b
a
A2
6个二度轴：oa，ob，oc，od，oe，of
不变操作
A4
x
A1
y
总操作数为: 3×3（四度轴有三个操作）=9
4×2（三度轴有二个操作）=8
6×1（二度轴有一个操作）=6
不变操作 =1
z
e
A7
f
共有24个真转动操作。
c
o
A8
1C1，不动，群元E
PE ( xyz)  ( xyz) D( E)  ( xyz)
1 0 0
 D(E )  0 1 0
0 0 1
A3
A4
x
A6
d
A5 b
a
A2
A1
y
6C 2
z
d
，绕对边中点连线转动180o（2-度对称）
A7
A, PA ( xyz)  ( xyz) D( A)  ( yxz )
0 1 0 
 D(A)  1 0 0 
0 0  1
g
c
o
A8
A3
A4
x
A6
f
A5 b
a
A2
y
A1
B, PB ( xyz)  ( xyz) D( B)  ( yxz )
 0 1 0 
 D(B)   1 0 0 
 0 0  1
C, PC ( xyz)  ( xyz) D(C )  ( zyx)
0 0 1
 D(C )  0  1 0
1 0 0
z
d
A7
D, PD ( xyz)  ( xyz) D( D)  ( zyx )
 0 0  1
 D (D )   0  1 0 
 1 0 0 
g
c
o
A8
A3
A4
x
A6
f
A5 b
a
A2
y
A1
F , PF ( xyz)  ( xyz) D( F )  ( xzy)
  1 0 0
 D(F )   0 0 1
 0 1 0
G, PG ( xyz)  ( xyz) D(G)  ( xyz )
 1 0 0 
 D (G )   0 0  1
 0  1 0 
8C3
，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称）
H , PH ( xyz)  ( xyz) D( H )  ( zxy)
0 1 0 
 D (H )  0 0 1 
1 0 0
z
d
A7
g
c
o
A8
A3
A4
x
A6
f
A5 b
a
A2
A1
I , PI ( xyz)  ( xyz) D( I )  ( yzx)
0 0 1 
 D(I )  1 0 0
0 1 0
J , PJ ( xyz)  ( xyz) D( J )  ( zxy )
0  1 0 
 D(J )  0 0  1
1 0 0 
y
z
d
A7
K , PK ( xyz)  ( xyz) D( K )  ( yzx)
 0 0 1
 D(K )   1 0 0
 0  1 0
g
c
o
A8
A3
A4
x
A6
f
A5 b
a
A2
y
A1
L, PL ( xyz)  ( xyz) D( L)  ( zxy)
 0  1 0
 D(L)   0 0 1
 1 0 0
M , PM ( xyz)  ( xyz) D(M )  ( yzx )
 0 0  1
 D(M )   1 0 0 
 0 1 0 
N , PN ( xyz)  ( xyz) D( N )  ( zxy )
0 1 0
 D(N )   0 0  1
 1 0 0 
O, PO ( xyz)  ( xyz) D(O)  ( yzx )
0 0  1
 D (O )  1 0 0 
0  1 0 
z
d
A7
g
c
o
A8
A3
A4
x
A6
f
A5 b
a
A2
A1
y
6C4
，绕xyz轴转动90o
（4-度对称）
P, PP ( xyz)  ( xyz) D( P)  ( xzy)
1 0 0
 D(P)  0 0 1
0  1 0
R, PR ( xyz)  ( xyz) D( R)  ( xzy)
1 0 0 
 D(R)  0 0  1
0 1 0 
z
d
A7
g
c
o
A8
A3
A4
x
A6
f
A5 b
a
A2
A1
y
z
d
A7
S , PS ( xyz)  ( xyz) D( S )  ( zyx )
0 0  1
 D (S )  0 1 0 
1 0 0 
U , PU ( xyz)  ( xyz) D(U )  ( zyx)
 0 0 1
 D(U )   0 1 0
 1 0 0
g
c
o
A8
A3
A4
x
A6
f
A5 b
a
A2
A1
y
z
d
A7
V , PV ( xyz)  ( xyz) D(V )  ( yxz)
 0 1 0
 D(V )   1 0 0
 0 0 1
X , PX ( xyz)  ( xyz) D( X )  ( yxz)
0  1 0
 D(V )  1 0 0
0 0 1
g
c
o
A8
A3
A4
x
A6
f
A5 b
a
A2
A1
y
3C2
，绕xyz轴转动180o
（2-度对称）
Q, PQ ( xyz)  ( xyz) D(Q)  ( xyz )
1 0 0 
 D (Q )  0  1 0 
0 0  1
z
d
A7
g
c
o
A8
A3
A4
x
A6
f
A5 b
a
A2
y
A1
T , PT ( xyz)  ( xyz) D(T )  ( xyz )
 1 0 0 
 D (Q )   0 1 0 
 0 0  1
W , PW ( xyz)  ( xyz) D(W )  ( xyz )
  1 0 0
 D (Q )   0  1 0
 0 0 1
O群有5类，24个群元，有5个不可约表示
5
2
n
 i  24
i 1
n1  n2  1, n3  2, n4  n5  3
O群有两个1-维表示，一个2-维表示，两个3-维表示。
1
2



R
1

h RG
上述表示是O群的个3-维表示
2、Oh群
8个全同原子位于立方体的8个顶点
f
O群的24个真转动，加上中心反演，又 A8
有24个非真转动，因此共有48个操作。
共分为10个类。
A7
1C1，不动，群元E
A4
o
6C2，绕对边中点连线转动180 （2-度对称）
8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称）
6C4，绕xyz轴转动90o （4-度对称）
3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）
i，关于中心反演
6iC2，绕对边中点连线转动180o，接着中心反演
8iC3，绕对角线转动120o 和240o，接着中心反演
6iC4，绕xyz轴转动90o，接着中心反演
3iC 2，绕xyz轴转动180o，接着中心反演
z
e
c
o
A3
x
A6
d
A5 b
a
A2
A1
y
3、T群（Tetrahedton Group，正四面体群)
与O群比，少6C4， 6C 2两种对称性
1C1，不动，群元E
4C3，绕对角线转动120o （3-度对称）
4C23，绕对角线转动240o （3-度对称）
A3
3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）
T群有4类，12个群元，有4个不可约表示
4
2
n
 i  12
i 1
n1  n2  n3  1, n4  3
T群有三个1-维表示，一个3-维表示。
A2
A1
A4
4、Th群
T群的12个真转动，加上中心反演，又
有12个非真转动，因此共有24个操作。
共分为8个类。
1C1，不动，群元E
4C3，绕对角线转动120o （3-度对称）
4C23，绕对角线转动240o （3-度对称）
3C2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）
i，关于中心反演
4iC3，绕对角线转动120o ，接着中心反演
4iC23，绕对角线转动240o ，接着中心反演
3iC2，绕xyz轴转动180o ，接着中心反演
Th群有6个1-维表示，2个3-维表示。
4、Td群 (两种原子组成的四方晶体)
除T群的12个操作外。还有12个操作：
6iC2和6iC4。共24个操作，分为5个类。
1C1，不动，群元E
8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称）
T群中4C3和4C23合并成一类
3C 2，绕xyz轴转动180o （2-度对称）
6iC4，绕对角线转动90o和270o ，接着中心反演
6iC 2，绕对边中点连线转动180o ，接着中心反演
将T群中4C3和4C23合并成一类
5
2
n
 i  24
i 1
n1  n2  1, n3  2, n4  n5  3
Td群有2个1-维表示， 1个2-维表示， 2个3-维表示。
5个立方体群的相互关系
4.1.3 点群的符号和图示
点群的符号有两种：
IS制（也叫Hermann-Mauguin）符号：简写IS符号，H.M符号
Schoenflies（熊夫利斯符号）符号，简写Sch符号
对称要素
图示（标记）
I.S
Sch.
对称中心
无
1
Ci=S1
对称面
直线或圆圈
m
CS=S2
一重旋转轴
无
1
C1
2
C2
二重旋转轴
三重旋转轴
▲
3
C3
四重旋转轴
■
4
C4
六重旋转轴

6
C6
一重转反轴≡对称中心
无
1
Ci=S1
二重转反轴≡垂直于轴的对称面
同对称面
2 m
S2 = CS
三重转反轴≡三重轴加对称中心
3
C3i
四重转反轴
4
S4
六重转反轴≡六重轴加垂直于它
的对称面
6 3 / m
S4 , (S4 ) 2  C2 , (S4 )3  ( S4 ) 1 , (S4 ) 4  E
注意：四度反轴 不等于四度轴加反演中心
C3h
晶体具有的对称操作：
Cn：绕晶体主轴作 2 / n 角度的转动，n＝1，2，3，4，6
Dn ：具有Cn的对称晶体，同时存在n根与主轴垂直的2-度轴，
n＝2，3，4，6
Cnh：具有Cn的对称晶体，同时具有一个与主轴垂直的水平面作为
反射镜面，n＝1，2，3，4，6，n为偶数时， Cnh还具有反演
操作
Cnv：具有Cn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射
镜面，n＝2，3，4，6
Sn ：具有n重非正当转动的对称晶体， n＝2，3，6
n＝3时， S3 ＝ C3h
晶体具有的对称操作：
Dnh：具有Dn的对称晶体，同时具有一个水平面反射镜面，
n＝2，3，4，6
Cnv：具有Dn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射
镜面， n＝2，3
立方晶系5种点群：T，Td，Th，O，Oh
立方系晶体和六方系晶体等可能具有的最多操作可以查表。
一般，对称性较低的晶体具有的对称操作要少一些。
晶体可能具有的点群操作可构成一个群——晶体的点群，它决
定晶体的宏观对称性。
可以证明：独立的点操作对称要素有：
（IS）1，2，3，4，6，I，m，
这8个点对称要素共有32种组合（见书）。相应地，每种组
合的操作构成一个点群，因此，共有32个点群。
例如：不可能有垂直于三重轴或六重轴的四垂轴（因为垂直于
四重轴的三重轴或六重轴都将“破坏”四重轴的对称性）
32个晶体点群
32个晶体点群不可约表示的特征标表
三斜晶系：
单斜晶系：
正交晶系：
四角晶系：
六角晶系：
立方晶系：
4.1.4 晶格对称性对固体性质的影响
各向同性物体中：物理性质与空间方向无关，可用一标量来
描述，如电导率，介电常数，极化系数等
j  E; D  E , P  E
晶体中：物理性质量通常是各向异性的，一般用二阶张量来
描述，如电导率张量
 11  12  13 
   21  22  23 
 31  32  33 
不同固体的电导率相差很大，其原因是与晶格的对称性有关。
长方晶体： a  b  c
以x，y，z为基矢的表示矩阵为
1 0 0
  1 0 0
E  0 1 0; C2 ( Z )   0  1 0;
0 0 1
 0 0 1
1 0 0 
 1 0
C2 ( x)  0  1 0 ; C2 ( y )   0 1
0 0  1
 0 0
1 0 0 
 1 0
S 2( xy)  0 1 0 ;S 2( yz )   0 1
0 0  1
 0 0
c
b
a
0
 1 0 0 
0 ; i   0  1 0 ;
 0 0  1
 1
0
1 0 0
0;S 2( zx )  0  1 0
0 0 1
1
电导率张量在对称操作的作用下，有关系式：
 '  UU 1
C2 ( z )  [C2 ( z )]1
 1 0 0  11  12  13   1 0 0
 '   0  1 0  21  22  23   0  1 0
 0 0 1  31  32  33   0 0 1
 12   13 
  11
   21
 22   23 
  31   32  33 
 ' 
对称操作
 12
 11  12  13    11




 22
22
23 
 21
 21
 31  32  33    31   32
 11  12 0 
 '   21  22 0 
 0
0  33 
  13 
  23 
 33 
C2 ( x)  [C2 ( x)]1
1 0 0   11  12 0  1 0 0 
 ' '  0  1 0   21  22 0  0  1 0 
0 0  1  0
0  33  0 0  1
  11   12 0 
   21  22
0 
 0
0
 33 
 ''    '
对称操作
 11  12 0    11   12 0 




0 
 21  22 0     21  22
 0
0  33   0
0
 33 
0 
 11 0
 ' '   0  22 0 
 0
0  33 
其他操作作
用无改变
 ' ' 长方晶体电导率的一般形式，表明长方晶体电导率在x，
y，z三个方向上数值是不相等的。
如晶体为四方晶体: a  b  c
0    0
0
 11 0
   0  11 0    0   0 
 0
0  33   0
0  // 
四方晶体的物理性张量只有两个独立量，一个代表横向的，
另一个代表纵向的。
如晶体为立方晶体: a  b  c
 0 0 0 
1 0 0
   0  0 0    0 0 1 0
 0 0  0 
0 0 1
立方晶体的物理性质量可用一个标量来表示。