Transcript 2.2 傅里叶变换
第2章
图像空间
正变换
图象变换基础
变换空间
逆变换
处理起来
•更有效
•更方便
•更快捷
……
图像空间
第2章
图象变换基础
2.1 可分离和正交图象变换
2.2 傅里叶变换
2.3 沃尔什/哈达玛变换
2.4 离散余弦变换
2.2 傅里叶变换
5.2.1 2-D傅里叶变换
5.2.2 傅里叶变换定理
5.2.3 快速傅里叶变换
2.2.1 2-D傅里叶变换
1-D正变换
1
F f ( x ) F (u )
N
N 1
f ( x ) exp[ j2ux / N ]
x 0
对1个连续函数 f (x) 等间隔采样
f (x )
75
85 90
50
10 15
25
x
0
1 2 3 4 5 6 7
2.2.1 2-D傅里叶变换
e cos j sin
j
1-D反变换
F
1
N 1
F (u ) f ( x) F (u ) exp[ j2ux / N ]
u 0
变换表达
F (u) R(u) jI (u) F (u) exp j (u)
频谱（幅度）
1 2
F (u) R2 (u) I 2 (u)
相位角
(u) arctan[I (u) R(u)]
2.2.1 2-D傅里叶变换
F(0,0)=?
变换对公式：1D－>2D推广
1 N 1
F (u, v)
MN x0
N 1
f ( x, y) exp[ j2(ux / M vy / N )]
y 0
N 1 N 1
f ( x, y)
F (u, v) exp[ j2(ux vy) / N ]
u 0 v 0
频谱（幅度）
F ( u, v ) R ( u, v ) I ( u, v )
2
2
相位角
(u, v ) arctan[I (u, v ) R(u, v )]
功率谱
P(u, v) F (u, v)
2
12
R (u, v) I (u, v)
2
2
2.2.1 2-D傅里叶变换
注意：频谱中心搬移了！
2.2.1 2-D傅里叶变换
2.2.1 2-D傅里叶变换
原图像
幅度谱
相位谱
由幅度谱重建
由相位谱重建
相位谱为0
幅度谱为常数
2.1 可分离和正交图象变换
1
F f ( x ) F (u )
N
N 1
f ( x ) exp[ j2ux / N ]
x 0
1-D可分离变换
正向变换核
正变换
T (u )
N 1
f ( x ) h ( x, u )
u 0, 1, , N 1
x 0
反向变换核
反变换
f ( x)
N 1
T (u )k ( x, u )
u 0
x 0, 1, , N 1
2.1 可分离和正交图象变换
1
F (u, v)
N
N 1 N 1
f ( x, y) exp[ j2(ux vy) / N ]
x 0 y 0
2-D可分离变换
（傅里叶变换是一个例子）
正向变换核
T (u, v)
N 1 N 1
f ( x, y)h( x, y, u, v)
x 0 y 0
f ( x, y )
N 1 N 1
T (u, v)k ( x, y, u, v)
变换核与
原始函数及
变换后函数无关
u 0 v 0
反向变换核
2.1 可分离和正交图象变换
exp[ j2(ux / M vy / N )] exp( j 2 ux / M ) exp( j 2 vy / N )
可分离
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
1个2-D变换分成2个1-D变换
T ( x, v )
N 1
f ( x, y)h2 ( y, v)
T (u, v)
y 0
对称
N 1
T ( x, v)h1 ( x, u )
x 0
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h1 ( y, v)
(h1与h2的函数形式一样)
2.1 可分离和正交图象变换
可分离且对称
变换结果
对称变换矩阵
T AFA
图象矩阵
反变换
BTB BAFAB
反变换矩阵
F BTB
B A1
Fˆ BAFAB
B A1
2.1 可分离和正交图象变换
正交
考虑变换矩阵：
B A1
F BTB
酉矩阵（*代表共轭 ）： A 1 A*
如果A为实矩阵，且：
A 1 A T
则A为正交矩阵，
式(5.1.3)和式(5.1.4)构成正交变换对
2.2.2 傅里叶变换定理
分离性质
1 N 1
F ( x, v) f ( x, y ) exp[ j2vy / N ]
N y 0
1
N
F ( u, v )
N 1
F ( x, v ) exp[ j2ux / N ]
O(N 4)减为O(N 2)
x 0
Y
V
V
(N-1)
(N -1)
f (x, y)
X
(0,0)
1次2-D 2次1-D
(N -1)
列变换
乘 以N
(N -1)
行变换
F(x, v)
F(u, v)
U
X
(0,0)
(N -1)
(0,0)
(N -1)
2.2.2 傅里叶变换定理
1、平移定理
f ( x , y ) F ( u, v )
c=d=N/2?
f ( x, y) exp[ j2(cx dy) / N ] F (u c, v d )
F { f ( x, y ) exp[ j2(cx dy ) / N ]}
N 1 N 1
1
2
N
f ( x, y) exp[ j2(cx dy) / N ]exp[ j2(ux vy) / N ]
1
2
N
N 1 N 1
x 0
y 0
f ( x, y) exp{ j2(u c) x (v d ) y] / N }
x 0
y 0
F [(u c), (v d )]
2.2.2 傅里叶变换定理
2、分配性和比例变换性
F { f1 ( x, y) f2 ( x, y)} F f1 ( x, y) F f2 ( x, y)
F { f1 ( x, y) f2 ( x, y)} F f1 ( x, y) F f2 ( x, y)
F {af ( x, y)} aF f ( x, y)
F { f (ax, by)}
1
F (u / a, v / b)
| ab |
2.2.2 傅里叶变换定理
3、旋转
x r cos , y r sin , u cos , v sin
f ( x, y) f (r , ), F (u, v) F (, )
F { f (r, 0 )} F (, 0 )
2.2.2 傅里叶变换定理
4、周期性和对称性
F (u, v) F (u M , v) F (u, v N ) F (u M , v N )
f ( x, y) f ( x M , y) f ( x, y N ) f ( x M , y N )
F (u, v) F * (u, v)
2.2.2 傅里叶变换定理
5、剪切定理
（水平方向）纯剪切
x' x by
f ( x by, y ) F (u, v bu)
y' y
（垂直方向）纯剪切
x' x
y' dx y
f ( x, dx y) F (u du, v)
2.2.2 傅里叶变换定理
6、组合剪切定理
平移＋旋转＋尺度
f ( x by, dx y )
1
u dv bu v
F
,
1 bd 1 bd 1 bd
1
x
d
水平剪切
1 b
0 1
b
x
1
垂直剪切
1
d
0
1
2.2.2 傅里叶变换定理
7、仿射定理
D
a b
d
e
ae bd
u' = (eu – dv)/D和v' = (– bu + av)/D
u a
v b
d u'
e v'
2.2.2 傅里叶变换定理
8、卷积定理
f ( x) g ( x) F (u )G(u )
f ( x) g ( x) F (u ) G(u )
2-D
f ( x, y) g ( x, y)
f ( p, q) g ( x p, y q)dpdq
- -
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v )G(u, v )
f ( x, y ) g ( x, y ) F (u, v ) G(u, v )
2.2.2 傅里叶变换定理
9、相关定理
f ( x) g( x)
f * ( z ) g ( x z )dz
互相关：f (x) g(x)
2-D
f ( x, y ) g ( x, y )
自相关：f (x) = g(x)
f
( p, q) g ( x p, y q)dpdq
f ( x, y ) g ( x, y ) F * (u, v )G (u, v )
f * ( x , y ) g ( x , y ) F ( u , v ) G ( u, v )
2.2.2 傅里叶变换定理
图
像
间
相
关
的
结
果
2.2.3 快速傅里叶变换
直接进行一个N × N的2-D傅里叶变换需要
N4次复数乘法运算和N2(N2 –1) 次复数加法运算
1 N 1
F f ( x) F (u) f ( x) exp[ j2ux / N ]
N x0
u 0, 1, , N 1
1-D：复数乘法和加法的次数都正比于N2
快速傅里叶变换（FFT）：
将复数乘法和加法的次数减少为正比于N log2N
逐次加倍法：复数乘法次数由N2减少为(N log2 N)/2
复数加法次数由N2减少为N log2 N
作业
0 0 0
I 0 1 0
0 0 0
1 1 1
J 1 0 1
1 1 1
1.求图像I的傅立叶变换
2.求图像I和J的相关
2.3 沃尔什/哈达玛变换
2.3.1 沃尔什变换
2.3.2 哈达玛变换
2.3.3 关于两种变换的讨论
沃尔什和哈达码变换都是可分离和正交变换
2.3.1 沃尔什变换
正变换核
N = 2n
1
h ( x, u )
N
n 1
(1)bi ( x) bn 1i (u )
i 0
bk(z)： z 的二进制表达中的第 k 位
如n=3
对 z = 6（1102）
有 b0(z) = 0，b1(z) = 1，b2(z) = 1
对 z = 2（???2）
有 b0(z) = ?，b1(z) = ?，b2(z) = ?
2.3.1 沃尔什变换
正变换
1
W (u )
N
N 1
x 0
n 1
f ( x ) ( 1)bi ( x ) bn 1i (u )
i 0
变换核组成的矩阵是一个对称矩阵
并且其行和列正交（反变换核与
正变换核只差1个常数1/N）
反变换核
n 1
k ( x, u ) (1) bi ( x ) bn 1i (u )
i 0
反变换
f ( x)
N 1
n 1
u 0
i 0
W (u) (1)bi ( x ) bn1i (u )
2.3.1 沃尔什变换
N=2,4,8时 bk ( z )
的值
对称
、
正交
、正
反核
一致
N=2,4,8时
的沃尔什
变换核
2.3.1 沃尔什变换
例：求沃尔什变换g(4,2)的值
解：由
得到
1
W (u )
N
N 1
x 0
n 1
f ( x ) ( 1)bi ( x ) bn 1i (u )
i 0
1
W (0) [ f (0) f (1) f (2) f (3)]
4
1
W (1) [ f (0) f (1) f (2) f (3)]
4
1
W (2) [ f (0) f (1) f (2) f (3)]
4
1
W (3) [ f (0) f (1) f (2) f (3)]
4
2.3.1 沃尔什变换
2-D沃尔什变换
只
系
数
不
同
！
n 1
1
正 h( x, y, u, v) 2 (1)bi ( x ) bn1i (u )bi ( y ) bn1i (v )
N i 0
1 N 1
W (u, v) 2
N x 0
反
N 1
f ( x, y)
y 0
n 1
i
(
1)
b ( x ) bn1i ( u ) bi ( y ) bn1i ( v )
i 0
n 1
k ( x, y, u, v) (1) i
b ( x ) bn1i ( u ) bi ( y ) bn1i ( v )
i 0
N 1 N 1
f ( x, y)
W (u, v)
u 0 v 0
n 1
i
(
1)
i 0
b ( x ) bn1i ( u ) bi ( y ) bn1i ( v )
2.3.1 沃尔什变换
2-D沃尔什变换核：可分离且对称
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h1 ( y, v)
n 1
1 n1
bi ( x ) bn1i ( u ) 1
bi ( y ) bn1i ( v )
(1)
(1)
N
N
i 0
i 0
沃尔什变换的矩阵形式
1
W 2 GfG
N
f GWG
N阶变
换矩阵
2.3.1 沃尔什变换
1
1
例：f1 1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
1
1
1
1
, f2
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
W1
16 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1
1
W2
16 1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3 3 1 1
求它们的二维DWT
N＝4时的
G
2
3 3 1 1 1 1 1 0
3 3 1 1 1 1 1 0
3 3 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1
1
1
1
1
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 0
1 1 1 1 1 1 1 0
1
1
1
0
1 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 0 0
0 0 0
2.3.1 沃尔什变换
功能：能量集中到左上角，压缩！
2-D沃尔什变换的快速算法
类似于快速傅里叶变换的算法
比傅立叶变换更简单：系数是1或－1
2.3.2 哈达玛变换
正变换核
n 1
bi ( x) bi (u )
1
h( x, u) (1) i 0
N
bk(z)：z 的二进制表达中的第 k 位
指数上的求和以2为模
正变换
1
H (u )
N
N 1
x 0
n 1
bi ( x )bi (u )
f ( x )( 1) i 0
2.3.2 哈达玛变换
反变换核
n 1
n 1
bi ( x ) bi (u )
k ( x, u ) (1) i 0
bi ( x) bi (u )
1
h( x, u) (1) i 0
N
反变换核与正变换核只差1个常数1/N
反变换
f ( x)
N 1
n 1
bi ( x ) bi ( u )
H (u )( 1) i 0
u 0
用于正变换的算法也可用于反变换
2.3.2 哈达玛变换
2-D变换核
n1
1
h( x, y, u, v) 2 (1) i0
N
n1
k ( x, y, u , v) ( 1) i0
2-D变换对
1
H (u, v) 2
N
bi ( x ) bi ( u ) bi ( y ) bi ( v )
bi ( x ) bi ( u ) bi ( y ) bi ( v )
n1
N 1 N 1
f ( x, y)(1)
x 0
u 0
bi ( x ) bi ( u ) bi ( y ) bi ( v )
i 0
y 0
N 1 N 1
f ( x, y )
H (u, v)(1)
v 0
n1
i 0
bi ( x ) bi ( u ) bi ( y ) bi ( v )
2.3.3 关于两种变换的讨论
阶（序）
解
释
更
“
自
然
”
列中符号变换的次数
原始变换的列的序依次为0，7，3，4，1，6，2，5
随 u 增加而序也增加
的哈达玛变换核
n 1
bi ( x) pi (u )
1
g ( x, u) (1) i 0
N
p 0 (u ) bn 1 (u )
p1 (u ) bn 1 (u ) bn 2 (u )
p n 1 (u ) b1 (u ) b0 (u )
2.3.3 关于两种变换的讨论
N = 8 时经过排序的1-D哈达玛变换核的值
x
u
0
1
2
3
4
5
6
7
0
1
2
3
4
5
6
7
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
–
–
–
–
+
+
–
–
–
–
+
+
+
+
–
–
+
+
–
–
+
–
–
+
+
–
–
+
+
–
–
+
–
+
+
–
+
–
+
–
–
+
–
+
+
–
+
–
+
–
+
–
行和列都满足序单增的条件
2.3.3 关于两种变换的讨论
哈达玛矩阵的迭代
可方便地获得变换矩阵
1 1
H2
1 1
H2 N
H N
H N
HN
H N H2
H N
T AFA
1
1
H4
1
1
1
A HN
N
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2.3.3 关于两种变换的讨论
沃尔什变换和哈达玛变换比较
可分离且对称，正反变换核相同
行列正交（即各行向量与各列向量的
内积为0）
沃尔什变换特点
有快速算法（类似快速傅里叶变换）
哈达玛变换特点
有迭代性质
2.4 离散余弦变换
一种可分离、正交、对称的变换
1-D离散余弦变换（DCT）
N 1
(2 x 1)u
C (u ) a (u ) f ( x ) cos
2N
x 0
f ( x)
N 1
(2 x 1)u
a
(
u
)
C
(
u
)
cos
2N
u 0
1N
a(u )
2 N
u 0, 1, , N 1
x 0, 1, , N 1
当 u0
当 u 1, 2, , N 1
2.4 离散余弦变换
2-D离散余弦变换（DCT）
N 1 N 1
C (u, v) a(u )a(v)
x 0
(2 x 1)u
(2 y 1)v
f ( x, y) cos 2 N cos 2 N
y 0
N 1 N 1
f ( x, y )
u 0
(2 x 1)u
(2 y 1)v
a(u )a(v)C (u, v) cos 2 N cos 2 N
v 0
+ 讨论可分离性和对称性
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h2 ( y, v)
h( x, y, u, v) h1 ( x, u)h1 ( y, v)
2.4 离散余弦变换
空间域图像
DCT域图像
2.5 Karhunen-Loeve Transform
•又称Hotelling（霍特林）变换
•以图像的统计性质为基础
•大小为N×N的图像f(x,y)在传输通道中被传
输了M次，得到集合
f1(x, y), f2 (x, y),..., fi (x, y),..., f M (x, y)
2.5 Karhunen-Loeve Transform
•将图像数据进行重新改写：
f (0, 0)
f (1, 0)
f i ( x, y )
f ( N 1, 0)
f (0,1)
…
f (1,1)
…
…
f ( N 1,1)
f (0, N 1)
f (1, N 1)
f ( N 1, N 1)
f (0, 0)
f
(0,1)
...
f
(0,
N
1)
f (1, 0)
Xi
...
f (1, N 1)
...
f ( N 1, N 2)
f ( N 1, N 1) N 2 ×1
2.5 Karhunen-Loeve Transform
•平均向量与协方差矩阵：
平均向量：
mx E X
协方差矩阵： x
E ( X m x )( X m x )T
•平均向量与协方差矩阵的近似计算：
1
mx
M
2
NN^
×1
M
X
i 1
i
N 2N^
×N 2
1 M
T
x
(
X
m
)(
X
m
)
i
x
i
x
M i 1
1 M
[ X i X iT ] m x mTx
M i 1
2.5 Karhunen-Loeve Transform
•求协方差矩阵的特征值和特征向量
x
det( x ) 0
•将特征值按从大到小排列，即
1T
1 2 ... N 2
T
2
此时对应的特征向量可构成矩阵K：
...
1 2 ,..., N 2
T
N2
2.5 Karhunen-Loeve Transform
•K－L变换定义： Y＝ X mx )
0
1
1
1
例子： X 0 , X 0 , X 1 , X 0
1
2 3 4
0
0
0
1
3 1 1
可求得： m x 1 3 1 1T , x 1 1 3 1
4
16
1 1 3
2.5 Karhunen-Loeve Transform
排序后的
1
T
特征值： [1 , 2 , 3 ] 3
1 1
3 12
T
0.1270 -0.6350 0.7620
对应的特
征向量： K -0.8066 -0.5133 -0.2933
0.1270 -0.6350 0.7620
-0.1270
K－L变
换后的各 Y 0.8066
向量：
0.7620
0.0000 -0.5133 -0.2933
-0.1270 0.0000 -0.6350 0.7620
0.0000 -0.6350
2.5.2 K-L 变换的基本性质
•Y的平均向量：
m y E{Y }
E{ A( X m x )}
AE{ X } Am x
0
2.5.2 K-L 变换的基本性质
•Y的协方差矩阵：
y E (Y m y )(Y m y )T
E{YY T }
E{( KX Km x )( KX Km x )T }
E {K ( X m x )( X m x )T K T }
KE{( X m x )( X m x )T }K T
K x K T
2.5.2 K-L 变换的基本性质
• y是对角矩阵，其元素是 x 的特征值，即：
1
y
0
2
...
0
N 2
2.5.2 K-L 变换的基本性质
•K-L反变换
x 是实对称矩阵，因此总可找到一标准正交特征向量集合使得
K 1 K T
，从而K-L反变换为：
1
X K Y mx
•K-L变换优缺点：
去相关性好，可用于数据压缩和图像旋转
二维不可分离，计算复杂性高
2.5.3 K-L 变换的应用－人脸识别
• 40个人，每个人具有10种不同姿态
2.5.3 K-L 变换的应用－人脸识别
作业
0 0
0 1
f1 ( x, y )
, f 2 ( x, y )
,
0 0
0 0
0 0
0 0
f 3 ( x, y )
, f 4 ( x, y )
。
1 0
0 1
1.计算
f3 ( x, y) 的DCT变换
2.计算这四幅图像的K-L变换结果