Transcript 抽样信号的拉氏变换

Ch5 拉普拉斯变换和连续时间系统的
Laplace Transform
复频域分析
本章要点
•拉氏变换的定义——从傅立叶变换到拉氏
变换
•拉氏变换的收敛域，性质
•系统函数和单位冲激响应
•S域分析、极点与零点
•频率响应，稳定性分析
•信号流图与系统模拟
•拉氏变换与傅氏变换的关系
1
2
3
4
5.1.1 Definition——from FT to LT
有几种情况不满足狄里
赫利条件：
• u(t)
• 增长信号 eat (a  0)
• 周期信号 cos1t
t
• 若乘一衰减因子 e ,
 为任意实数，则
f (t ).e t 收敛，于
是满足狄里赫利条件
u(t )et
t
e .e
(  a)
t
e cos1t
at
5
f1 (t )  f (t )et
因果
s    j

象函数
正LT
F1 ( )   f (t )e(  j )t dt
0

F (s)   f (t )e dt
 st
0
反变换
f (t )e
t
1

2
1
f (t ) 
2
原函数
逆LT


1
f (t ) 
2j
FT: 实频率
LT: 复频率S




F1 ( )et e jt d
  j

F1 ( )e jt d
 j
F ( s )e st ds
 是振荡频率
是振荡频率， 
s    j
ds  jd
控制衰减速度
6
单边拉式正变
换：
Unilateral LT

F (s)   f (t )e dt  LT [ f (t )]
 st
0
单边拉式反变
换：
1   j
st
1
f (t )  [
F ( s )e ds]  u (t )  LT [ F ( S )]

2j   j

双边拉式正变
换：
Fb ( s)  
双边拉式反变换：
1
f (t ) 
2j

 st
f (t )e dt
Bilateral LT
  j

 j
Fb ( s )e st ds
7
Region of Convergence
5.1.2 收敛条件
在S复平面中，凡能使F(S)存在的S值的范
围称为拉式变换的收敛域（ROC）。
j
1. 单边拉式变换的收敛域
lim f (t )e
t
t 
 0 (   0 )

0  a
若上式在>0时成立，则函数 f(t) 的拉式变换在
Re[S] >0的范围内是收敛域的。
收敛域：0时右侧的阴影部分 Re[S] >0的范围。
收敛轴：  ＝0时的直线，
收敛坐标： 0
收敛边界
8
t
收敛域 lim f (t )e
t 
 0 (   0 )
• 有始有终信号和能量有
整个平面
限信号时限信号
（如单个矩形脉冲）
• 等幅振荡信号和增长信号
0  0
以 0 为界
或 0  a
u(t)，tn 的收敛域：S右半平面
•
不收敛信号
除非
t2
t2
e , te
(0  t  T )
j

j

0  a
(0  t  )
9
2 双边拉氏变换的收敛域（ROC） bilateral LT
f (t )  e u(t )  e u(t )
at



f (t )e
t
bt
0
dt   e
( b  ) t


dt   e
0
 b
0
b
 b
a
0
 a
b  a, a    b
ba
( a  ) t
a 

j
0
收敛，存在双边拉
氏变换
没有收敛域。不存在双边拉
氏变换
dt
a
b

a   b
10
5.2 常用信号的拉氏变换
u(t )
e
at
u(t )
n
t u(t )
t u(t )
 (t )
 (t  t0 )
1
S
1
sa
n!
s n 1
1
s2
1
e
 st 0
11
5.3 拉氏变换的基本性质（1）
n
 k i  f i (t )
线性
i 1
时移
尺度变换
f (t  t0 )u(t  t0 )
f (t )e
积分
 at
df (t )
dt
微分

t

 k .LT [ f (t )]
i 1
e
i
 st 0
F ( s)
1
 s
F 
a
a
f (at)
频移
n
f ( ) d
F ( s  a)

SF(s)  f (0 )
F ( s ) f 1 ( 0  )

s
s
12
拉氏变换的基本性质（2）
1
 s
F 
尺度变换
f (at)
a
a
初值定理

lim f (t )  f (0 )  lim SF ( s)
t 0
终值
定理
卷积
定理
s 
lim f (t )  f ()  lim SF ( s )
t 
s 0
f1 (t ) * f 2 (t )
F1 (s)  F2 (s)
f1 (t )  f 2 (t )
1
F1 ( s) * F2 ( s)
2j
13
例：
单边正弦余弦信号的拉氏变换
cos t  u(t )
f (t )  u (t )
e
jt
e
2
 jt
1
1
1
F (S )  (

)
S  j S  j 2
S
 2
S 2
sin t  u(t )
e jt  e  jt
f (t )  u (t )
2j
1
1
1
F (S )  (

)
S  j S  j 2 j

 2
S 2
14
例：衰减余弦的拉氏变换
S
F0 ( S )  LT [cos t ]  2
2
S 
f (t )  e
 t
cost
频移特性
S
F (S ) 
2
2
(S   )  
15
例：求下式的拉氏变换
f (t )
f (t )  sin  t[u(t )  u(t 1)]
1
0
t
1
解：f (t )  sin  t  u(t )  sin  t  u(t  1)
f (t )  sin  t  u(t )  sin[ (t  1)   ]  u(t  1)
f (t )  sin  t  u(t )  sin[ (t  1)]  u(t  1)

e
 (1  e )
F (S )  2
 2

2
2
2
2
S 
S 
S 
S
S
16
例：周期信号的拉氏变换
f (t )
LT
f1 (t )  F1 ( s)
…
f1(t)第一周期的
拉氏变换
T
f1 (t )
LT
f1 (t  nT )  e
 snT
2T
F1 ( s)
利用时移特性

LT

f (t )   f1 (t  nT )  F1 ( s ) e  SnT
n 0
n 0
F1 ( s )

1  e  ST
利用无穷级数求和
17
例：周期单位冲激序列的拉氏变换
单位冲激
序列

 T (t )    (t  nT )
 T ( s)   e
n 0
或利用
 SnT
1

1  e  ST
LT
 f1(t  nT ) 
n0
…
n 0


 T (t )
F1 (s)
拉式变换
1  e ST
F1 (s)  LT [ (t )]  1
1
 T (s) 
1  e  ST
18
例：再求周期信号的拉氏变换
周期信号
f (t )  f1 (t ) * T (t )
f (t )
…
卷积定理
F (S )  F1 (S )  LT [ T (t )]
 LT [ T (t )] 
周期信号
拉式变换为
T
2T
f1 (t )
1
1  e  ST
LT
 f (t ) 
 T (t )
…
F1 ( s)
1 e
ST
T
2T
19
矩形周期信号拉氏变换
T
f1 (t )  u (t )  u (t  )
2
 ST
1
F1 ( s)  (1  e 2 )
S
F1 ( s )
F ( s) 
 ST
1 e
 ST
1 e 2

S (1  e  ST )
f (t )
第一周期的
拉氏变换
…
T/2 T
2T
利用时移特性
利用无穷级数求和
20
f (t )
例
1：
求周期信号的拉氏变换
1
0
f 0 (t )
1
0
 (1  e
)
2
2
S 
 S T2
T
2
t
T
1 e
S
2
T
sin t[u (t )  u (t  )]
T
2
t
LT
T
2
信号加窗
第一周期
1
2

T
 S T2
 (1  e )
2
2
S 
21
T
2
例2
f (t )
包络函数
e
1 2
乘衰减指数
周期对称方波
t
频移
 ( S 1)
1 (1  e
)
 ( S 1)
( s  1) (1  e
)
s
1
1
(1  e )
s 2
(1  e )

2 s
s
s
1 e
s(1  e )
单对称方波
u(t )  2u(t 1)  u(t  2)
1
s
 2s
(1  2e  e )
s
22
抽样信号的拉氏变换

抽样序列
 T (t )    (t  nT )
抽样序列的拉氏变换
n 0
时域抽样
信号
LT [ T (t )] 

e
 SnT
n 0
1

1  e  ST

f s (t )  f (t )T (t )  f (nT )  (t  nT )
n 0
抽样信号的
拉氏变换


Fs ( s)   f (nT )  (t  nT )  e dt
0
Fs ( s) 
 st
n 0

 f (nT )e
n0
 SnT
23
例：指数抽样序列的拉氏变换
f s (t )  e
 anT
解：
 Fs ( s) 
 T (t )

 f (nT )e
 SnT
n0
 LT [ f s (t )]  Fs ( s )


e
 anT
e
 SnT
n 0



e
( a  s ) nT
n 0
1
1 e
( a  s )T
24
例：f(t)的拉氏变换为F(S),求其初值和终值
1
F (S ) 
sa
解：f(t)的初值和终值
f (0

) 
lim S F ( S )  lim
S 
f ( ) 
lim
S F( S ) 
S 0
S 
lim
S 0
1
S
1
sa
S
1
 0
sa
若a>0,则终值为0
若a<0,则终值不存在
如果原信号是等幅震荡或增长的，
则其终值不存在。
注意：f(t)=e-at u(t),
25
HW1
5.1 （1,2,4,6）
5.2 (a,d,f)
5.3
5.4 (1,3,6,7)
5.5 (a,b)
5.9 （2，6，7, 10）
5.11
26
5.5 拉氏变换逆变换Inverse Laplace Transform
1 部分分式展开法——有理分式 rational
极点: 令D（S）等于0的点
零点：令N（S）等于0的点
N ( s)
F ( s) 
D( s )
例：求F ( s ) 
s4
s
3
 3s
2
 2s
的反变换。
解：D( s )  s 3  3s 2  2 s  s ( s＋1）
( s  2)
N ( s)  s  4
极点0,1,2, 零点  4
部分分式展开：
F (s) 
s3
s  4
2
3
1
＝


2
 3s  2 s
s
s 1
s  2
反变换 : f (t )  LT
1
[ F ( s )]
 2  3e t  e  2t , t  0
27
2 性质，结合部分分式展开法
——无理分式
se 3s
例：求F ( s) 
的原函数。
( s  1)(s  2)
解：不是真分式，改写
为F (s)  G(s)e3s
s
1
2
则：G ( s ) 


( s  1)(s  2)
( s  1)
( s  2)
反变换 : g (t )  LT 1[G ( s )]
 e t  2e  2t , t  0
反变换 : f (t )  LT 1[ F ( s )]  g (t  3)
 e (t 3)  2e  2(t 3) , t  3
28
5.6 用LT求解线性系统的响应
微分方程————————>时域解
ILT反变换
LT
代数方程————>复频域解
例1：LTI系统的微分方程为：dy (t )
dt
 ay (t )  f (t )
已知初始条件为y(0-)=2, f(t)=u(t). 求方程的解。
解：设LT[y(t)]=Y(S), LT[f(t)]=F(S), 方程两边LT
SY(S )  y(0 )  aY(S )  F (S )
Y ( S ) 
Y ( S ) 
1
1
y (0  ) 
F (S )
sa
sa
2
1
1
2
1 1
1




( 
)
sa
sa s
sa
a s
sa
 y (t )  2e  at 
1
(1  e  at )
a
t 0
29
直接针对电路，利用S域模型：
电阻：vR (t )  R  iR (t )
电感： vL ( t )  L
di L (t )
dt
1 t
电容 : vc ( t )   ic ( )d
c
VR (S )  RI R (S )
VL (S )  SLIL (S )  LiL (0 )
1
1
Vc ( S ) 
I c (S ) 
vc (0  )
Sc
S
SL：感抗， Lil(0-)内部象电压源，串联
1/SC：容抗， uC(0-)/S内部象电压源，串联
I R (S ) R
VR (S )
I L (S )
SL
LiL (0 )
VL (S )
1 uc (0  )
S
IC (S ) Sc
Vc (S )
30
5.6 系统函数—系统的复频域特征
系统的时域特征
• 以单位冲激信号  (t ) 作为激励时，系统
产生的零状态响应，记作 h(t ) 。
 (t )
h(t )
r (t )   (t ) * h(t )
• 任意时域信号激励时系统的响应
e(t )
h(t )
r (t )  e(t ) * h(t )
31
系统的复频域特征—系统函数 H (s )
r (t )  e(t ) * h(t )
R( S )
R(S )  E(S )  H (S )  H ( S ) 
E (S )
• H (s ) 是 h(t ) 的拉氏变换
• H (s )是系统输出和输入各自拉氏变换的比
e(t )
LT
LT
E (s )
R(s)
r (t )
H (s )
LT
h(t )
R( s )
H ( s) 
E ( s)
32
系统函数H (s )的定义：
• 定义：系统零状态响应的拉氏变换与激
励的拉氏变换之比叫系统函数或网络函
数
。
R( s )
H ( s) 
E ( s)
33
5.8 拉氏变换与傅氏变换的关系



f (t )e  jt dt
因果




0

乘衰减因子
e
0
f (t )e
 0
t
(  j ) t



0
f (t )e
 st
dt
s    j
dt

s    j

f (t )e
 (  j ) t
dt


f (t )e
 st
dt
t0
f (t )  0
34
从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号
(1)  0  0, 发散的信号
f (t )
at
e u(t )
t
1
F (s) 
sa
e
t
t0
f (t )  0
j
 a

a
收敛域不包含jw轴，
仅由于衰减因子e－
t，使其拉式变换存
在
发散信号：傅氏变换不存在，
拉氏变换存在
35
t0
从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号
(2)
 0  0，衰减的信号
f (t )
 at
e u(t )
e
t
t
f (t )  0
j
  a
a

收敛域包含jw轴，其
付式、拉式变换都存
在，S——>jw
1 s  j
1
F ( j ) 
F (s) 
j  a
sa
36
从单边拉氏变换到傅氏变换—有始信号 t  0
f (t )  0
(3)  0  0，收敛边界为虚轴
存在傅氏变换，但
不 收敛于虚轴，不
s  j
能简单用
，
要包含奇异函数
项。
1
F ( j ) 
  ( )
j
u (t )
1
F (s) 
s
F ( j )  F ( s)
s  j
   kn (   n )
n
K1=1
37
从 sin 
t.u(t ) 的单边拉氏变换求它的傅氏变换
LT
0
0
f (t )  sin 0t.u(t )
F ( s) 
s 2   02
F ( j )  F (s) s  j    kn (   n ) F ( j ) 
n
K1
j
0
( j ) 2   02
j
0
2 
2
F ( s)  2

s   02 s  j 0 s  j 0
0

F ( j )  2 2  j  (  0 )   (  0 )
0  
2
K2
38
HW2
5.15
5.22
5.24
5.28
39