Transcript 第二章《数学模型》

第二章 自动控制系统
的数学模型
教师：王晓甜
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系统的数学模型
• 什么是数学模型？
• 数学模型：描述系统内部各物理量之间因果关系的数学表达式。
• 物理量：高度、速度、温度、压力、流量、电压、电流 。
• 数学表达式：代数方程、微分方程
• 数学模型的特点
1) 相似性：不同性质的系统，具有相同的数学模型。抽象的变量和系统
2) 简化性和准确性：忽略次要因素，简化之，但不能太简单，结果合理
3) 动态模型：变量各阶导数之间关系的微分方程。性能分析
4) 静态模型：静态条件下，各变量之间的代数方程。放大倍数
•
数学模型的类型
1)微分方程：时域
•
•
2)传递函数：复频域
3)频率特性：频域
其它模型的基础
直观
求解繁琐
微分方程拉氏变换后的结果
分析方法不同，各有所长
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系统的数学模型
• 为什么要建立数学模型？
• 要对自动控制系统进行定量（精确）地分析和设计，首
先要建立系统的数学模型。
• 马克思说:定性到定量的飞跃，才能变成一门科学。
• 静态数学模型：系统变量之间与时间无关的静态关系
• 动态数学模型：系统变量对时间的变化率，反映系统的
动态特性
控制系统数学模型的类型
时域模型
微分方程
频域模型
频率特性
复（S）域模型
传递函数
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方框图=原理图
＋数学模型
Contents
1 线性系统的时域数学模型
2
系统传递函数
3
系统物理结构图
4
信号流图
5
线性定常系统数学模型的MATLAB实现
Logo
2.1 线性系统的时域模型
对于单输入、单输出(SISO)线性定常系数的时域模型
是一组输入和输出对时间函数：
c ( n ) (t )  a1c ( n 1) (t )  a2c ( n  2) (t ) 
 b0 r ( m ) (t )  b1r ( m 1) (t )  b2 r ( m  2) (t ) 
 an 1c(t )  a2c(t )
 bm 1r (t )  bm r (t )
r(t): 系统的输入信号
c(t): 系统的输出信号
c ( n ) (t )，r ( m ) (t ) 对时间的n,m阶导数
a, b 由系统的结构参数决定的系数
微分方程用于确定被控量与输
出量或扰动量之间的数学关系
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微分方程
动态方程
运动方程
2.1 线性系统的时域模型
2.1.4 数学模型的建立方法
1) 分析法：根据系统各部分的运动机理，按有关定理列方程，
合在一起。
频率特性法，最小二乘法 (曲线拟合)，神经元网络法，模糊模型法
2) 实验法：黑箱问题。施加某种测试信号，记录输出，用系统
辨识的方法，得到数学模型。
黑箱法、辨识法、灰箱法
输入（充分激励）
黑匣子
输出（测量结果）
建模原则：选择合适的分析方法－确定相应的数学模
型－简化
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2.1 线性系统的时域模型
◆分析法－根据系统运动规律（定律、经验公式）和结
构参数，推导系统输入输出之间数学关系。
列写微分方程式的一般步骤
1) 分析系统运动的因果关系，确定系统的输入量、输出量及内部中
间变量，搞清各变量之间的关系。
2) 忽略一些次要因素，合理简化。
3) 根据相关基本定律，列出各部分的原始方程式。
4) 联立上述方程，消去中间变量，得到只包含输入输出的方程式。
5) 将方程式化成标准形。
与输出有关的放在左边，与输入有关的放在右边，导数项按降阶排列
，系数化为有物理意义的形式。
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2.1 线性系统的时域模型
对于单输入、单输出(SISO)线性定常系统,
采用下列微分方程来描述:
c ( n ) (t )  a1c ( n 1) (t )  a2 c ( n  2) (t ) 
 an 1c(t )  an c (t )
 b0 r ( m ) (t )  b1r ( m 1) (t )  b2 r ( m  2) (t ) 
 bm 1r (t )  bm r (t )
式中,r(t)和 c(t)分别是系统的输入信号和输出信号； c(n)(t)为
c(t)对时间t的n阶导数;ai(i=1,2,…,n)和bj(j=0,1, …,m)是由系统
的结构参数决定的系数。
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2.1 线性系统的时域模型
• EG1. RL电路和RC电路的时域模型
Vin  VL  RI
dVL
I C
dt
dVL
Vin  VL  RC
dt
输入变量：电压
输出输出：电压
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Vin  VL  RI
dI
VL  L
dt
dI
Vin  L  RI
dt
输入变量：电压
输出输出：电流
2.1 线性系统的时域模型
• EG1. 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以
ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。
解：（1）确定输入量为ur(t)，输出量为uc(t)，中间变量为i(t)。
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
di
 Ri  uc  ur
（3）由KVL写原始方程： L
dt
duc
i

C
（4）列写中间变量i与输出变量uc 的关系式:
dt
（5）将上式代入原始方程，消去中间变量得
d 2 uc
duc
LC

RC
 uc  u r
2
dt
dt
二阶线性常系数微分方程
（6）整理成标准形，则方程化为
d 2 uc
duc
T1T2

T
 uc  ur
2
dt 2
dt
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二阶线性定常系统
2.1 线性系统的时域模型
• EG2.图2表示一个含有弹簧、运动部件、阻尼器的机械位移装置。
其中k是弹簧系数, m是运动部件质量,μ是阻尼器的阻尼系数;外
力f(t)是系统的输入量,位移y(t)是系统的输出量。试确定系统的
微分方程。
解 根据牛顿运动定律, 运动部件在外力作用下克服弹簧拉力
f(t)
k
ky(t)、阻尼器的阻力  dy (t )
dt
m
y(t)

图2 机械阻尼器
2
d
, 将产生加速度力 m y (t )
dt 2
所以系统的运动方程为
d2y
dy (t )
m 2 
 ky(t )  f (t )
dt
dt
比较表达式EG1和EG2可以发现, 两个不同的物理系统具
有相同形式的运动方程, 即具有相同的数学模型。
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2.1 线性系统的时域模型
• EG3 电气系统：图3是一个由理想运算放大器组成的电容负反馈电
路,电压ui(t)和uo(t)分别表示输入量和输出量, 试确定这个电路
的微分方程式。
C
i2
R
i3
R
i1 £-
¡÷
ui(t)
理想运算放大器
• 正反相输入端电位相同
• 输入端电流为零 i1  0
¡Þ
uo(t)
£«
图 2-4 电容负反馈电路
根据基尔霍夫电流定律有
整理后得
RC
i2  i3  0
duo (t )
 ui (t )
dt
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ui (t )
du (t )
C o  0
R
dt
一阶系统
2.1 线性系统的时域模型
•在工程实际中,大多数系统是非线性的。
•
比如, 弹簧的刚度与其形变有关系, 因此弹簧系数k实际上是其
位移的函数, 而并非常数; 电阻、电容和电感等参数值与周围的环境
(温度、 湿度、压力等)及流经它们的电流有关, 也并非常值;电动机
本身的摩擦、死区等非线性因素会使其运动方程复杂化而成为非线性
方程。
•
非线性系统的分析一般比线性系统复杂。
但是当控制系统在围绕平衡点附近的小范围内动作时,通常采用
泰勒级数展开的方法,可将非线性系统线性化为平衡点附近的线性
系统, 从而使问题简化。
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2.2 线性系统的传递函数
• 2.2.1 拉普拉斯变换
1.
若将实变量t的函数f(t)乘上指数函数e-st(其中s=σ+jω是一个
复数), 并且在［0,+∞］上对t积分, 就可以得到一个新的函数F(s),
称F(s)为f(t)的拉氏变换,并用符号L［f(t)］表示。
F (s)  L[ f (t )]  

0
f (t )est dt
拉氏变换将原来的实变量函数f(t)转化为复变量函数F(s)。
将F(s)称作f(t)的象函数, 将f(t)称作F(s)的原函数。
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2.2 线性系统的传递函数
L变换重要定理
（1）线性性质
（2）微分定理
La f1(t)  b f 2(t)  a F1(s)  b F2(s)
L f t   s  F s   f 0


1
1  -1 
f t dt   F s   f 0
s
s
（3）积分定理
L
（4）实位移定理
L f ( t   0 )  e  τ  s  F ( s )
（5）复位移定理
L e At f (t )  F ( s  A)
（6）初值定理
lim f ( t )  lim s  F ( s )
（7）终值定理
lim f ( t )  lim s  F ( s )

t 0
t 
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
s
s0
2.2 传递函数
1 拉氏变换的定义

F ( s )   f (t )  e  tsdt
0
2 常见函数L变换
f (t )
F (s )
（3）单位斜坡
 (t )
1( t )
t
（4）单位加速度
t2 2
1
1s
2
1s
3
1s
1 ( s  a)
（1）单位脉冲
（2）单位阶跃
（5）指数函数
（6）正弦函数
（7）余弦函数
e  at
sin  t
cos  t
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 (s   )
s (s2   2 )
2
2
2.2 传递函数
• 线性常系数微分方程的求解
r(t)
微分方程式
c(t)
求解微分方程式
时域解c(t)
L-1
L
R(s)
C(s)
求解代数方程
s的代数方程
s域解C(s)
用微分方程求解，需确定积分常数，阶次高时麻烦；当参数或结构变化
时，需重新列方程求解，不利于分析系统参数变化对性能的影响。
用拉氏变换求解微分方程的一般步骤：
1)对微分方程两边进行拉氏变换。
2)求解代数方程，得到微分方程在s 域的解。
3)求s 域解的拉氏反变换，即得微分方程的解。
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2.2 传递函数
用拉氏变换方法解微分方程
系统微分方程
y(t )  a1  y(t )  a2  y(t )  1(t )
y ( 0 )  y ( 0 )  0
L变换
1
( s  a1 s  a2 )  Y ( s ) 
s
2
1
Y ( s) 
s( s 2  a1 s  a2 )
L-1变换
yt   L1 Y ( s )
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2.2 传递函数
• 3) 积分定理
L[ 
T
0
1
1
f (t )dt ]  L[ f (t )]  F ( s)
s
s
T
t
t
1

L  dt  dt   f (t )dt   n F ( s )
 0

0
0
 s
• 4) 初值定理
n
lim f (t )  f (0)  lim sF ( s)
t 0
s 
• 5） 终值定理
lim f (t )  f ()  lim sF ( s )
t  
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s 0
2.2 传递函数
• 2.2.2传递函数的定义
线性定常系统的传递函数,定义为零初始条件下,系统输出
量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
a0c ( n )  a1c ( n1) (t )  a2c ( n2) (t )    an1c(t )  an c(t )
拉
氏
变
换
 b0 r ( m) (t )  b1r ( m1) (t )  b2 r ( m2) (t )    bm1r (t )  bm r (t )
[a0 s n  a1s n1    an1s  an ]C ( s)
 [b0 s m  b1s m1    bm1s  bm ]R( s)
C ( s) b0 s m  b1s m1    bm1s  bm M ( s)
G( s) 


n
n 1
R( s) a0 s  a1s    an1s  am N ( s)
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2.2 传递函数
C ( s) b0 s m  b1s m1    bm1s  bm M ( s)
G( s) 


n
n 1
R( s) a0 s  a1s    an1s  am N ( s)
（1）特征方程：
（2）阶数：
（3）极点：
（4）零点：
G(s) 的分母多项式
特征方程中，s的最高阶次为传递函数的阶数
使特征方程（分母多项式）为零的根
分子多项式的根
• 传递函数体现了系统如何把输入量转化为输出量，它只和系
统本身的结构与参数特性有关，与输入量的变化无关
• 传递函数与微分方程一一对应，两者可以互相推导
R(s)
G(s)
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C(s)
2.2 传递函数
•
EG4.试确定EG1中的RLC无源网络系统的传递函数
解 由EG1可知, RLC无源网络系统的微分方程为
d 2 uc (t )
duc (t )
LC

RC
 uc (t )  ur (t )
2
dt
dt
在零初始条件下,对上述方程中各项求拉氏变换,
并令Uo(s)=L［uo(t)］, Ui(s)=L［ui(t)］，可得复频域的代数方程
(LCs2+RCs+1)Uc(s)=Ur(s)
所以系统的传递函数为
U c (s)
1
G (s) 

U r ( s ) LCs 2  RCs  1
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二阶系统
2.2 传递函数
EG5.试确定EG3中的RLC无源网络系统的传递函数
•
解：由例2-4可知, 运算放大器电路系统的微分方程为
duo (t )
RC
 ui (t )
dt
C
R
£-
R
¡÷
ui(t)
£«
¡Þ
uo(t)
在零初始条件下, 对上述方程中各项求拉氏变换， 得
RCsU O ( s)  U i (s)
所以, 系统的传递函数为
U o (s)
1
G (s) 

U i ( s)
RCs
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一阶系统
2.2 传递函数
传递函数的性质
(a)传递函数是一种数学模型，与系统的微分方程相对应。
(b)传递函数是系统本身的一种属性，与输入量的大小和性质无关。
(c)传递函数只适用于线性定常系统，因为拉氏变换是一种线性变换。
(d)传递函数描述的是一对确定的变量之间的传递关系，对中间变量不反应。
(e)传递函数是在零初始条件下定义的，因而它不能反映在非零初始条件下系
统的运动情况。（零状态解）
(f)传递函数一般为复变量s 的有理分式，它的分母多项式是系统的特征多项
式，且阶次总是大于或等于分子多项式的阶次，即n  m。并且所有的系数均
为实数。
(g)传递函数与脉冲响应一一对应，是拉氏变换与反变换的关系。
（h）传递函数不能反映系统或元件的学科属性和物理性质。 物理性质和学科
类别截然不同的系统可能具有完全相同的传递函数。研究某一种传递函数所得
到的结论, 可以适用于具有这种传递函数的各种系统
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2.2 传递函数
常见传递函数的形式:
b0 s m  b1 s m 1 
G (s) 
a0 s n  a1 s n 1 
G (s)  k
 bm 1 s  bm
 an 1 s  am
( s  z1 )( s  z2 ) ( s  zm )
( s  p1 )( s  p2 ) ( s  pn )
( 1 s  1)( 2 s  1)
G (s)  K
(T1 s  1)(T2 s  1)
( m s  1)
(Tn s  1)
（1） 多项式形式
（2） 零极点形式
（3）时间常数形式
式(2)的特点是每个一次因子项中s的系数为1。
M(s)=0和N(s)=0的根zi(i=1,2,…,m)和pj(j=1,2,…,n)分别称为
传递函数的零点和极点,k称为传递函数的增益或根轨迹增益。
式(2.24)的特点是各个因式的常数项均为1,τi(i=1,2,…,m)和
Tj(j=1,2,…,n)为系统中各环节的时间常数, K为系统的放大倍数。
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2.2 传递函数
G(s)  k
( s  z1 )( s  z2 ) ( s  zm )
( s  p1 )( s  p2 ) ( s  pn )
（2） 零极点形式
对任意系统，传递函数一旦确定，零、极点和也就唯一确定，反之亦然
因此传递函数可用零极点和传递系数等价表示。
零极点既可以是实数，也可以是复数，表示在复平面上，形成的图称传
递函数的零、极点分布图。反映系统的动态性能。因此对系统的研究，可
变成对系统传函的零、极点的研究了，这就是根轨迹法(chaper4)。
EG，试画出下面传递函数的零极点图。
s2
G( s ) 
( s  3)( s 2  2 s  2)
零点： s=2
极点： s=-3, s=-1+j, s = -1-j
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p3
z1
3
2
p1
1
p2
j
j1
0

2.2 传递函数
• 2.2.3 典型环节的传递函数
自动控制系统可以用传递函数来描述，任一复杂的传递
函数G(s)，都可表示为：
( 1s  1)( 22 s 2  2 2 s  1)( i s  1)
C ( s) b0 s m  b1s m 1    bm 1 s  bm
G (s) 

K
n
n 1
R( s) a0 s  a1 s    an 1  an
(T1s  1)(T22 s 2  2 2 s  1)(T j s  1)
 K  ( 1 s  1) 
1
1
 ( 22 s 2  2 2 s  1)  2 2

T1 s  1
T2 s  2 2 s  1
任何复杂的系统均可看成是若干称为典型环节的基本因子的乘
积，一般认为典型环节有6种，这些典型环节,对应典型电路。
这样划分对系统分析和研究带来很大的方便。
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2.2 传递函数
• 2.2.3 典型环节的传递函数
1.比例环节（放大器，齿轮，电阻）
（杠杆，齿轮系，电位器，变压器等）
c(t) = K r(t)
运动方程式
传递函数
G(s) = K
单位阶跃响应
C(s) = G(s) R(s) = K/s
K
c(t)
1
r(t)
t
0
c(t) = K1(t)
C(s)
R( s)
K
可见，当输入量r(t)=1(t)时，
输出量c(t)成比例变化。
R2
u1
R1
+
[email protected]
u2
U 2 ( s)
R2
K

U 1 ( s)
R1
2.2 传递函数
2.惯性环节(低通滤波器)
系统有储能元件，对于突变形式的输入不能立即复现，输出总落后于输入
j
运动方程
传递函数
dc(t )
 c(t )  kr(t )
dt
C (s)
K
G( s) 

R( s) Ts  1
T
1/T
0

特点: 含一个储能元件, 对突变的输入, 其输出不能立即复现, 输出无振荡。
C
R2
u1 (t )
R1
+
G (s) 
u 2 (t )
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U 2 (s)

U1 ( s )
1
1
1
R2
/ ( R2  )
Cs  Cs
Cs
R1
R1
R2 / /
R2
R1
K


R2 Cs  1
Ts  1
2.2 传递函数
2.惯性环节(低通滤波器)
1
1
1 1
1
单位阶跃响应: C ( s ) 
R( s ) 
  
Ts  1
Ts  1 s s s  1 / T
c(t)  1  e

t
T
t0
c(t)
1.0
0.865
0.632
u (t )
0
0
t
输入为单位阶跃函数
0.95 0.982
T
2T
3T 4T
阶跃响应曲线是按指数上升的曲线。
[email protected]
t
2.2 传递函数
• 3.积分环节（蓄水池，积分器）
• 输出量与输入量的积分成正比例, 当输入消失, 输出具有记忆功能。
r(t)
运动方程
c(t )  K  r (t )dt
传递函数
G (s) 
1
K
1

s Ts
1 1
C
(
s
)


单位阶跃响应：
Ts s
1
c( t )  t
T
当输入阶跃函数时，该环节的输出随时间
直线增长，增长速度由1/T决定。当输入突
然除去，积分停止，输出维持不变，故有
记忆功能。
C
u1
R
+

0
c(t)
1
u2
[email protected]
t
0
T

t
2.2 传递函数
1
• 4.微分环节（RC电路）
运动方程
dr (t )
c( t )  T
dt
传递函数
G(s)=Ts
1
单位阶跃响应： C ( s )  Ts   T
s
r(t)
t
0
c(t)
T
t
0
c(t) = T(t)
C
由于阶跃信号在时刻t = 0有一跃变，其他时
刻均不变化，所以微分环节对阶跃输入的响
u1
R
u2
应只在t = 0时刻产生一个响应脉冲。
实际中没有纯粹的微分环节,
它总是与其他环节并存的。
实际中可实现的微分环节都具有一定的惯性
T1 s
C (s)
G (s) 

R( s ) T2 s  1
[email protected]
G(s) 
 RCs
U 2 (s)
RCs

U1 ( s ) RCs  1
( RC  1)
2.2 传递函数
5.二阶振荡环节（RLC，机械阻尼）
系统中含有两种储能元件，
因能量相互转换而使输出带有振荡性质
2
d
c(t )
dc(t )
2
T
 2T
 c(t )  r (t ) (0    1)
2
dt
dt
 n2
C ( s)
1
G ( s) 
 2 2
 2
R( s) T s  2Ts  1 s  2n s   n2
(0    1)
式中ζ为振荡环节的阻尼比,T 为时间常数,ωn 为系统的自然振
1
荡角频率(无阻尼自振角频率), 并且有
T
n
[email protected]
2.2 传递函数
j
5.二阶振荡环节（RLC，机械阻尼）
振荡环节有一对位于s左半平面的共轭极点：
p1
p1, 2  n  jn 1   2    jd

单位阶跃响应：
ξn
n2
1
C ( s )  G( s ) R( s )  2

s  2n s  n2 s
c( t )  1 
1
1 2
n
jd
e nt sin(d t   )

0
p2
c(t)
1
式中，β=cos－1ξ。响应曲线
是按指数衰减振荡的，故称振
荡环节。
0
t
2.2 传递函数
6.时间延迟环节（管道流水，商业运输）
c(t )  r (t   )
C ( s)
G( s) 
 e s
R( s )
式中τ为该环节的延迟时间。
特点: 输出量能准确复现输入量,
但要延迟一固定的时间间隔τ。
[email protected]
r(t)
1
0
c(t)
t
1
0

t
2.3 系统的动态结构图
•
下图为讨论过的直流电动机转速控制系统，用方框图
可描述其结构和作用原理，但却不能定量分析，有了传
递函数的概念后，就可迎刃而解。
转速控制系统由三
个环节（元件）构
成，把各元件的传
递函数代入相应的
方框中，并标明两
端对应的变量，就
得到了系统的动态
结构图。
[email protected]
2.3 系统的动态结构图
2.3.1 结构图的定义及基本组成
定义: 由具有一定函数关系的环节组成的，并标明信
号流向的系统的方框图，称为系统的结构图。
1. 结构图的组成
（1）结构图的每一元件用标有传递函数的方框表示, 方框外面
带箭头的线段表示信号传递方向。箭头处标有代表信号物理量
的符号字母
R(s)
C(s)
G(s)
(2) 把系统中所有元件依次连接线连接起来就构成系统动态结
构框图
u(t)¡Àr(t)
u(t), U(s)
U(s)¡ÀR(s)
u(t), U(s)
£«
¡À
r(t), R(s)
(a) 相加点
[email protected]
u(t), U(s)
(b) 分支点
2.3 系统的动态结构图
三种常见的局部结构
1.串联环节
2.并联环节
3.反馈环节
[email protected]
2.3 系统的动态结构图
反馈环节的闭环传递函数
R(s)
£«
E(s)
G(s)
C(s)
£-
B(s)
C (s)
R( s)
？
H(s)
输入：R(s)
输出：C(s)
中间变量：
E(s), B(s)
C(s)= G(s)*E(s)
E(s)= R(s)-B(s)
B(s)= H(s)*C(s)
消除中间变量
B(s)和E(s)
C(s)= G(s)*E(s)
C(s)= G(s)*(R(s)-B(s))
C(s)= G(s)*[R(s)-H(s)*C(s)]
C ( s)
G( s)

R( s ) 1  G ( s ) H ( s )
[email protected]
闭环
传递函数
2.3 系统的动态结构图
反馈环节的一些传递函数概念
R(s)
E(s)
£«
G(s)
C(s)
£-
B(s)
A
定义1：
H(s)
输入：R(s)
输出：C(s)
中间变量：
E(s), B(s)
开环传递函数：反馈信号B(s)与偏差信号E(s)之比
C(s)= G(s)*E(s)
E(s)= R(s)-B(s)
B(s)= H(s)*C(s)
B( s )
 G( s) H ( s)
E ( s)
也就是系统从A点断开，以E(s)为输入，以B(s)为输出的传递函数
定义2：
前向传递函数：输出量C(s)和偏差信号E(s)之比
也就是前向通路的传递函数
定义3：
单位反馈系统：反馈传递函数为1
[email protected]
H ( s)  1
C (s)
 G(s)
E (s)
2.3 系统的动态结构图
实际的系统经常会受到外界扰动的干扰, 通常扰动作用下的闭环系
统的结构图可由下图表示。这个系统存在两个输入量, 即参考输入
量R(s)和扰动量N(s)。
R(s)
£«
E(s)
£«
G1(s)
£-
ÈŶ¯
N(s)
£«
G2(s)
B(s)
H(s)
C(s)
根据线性系统满足叠加性原
理的性质,可以先对每一个输
入量单独地进行处理, 然后
将每个输入量单独作用时相
应的输出量进行叠加,就可得
到系统的总输出量。
研究输入量R(s)对系统的影响时,
研究扰动量N(s)对系统的影响时,
可以假 设参考输入信 号 N(s)=0,
可 以 假设参考 输入信号R(s)=0,
将系统简化为如下：
将系统简化为如下：
[email protected]
2.3 系统的动态结构图
讨论R(s)时
( s) 
CR (s)
G1 ( s )G2 ( s )

R( s ) 1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
讨论N(s)时
 N (s) 
C N ( s)
G2 ( s )

N ( s ) 1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
根据线性系统的叠加原理可知, 参考输入量R(s)和扰动量N(s)同时
作用于系统时,系统的响应(总输出)C(s)为 :
G2 ( s )
C ( s)  CR ( s)  C N ( s) 
[G1 ( s ) R( s )  N ( s )]
1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
[email protected]
2.3 系统的动态结构图
2.7.2
结构图的绘制步骤
(1) 列写每个元件的原始方程（保留所有变量，便
于分析），要考虑相互间负载效应。
(2) 设初始条件为零，对这些方程进行拉氏变换，
得到传递函数，然后分别以一个方框的形式将因果关
系表示出来，而且这些方框中的传递函数都应具有典
型环节的形式。
(3) 将这些方框单元按信号流向连接起来，就组成
完整的结构图。
[email protected]
2.3 系统的动态结构图
EG6. 画出下图所示RC网络的结构图。
解：
u1
i
 uR
1

i

I
(
s
)

U R ( s)
(1) 列写

R
（2）
R


各元件 u  1 idt 拉式 U ( s )  1 I ( s )
 2
2
u2

Cs
C


的原始
变换 U R ( s )  U1 ( s )  U 2 ( s )
u R  u1  u2

方程式 


R
C
U1(s)
+
UR(s)
﹣
…U (s)
R
1
R
U2(s)
[email protected]
I(s)
…
I(s)
1
Cs
U2(s)
2.3 系统的动态结构图
EG7. 在图2-8(a)中,电压Ur(t)、Uc(t)分别为输入量和输
出量, 绘制系统的结构图。
将电路分解为回路I和回路II。回路I的变量为i1和u1；回路II的变量为i2和
uc。按照下述步骤一步一步的写方程。
列写系统的微分方程组, 并求出其对应的拉氏变换方程组。
(1) 从输出量开始写, 以系统输出量作为第一个方程左边的量。
(2) 每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始, 每个方程左边的量是前面方程右边
的中间变量。列写方程时尽量用已出现过的量。
(3) 输入量至少要在一个方程的右边出现; 除输入量外, 在方程右边出现过的中间变量
一定要在某个方程的左边出现。
(4) 按照上述整理后拉氏变换方程组的顺序, 从输出端开始绘制系统的结构图。
[email protected]
2.3 系统的动态结构图
（1）从微分方程推导各变量的传递函数，
从输出量开始写, 以系统输出量作为
第一个方程左边的量
(2) 每个方程左边只有一个量。从第二个方程开始, 每个方程左边的量是
前面方程右边的中间变量。列写方程时尽量用已出现过的量。
(3) 输入量至少要在一个方程的右边出现; 除输入量外, 在方程右边出现
过的中间变量一定要在某个方程的左边出现。
du2
i2  C2
 I 2 ( s )  C2 s  U 2 ( s )
dt
1
i2 R2  u2  u3  i2 
(u3  u2 )
R2
du3
(i1  i2 )  C1
 ( I1 ( s )  I 2 ( s ))  C1 s  U 3 ( s )
dt
i1 R1  u3  u1  i1 
1
(u3  u1 )
R1
[email protected]
U 2 (s) 
1
I 2 (s)
C2 s
1
I 2 ( s )  [U 3 ( s )  U 2 ( s )]
R2
U 3 (s) 
1
[ I1 ( s )  I 2 ( s )]
C1 s
I1 ( s ) 
1
[U1 ( s )  U 3 ( s )]
R1
2.3 系统的动态结构图
1
1
1
I
(
s
)

[U 3 ( s )  U 2 ( s )]
U
(
s
)

[
I
(
s
)

I
(
s
)]
I1 ( s)  [U1 ( s)  U 3 ( s)] 3
2
1
2
R
C1 s
R1
2
[email protected]
U 2 (s) 
1
I 2 (s)
C2 s
2.3 系统的动态结构图
2.3.4 结构图的简化和变换规则
利用结构图分析和设计系统时,常常要对结构图进行简化和变换。对结构图
进行简化和变换的基本原则是等效原则, 即对结构图任何部分进行变换时,
变换前后该部分的输入量、 输出量及其相互之间的数学关系应保持不变。
变换规则
1. 串联环节的简化
[email protected]
2.3 系统的动态结构图
2. 并联环节的简化
G1(s)
X0(s)
G2(s)
G3(s)
X1(s)
£«
X2(s)
£-
X4(s)
X0(s)
G1(s)£-G2(s)£«G3(s)
X4(s)
£«
X3(s)
(a)
(b)
3. 反馈回路的简化
R(s)
£«
B(s)
E(s)
G(s)
C(s)
¡À
R(s)
G(s)
1  G ( s) H ( s)
H(s)
(a)
[email protected]
(b)
C(s)
2.3 系统的动态结构图
4. 相加点和分支点的移动
1) 相加点前移
R(s)
G(s)
C(s)
R(s)
£«
¡À
£«
G(s)
C(s)
¡À
Q(s)
Q(s)
1
G(s)
(a)
(b)
2) 相加点后移
R(s) £«
G(s)
C(s)
¡À
Q(s)
(a)
[email protected]
R(s)
Q(s)
G(s)
£«
¡À
G(s)
(b)
C(s)
2.3 系统的动态结构图
3) 分支点前移
R(s)
R(s)
C(s)
G(s)
G(s)
C(s)
G(s)
(a)
C(s)
C(s)
(b)
4) 分支点后移
R(s)
G(s)
C(s)
R(s)
C(s)
G(s)
R(s)
1
G(s)
(a)
[email protected]
(b)
R(s)
2.3 系统的动态结构图
5) 相邻相加点之间的移动
B
A £«
B
¡À
£«
D
¡À
A £«
£«
¡À D
¡À
C
(a) »¥»»Ç°
[email protected]
C
(b) »¥»»ºó
2.3 系统的动态结构图
6) 相邻分支点之间的移动
从一个信号流线上无论分出多少条信号线, 它们都代表同一个信号。
所以在一条信号流线上的各分支点之间可以随意改变位置, 不必作任何
其他改动
A
A
A
A
A
A
A
(a) Òƶ¯Ç°
[email protected]
A
A
A
(b) Òƶ¯ºó
2.3 系统的动态结构图
例 2-8 试简上一例题中的系统的结构图,并求系统的传递函
数C(s)/R(s)。
[email protected]
2.3 系统的动态结构图
例 2-9 试简化下图系统的结构图,并求系统的传递函数C(s)/R(s)。
H2(s)
R(s)
£«
G1(s)
£«
£G2(s)
£«
£-
G3(s)
G4(s)
£H3(s)
H1(s)
解
在上图中, 如果不移动相加点或分支点的位置就无法进行结构图
的等效运算。采用以下步骤简化原图:
[email protected]
C(s)
2.3 系统的动态结构图
H2(s)
R(s)
£«
G1(s)
£«
£G2(s)
£-
£«
G3(s)
G4(s)
C(s)
£H3(s)
H1(s)
① 利用分支点后移规则,将G3(s)和G4(s)之间的分支点移到G4(s)方
框的输出端(注意不宜前移);
2.3 系统的动态结构图
将G3(s)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈回路简化(如图2-21(b)所示
), 其等效传递函数为
G34 ( s ) 
[email protected]
G3 ( s )G4 ( s )
1  G3 ( s )G4 ( s ) H 3 ( s )
2.3 系统的动态结构图
③ 再将G2(s)、G34(s)、H2(s)和1/G4(s)组成的内反馈回路简化。
G23 ( s ) 
(s) 

G2 ( s )G3 ( s)G4 ( s )
1  G3 ( s )G4 ( s ) H 3 ( s )  G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )
C (s)
R(s)
G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s )
1  G2 ( s )G3 ( s ) H 2 ( s )  G3 ( s )G4 ( s ) H 3 ( s )  G1 ( s )G2 ( s )G3 ( s )G4 ( s ) H1 ( s )
[email protected]
2.4 信号流图
信号流图是除了信号结构图之外的另一种表达形式
信号流图是一种用图线表示线性系统方程组的方法
x2  a12  x1
a12
x1
变量在两段，系数在线上
扫描 P63
[email protected]
x2
2.4 信号流图
（4）通路：任一点到另一点的路径
信号流图中的术语
（1）源点：只有输出的支路节点 （5）开通路：与任意节点相交不多于一次的通路
（2）汇点：只有输入支路的节点 （7）闭通路：起点即是终点的回路（回环）
（3）混合节点：既有输入，又有输出（8）前向通路：从源点到汇点的通路
（9）不接触回环：无任何交点的两个回环
增益：通路上各个支路增益之积
»ìºÏ½Úµã
a32
ÊäÈë½Úµã(Ô´)
a12
1
x1
2
x2
a53
a42
a44
5
3
a23
x3
a34
4
x4
a45
x5
a24
a25
前向通道 12345, 1245, 125
回环： 232，2432，343，2532，24532，44，3453
不接触回环：232，44
2532，44
1
Êä³ö½Úµã(Ú
x6
2.4 信号流图
2. 信号流图的性质
(1) 信号流图适用于线性系统。
(2) 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系,信号只能沿支路上的箭头
指向传递。
(3) 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加, 并把相加后的信号送到所
有的输出支路。
(4) 具有输入和输出支路的混合节点,通过增加一个具有单位增益的支路可
以把它作为输出节点来处理。
(5) 对于一个给定的系统, 信号流图不是唯一的。由于描述同一个系统的
方程可以表示为不同的形式, 因此可以画出不同的信号流程图。
[email protected]
2.4 信号流图
1.方程组与流程图之间的转换
2.结构框图与流程图之间的转换
(1)已知流程图，画方程组
»ìºÏ½Úµã
a32
ÊäÈë½Úµã(Ô´)
a12
1
x1
2
x2
a53
a42
a44
5
3
a23
x3
a34
4
x4
a45
a24
对于每个节点，流入
其的箭头指向和变量
a25
x2  a12 x1  a32 x3
x3  a23 x2  a42 x4  a53 x5
x4  a34 x3  a44 x4  a24 x2
x5  a45 x4  a25 x2
x6  x5
[email protected]
x5
1
Êä³ö½Úµã(Úå)
x6
2.4 信号流图
(2)已知方程组，画流程图
x1  xr  gxc
x2  ax1  fx4
x3  bx2  exc
x4  cx3
-e
xr
x1
xc  dx4
a
x2
b
x3
-f
-g
[email protected]
c
x4
d
xc
2.4 信号流图
(2)已知流程图，画结构框图
-e
xr
x1
a
x2
b
x3
x4
c
d
xc
-f
-g
[email protected]
2.5 梅森公式
通过信号流图求系统传递函数的高效方法
用梅逊公式可以直接求信号流图从输入节点到输出节点的增益, 其表达式为
1
P   Pk  k
 k
P ——系统总增益
(对于控制系统的结构图而言, 就是输入到输出的传递函数); k —
—前向通道数目;
Pk ——第k条前向通道的增益;
[email protected]
2.5 梅森公式
Δ——信号流图的特征式,它是信号流图所表示的方程组的系数矩阵的
行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间的增益, 其
分母总是Δ, 变化的只是其分子。它可以通过下面的表达式计算:
  1   L(1)  L( 2)  L(3)   (1)m  L( m)
其中,∑L(1)——所有不同回路增益乘积之和;
∑L(2)——所有任意两个互不接触回路增益乘积之和
∑L(3)——所有任意三个互不接触回路增益乘积之和;
∑L(m) ——所有任意m个不接触回路增益乘积之和;
Δk ——信号流图中除去与第k条前向通道Pk相接触的支路
和节点后余下的信号流图的特征式, 称为Pk的余因式。
[email protected]
2.5 梅森公式
梅森(Mason)公式
1
P   Pk  k

:
式中
P : 系统总增益（总传递函数）
k : 前向通路数
Pk ： 第k条前向通路总增益
信号流图特征式，它是信号流图所表示的方组的系数矩阵的
行列式。在同一个信号流图中不论求图中任何一对节点之间
的增益，其分母总是  ，变化的只是其分子。
  1   La  Lb Lc  Ld Le L f     (1)m  L(1) L( m)
L
a
―所有不同回路增益乘积之和；
L L  L
 L L   L
b c
(1)
bc
( m)
(1m)
―所有任意两个互不接触回路增益乘积之和；
―所有任意m个不接触回路增益乘积之和。
 k : 为不与第k条前向通路相接触的那一部分信号流图的
为第k条前向通路特征式的余因子。
[email protected]

值，称
2.5 梅森公式
X 5 (s)
?
X 1 (s)
求如图所示信号流图的总增益
例2-10
a44
a42
a12
(a)
x1
a34
a23
x2
a32
a45
x5
x4
x3
a35
a52
P2
(b)
x1
x2
x3
x4
P1  a12a23a34a45
x5
x5
(c)
x1
x2
x3
[email protected]
1  1
PP21  a12a23a35
2  1 a44
2.5 梅森公式
(d)
互不接触
x3
x2
L1  a 23 a 32
L12  a 23 a32 a 44
a12
(a) x1
a23
x2
L2  a23 a34 a 42
(e)
(f)
x4
x2
a32 x3
a34
a45 x5
x4
a35
a52
x4
L3  a 44
互不接触
x5
x2
a44
a42
L25  a 23 a 35 a 52 a 44
L4  a 23 a 34 a 45 a 52
(g)
x3
x2
P
x5
L5  a 23 a 35 a 52
a12 a23a34 a45  (1  a44 )a12 a23a35
1  (a23a32  a23a34 a42  a44  a23a34 a52  a23a35 a52 )  a23a32 a44  a23a35 a52 a44
[email protected]
2.5 梅森公式
例2-11 利用Mason’s gain formula 求如图所示系统的闭环传递函数。
G7
G6
G1
R(s)
1
解：前向通路有3个
2
3
4
 H1
 H2
图2-24 某系统的信号流图
1 2  3  4  5  6
1
6
4
5
1 2  7  6
P1  G1G2G3G4G5
P2  G1G6 G 4 G5
P3  G1G2G7
[email protected]
G5
G4
G3
G2
5
C(s)
6
2.5 梅森公式G
1
4个单独回路
4 5 4
2
3
L1  G4 H1
2362
 H1
5
6
L2  G2G7 H 2
L3  G6G4G5 H 2
234562
L4  G2 G3G4 G5 H 2
L1与L2
4
C(s)
 H2
24562
互不接触
G5
G4
G3
G2
1
R(s)
G7
G6
L12  L1L2  G4G2G7 H1H 2
  1  ( L1  L2  L3  L4 )  L1 L2
  1  G1 H1  G2 G7 H 2  G6 G4 G5 H 2  G2 G3G4 G5 H 2  G4 G5 G7 H1 H 2
P1  G1G2G3G4G5
1  1
P3  G1G2G7
3  1  G4 H1
[email protected]
P1  G1G6G4G5
2  1
2.5 梅森公式
P11  P2  2  P3 3
C (S )
 P( S ) 
R( S )

G1G2G3G4G5  G1G6G4G5  G1G2G7 (1  G4 H1 )

1  G1 H1  G2G7 H 2  G6G4G5 H 2  G2G3G4G5 H 2  G4G5G7 H1 H 2
总结
• 从原理图画系统方块图的方法
• 方块图的简化
基本连接方式串联、并联和反馈的简化
比较点、分支点的移动
• 信号流图及Mason’s Gain Formula
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2.6 线性定常系统数学模型的
MATLAB实现
例 2-17 若给定系统的传递函数为
12s 3  24s 2  12s  20
G( s)  4
2s  4s 3  6s 2  2s  2
试用MATLAB语句表示该传递函数。
解 输入上述传递函数的MATLAB程序如下:
num=［12 24 12 20］;
注意，如果给定的分子或分母多
den=［2 4 6 2 2］;
项式缺项, 则所缺项的系数用0补
G=tf(num, den)
充,例如一个分子多项式为3s2＋1,
则相应的MATLAB输入为
Transfer function:
12 s^3 + 24 s^2 + 12 s + 20
2 s^4 + 4 s^3 + 6 s^2 + 2 s + 2
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num=［3 0 1］;
如果分子或分母多项式是多
个因子的乘积,则可以调用MATLAB
提供的多项式乘法处理函数
conv( )。
2.6 线性定常系统数学模型的
MATLAB实现
例 2-18 已知系统的传递函数为
4(s  2)( s 2  6s  6) 2
G( s) 
s( s  1)3 (s 3  3s  2s  5)
试用MATLAB实现此传递函数。
解 输入上述传递函数的MATLAB程序如下:
num = 4*conv(［1 2］, conv(［1 6 6］, ［1 6 6］));
den = conv([1 0], conv([1 1], conv([1 1], conv([1, 1], [1 3 2 5]))));
G
= tf(num, den)
程序中的conv( )表示两个多项式的乘法, 并且可以嵌套。 运行结果为:
Transfer function:
4 s^5 + 56 s^4 + 288 s^3 + 672 s^2 + 720 s + 288
s^7 + 6 s^6 + 14 s^5 + 21 s^4 + 24 s^3 +17 s^2 + 5 s
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2.6 线性定常系统数学模型的
MATLAB实现
传递函数的特征根
例 2-19 求多项式的根
p ( s )  s 3  3s 2  4
代码如下
P = [1, 3, 0, 4];
R = roots(P);
结果为：
R= -3.3553
0.1777 + 1.0773i
0.1777 - 1.0773i
例 2-20 已知根求多项式
代码如下
P = poly(R)
结果为：
P =1.000 3.000 0.000 4.000
例 2-21 求多项式在s=-5时的值
n( s )  ( s 2  2 s  1)( s  4)
代码如下
N
= conv([3, 2, 1],[1, 4])
Value = polyval(n, -5)
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结果为：
Value = -66
小结
本章重点讨论了线性控制系统的四种数学模型,
即运动方程(时域模型)、传递函数(复域模型)、 结
构图、 信号流图。主要研究内容包括:
(1)动态系统微分方程的建立;
(2)传递函数的定义和性质;
(3) 系统结构图的绘制方法和简化, 以及如何从结构图
求取系统的传递函数;
(4)信号流图的概念和性质, 以及如何运用梅逊公式
获取系统的传递函数;
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王晓甜