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§2.4 结构图与信号流图
信号流图及梅逊公式
烟台大学光电信息学院
2.4.3 信号流图的组成及性质


结构图是一种很有用的图示法。但是对于
复杂的控制系统，结构图的简化过程仍较
复杂，且易出错。
Mason提出的信号流图，既能表示系统的
特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的
写出系统的传递函数。因此，信号流图在
控制工程中也被广泛地应用。
1.信号流图的组成
信号流图起源于梅森利用图示法描述
一个或一组线性代数方程，它是由节点和
支路组成的一种信号传递网络。
（1）节点：“”，代表一个变量。
（2）支路：“”，表示信号的传递方向。
（3）支路增益：表示方程式中两个变量的因果
关系。
a
R
输入：R
即：C＝R×a
C
输出：C
支路增益：a
例1:信号流图
1
x1
d
a
x2
e
g
b
x3
c
x4
f
x5
1
x5
由信号流图得描述五个变量因果关系的代数
方程式为： x1  x1
x2  x1  ex3
x3  ax2  fx4
x4  bx3
x5  dx2  gx5  cx4
2.信号流图的性质
 信号流图适用于线性系统。
 支路表示一个信号对另一个信号的函数关系，
信号只能沿支路上的箭头指向传递。
 在节点上可以把所有输入支路的信号叠加，
并把相加后的信号送到所有的输出支路。
 具有输入和输出节点的混合节点，通过增加
一个具有单位增益的支路把它作为输出节点
来处理。
 对于一个给定的系统，信号流图不是唯一的，
由于描述同一个系统的方程可以表示为不同
的形式。
d
g
3.信号流图的有关术语
1
x1
a
x2
b
x3
e
f
源节点(输入节点)：
只有输出支路的节点。图中的x1。
c
x4
x5
1
x5
阱节点(输出节点)：仅有输入支路的节点。有
时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路
的。只要定义信号流图中任一变量为输出变量，
然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，
即可形成一输出节点，如图中的x5。
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。
d
1
x1
a
x2
e
g
b
x3
c
x4
f
x5
1
通路：沿支路箭头的方向顺序
x5
穿过各相连支路的路径。
前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方
向，每个节点只经过一次，最终到达输出节
点的通路。
前向通路增益：前向通路上各支路增益之乘
积。用pk表示
p1  abc
p2  d
d
1
x1
a
x2
e
g
b
x3
c
x4
f
x5
1
x5
回路(闭通路)：起点和终点在同一节点，并与
其它节点相遇仅一次的通路。(3条)
回路增益：回路中所有支路增益的乘积。用
La表示 。
L  ae
1
L2  bf
L3  g
d
1
x1
a
x2
e
g
b
x3
c
x4
x5
f
1
x5
不接触回路：回路之间没有公共节点时，这种
回路叫做不接触回路。在信号流图中，可以有
两个或两个以上不接触回路。例如图中有两对
互不接触回路。
x2  x3  x2
and
x5  x5
x3  x4  x3
and
x5  x5
2.4.4 信号流图的绘制
1.由系统微分方程绘制信号流图
(课本P67 例2-23)
步骤：
(1)建立系统微分方程组
(2)取拉普拉斯变换
(3)按各方程的输入输出关系将节点连接起来。
或绘制系统结构图，再由结构图得信号流图
2.由系统结构图绘制信号流图
G2
R
G1
-
C
G3
G4
H
G2
R
1
1
G1
1
-H
G3
1
G4
1
C
2.由系统结构图绘制信号流图
G2
R
-
G1
H
不可以合并为一个节点
G3
C
G4
G2
①用小圆圈表示
各变量对应的节点
G3
C
1
G1
1
R
②在比较点之后
的引出点只需在比较
-H
G4
点后设置一个节点便可。
③在比较点之前的引出点，需设置两个节点，分
别表示引出点和比较点
+
+
例2:
R
+
-
+ C
+
+ -
G2
G1
1
R 1
G1
1
1
1
1
1
-1
1
G2
-1
1 C
2.4.5 梅森公式(梅逊公式)
用梅逊公式可不必简化信号流图而直接求得
从输入节点到输出节点之间的总传输。(即总传递函数)
系统总增益（总传递函数）
k : 前向通路数
Pk : 第k条前向通路总增益
 : 信号流图特征式，它是信号流图所表示
的方程组的系数矩阵的行列式。
 k : 不与第k条前向通路相接触的那一部分
1
P   Pk  k

P:
信号流图的  值，称为第k条前向通
路特征式的余因子。
其中：
  1   L(1)  L(2)  L(3)   (1)
m
L
( m)
 L —— 所有单独回路增益之和；
(1)
 L —— 两个互不接触回路增益乘积之和；
( 2)
 L —— m个不接触回路增益乘积之和。
(m )
例3：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
G2
R
1
G1
G3
1
-H
C
G4
解：系统共有回路2条：L1＝－G2H；L2＝－G1H
前向通道3条： p1  G1G3 , 1  1;
p2  G2G3 ,  2  1;
p3  G1G4 , 3  1.
  1  [ L1  L2 ]  1  G1H  G2 H
所以系统闭环传函为：
3
C
P 
R
p
i
i 1

i
G1G3  G2G3  G1G4

1  G1 H  G2 H
例4：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
1
1
1
R(s)
G1
1
G2
1
-1
1
-1
-1
解：系统有单个回路: 4条
两两互不接触回路: 4组
三个互不接触回路: 1组
L1  G1
L2  G2
L3  G3
L2  G1G2
G3
-1
K
C(s)
前向通道: 4条
p1  G1G2G3 K , 1  1;
p2  G1G3 K , 2  1  [G2 ];
p3  G2G3 K , 3  1  [G1 ];
p4  G2G1G3 K , 4  1
  1  [G1  G2  G3  G1G2 ]
 [G1G2  G1G3  G2G3  G1G2G3 ]  [G1G2G3 ]
例4：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
1
1
R(s)
1
G1
1
1
-1
G2
-1
1
G3
-1
K
C(s)
-1
C ( s ) p11  p2  2  p3 3  p4  4
P 

R( s)

G1G3 K (1  G1 )  G2G3 K (1  G2 )

1  G1  G2  G3  2G1G2  G1G3  G2G3  2G1G2G3
例5：利用梅森公式求如图所示系统闭环传递函数
f
1
R(s)
a
g
b
h
c
d
i
j
e
k
1
C(s)
解：系统有单个回路 6 条,两两互不接触回路 7 组,三
个互不接触回路 1 组:
  1  [ag  bh  ci  dj  ek  fghi ]  [agci  agdj  agek  bhdj  bhek
 ciek  fghiek ]  agciek
前向通道2条：p1  abcde , 1  1; p2  fde ,  2  1  bh
C ( s) p11  p2  2 abcde  fde(1  bh)
P 


R( s )



abcde  fde(1  bh)
1  ag  bh  ci  dj  ek  fghi  agci  agdj  agek  bhdj  bhek  ciek  fghiek  agciek
C ( s) E ( s)
,
例6：求如图所示系统传递函数
R( s ) R( s )
G4
R
E
-
G1
G2
-
H1
C
G3
H2
解：根据系统结构图画出信号流图如下：
G4
1
1
E G1
R
G2
1
-H1
G3
-1
1
1
H2
C
G4
1
求 C ( s) ：R
R( s)
1
E G1
G2
1
-H1
前向通道2条：P1  G1G2G3 ,
P2  G3G4 ,
G3
-1
1
1
H2
C
1  1
 2  1  G1 H1
单个回路3条，两两互不接触回路1组，
  1  G1H1  G3 H 2  G1G2G3 H1H 2  G1G3 H1H 2
G1G2G3  G3G4 (1  G1H1 )
C ( s) 1 2
 P1 
  Pk  k 
R(s)  k 1
1  G1H1  G3 H 2  G1G2G3 H1H 2  G1G3 H1 H 2
G4
E (s)
求
R( s)
：
前向通道2条：P1  1,
1
E G1
1
R
G2
1
-H1
1  1  G3 H 2
P2  G4G3 H 2 H1 ,
G3
-1
1
1
H2
C
2  1
单个回路3条,两两互不接触回路1组，
  1  G1H1  G3 H 2  G1G2G3 H1H 2  G1G3 H1H 2
(1  G3 H 2 )  G4G3 H 2 H1
E ( s) 1 2
 P2 
  Pk  k 
R(s)  k 1
1  G1H1  G3 H 2  G1G2G3 H1H 2  G1G3 H1H 2
注意：上面两  不变！ 是流图特征式，也就是
传递函数的特征表达式。对于一个给定的系统，
特征表达式总是不变的。
1
梅森公式 P   Pk  k

k :前向通路数
P : 系统总增益
Pk : 第k条前向通路总增益
 : 信号流图特征式
 k : 第k条前向通路特征式的余因子。
  1   L(1)  L(2)  L(3)   (1)
m
L
 L ―所有单独回路增益之和；
(1)
 L ―两个互不接触回路增益乘积之和；
( 2)
 L ―m个不接触回路增益乘积之和。
(m )
( m)
例7：求如图所示系统传递函数
h
g
1
R(s)
a
b
c
d
-i
-j
f
e
-k
1
C(s)
-m
解：系统向通道：4条
-n
单个回路：9条 bi, dj ,  fk , cdem, hmi,
abcdefn,  gcd efn, affn, gihfn
3
两两互不接触回路：6组
pi i

C i 1
三个互不接触回路：1组 P  
R

+
+
例2:
R
+
-
+ C
+
+ -
G2
G1
1
R 1
G1
1
1
1
1
1
-1
1
G2
回路5条,前向通道4条
-1
1 C
2.4.6 闭环系统的传递函数
典型线性反馈控制系统结构图及信号流图：
N(s)
C(s)
E(s)
R(s)
-
G2(s)
G1(s)
B(s)
R(s)：输入信号
H(s)
N(s)
G1(s)
1
R(s) 1
E(s)
G2(s)
-H(s)
C(s)：系统输出
N(s)：扰动信号
1
C(s)
E(s)：误差信号
当H(s)＝1时，系统为单位反馈系统。
N(s)
G1(s)
1
R(s) 1
G2(s)
1
-H(s)
C(s)
E(s)
(1)输入信号下的闭环传函：N(s)=0
G1 ( s )G2 ( s)
C ( s)
(s) 

R( s ) 1  G1 ( s )G2 ( s) H ( s)
N(s)
(2)扰动信号下的闭环
传函：R(s)=0
G1(s)
1
R(s) 1
G2(s)
1
-H(s)
C(s)
E(s)
G2 ( s )
C ( s)
 N ( s) 

N ( s ) 1  G1 ( s)G2 ( s ) H ( s)
所以当输入信号和扰动信号同时作用时，
系统输出为：
G1 ( s )G2 ( s) R( s)  G2 ( s) N ( s)
C ( s)  ( s) R( s)   N ( s) N ( s) 
1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
(3)闭环系统的误差传递函数(以E(s)为输
N(s)
出的传递函数)：
G1(s)
1
R(s) 1
G2(s)
1
-H(s)
E(s)
E ( s)
1
 e (s) 

R( s ) 1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s )
G2 ( s ) H ( s )
E (s)
 en ( s ) 

N ( s ) 1  G1 ( s)G2 ( s ) H ( s )
C(s)
§2.5 数学模型的实验
测定法
 数学模型的实验测定的主要方法
1.时域测定法
(1)输入阶跃信号，绘制输出随时间变化的响应
曲线。
(2)输入脉冲信号，绘制输出随时间变化的脉冲
响应曲线。
分析响应与输入的关系，确定系统传递函数。
优缺点：设备简单，工作量小；但精度不高
2.频域测定法
输入端施加不同频率的正弦波信号，
测出输出信号与输入信号在幅值、相位上
的差别，从而确定系统的频率特性。
优缺点：数据处理简单，测试精度高；
测试设备复杂，工作量大。
3.统计相关测定法
输入端施加某种随机信号，根据被测
对象各种参数的变化，采样统计相关法测
定系统的动态性能。
优缺点：测试精度高；
测试设备更复杂(专用仪器、计算机)
工作量很大。
本章主要内容
1.建立系统时域数学模型(微分方程
分方程)
2.建立系统s域数学模型(传递函数)
3.系统结构图及其化简
4.信号流图及梅森公式
5.闭环系统传递函数
6.拉普拉斯变换、逆变换及性质
和差
本章作业：
P80
2-6
2-7
2-11 （f）
2-13 （d）（e）
2-15 （c）（e）