Transcript 自动控制原理》第二章（ppt

国 家 精 品 课 程
自动控制原理
Principles of Automatic Control
主讲人：
王 万 良
[email protected]
《自动控制原理》国家精品课程网站
http://210.32.200.206/zdkz/index.asp
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第2章
连续系统的数学模型
校正方法（控制器设计方法）
滞后-超前、PID、LQ最优等
系统
(机械，电气，
过程等)
建模方法
机理或实验
数学模型
性能分析
若性能
不满足要求
稳定性、
对系统进行校正
动态性能、
鲁棒性等等
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工程实际中常见的模型举例
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第2章
连续系统的数学模型
2.1
系统数学模型的概念
2.2
微分方程描述
2.3
传递函数
2.4
结构图
2.5
信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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第2章
连续控制系统的数学模型
2.1
系统数学模型的概念
2.2
微分方程描述
2.3
传递函数
2.4
结构图
2.5
信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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2.1
系统数学模型的概念
自控理论方法是先将系统抽象完数学模型，然后用数学的方法处理。
控制系统的数学模型是描述系统内部各物理量（或变量）
之间关系的数学表达式或图形表达式或数字表达式。
＋
＋
ur(t)
F(t)
m
f
－
i
uc(t)
－
X(t)
d 2U c (t )
dUc (t )
LC

RC
 U c (t )  U r (t )
2
dt
dt
d 2 X (t )
dX (t )
m

f
 kX (t )  F (t )
2
dt
dt
完全不同物理性质的系统，其数学模型具有相似性！
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2.1.1 数学模型的定义与主要类
型
① 静态模型与动态模型 (静态模型是t→∞时系统的动态模型)
1
0
T
duc
 uc  u r
dt
② 输入输出描述模型（外部描述模型）与内部描述模型
③ 连续时间模型与离散时间模型
④ 参数模型与非参数模型
2.1.2 建立数学模型的方法
机理分析建模方法，称为分析法；
实验建模方法，通常称为系统辨识。
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第2章
连续控制系统的数学模型
2.1
控制系统数学模型的概念
2.2
微分方程描述
2.3
传递函数
2.4
结构图
2.5
信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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第2章
2.2
连续系统的数学模型
微分方程描述
描述系统输出变量和输入变量之间动态关系的
微分方程称为微分方程模型
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2.2
微分方程描述
u(t)
系统
y(t)
a n y (n)  a n1 y (n1)   a1 y  a0 y  bm u (m)    b1u  b0 u
系统微分方程的形式与系统分类之间的关系:
（1）非线性微分方程描述的是非线性系统；
（2）线性微分方程描述的是线性系统;
（3）时变系统的微分方程的系数与时间有关；
（4）时不变(定常)系统的微分方程的系数与时间无关。
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例2.1
一阶RC网络系统
iC
duc
dt
u1  iR
u1  u c  u r
duc
RC
 uc  u r
dt
T
duc
 uc  u r
dt
T  RC
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例2.2
二阶RC网络系统
i1R1  uc1  ur
i1  C1
i2 R2  uc  uc1
i1  i2  C1
i2  C 2
duc1
d 2uc
T1T2
duc
dt
duc
R1C1
 R1C2
 uc1  ur
dt
dt
du
R2C2 c  uc  uc1
dt
dt
dt 2
dt
 C2
duc1
duc
dt
R1C1 R2 C 2
duc1
 ( R1C1  R1C 2  R2 C 2 )
d 2uc
dt 2
 (T1  T12  T2 )
duc
 uc  u r
dt
duc
 uc  ur
dt
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思考：
能否可以将二阶RC网络看成是两个一阶RC网络的串联？分
别建立一阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系，然后
直接得到二阶RC网络的输入输出之间的微分方程关系？
？
串联
T1T2
d 2uc
dt
2
duc
 (T1  T12  T2 )
 uc  ur
dt
T12=0
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思考：
能否可以将下列有源二阶RC网络看成是两个有源一阶RC网
络的串联？为什么？
一阶有源网络系统
R1
ur
i
C


R2
uc
二阶有源网络系统
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第2章
连续控制系统的数学模型
2.1
控制系统数学模型的概念
2.2
微分方程描述
2.3
传递函数
2.4
传递函数模型
2.5
结构框图模型
2.6 系统数学模型的MATLAB表示
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数学预备知识：拉氏变换
典型信号的拉氏变换（1）
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典型信号的拉氏变换（2）
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拉氏变换的性质
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应用拉氏变换的终值定理求 y ( )
注意拉氏变换终值定理的适用条件：
sY (s) 的极点均处在复平面的左半边。
不满足终值定理的条件。
事实上：
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几个拉氏变换定理的证明
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拉氏变换的应用：求解微分方程
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有理分式的分解（1）：极点为相异实数的情况
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有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
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有理分式的分解（2）：出现极点为相同实数的情况
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有理分式的分解（3）：出现极点为相异复数数的情况
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2.3.1
传递函数与脉冲响应函数的定义
定义：在零初始条件下，线性定常系统（环节）输出的拉氏变换与
输入的拉氏变换之比，称为该系统（环节）的传递函数。
a n y (n)  a n1 y (n1)   a1 y  a0 y  bm u (m)    b1u  b0 u
u(t)
Y (s) bm s m  bm1s m1   b1s  b0

U (s) an s n  an1s n1   a1s  a0
G( s) 
U(s)
bm s m  bm1 s m1    b1 s  b0
a n s n  a n1 s n1    a1 s  a0
Y ( s)  G ( s)U ( s)
y(t )  L1{Y (s)}  L1{G(s)U (s)}
系统
系统G(s)
y(t)
Y(s)
系统微分方程与传递
函数可以直接转换!
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下面考察单位脉冲输入信号下系统的输出
单位脉冲输入信号的拉氏变换为1
U ( s)  L{δ (t )}  1
U(s)
系统G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出的拉氏变换为
Y(s) G(s)
1
系统G(s)
Y(s)
G(s)
单位脉冲输入信号下系统的输出为
g(t) L1{Y(s)} L1{G(s)}
δ(t )
系统
g(t)
脉冲响应是系统的数学模型!
阶跃响应不是系统的数学模型!
思考：
求系统在单位阶跃信号作用下的输出相应（单位阶跃响应）。
并考虑系统的单位脉冲响应与单位阶跃响应之间的关系？
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传递函数的性质：
（1）传递函数只取决于系统或元件的结构和参数，与输
入输出无关；
（2）传递函数概念仅适用于线性定常系统，具有复变函
数的所有性质；
（3）传递函数是复变量s 的有理真分式，即n≥m；
（4）传递函数是系统冲激响应的拉氏变换；
（5）传递函数与真正的物理系统不存在一一对应关系；
（6）由于传递函数的分子多项式和分母多项式的系数均
为实数，故零点和极点可以是实数，也可以是成对
的共轭复数。
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2.3.2
传递函数的表示方式
1．有理分式形式
G( s) 
bm s m  bm1 s m1    b1 s  b0
a n s n  a n1 s n1    a1 s  a0

N (s)
D( s )
2．零极点形式
m
k
G (s) 
 (s  z )
i
i 1
n
 (s  p )
i
i 1
2s 2  2s  4
2( s  1)(s  2)
G(s)  3

2
s  5s  8s  6 ( s  3)(s  1  j )(s  1  j )
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2．零极点形式
G (s) 
20( s  1)
( s  2)
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
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2．零极点形式
G( s) 
1
( s  2)( s  2  j 2)( s  2  j 2)
（传递函数是s的复变函数，s是复数变量）
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3．时间常数形式
m
K
 ( s  1)
i
i 1
n
G(s) 
sv
 (T s  1)
i
i 1
m1
K

( i s  1)

(T j s  1)
i 1
n1
G( s) 
sv
m2
j 1

k 1
n2
( k2 s 2  2 k  k s  1)

(Tl 2 s 2  2 l Tl s  1)
l 1
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2.3.3 线性系统的基本环节
放大环节（比例环节）：k
积分环节：
1
s
微分环节： s
惯性环节：
1
Ts  1
1
振荡环节： T 2 s 2  2Ts  1
一阶微分环节： s  1
二阶微分环节：  2 s 2  2 s  1
滞后环节（纯时滞环节）： e s
一个系统或一个元件（线性连续）总可以由一个或几个基本环节组成。
有些基本环节在实际中可以单独存在，但象各种微分环节实际上是不
能单独存在的。
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传递函数的一般形式
（考虑时间滞后情况）
G( s) 
bm s m  bm1 s m1    b1 s  b0
a n s n  a n1 s n1    a1 s  a0
e s
考虑时间滞后时（存在输送带）：
τ 
T
dy(t   )
 y(t   )  Kx(t )
dt
T
不考虑时间滞后时（不存在输送带）：
dy(t )
T
 y (t )  Kx(t )
dt
K
G( s) 
Ts  1
输送带长度 l

输送带速度 v
dy(t )
 y(t )  Kx(t   )
dt
TsesY (s)  esY (s)  KX (s)
(Ts  1)esY (s)  KX (s)
K
G( s) 
e s
Ts  1
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惯性环节与延迟环节的区别：
惯性环节从输入开始时刻就已有输出，仅由于惯性，输出要
滞后一段时间才接近所要求的输出值；
延迟环节从输入开始后在0－τ时间内没有输出，在t =τ之后，才有输出。
r (t )
0
c (t )

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第2章
连续控制系统的数学模型
2.1
系统数学模型的概念
2.2
微分方程描述
2.3
传递函数
2.4
结构图
2.5
信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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2.4.1
结构图的基本组成
控制系统的结构图是系统数学模型的图解形式，
可以形象直观地描述系统中各元件间的相互关系
及其功能以及信号在系统中的传递、变换过程。
特点：具有图示模型的直观，又有数学模型的精
确。
干扰
给定量
被控量
控制装置
被控对象
（输入量） -
（输出量）
测量元件
反馈控制系统原理图
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结构图包含四个基本元素：
信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。
引出点（测量点）：引出或者测量信号的位置。
这里的信号引出与测量信号一样，不影响原信号，所以也称为测量点。
比较点（综合点）：对两个或者两个以上的信号进行代数运算。
方块：表示对输入信号进行的数学变换。
对于线性定常系统或元件，通常在方框中写入其传递函数。
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几种基本的结构框图
R
G1 (s)
R
C
G2 (s)
G1 ( s )
R
G1 (s) G2 (s)
C
C

R
G1 (s) G2 ( s )
C
G2 ( s)
R

G1 ( s)
C
R
G1 ( s)
1  G1 ( s)G2 ( s)
C
G2 ( s)
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2.4.2
结构图的变换法则
比较点后移
R(s)
G(s)

R(s)
X(s)
C(s)
X(s)
G(s)
G(s)
C(s)

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比较点前移
R(s)
C(s)
G(s)

X(s)
R(s)
G(s)

1
C(s)
X(s)
G( s)
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比较点合并
R(s)
C(s)


X1(s) X2(s)
X1(s)
R(s)
 C(s)

X2(s)
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引出点前移
R(s)
G(s)
C(s)
C(s)
R(s)
G(s)
G(s)
C(s)
C(s)
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引出点后移
R(s)
C(s)
G(s)
R(s)
R(s)
C(s)
G(s)
1
R(s)
G( s)
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2.4.3
结构图的简化
变换法则对应于代数变换
结构图对应于代数方程组
结构图化简对应于代数方程组求解中消元
G3 ( s )
R (s )
C (s )
G1 ( s )
G2 ( s )
G4 ( s )
R(s)
G(s)
C(s)
H 2 (s)
H1 (s)
结构图化简求系统传递函数的基本方法：
(1)利用等效变换法则，通过移动比较点和引出点，
消去交叉回路，变换成可以运算的几种基本的简单回路。
(2)将结构图变换为代数方程组,然后求解代数方程组.
(3)将结构图变换为信号流图,然后应用梅森增益公式
(4)直接应用梅森增益公式(最好不用!!)
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结构框图的化简
例2.9
G3 ( s )
R (s )
C (s )
G1 ( s )
G2 ( s )
R(s)
G4 ( s )
G(s)
C(s)
H 2 (s)
H1 (s)
R (s )
G3 ( s )  G 4 ( s )
G1 ( s )G 2 ( s )
C (s )
R(s)
G1 ( s )G2 ( s )( G3 ( s )  G4 ( s )) C (s)
1  G1 ( s )G2 ( s ) H 2 ( s )
H 2 (s)
H1 (s)
R(s)
G1 ( s )G2 ( s )
1  G1 ( s )G2 ( s ) H 2 ( s )
H1 (s)
G3 ( s )  G4 ( s )
C (s)
R (s )
C (s )
G1 ( s )G2 ( s )( G3 ( s )  G4 ( s ))
1  G1 ( s )G2 ( s ) H 2 ( s )  G1 ( s )G2 ( s )( G3 ( s )  G4 ( s )) H 1 ( s )
H1 (s)
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结构图的化简
例2.10
H1 (s)
R(s)
G1 ( s )
G2 ( s )
G3 ( s )
G4 ( s )
C (s)
R(s)
H 2 (s)
G(s)
C(s)
H1 (s)
G1 ( s )G4 ( s )
R (s )
C (s )
G1 ( s )
G2 ( s )
G3 ( s )
H 2 (s)
G1 ( s )G2 ( s )
R(s)
R (s )
C (s )
G4 ( s )
G1 ( s )G 2 ( s )G3 ( s )G 4 ( s )
1
H1 (s)
H 2 (s)

G1 ( s )G4 ( s ) G1 ( s )G2 ( s )
G1 ( s)G2 ( s)G3 ( s)G4 ( s)
1  G1 ( s)G2 ( S )G3 ( s)G4 ( s)  G2 ( s)G3 ( s) H1 ( s)  G3 ( s)G4 ( s) H 2 ( s)
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C(s)
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结构图的化简
G1 ( s )
R(s)
例2.11
C1 ( s )
R(s)
C (s)
E (s)
G2 ( s )
C2 (s)
E ( s )  R( s )  C ( s )
C1 (s)  G1 (s)[C2 (s)  E (s)]
C 2 ( s)  G2 ( s)[ E ( s)  C1 ( s)]
C ( s)  C1 ( s)  C 2 ( s)
C (s) 

G(s)
C(s)
G1 ( s )G 2 ( s )  G1 ( s )
G ( s )G 2 ( s )  G 2 ( s )
E (s)  1
E ( s)
1  G1 ( s )G 2 ( s )
1  G1 ( s )G 2 ( s )
2G1 ( s )G 2 ( s )  G1 ( s )  G 2 ( s )
[ R( s )  C ( s )]
1  G1 ( s )G 2 ( s )
C (s) 
2G1 ( s )G 2 ( s )  G1 ( s )  G 2 ( s )
R( s)
1  3G1 ( s )G 2 ( s )  G1 ( s )  G2 ( s )
C1 ( s)  G1 ( s)G2 ( s) E ( s)  G1 ( s)G2 ( s)C1 ( s)  G1 ( s) E ( s)
C1 ( s ) 
G1 ( s )G 2 ( s )  G1 ( s )
E (s)
1  G1 ( s )G 2 ( s )
C 2 ( s )  G 2 ( s )[ E ( s ) 
(s) 
2G1 ( s )G 2 ( s )  G1 ( s )  G 2 ( s )
C (s)

R ( s ) 1  3G1 ( s )G 2 ( s )  G1 ( s )  G 2 ( s )
G1 ( s )G 2 ( s )  G 2 ( s )
G1 ( s )G 2 ( s )  G1 ( s )
E (s)
E ( s )] 
1  G1 ( s )G 2 ( s )
1  G1 ( s )G 2 ( s )
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2.4.4
反馈控制系统的传递函数
N(s)
R(s)
C(s)
C ( s )  C R ( s )  C N ( s )  ( s ) R ( s )   N ( s ) N ( s )

C (s)
R(s)
G1 ( s )
G2 ( s )
G1 (s)G2 (s)
G2 ( s )
R( s ) 
N ( s)
1  G1 (s)G2 (s) H (s)
1  G1 (s)G2 (s) H (s)
R(s)
(s) 
H (s)
N(s)
G2 ( s )
G1 ( s )
 N ( s)
H (s)
C(s)
G1 ( s )G 2 ( s )
C (s)

R ( s ) 1  G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
C (s)
N (s)
(s)
 N (s) 
C(s)
G2 (s)
C (s)

N ( s ) 1  G1 ( s )G 2 ( s ) H ( s )
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反馈控制系统的误差传递函数
N(s)
R(s)
E ( s) 
E(s)
 G2 ( s ) H ( s )
1
R( s ) 
N ( s)
1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
1  G1 ( s)G2 ( s) H ( s)
R(s)
 e ( s) 
e (s)
E(s)
E ( s)
1

R(s) 1  G1 (s)G2 (s) H (s)
N(s)
en ( s)
 en ( s ) 
E(s)
G2 ( s ) H ( s )
E ( s)

N ( s ) 1  G1 ( s )G2 ( s ) H ( s )
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多输入多输出系统的传递函数矩阵
C ( s )  ( s ) R( s )   n ( s ) N ( s )
R(s)
C(s)
N(s)
E(s)
 n ( s )   R( s ) 
C ( s)  ( s)
 E ( s)   ( s)  ( s)  N ( s)
en

  er


E ( s)   er ( s) R( s)   en ( s) N ( s)
 n ( s) 
 ( s )
传递函数矩阵 W ( s)  


(
s
)

(
s
)
en
 er

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53
第2章
连续控制系统的数学模型
2.1
系统数学模型的概念
2.2
微分方程描述
2.3
传递函数
2.4
结构图
2.5
信号流图
2.6
系统数学模型的MATLAB表示
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54
2-5 信号流图及梅逊公式
一、信号流图的基本概念
信号流图是一种表示线性化代数方程组中的
变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路
组成。
x1
a
x2 c
b
x3
1
x4
节点： 表示系统中的变量或信号。
支路：
表示变量之间的传输关系，连
接两节点的线段。
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• 支路具有两个特征：
• 有向性
限定了信号传递方向。支路方向就是信
号传递的方向，用箭头表示。
• 有权性
限定了输入与输出两个变量之间的关系。
支路的权用它近旁标出的传输值(增益)表示。
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信号流图表示方程组的基本法则
• （1）支路终点信号等于始点信号乘以支路传递函
数。若有代数方程
x2 = a12 x1
x1
a12
x2
• （2）节点表示系统中的信号，而且可以把所有输
入支路的信号叠加，并把叠加后的信号等同地送
到所有输出支路。
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信号流图的基本术语
1、源节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源
节点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。
2、汇节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱
点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。
3、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混
合节点。
X4
混合节点
X1
输入节点
（源点）
a
X2
b
c
X3
输入节点
（源点）
d
X5
输出节点
（汇点）
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信流图的基本术语
4、通道：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支
路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通道。
5、开通道：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通
道。
6、闭通道：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任
何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。
7、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。
8、前向通道：是指从源头开始并终止于汇点且与其他 节
点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积 称为前
向通道增益。
9、不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之
间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触
回环 。
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二、信号流图的绘制
1、由结构图绘制信号流图对照表
结构图
信流图
变量
传递函数
综合点变
成
混合节点

－1
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例 1 画出下图结构图所示系统的信号流图。
R(s)
+
﹣
E1(s)
G1(s)
C(s)
E2(s)
G2(s)
H(s)
解：按照对照表可直接作出系统结构图所对应的信号
流图。
R(s)
E1(s)
G1(s)
E2(s)
G2(s)
C(s)
-H(s)
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2、由方程组绘制信流图
x1  x r  gx c
x 2  ax1  fx4
x3  bx 2  ex c
x 4  cx3
x c  dx 4
首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据
各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图
绘制完毕后，即得系统的信号流图。
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例2
有RLC电路如下图所示，试画出该电路的信号流图。
解：(1)列写原始方程
di

ur  L dt  Ri  uc

duc
i  C
dt

i(t)
ur(t)
R
L
C
uc(t)
(2)取拉氏变换，考虑初始条件：i(0+)，uc(0+)
U r ( s )  LsI ( s )  Li (0  )  RI ( s )  U c ( s )


I
(
s
)

CsU
(
s
)

Cu
(
0
)
c
c

(3)整理成因果关系
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1
1
L


I
(
s
)

U
(
s
)

U
(
s
)

i
(
0
)
r
c

Ls  R
Ls  R
Ls  R

1
1
U c (s) 
I ( s )  uc (0 )
U r ( s )  LsI ( s )  Li (0  )  RI ( s )  U c ( s )
Cs
s

(4)画出信号流图如图所示。
1
Ls+R


I
(
s
)

CsU
(
s
)

Cu
(
0
)
c
c

ic(0+)
uc(0+)
1
Ls+R
1
s
1
Cs
Ur(s)
Uc(s)
I(s)
1
Ls+R
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三、梅逊（Mason）增益公式
Mason公式:

n
Pk
— 特征式
1 n
G(s)   Pk Δ k
Δ k 1
  1   La   Lb Lc   Ld Le L f  
— 前向通路的条数
— 第k条前向通路的总增益
L
— 所有不同回路的回路增益之和
a
L L —
 L L L—
k —
b
c
d
e
f
两两互不接触回路的回路增益乘积之和
互不接触回路中，每次取其中三个的回路增益乘积之和
第k条前向通路的余子式(把与第k条前向通路接触的回
路去除，剩余回路构成的子特征式
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例3.设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数
G4
a
R
-
b
G1
G2
-
-
c
d
G3
Y
H2
H1
G4
R(S)
1
a G
1
b
c
G2
-H1
G3
d
1
Y(S)
-H2
-1
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解 :
R(S)与Y( S )间有两条前向通路
P1  G1G2G3
P2  G1G4
信号流图共有五个回路,各回路增益分别为
L1  G1G2 H1
L 2  -G1G 2 G 3
L 4  G 4 H 2
L 5  G1G 4
L3  G 2 G 3 H 2
不存在互不接触回路
  1  ( L1  L2  L3  L4  L5 )
 1  G1G2 H1  G1G2G3  G2G3 H 2  G4 H 2  G1G4
五个回路均与P1和P2接触
1  1
2  1
Y(S)
1
P
 P11  P2  2 
R(S)

G1G 2 G 3  G1G 4

1  G1G2 H1  G1G2G3  G2G3 H 2  G4 H 2  G1G4
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例4 求图所示系统的信号流图输入x0至输出x8的总传输G。
a
x0
c
b
i
e
d
g
f
x8
k
j
h
m
解：信号流图的组成：4个单回环，一条前向通道
 =1 (bi + dj + fk + bcdefgm) + (bidj + bifk + djfk)  bidjfk
P1 = abcdefgh
1 = 1  0 = 1
x8 P1  Δ1 abcdefgh
G( s)  P  

x0
Δ
Δ
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例5
d
已知系统的信号流图
c
如下，求输入x1至输出
x2和x3的传递函数。
解：单回路有： x1
ac，abd，gi，ghj，
aegh
a
2
b
x2
e
g
3
x3
两两互不接触回路：
ac与gi，ghj; abd与gi，ghj
f
h
i
j
＝1-(ac+gi+abd+ghj+aegf)+(acgi+acghj+abdgi+abdghj)
x1到x2的传递函数G(s)=P12：
P1 = 2ab
1 = 1 (gi + ghj)
P2 = 3gfab
2 = 1
P1  1  P2  2
P12 

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x1到x3的传递函数G(s)＝P13：
d
P1 = 3 1 = 1  ( ac + abd )
P2 = 2ae
c
2 = 1
a
2
x2
e
x1
g
3
x3
P1  1  P2  2
P13 

b
f
h
i
j
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70
例6 试求以下信号流图中的传递函数C(s)/R(s)。
G1
1
R
G2
G3
1
1
K
C
1
解：
单回路： G1 ，G2 ，G3 ，G1G2
两两互不接触回路: G1和G2 ， G1和G3 ，
G2和G3 ，G1G2和G3
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G
G11
R
R
1
1
G
G22
G
G33
1
1
1
1
K
K
C
C
1
1
三个互不接触回路:
G1 ， G2和G3
前向通道：P1 = G1 G2G3 K
1 = 1
P2 = G2G3 K
2 = 1 + G1
P3 = G3 K
3 = 1 + G2
P4 = G2 (1)G3 K
4 = 1
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G1
1
R
G2
G3
1
1
K
C
1
G (s ) 
1
n
P


k 1
k
k
1
 (P1Δ1  P2Δ2  P3Δ3  P4Δ4 )
Δ
Δ  1   La   Lb Lc   Ld Le Lf
 1  (G 1  G 2  G 3  G 1G 2 )  (G 1G 2  G 1G 3  G 2G 3  G 1G 2G 3 )  G 1G 2G 3
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系统模型间的关系
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第二章内容回顾：对控制系统的数学描述
微分方程模型
传递函数模型
方框图模型
信号流图模型
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75
1、微分方程模型
特点：最基本，通常采用机理建模策略、
线性化等手段处理。线性定常系统微分方
程的一般形式：
dn
d n 1
d
a0 n y (t )  a1 n 1 y (t )    an 1 y (t )  an y (t )
dt
dt
dt
dm
d m1
d
 b0 m r (t )  b1 m 1 r (t )    bm1 r (t )  bm r (t )
dt
dt
dt
其中，y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入。
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2、传递函数模型
在零初始条件下，对微分方程两边取拉氏变换，
则有：
m 1
   bm 1s  bm
Y ( s ) b0 s  b1s
G( s) 

R( s )
a0 s n  a1s n 1    an 1s  an
m
优点：
最方便：便于系统组合，便于求取系统响应。
适合采用试验辨识建模策略。
微分关系的代数化是图示化模型的基础等 。
不足：
仅仅表示了输入输出关系。
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特别提醒：熟知典型环节的传递函数
（1）比例环节 Gs   K
1
（2）积分环节 G s   s
1
（3）惯性环节 Gs   Ts  1
（4）微分环节 Gs   s
1


G
s

（5）振荡环节
T 2 s 2  2Ts  1
（6）延迟环节 Gs   e s
（7）一阶微分 Gs   s  1
2 2


G
s


s  2s  1
（8）二阶微分
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微分方程与传递函数的转换
拉普拉斯变换与整理（多对一）
微分
方程
模型
传递
函数
模型
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3、结构框图模型
以传递函数和代数关系为基础，反映了系统
内部的信号变换、传递关系，表示了系统的实
现方式。
构图特点：
信号在线上，变换因子在框内。
优点： 图示化模型，直观。
不足： 结构框图的一致性、等效性需要仔细验证。
基本要求：
读懂框图！基本的化简方法和策略。
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特别提醒：熟知典型形式
串 联
G1
G1 G2
G2
并 联
反 馈
G1
G
G2
H
G1 G2
G
1+ G H
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尤其是反馈形式
E(s) G(s) Y(s)
R(s)

R(s)
＝
B(s)
Y(s)
G s 
1  G s H ( s)
H(s)
Y ( s )  E ( s )G ( s ), E ( s )  R( s )  B( s )
B( s)  Y ( s) H ( s)
Y ( s)  [ R( s)  B( s)]G ( s)  R( s)G ( s)  Y ( s) H ( s)G ( s)
Y ( s)[1  H ( s)G ( s)]  R( s)G ( s)
Y ( s)
G(s)

R( s) 1  H ( s)G ( s)
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以后采用Ф(s)表示闭环传递函数；
称
Bs 
 G s H s  为开环传递函数；
E s 
称
Y s 
 G s 
E s 
称
H s   1
为前向通路传递函数；
单位反馈，即有：
G s 
s  
1  G s 
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4、信号流图模型
以传递函数和代数关系为基础，反映了系统
内部的信号变换、传递关系，表示了系统的
实现方式。与结构框图模型等效。
构图特点：
信号在节点处，变换因子在弧上。
优点： 图示化模型，直观。
除输入输出外，有新的系统实现信息。
不足：
流图的一致性、等效性需要仔细验证。
要求： 读懂流图！有梅森公式。
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